2021年【教案】北师版新课标高中数学必修二教案《平面》 18页

平面◆教材分析平面为最基本的几何概念，教科书以课桌面.黑板面.海平面等为例，对它只为加以描述而不定义．立体几何中的平面又不同于上面的例子，为上面例子的抽象和概括，它的特点|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.|载.为无限延展性．为了更精确地懂得平面，教材重点介绍了平面的基本性质，即教科书中的三个公理，这也为本节的重点．另外，本节仍应充分呈现三种数学语言的转换与翻译，特殊注意图形语言与符号语言的转换．◆教学目标1．正确懂得平面的几何概念，把握平面的基本性质．2．娴熟把握三种数学语言的转换与翻译，结合三个公理的应用会证明共点.共线.共面问题．3．通过三种语言的学习让同学感知数学语言的美，培育同学学习数学的爱好．◆教学重难点◆三种数学语言的转换与翻译，利用三个公理证明共点.共线.共面问题．◆教学过程导入新课思路1．（情境导入）大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作为一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今日我们开头熟悉数学中的平面．思路2．（事例导入）观看长方体（图1），你能发觉长方体的顶点.棱所在的直线，以及侧面.底面之间的关系吗？第1页，共18页\n|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.|载.图1长方体由上.下.前.后.左.右六个面围成．有些面为平行的，有些面为相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成为某个面内的直线等等．空间中的点.直线.平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将争论这个问题．新知探究提出问题①怎样懂得平面这一最基本的几何概念？②平面的画法与表示方法如何？③如何描述点与直线.平面的位置关系.④直线与平面有一个公共点．直线为否在平面内.直线与平面全少有几个公共点才能判定直线在平面内.⑤依据自己的生活体会．几个点能确定一个平面.⑥假如两个不重合的平面有一个公共点，它们的位开关系如何.请画图表示；⑦描述点.直线.平面的位置关系常用几种语言.⑧自己总结三个公理的有关内容．活动：让同学先摸索或争论，然后再回答，经老师提示.点拨，对回答正确的同学准时夸奖，对回答不精确的同学提示引导考虑问题的思路．对有困难的同学可提示如下：①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点.直线.集合等．②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点.直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示．③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外．④确定一条直线需要几个点？第2页，共18页\n⑤引导同学观看教室的门由几个点确定．⑥两个平面不行能仅有一个公共点，由于平面有无限延展性．⑦文字语言.图形语言.符号语言．⑧平面的基本性质小结．争论结果：①平面与我们学过的点.直线.集合等概念一样都为最基本的概念（不加定义的原始概|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.|载.念），只能通过对它描述加以懂得，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它为不加定义的．平面的基本特点为无限延展性，很像如来佛的手掌（吴承恩的立体几何肯定不错）．②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，如图2，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面．平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．假如一个平面被另一个平面遮拦住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3．第3页，共18页\n|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.|载.图2图3平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α.β.γ的前面加“平面”二字，如平面α.平面β.平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内（图4）；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图5）．第4页，共18页\n|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.|载.图4图5③下面我们总结点与直线.平面的位置关系如下表：点A在直线a上A∈a（或直线a经过点A）元素点A在直线a外与A.a集（或直线a不经过点A）合点A在平面α内（或平面α经过点A）间A∈α的关系点A在平面α外（或平面α不经过点A）A.α④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内（图7），直线上有两个点在平面内，就直线全部落在平面内．例如用直尺紧贴着玻璃黑板，就直尺落在平面内．公理1：假如一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内．这为用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述．空间图形的基本元素为点.直线.平面．从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线.平面看成为点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，仍可借第5页，共18页\n用集合中的符号语言来表示．规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面就用一个小写的希腊字母表示．公理1也可以用符号语言表示：如A∈a，B∈a，且A∈α，B∈α，就a.α．|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.|载.图6图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交．如A∈a，B∈a，且A.α，B∈α，就a.α．如图（图7）．⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以坚固地支撑照相机或测量用的平板仪等等．上述事实和类似的体会可以归纳为下面的公理．公理2：经过不在同始终线上的三点，有且只有一个平面．如图（图8）．第6页，共18页\n|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.|载.图8公理2刻画了平面特有的性质，它为确定一个平面位置的依据之一．⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面为不为只有平行四边形这么个范畴呢？不为，由于平面为无限延展的．直线为可以落在平面内的，由于直线为无限延长的，假如平面为有限的，那么无限延长的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特点．现在我们依据平面的无限延展性来观看一个现象（课件演示给同学看）．问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，由于平面为无限延展的，应当有许多公共点．正由于平面为无限延展的，所以有一个公共点，必有许多个公共点．那么这许多个公共点在什么位置呢？可见，这许多个公共点在一条直线上．图9这说明，假如两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．此第7页，共18页\n时，就说两平面相交，交线就为公共点的集合，这就为公理3．如图（图9），用符号语言表示为：P∈α，且P∈β.α∩β＝l，且P∈l．公理3告知我们，假如两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面肯定相交，且其交线肯定过这个公共点．也就为说，假如两个平面有一个公共点，那么它们必定仍有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线．由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，仍告知我们全部交点在同一条直线|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.|载.上，并给出了找这条交线的方法．⑦描述点.直线.平面的位置关系常用3种语言：文字语言.图形语言.符号语言．⑧“平面的基本性质”小结：名称作用公理1判定直线在平面内的依据公理2确定一个平面的依据公理3两平面相交的依据应用示例思路11如图10，用符号语言表示以下图形中点.直线.平面之间的位置关系．图10活动：同学自己摸索或争论，再写出答案（最好用实物投影仪呈现写的正确的答案）．老师在同学中巡察，发觉问题准时订正，并准时评判．解：在（1）中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B．在（2）中，α∩β＝l，a.α，b.β，a∩l＝P，b∩l＝P．第8页，共18页\n变式训练1．画图表示以下由集合符号给出的关系：（1）A∈α，B.α，A∈l，B∈l；（2）a.α，b.β，a∥c，b∩c＝P，α∩β＝c．解：如图11．|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.|载.2．依据以下条件，画出图形．图11（1）平面α∩平面β＝l，直线AB.α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β＝F，F.l；（2）平面α∩平面β＝a，△ABC的三个顶点满意条件：A∈a，B∈α，B.a，C∈β，C.a．答案：如图12．第9页，共18页\n图12点评：图形语言与符号语言的转换为本节的重点，主要有两种题型：（1）依据图形，先判定点.直线.平面的位置关系，然后用符号表示出来．（2）依据符号，想象出点.直线.平面的位置关系，然后用图形表示出来．|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.|载.2已知直线a和直线b相交于点A．求证：过直线a和直线b有且只有一个平面．图13证明：如图13，点A为直线a和直线b的交点，在a上取一点B，b上取一点C，依据公理2经过不在同始终线上的三点A.B.C有一个平面α，由于A.B在平面α内，依据公理1，直线a在平面α内，同理直线b在平面α内，即平面α为经过直线a和直线b的平面．又由于A.B在a上，A.C在b上，所以经过直线a和直线b的平面肯定经过点A.B.第10页，共18页\n|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.|载.C．于为依据公理2，经过不共线的三点A.B.C的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个．变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内．图14证明：如图14，直线a.b.c.d两两相交，交点分别为A.B.C.D.E.F，∵直线a∩直线b＝A，∴直线a和直线b确定平面设为α，即a，b.α．∵B.C∈a，E.F∈b，∴B.C.E.F∈α．而B.F∈c，C.E∈d，∴c.d.α，即a.b.c.d在同一平面内．点评：在今后的学习中常常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据仍有：（1）直线与直线外一点．（2）两条相交直线．（3）两条平行直线．思路21如图15，已知α∩β＝EF，A∈α，C.B∈β，BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC与α.β的交线．第11页，共18页\n|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.|载.图15活动：让同学先摸索或争论，然后再回答，经老师提示.点拨，对回答正确的同学准时夸奖，对作图不精确的同学提示引导考虑问题的思路．解：如图16所示，连接CB，∵C∈β，B∈β，∴直线CB.β．图16∵直线CB.平面ABC，∴β∩平面ABC＝直线CB．设直线CB与直线EF交于D，∵α∩β＝EF，∴D∈α，D∈平面ABC．∵A∈α，A∈平面ABC，∴α∩平面ABC＝直线AD．第12页，共18页\n变式训练|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.|载.图171．如图17，AD∩平面α＝B，AE∩平面α＝C，请画出直线DE与平面α的交点P，并指出点P与直线BC的位置关系．解：AD和AC为相交直线，它们确定一个平面ABC，它与平面α的交线为直线BC，DE.平面ABC，∴DE与α的交点P在直线BC上．2．如图18，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为8cm，M.N.P分别为AB.A1D1.BB1的中点，图18（1）画出过M.N.P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线，以及与平面BB1C1C的交线．第13页，共18页\n（2）设过M.N.P三点的平面与B1C1交于点Q，求PQ的长．|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.|载.解：（1）设M.N.P三点确定的平面为α，就α与平面AA1B1B的交线为直线MP，设MP∩A1B1＝R，就RN为α与平面A1B1C1D1的交线，设RN∩B1C1＝Q，连接PQ，就PQ为所要画的平面α与平面BB1C1C的交线．如图18．3（2）正方体棱长为8cm，B1R＝BM＝4cm，又A1N＝4cm，B1Q＝1A1N，∴B1Q14（cm）．＝3×4＝3在△PB1Q中，B1P＝4cm，B1Q＝43cm，∴PQ＝B1P2＋B1Q2＝4310cm．点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们常常利用公理3找两平面的交点和交线．2已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P.Q.R三点，求证：P.Q.R三点共线．解：如图19，∵A.B.C为不在同始终线上的三点，第14页，共18页\n|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.∴过A.B.C有一个平面β．又∵AB∩α＝P，且AB.β，图19|载.∴点P既在β内又在α内．设α∩β＝l，就P∈l，同理可证：Q∈l，R∈l，∴P.Q.R三点共线．变式训练三个平面两两相交于三条直线，如这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点．已知平面α.β.γ两两相交于三条直线l1.l2.l3，且l1.l2.l3不平行．求证：l1.l2.l3相交于一点．第15页，共18页\n|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.|载.图20证明：如图20，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3，∵l1.β，l2.β，且l1.l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，就P∈l1.α，P∈l2.γ，∴P∈α∩γ＝l3．∴l1.l2.l3相交于一点P．点评：共点.共线问题为本节的重点，在高考中也常常考查，其理论依据为公理3．知能训练画一个正方体ABCD-A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由．图21解：如图21，∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′．∵E∈AC，∴E∈平面ACD′．∵E∈BD，∴E∈平面BDC′．∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B．∴EF为所求．拓展提升O1为正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面的中心，过D1.B1.A作一个截面，求证：此截第16页，共18页\n面与对角线A1C的交点P肯定在AO1上．|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.解：如图22，连接A1C1.AC，图22|载.因AA1∥CC1，就AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A.O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1．由P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1．点评：证明共点.共线问题关键为利用两平面的交点必在交线上．课堂小结1．平面为一个不加定义的原始概念，其基本特点为无限延展性．2．通过三个公理介绍了平面的基本性质及作用．名称作用公理1判定直线在平面内的依据公理2确定一个平面的依据公理3两平面相交的依据3．利用三个公理证明共面.共线.共点问题．◆教学反思本节的引入出色特殊，用如来佛的手掌形象地刻画了平面的基本特点；本节设计了较多的语言转换题目，反复训练同学的读图.作图才能，以及用符号语言表达数学问题的才能，由于这为学好立体几何的基础，为本节的重点；本节的难点为利用三个公理证明共面.共线.共点问题，本节设计了大量题目来突破这一难点，每个题目都出色活泼难度适中，我信任这第17页，共18页\n为一节值得期望的出色课例．|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.|载.第18页，共18页