高中同步数学教案第13章 复数 24页

第十三章复数一、复数的概念数的概念是在实践中一步步发展起来的。我们知道，实系数一元二次方程当其根的判别式“△＜”时，在实数范围内方程无解。再如：这样简单的方程在实数范围内无解。十六世纪，人们为了解决负数的开方问题，引入了一个新数，叫做虚数单位.1、——虚数单位规定：①；②实数可以与进行四则运算，原有的加乘运算律仍适用。2、复数的定义设都是实数，我们把形如的数叫做复数（是虚数单位）。全体复数的集合叫做复数集，常用字母C表示。3、复数的分类对于复数，与分别叫做复数的实部与虚部，并且分别用符号和表示。对于复数，当时，就是实数；当时，叫做虚数。特别地，当并且时，叫做纯虚数。由此可以看出，实数集R是复数集C的真子集，有。4、复数的相等：对于两个复数，当且仅当它们的实部与虚部分别相等，这两个复数相等。即：（其中5、两个复数不全为实数时，不能比较大小。\n例1：说出下列复数的实部与虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数，还应指出是否为纯虚数。（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）的实部与虚部分别是与，它是虚数，但不是纯虚数；（2）的实部与虚部分别是和，它是虚数，而且是纯虚数；（3）的实部与虚部都是，它是实数；（4）的实部与虚部分别是与，它是虚数，当时它是纯虚数。说明：复数（虚部是不是。例2：已知复数，根据下列条件求实数的取值范围。（1）；（2）是虚数；（3）是纯虚数；（4）。解：（1），则，得或；（2）是虚数，则，得且；（3）若是纯虚数，则，得；（4）由，则，即，解得：或。\n例3：设，并且，求。解：由复数相等的定义，得方程组：。解得：。例4：求的值，使复数是：（1）实数；　　（2）纯虚数；　　（3）零。解：（1）若是实数，则或，或（）；（2）若是纯虚数，则，得。（3）若，则，得。\n二、复数的坐标表示复数⇌直角坐标平面内的点⇌平面向量.1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.2、实轴、虚轴：在复平面中，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，虚轴上除原点以外的点都表示纯虚数。按这种表示方法，可知复数集C和复平面内的点构成了一一对应的关系。O3、复数的模：设复数在复平面上对应点为，那么点与原点O之间的距离叫做复数的模（也称为复数的绝对值），记作。由两点间距离公式，得：.例1：若复数对应点在第三象限内，求实数的取值范围。解：由题得：，所以实数的取值范围是。例2：已知，若分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；\n（4）对应点在第二象限。求的值或取值范围。解：（因为。所以。（1）若为实数，则即，此时；（2）当时，为虚数；（3）若为纯虚数，则，此时；（4）若对应点在第二象限，则。例3：求证：在复平面内分别和复数，，，对应的四点共圆。证明：例4：设复数对应点.请在复平面上画出分别满足下列条件的点Z所在的位置的区域(用阴影部分表示)\n三、复数的加法与减法1、复数加法与减法的运算法则：设与是任意的两个复数，它们的和与差分别是2、复数的加法满足交换律与结合律。即：设是三个任意的复数，则有：交换律：；结合律：。3、复数加法与复数减法的几何意义若复数、对应的向量、不共线，则复数是以、为邻边的平行四边形对角线所对应的复数；复数-是联结向量、终点，并指向被减向量的向量所对应的复数。4、复平面上两点间的距离公式设两复数、分别对应点，，则，两点之间的距离为5、共轭复数的概念：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数称为共轭复数。复数的共轭复数用表示。也就是说当时，。互为共轭的两复数在复平面上对应的点关于轴对称，且。例1：（1）已知复数，求证：的充分必要条件是；（2）设复数，求证：为纯虚数的充要条件是。\n证明：（1）设，则。若，则，所以；若，则，根据复数相等的意义，，所以。即的充分必要条件是。（2）设不同时为），。若为纯虚数，则，，；若，则，则，又，所以为纯虚数。即当时，为纯虚数的充要条件是。例2：已知复数Z满足，求的取值范围；解（1）即对应点在以为圆心,半径为1的圆上(如图1)。表示圆上的点到点的距离.联结交圆于、两点（点在的延长线上）结合图形，可知又，，。例3：已知复数z满足|z-1-2i|-|z+2+i|=3（i是虚数单位），若在复平面内z对应的点Z,则Z的轨迹为（　　）\nA.双曲线的一支B.双曲线C.一条射线D.两条射线例4：已知，求的取值范围。解：四、复数的乘法与除法1、复数乘法的运算法则：设是任意两个复数，复数的乘法按照以下法则进行：说明：复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但在运算过程中要把换成，然后把实部与虚部分别合并。2、复数乘法的运算律复数的乘法运算满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。即对任意复数，有：；3、复数的乘方对于复数和自然数有\n规定4、复数的除法法则：例1：计算:①②解：①。②。例2：已知一复数与其平方是互为共轭复数，求此复数。解：设，由题得：，即，根据复数相等的概念得：，由（2）得或，代入（1）当时，或；当时，。综上得，所求的复数有四个：。说明：这种方法是叫“复数问题实数化”，这种思想方法是解复数问题的常用方法。\n例3：（1）已知，求；（2）已知，复数，求的最大值与最小值。解：（1）由题知，，又，所以。即。（2）设，由，则方法一：＝所以，由，得，所以，知的最大值为3，此时；最小值为0，此时，。方法二：由，那么，所以。以下同方法一。例4：设，解方程：。解：设，则，整理得，由复数相等的概念，所以方程的解为或。\n例5：已知是实数，且的实部与虚部相等，求。解：由题意得：，此时，所以。例6：已知复数。（1）设，求的值；（2）如果，求实数的值。解：（1）由，代入得：；（2），所以。例7：已知是虚数，是正实数，求证：是实数的充要条件是。证明：设，则，又\n，所以。例8：设复数满足。求的值和的取值范围。解：设，则，得。因为，所以，则。例9：已知且是纯虚数，求复数。解：方法一：设，则由题意得：，是纯虚数，所以，解得：或，所求复数为或。方法二：设，因为，所以\n，则，。方法三：设，则，即，所以，又，解得（以下同上）。例10：设是虚数，，且。①求的值及的取值范围；②设，求证：为纯虚数；③求的最小值。解：（1），。（2）为纯虚数（3）五、共轭复数与模的性质1、两个互为共轭复数的乘积2、，且是纯虚数3、复数的共轭运算性质：若，则有：（1）；（2）；（3）；（4）。\n（5）根据复数的加法、乘法的结合律，性质（1）、（3）还可以推广到个复数：；　　　。4、复数模的运算性质：（1）（2）（3）（4）例1：已知复数，求的模。解：20例2：设，求证：。证明：根据复数模的运算与共轭的关系得：＝。注：本例的几何意义是：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和。\n例3：已知，且，，求解：例4：已知复数，，求：解：代入，例5：已知复数Z为虚数，且，若为实数，求解：例6：已知复数Z满足，求的范围。解：例7：设，问：A、B能否比较大小？若能进行大小比较，请比较A、B的大小；若不能进行大小比较请说明理由。\n解：因为，所以，则A、B可以进行大小比较。，所以，当且仅当时，等号成立。六、复数的平方根与立方根1、幂运算的周期性：因为，若，根据复数乘法运算法则，有：。2、复数的平方根3、1的立方根、运算的周期性（，）满足；；；；；例1：当时，计算所有可能的取值。解：2、0、-2例2：计算：（1）；　　　　　（2）；　　　　（3）（\n例3：求复数的平方根。解：设的平方根为，则由定义知：。即，解得或。所以的平方根为或。例4：求值：（1）；（2）解：（1）；（2）例5：已知则（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）-1；（2）2；（3）-1；（4）\n七、实系数一元二次方程：1、方程是实系数一元二次方程，其中是根的判别式。2、实系数一元二次方程的解：一般地，解实系数一元二次方程时，可以把原方程化为，由此可得：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程有一对共轭虚根。3、实系数一元二次方程若有一对共轭虚根，韦达定理仍成立。当时，对于共轭虚根有：。例1：在:复数集内解下列方程：（1）；　　　　　　　（2）；（3）；　　　（4）解：（4）若，则方程的解为；当时，。\n（1）若，即且时，方程有两个不等实数根，；（2）当即时，方程有两相等的实根；（3）当即时，方程有一对共轭虚根综上知：时，方程解为；当时，方程解为，；当时，方程解为；当时，方程有一对共轭虚根。例2：（1）已知是关于的方程的一个根，求的值；（2）已知是关于的方程的一个根，求的值，并解此方程。解：（1）由，知方程是实系数一元二次方程，则它的根互为共轭，所以此方程两根为与。根据韦达定理得：；。即。\n（2）由是方程的根，则，即。设方程的另外一根为，则。例3：设是实系数方程的两个虚根，且，求的值。解：因为方程的两根是虚根，所以是一对共轭复数且，则，，所以。另一方法：因为是一对共轭虚数，所以是纯虚数，则，即，由韦达定理：。解后反思：若原题变为：设是实系数方程的两个根，且，求的值。如何求解？解：由题知，即，得或。注意：灵活运用韦达定理与复数模的相关性质求解比分类讨论简便。例4：设是方程的两根，求。解：\n（1）当，即时，方程两根，则有＝；（2）当，即时，方程两根是共轭虚根，所以＝。由此得：。另一方面：当，即时，方程两根是一对共轭虚根，即，根据韦达定理得：，所以，则。例5：设关于方程至少有一个根的模等于1，求实数的值。解：当，即或时，方程两根是实根。若，则，无实数解；若，则，解得。当，即时，方程两根为一对共轭虚根，则，解得：或（舍去）。综上知，或。例6：设、是实系数一元二次方程的两根，已知为虚数，为实数，求的值。\n解：例7：设方程有实数根，求出这个实数根。解：设这个方程的实数根为，则，整理得，由复数相等的意义得：，所以所求的根为。例8：已知关于的一元二次方程有实根，求满足的条件。解：设方程的实根为，则满足：，即，因为，由复数相等的条件得：。若，则，代入得：，即；若，则，同样满足。所以满足。八、复数集内解方程\n例1：已知复数满足，求复数。解：由题知，所以。说明：本题在计算中学生会出现设的情况。这样计算较繁。例2：设，解方程。解：设，则，整理得，根据复数相等的意义有解得：或。即所求的复数为或。例3：在复数集内解方程：。解：方法一：设，则，得：。若则，即或（舍），所以，此时；若，则或，所以或，此时方程的解为、。综上知方程的解有6个：。\n方法二：由，则，所以必是实数或是纯虚数。若，则由得或，所以或；若为纯虚数，设，则，方程为。即或（舍），得，则。综上知方程的解有6个：。例4：设，解方程。解：由且，可得，所以是纯虚数，又，则，只要求出即可。对两边取模得：即，。例5：证明：在复数范围内，方程没有解。证明：原方程化为：，设代入得：，则有，因为此方程根的判别式，此方程无实解。所以原方程在C上无解。