• 1.84 MB
  • 2022-08-18 发布

人教版高中数学《不等式》全部教案

  • 37页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流人教版高中数学《不等式》全部教案【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流第三章不等式第一教时教材:不等式、不等式的综合性质目的:首先让学生掌握不等式的一个等价关系,了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。过程:一、引入新课1.世界上所有的事物不等是绝对的,相等是相对的。2.过去我们已经接触过许多不等式从而提出课题二、几个与不等式有关的名称(例略)1.“同向不等式与异向不等式”2.“绝对不等式与矛盾不等式”三、不等式的一个等价关系(充要条件)1.从实数与数轴上的点一一对应谈起2.应用:例一比较与的大小解:(取差)-例二已知¹0,比较与的大小解:(取差)-∵∴从而>小结:步骤:作差—变形—判断—结论例三比较大小1.和解:∵2.和解:(取差)-∵∴当时>;当时=;当时<【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流3.设且,比较与的大小解:∴当时≤;当时≥四、不等式的性质1.性质1:如果,那么;如果,那么(对称性)证:∵∴由正数的相反数是负数2.性质2:如果,那么(传递性)证:∵,∴,∵两个正数的和仍是正数∴由对称性、性质2可以表示为如果且那么五、小结:1.不等式的概念2.一个充要条件3.性质1、2六、作业:P5练习P8习题6.11—3补充题:1.若,比较与的大小解:-=……=∴≥2.比较2sinq与sin2q的大小(0当时∴>∴总有>第二教时教材:不等式基本性质(续完)目的:【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流继续学习不等式的基本性质,并能用前面的性质进行论证,从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。过程:一、复习:不等式的基本概念,充要条件,基本性质1、2二、1.性质3:如果,那么(加法单调性)反之亦然证:∵∴从而可得移项法则:推论:如果且,那么(相加法则)证:推论:如果且,那么(相减法则)证:∵∴或证:上式>0………2.性质4:如果且,那么;如果且那么(乘法单调性)证:∵∴根据同号相乘得正,异号相乘得负,得:时即:时即:推论1如果且,那么(相乘法则)证:推论1’(补充)如果且,那么(相除法则)证:∵∴推论2如果,那么【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流3.性质5:如果,那么证:(反证法)假设则:若这都与矛盾∴三、小结:五个性质及其推论口答P8练习1、2习题6.14四、作业P8练习3习题6.15、6五、供选用的例题(或作业)1.已知,,,求证:证:2.若,求不等式同时成立的条件解:3.设,求证证:∵∴又∵∴>0∴4.比较与的大小解:-当时∵即当时∵即5.若求证:解:∵∴∴6.若求证:证:∵p>1∴【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流又∵∴∴∴原式成立第三教时教材:算术平均数与几何平均数目的:要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义,并掌握“平均不等式”及其推导过程。过程:一、定理:如果,那么(当且仅当时取“=”)证明:1.指出定理适用范围:2.强调取“=”的条件二、定理:如果是正数,那么(当且仅当时取“=”)证明:∵∴即:当且仅当时注意:1.这个定理适用的范围:2.语言表述:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。三、推广:定理:如果,那么(当且仅当时取“=”)证明:∵∵∴上式≥0从而指出:这里∵就不能保证推论:如果,那么(当且仅当时取“=”)证明:【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流四、关于“平均数”的概念1.如果则:叫做这n个正数的算术平均数叫做这n个正数的几何平均数2.点题:算术平均数与几何平均数3.基本不等式:≥这个结论最终可用数学归纳法,二项式定理证明(这里从略)语言表述:n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。4.的几何解释:ABD’DCab以为直径作圆,在直径AB上取一点C,过C作弦DD’^AB则从而而半径五、例一已知为两两不相等的实数,求证:证:∵以上三式相加:六、小结:算术平均数、几何平均数的概念基本不等式(即平均不等式)七、作业:P11-12练习1、2P12习题5.21--3补充:1.已知,分别求的范围(8,11)(3,6)(2,4)2.试比较与(作差>)3.求证:【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流证:三式相加化简即得第四教时教材:极值定理目的:要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理,并学会初步应用。过程:一、复习:算术平均数与几何平均数定义,平均不等式二、若,设求证:加权平均;算术平均;几何平均;调和平均证:∵∴即:(俗称幂平均不等式)由平均不等式即:综上所述:例一、若求证证:由幂平均不等式:三、极值定理已知都是正数,求证:1°如果积是定值,那么当时和有最小值【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流2°如果和是定值,那么当时积有最大值证:∵∴1°当(定值)时,∴∵上式当时取“=”∴当时有2°当(定值)时,∴∵上式当时取“=”∴当时有注意强调:1°最值的含义(“≥”取最小值,“≤”取最大值)2°用极值定理求最值的三个必要条件:一“正”、二“定”、三“相等”一、例题1.证明下列各题:证:∵∴于是⑵若上题改成,结果将如何?解:∵于是从而⑶若则解:若则显然有若异号或一个为0则∴2.①求函数的最大值②求函数的最大值解:①∵∴∴当即时即时【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流∴当时3.若,则为何值时有最小值,最小值为几?解:∵∴当且仅当即时一、小结:1.四大平均值之间的关系及其证明2.极值定理及三要素二、作业:P12练习3、4习题6.24、5、6补充:下列函数中取何值时,函数取得最大值或最小值,最值是多少?1°时2°3°时第五教时教材:极值定理的应用目的:要求学生更熟悉基本不等式和极值定理,从而更熟练地处理一些最值问题。过程:三、复习:基本不等式、极值定理四、例题:1.求函数的最大值,下列解法是否正确?为什么?解一:解二:当即时答:以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”,即不存在使得;解二错在不是定值(常数)正确的解法是:【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流当且仅当即时2.若,求的最值解:从而即3.设且,求的最大值解:∵∴又即4.已知且,求的最小值解:当且仅当即时一、关于应用题1.P11例(即本章开头提出的问题)(略)2.将一块边长为的正方形铁皮,剪去四个角(四个全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积是多少?解:设剪去的小正方形的边长为【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流则其容积为当且仅当即时取“=”即当剪去的小正方形的边长为时,铁盒的容积为一、作业:P12练习4习题6.27补充:1.求下列函数的最值:1°(min=6)2°()2.1°时求的最小值,的最小值2°设,求的最大值(5)3°若,求的最大值4°若且,求的最小值3.若,求证:的最小值为34.制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖),问圆柱底半径和高各取多少时,用料最省?(不计加工时的损耗及接缝用料)第六教时教材:不等式证明一(比较法)目的:以不等式的等价命题为依据,揭示不等式的常用证明方法之一——比较法,要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。过程:一、复习:1.不等式的一个等价命题2.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断——结论【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流二、作差法:(P13—14)1.求证:x2+3>3x证:∵(x2+3)-3x=∴x2+3>3x2.已知a,b,m都是正数,并且a0,b-a>0∴即:变式:若a>b,结果会怎样?若没有“aa2b3+a3b2证:(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)∵a,b都是正数,∴a+b,a2+ab+b2>0又∵a¹b,∴(a-b)2>0∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0即:a5+b5>a2b3+a3b24.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m行走,另一半时间以速度n行走;有一半路程乙以速度m行走,另一半路程以速度n行走,如果m¹n,问:甲乙两人谁先到达指定地点?解:设从出发地到指定地点的路程为S,甲乙两人走完全程所需时间分别是t1,t2,则:可得:∵S,m,n都是正数,且m¹n,∴t1-t2<0即:t1b>0时,当b>a>0时,∴(其余部分布置作业)作商法步骤与作差法同,不过最后是与1比较。四、小结:作差、作商五、作业:P15练习P18习题6.31—4第七教时教材:不等式证明二(比较法、综合法)目的:加强比商法的训练,以期达到熟练技巧,同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。过程:一、比较法:a)复习:比较法,依据、步骤比商法,依据、步骤、适用题型b)例一、证明:在是增函数。证:设2≤x10,x1+x2-4>0∴又∵y1>0,∴y1>y2∴在是增函数二、综合法:定义:利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这个证明方法叫综合法。i.已知a,b,c是不全相等的正数,【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc证:∵b2+c2≥2bc,a>0,∴a(b2+c2)≥2abc同理:b(c2+a2)≥2abc,c(a2+b2)≥2abc∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥6abc当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号,而a,b,c是不全相等的正数∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abci.设a,b,cÎR,1°求证:2°求证:3°若a+b=1,求证:证:1°∵∴2°同理:,三式相加:3°由幂平均不等式:ii.a,b,cÎR,求证:1°2°3°证:1°法一:,,两式相乘即得。法二:左边≥3+2+2+2=92°∵两式相乘即得3°由上题:【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流即:三、小结:综合法四、作业:P15—16练习1,2P18习题6.31,2,3补充:1.已知a,bÎR+且a¹b,求证:(取差)2.设aÎR,x,yÎR,求证:(取商)3.已知a,bÎR+,求证:证:∵a,bÎR+∴∴4.设a>0,b>0,且a+b=1,求证:证:∵∴∴第八教时教材:不等式证明三(分析法)目的:要求学生学会用分析法证明不等式。过程:一、介绍“分析法”:从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。二、例一、求证:证:∵综合法:只需证明:∵21<25展开得:∴即:∴即:21<25(显然成立)∴例二、设x>0,y>0,证明不等式:证一:(分析法)所证不等式即:【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流即:即:只需证:∵成立证二:(综合法)∵∵x>0,y>0,∴例三、已知:a+b+c=0,求证:ab+bc+ca≤0证一:(综合法)∵a+b+c=0∴(a+b+c)2=0展开得:∴ab+bc+ca≤0证二:(分析法)要证ab+bc+ca≤0∵a+b+c=0故只需证ab+bc+ca≤(a+b+c)2即证:即:(显然)∴原式成立证三:∵a+b+c=0∴-c=a+b∴ab+bc+ca=ab+(a+b)c=ab-(a+b)2=-a2-b2-ab例四、(课本例)证明:通过水管放水,当流速相等时,如果水管截面(指横截面)的周长相等,那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。证:设截面周长为l,则周长为l的圆的半径为,截面积为,周长为l的正方形边长为,截面积为问题只需证:>即证:>两边同乘,得:【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流因此只需证:4>p(显然成立)∴>也可用比较法(取商)证,也不困难。一、作业:P18练习1—3及习题6.3余下部分补充作业:1.已知00故只需证:即证:∵1+cosq>0只需证:即只需证:即:(成立)2.已知a>b>0,q为锐角,求证:略证:只需证:即:(成立)3.设a,b,c是的△ABC三边,S是三角形的面积,求证:略证:正弦、余弦定理代入得:即证:即:即证:(成立)第九教时教材:不等式证明四(换元法)目的:增强学生“换元”思想,能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。过程:【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流一、提出课题:(换元法)二、三角换元:例一、求证:证一:(综合法)即:∴证二:(换元法)∵∴令x=cosq,qÎ[0,p]则例二、已知x>0,y>0,2x+y=1,求证:证一:即:证二:由x>0,y>0,2x+y=1,可设则例三:若,求证:证:设,则例四:若x>1,y>1,求证:证:设则例五:已知:a>1,b>0,a-b=1,求证:证:∵a>1,b>0,a-b=1∴不妨设则∵,∴00,则证:设则(当a=1时取“=”)即∴原式成立二、小结:还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法,有兴趣的课后还可进一步学习。三、作业:1.若,求证:2.若|a|<1,|b|<1,则3.若|x|≤1,求证:4.若a>1,b>0,a-b=1,求证:5.求证:6.已知|a|≤1,|b|≤1,求证:第十教时【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流教材:不等式证明五(放缩法、反证法)目的:要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。过程:一、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法提出课题:放缩法与反证法二、放缩法:例一、若a,b,c,dÎR+,求证:证:记m=∵a,b,c,dÎR+∴12时,求证:证:∵n>2∴∴n>2时,例三、求证:证:三、反证法:例四、设0,(1-b)c>,(1-c)a>,则三式相乘:ab<(1-a)b•(1-b)c•(1-c)a<①又∵00,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a,b,c>0证:设a<0,∵abc>0,∴bc<0又由a+b+c>0,则b+c=-a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0与题设矛盾【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流又:若a=0,则与abc>0矛盾,∴必有a>0同理可证:b>0,c>0一、作业:证明下列不等式:1.设x>0,y>0,,,求证:ab>c,则5.左边6.7.已知a,b,c>0,且a2+b2=c2,求证:an+bn0,∴8.设00,且x+y>2,则和中至少有一个小于2反设≥2,≥2∵x,y>0,可得x+y≤2与x+y>2矛盾第十一教时教材:不等式证明六(构造法及其它方法)目的:要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。过程:二、构造法:1.构造函数法例一、已知x>0,求证:【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流证:构造函数则,设2≤a0,ab-1>0,ab>0∴上式>0∴f(x)在上单调递增,∴左边例二、求证:证:设则用定义法可证:f(t)在上单调递增令:3≤t10,则即b,c是二次方程的两个实根。∴即:a≥2例四、求证:证:设则:(y-1)tan2q+(y+1)tanq+(y-1)=0当y=1时,命题显然成立当y¹1时,△=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)≥0综上所述,原式成立。(此法也称判别式法)3.构造图形法:例五、已知00,y>0,x+y=1,则左边令t=xy,则在上单调递减∴3.若,且a2b>0,则|f(a)-f(b)|<|a-b|构造矩形ABCD,F在CD上,使|AB|=a,|DF|=b,|AD|=1,则|AC|-|AF|<|CF|5.若x,y,z>0,则作ÐAOB=ÐBOC=ÐCOA=120°,设|OA|=x,|OB|=y,|OC|=z第十二教时教材:不等式证明综合练习目的:系统小结不等式证明的几种常用方法,渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。过程:二、简述不等式证明的几种常用方法比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造三、例一、已知01,∴解三:∵00且a¹1,其余条件不变。例二、已知x2=a2+b2,y2=c2+d2,且所有字母均为正,求证:xy≥ac+bd证一:(分析法)∵a,b,c,d,x,y都是正数∴要证:xy≥ac+bd只需证:(xy)2≥(ac+bd)2即:(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd展开得:a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd即:a2d2+b2c2≥2abcd由基本不等式,显然成立∴xy≥ac+bd证二:(综合法)xy=证三:(三角代换法)∵x2=a2+b2,∴不妨设a=xsina,b=xcosay2=c2+d2c=ysinb,d=ycosb∴ac+bd=xysinasinb+xycosacosb=xycos(a-b)≤xy例三、已知x1,x2均为正数,求证:证一:(分析法)由于不等式两边均为正数,平方后只须证:即:再平方:化简整理得:(显然成立)∴原式成立【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流证二:(反证法)假设ABCDPM化简可得:(不可能)∴原式成立证三:(构造法)构造矩形ABCD,使AB=CD=1,BP=x1,PC=x2当ÐAPB=ÐDPC时,AP+PD为最短。取BC中点M,有ÐAMB=ÐDMC,BM=MC=∴AP+PD≥AM+MD即:一、作业:2000版高二课课练第6课第十三教时教材:复习一元一次不等式目的:通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式,尤其是对含有参数的一元一次和一元二次不等式,能正确地对参数分区间讨论。过程:一、提出课题:不等式的解法(复习):一元一次与一元二次不等式板演:1.解不等式:2.解不等式组:()3.解不等式:4.解不等式:5.解不等式:二、含有参数的不等式例一、解关于x的不等式解:将原不等式展开,整理得:讨论:当时,【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流当时,若≥0时;若<0时当时,例二、解关于x的不等式解:原不等式可以化为:若即则或若即则若即则或例三、关于x的不等式的解集为求关于x的不等式的解集.解:由题设且,从而可以变形为即:∴例四、关于x的不等式对于恒成立,求a的取值范围.s解:当a>0时不合a=0也不合∴必有:例五、若函数的定义域为R,求实数k的取值范围解:显然k=0时满足而k<0时不满足∴k的取值范围是[0,1]一、简单绝对不等式例六、(课本6.4例1)解不等式【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流解集为:一、小结二、作业:6.4练习1、2P25习题6.41补充:1.解关于x的不等式:1°2°2.不等式的解集为,求a,b()3.不等式对于恒成立,求a的取值(a>4)4.已知,且BÍA,求p的取值范围(p≥4)5.已知当-1≤x≤1时y有正有负,求a的取值范围第十四教时教材:高次不等式与分式不等式目的:要求学生能熟练地运用列表法和标根法解分式不等式和高次不等式。过程:三、提出课题:分式不等式与高次不等式四、例一(P22-23)解不等式略解一(分析法)或解二:(列表法)原不等式可化为列表(见P23略)注意:按根的由小到大排列解三:(标根法)作数轴;标根;画曲线,定解-101234-2【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流小结:在某一区间内,一个式子是大于0(还是小于0)取决于这个式子的各因式在此区间内的符号;而区间的分界线就是各因式的根;上述的列表法和标根法,几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式,其中最值得推荐的是“标根法”例二解不等式解:原不等式化为∴原不等式的解为例三解不等式解:∵恒成立∴原不等式等价于即-13-因为不等式两边均为非负两边平方得:即>x因为两边非负,再次平方:解之01∴整理得:解之,不等式的解集为{x|-32或∴不等式的解集为{x|x>2或}例三解不等式【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流解:原不等式等价于或解之得:41时有(其实中间一个不等式可省)当01时不等式的解集为;当01时有0a∴原不等式的解集为{x|01}或{x|x>a,01时原不等式化为:∴原不等式的解集为或一、小结:注意底(单调性)和定义域s二、作业:补充:解下列不等式1.(当a>1时当00时,二、定理:证明:∵又∵a=a+b-b|-b|=|b|【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流由①|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|即|a|-|b|≤|a+b|②综合①②:注意:1°左边可以“加强”同样成立,即2°这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边3°a,b同号时右边取“=”,a,b异号时左边取“=”推论1:≤推论2:证明:在定理中以-b代b得:即:三、应用举例例一至例三见课本P26-27略例四设|a|<1,|b|<1求证|a+b|+|a-b|<2证明:当a+b与a-b同号时,|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2当a+b与a-b异号时,|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|<2∴|a+b|+|a-b|<2例五已知当a¹b时求证:证一:OABab1证二:(构造法)如图:由三角形两边之差小于第三边得:四、小结:“三角不等式”五、作业:P28练习和习题6.5第十八教时教材:含参数的不等式的解法目的:在解含有参数的不等式时,要求学生能根据参数的“位置”正确分组讨论,解不等式。过程:一、课题:含有参数的不等式的解法【精品文档】第37页\n如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流二、例一解关于x的不等式解:原不等式等价于即:若a>1若01时∴当m=1时∴xÎφ当02或x<1当即q=时xÎφ当即qÎ(,)时∴11时B=[1,a]当a>2时AÌB当1≤a≤2时AÊB当a≤1时A∩B仅含一个元素例六方程有相异两实根,求a的取值范围解:原不等式可化为令:则设又∵a>0三、小结四、作业:1.2.若求a的取值范围(a≥1)3.4.5.当a在什么范围内方程:有两个不同的负根6.若方程的两根都对于2,求实数m的范围【精品文档】第37页

相关文档