全国高中数学选修人教a教案教案函数单调性和导数 8页

1.3.1函数的单调性和导数课前预习学案一、预习目标1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的步骤。二、预习内容1．利用导数的符号来判断函数单调性:一般地，设函数在某个区间可导，如果在这个区间内，则为这个区间内的；如果在这个区间内，则为这个区间内的。思考：（1）若f'(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？回答：提示：f(x)＝x3，在R上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？（2）若f'(x)＝0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数？若某个区间内恒有f'(x)＝0，则f(x)为函数．2．利用导数确定函数的单调性的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求出函数的导数；(3)解不等式f¢(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f¢(x)＜0，得函数的单调递减区间．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一．学习目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系.2掌握利用导数判断函数单调性的方法.学习重点：利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性.二、学习过程【引例】8/8\n1．确定函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？解答：，问1）、为什么在上是减函数，在上是增函数？解答：，2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？解答：，2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？解答：，【探究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。研究二次函数的图象；（1）画出二次函数的图象，研究它的单调性。（2）提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？回答：（3）我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？观察图像，能得到什么结论回答：【新课讲解】根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？一般地，设函数在某个区间可导，如果在这个区间内，则为这个区间内的；如果在这个区间内，则为这个区间内的。思考：（1）若f'(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？回答：提示：f(x)＝x3，在R上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？（2）若f'(x)＝0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数？若某个区间内恒有f'(x)＝0，则f(x)为函数．结论应用：由以上结论知：函数的单调性与其有关，因此我们可以用去探讨函数的单调性。下面举例说明：【例题讲解】例1、求证：在上是增函数。8/8\n归纳步骤：1、；2、；3、。例1、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.小结：用导数求函数单调区间的步骤：（1）；（2）；（3）【课堂练习】1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=3x－x32、设是函数的导数,的图象如图所示,则的图象最有可能是()8/8\nyxOyxOyxOyxOA．B．C．D．课后练习与提高１．（2007年浙江卷）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。２．已知函数，则（）A．在上递增B．在上递减C．在上递增D．在上递减３．函数的单调递增区间是_____________．8/8\n1.3.1函数的单调性和导数教案一、教材分析以前，我们用定义来判断函数的单调性．对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数．对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。根据课程标准，本节分为四课时，此为第一课时。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。二、教学目标1，知识目标：1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2）掌握利用导数判断函数单调性的步骤。2，能力目标：学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。3，情感、态度与价值观目标：在愉悦的学习氛围中，学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。三、教学重点难点教学重点：利用导数判断函数单调性。教学难点：利用导数判断函数单调性。.四、教学方法：探究法五、课时安排：1课时六、教学过程【引例】1．确定函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？解：，在上是减函数，在上是增函数。问：1）、为什么在上是减函数，在上是增函数？都是反映函数随自变量的变化情况。2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）（2）利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？（1）能画出函数的图象吗？（2）能用单调性的定义吗？试一试，提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x3－6x2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。（研究的必要性）事实上用定义研究函数的单调区间也不容易。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。8/8\n【探究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。问：如何入手？（图象）从函数f(x)=2x3－6x2+7的图象吗？1、研究二次函数的图象；（1）学生自己画图研究探索。（2）提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？（3）（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。（4）提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？（5）学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）：①该函数在区间上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；在区间上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？2、先看一次函数图象；3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）（1）观察三次函数的图象；（几何画板演示）（2）观察某个函数的图象。（几何画板演示）指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。【新课讲解】4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。（幻灯放映）一般地，设函数在某个区间可导，则函数在该区间内如果在这个区间内，则为这个区间内的增函数；如果在这个区间内，则为这个区间内的减函数。若在某个区间内恒有，则为常函数。这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。结论应用：由以上结论知：函数的单调性与其导数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。下面举例说明：【例题讲解】例1、求证：在上是增函数。8/8\n由学生叙述过程老师板书：因为，，所以，即，所以函数在上是增函数。注：我们知道在R上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。例1、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.由学生叙述过程老师板书：解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x,令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0厦礴恳蹒骈時盡继價骚。∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数;当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求函数f(x)的导数f′(x).（3）令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间【课堂练习】1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=3x－x3(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)2、设是函数的导数,的图象如图所示,则的图象最有可能是()8/8\n小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？【课堂小结】1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)>0,则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.【课后练习】１．（2007年浙江卷）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。２．已知函数，则（）A．在上递增B．在上递减C．在上递增D．在上递减３．函数的单调递增区间是_____________．【课堂作业】课本p42习题2.41,2【课后记】本节课是一节新授课，课本所提供的信息很简单，如果直接得出结论，学生也能接受，可学生只能进行简单的模仿应用。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课，设计思路如下，以便教会学生会思考解决问题：1、首先研究从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前的方法；渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。1、从不熟悉的三次函数入手，使学生体会到以前的知识已不能解决，必须寻求一个新的解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性；铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。2、从简单的、熟悉的函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化，再与新学的导数联系起来，形成结论。另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。3、应用中重点指导学生的解题步骤，避免考试中隐性失分。在今后的教学中，应注重学生的参与，引发认知冲突，教会学生思考问题。加强教案设计的合理性，语言做到准确、简练。节奏要把握好。贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。8/8