高中数学古典概型备课资料 教案 5页

古典概型备课资料合作与讨论【问题1】甲、乙两人做掷骰子游戏，他们同时各掷一枚骰子一次，然后计算两个骰子向上的数字之积，若得到的积为偶数，则甲得到1分，否则乙得2分.它们各掷10次，记录得分情况，得分多者获胜，问这个游戏对甲、乙双方公平吗？为什么？我的思路：这个游戏对甲、乙双方是否公平，就看两人掷得的骰子向上点数之积为偶数的概率是不是为奇数概率的2倍.同学们可以求一求，验证一下两人掷得的骰子向上点数之积为偶数的概率不是掷得的骰子向上点数之积为奇数的概率的2倍（为什么，它们的概率分别是多少），故该规则对他们来说是不公平的.如何修改规则，使之公平呢？【问题2】某商场为了促进销售，搞了一次抽奖活动，规定顾客只要在商场一次消费100元就可获得一次抽奖机会.抽奖规则如下：在抽奖箱内有100个大小、形状都相同的标签，其上标有1到100这100个自然数，抽到数字8或末位数字是8的可获20元购物券，抽到数字是88的可获200元购物券，抽到66或99这两个数字的可获100元购物券.某顾客购物118元，他获得10元、100元、200元购物券的概率分别是多少？他获得购物券的概率是多少？小明一心想得到一张200元的购物券，他粗懂概率知识，于是他采用消费多，抽奖机会也多的策略，一次性购物10000元，因而获得100次抽奖机会.问小明会获得一张200元的购物券吗？若该商场除去一切费用后还有20%的利润，则商场从小明身上获利多少元？我的思路：标签个数是有限的，且顾客抽到每个标签是等可能的，故此题属于古典概型问题.本题的基本事件有多少个？我们研究的事件分别包含了多少个基本事件？小明粗懂点概率知识，他算出获得200元购物券的概率是，于是他想若能抽奖100次，不就能获得一张200元的购物券了吗!但他毕竟是“粗懂”，对概率还有模糊认识，同学们你能为他解释吗？要算出商场从小明身上获利多少，可先求出顾客每购物100元，商场平均付给顾客的购物券有多少元，再从20%的利润中减去付给顾客的购物券就可以了.思考过程在前一节“随机事件及其概率”\n中，我们知道，要获得某一随机事件的概率，就需做大量的重复的试验，看频率的稳定值，但这样做太麻烦，于是人们从大量的实验中总结了随机试验的概率模型即古典概型.在求此类型问题时就要搞清楚该事件共有多少个基本事件，我们研究的、关注的结果是什么，它包含了多少个基本事件.基本事件个数不多时，一般可用枚举法把基本事件一一表示出来.【例1】向上抛掷一枚骰子，求向上的点数不大于3的概率.思路：将骰子抛掷一次，它出现的点数有1，2，3，4，5，6这6种结果.而事件“点数不大于3”，包含“点数为1”“点数为2”“点数为3”3种结果.于是，向上点数不大于3的概率为，即.【例2】一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球，求下列事件发生的概率？（1）A：摸出的两只球都是白球；（2）B：取出的两只球一只是白球，一只是黑球思路：分别记白球为1、2、3，黑球为4、5，从中摸出2只球有如下基本事件：（摸到1、2号球用（1，2）表示）（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）.因此，共有10个基本事件.上述10个基本事件发生的可能性相同.（1）“摸出的两只球都是白球“包含3个基本事件：（1，2），（1，3），（2，3）.故P（A）=.（2）“摸出的两只球一只是白球，一只是黑球”包含6个基本事件：（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5）.故P（B）==.【例3】一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球.先从口袋中摸出一只，记下颜色后放回去，然后再从口袋中摸出一只，求下列事件发生的概率：（1）A：摸出的两只球都是白球；（2）B：摸出的两只球一只是白球，一只是黑球.\n思路：分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，先从口袋中任意摸出一只球，有1，2，3，4，5这5种结果，记下颜色后放回去，再从口袋中摸出一只球，第一次从袋中摸出一只球有5种结果，对每一种结果，第二次又都有5种可能的结果，于是共有5×5=25种不同的结果. 　　第一次摸到1号球，第二次摸到1号球用（1，1）表示.（1）“摸出的球都是白球”包含下面的9个基本事件：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）.故P（A）=.（2）摸出的两只球一只是白球，一只是红球包含下面的12个基本事件：（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3）.故P（B）=.当基本事件较多时，通过画树形图能较清楚地列举出所有可能的基本事件.【例4】一次抛掷三枚骰子，求向上的点数之和是6的概率.思路：通过画树形图，可知基本事件共有6×6×6=216个.第一枚骰子出现1点，第二枚骰子出现2点，第三枚骰子出现3点，用（1，2，3）表示.“向上的点数之和是6”的事件记为A，它包括以下基本事件：（1，2，3），（1，3，2），（1，1，4），（1，4，1），（2，1，3），（2，3，1），（2，2，2），（3，2，1），（3，1，2），（4，1，1）.故P（A）==.例题解析【例1】若以连续两次掷骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标（m，n），求点P落在圆x2+y2=18内的概率.思路：易知基本事件有36个，事件“点P（m，n）在圆x2+y2=18内”包括下列10个基本事件：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）.故所求概率是=.点评：本题把概率知识与圆的知识结合起来，在一个新情境下解概率题，有一定的综合性，主要考查知识间的联系，解题的关键是找出点在圆内的条件.\n【例2】假设人的某一特征（如眼睛大小）是由他的一对基因所决定的，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人为纯隐性，具有rd基因的人为混合性.纯显性与混合性的人都表露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到1个基因，假定父母都是混合性，问：（1）1个孩子有显性基因决定的特征的概率是多少?（2）2个孩子中至少有一个有显性基因决定的特征的概率是多少?解析：孩子的一对基因为dd、rr、rd的概率分别为、、，孩子有显性基因决定的特征是具有dd、rd基因，所以（1）1个孩子有显性基因决定的特征的概率为+＝.（2）因为2个孩子如果都不具有显性基因决定的特征，即2个孩子都具有rr基因的纯隐性特征，其概率为×=.所以2个孩子中至少有一个显性基因决定的特征的概率为1－＝.点评：用枚举法找出基本事件是常用方法.【例3】甲、乙两人做掷骰子游戏，两人各掷一次，谁掷得的点数多谁就取胜，求甲取胜的概率.解析：甲将骰子抛掷一次，出现的点数有1，2，3，4，5，6这6种结果，对甲掷得的每个结果，乙又掷得点数分别为1，2，3，4，5，6这6种结果，于是共有6×6=36种不同的结果.把甲掷得i点，乙掷得j点（1≤i，j≤6），记为（i，j）.事件“甲取胜”包含下列15种结果：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）.故甲取胜的概率为=.本题也可以这样想，两人掷出相同的点数有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）六种结果，“甲掷得的点数比乙多”与“乙掷得的点数比甲多”是等可能性事件，都有=15种结果.故甲取胜的概率为=.点评：掷骰子是典型的题型，本题与解析几何知识相联系，在下图的直角坐标中，若x表示甲掷得的点数，y表示乙掷得的点数，本题实质就是求点（x，y）落在直线y=x下方的概率，与例1有异曲同工之处.\n知识总结古典概型具有如下特点：①它的基本事件有有限个；②每个基本事件发生的可能性大小相同.P（A）=既是等可能性事件的概率的定义，又是计算这种概率的基本方法.一般要遵循这样的步骤：①算出基本事件的总个数n；②算出事件A中包含的基本事件的个数m；③算出事件A的概率，即P（A）=.应注意这种结果必须是等可能的.在做题时，首先要明确基本事件是什么，它的发生是不是等可能的，其次要明确所研究的事件包含有哪些基本事件，有多少种结果，基本事件的总个数有哪些.有多少，必要时画树形图或约定一种记号用枚举法把基本事件直观地画出来或表示出来，从而可以求出m、n，进而求出P（A）.