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沪教版高中数学教案【篇一：高二数学：7.2《等差数列前n项和》教案1沪教版】等差数列的前n项和（一）●教学目标（一）教学知识点等差数列前n项和公式：sn=n(a1?an)n(n?1)?na1?d.22（二）能力训练要求1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.（三）德育渗透目标1.提高学生的推理能力.2.增强学生的应用意识.●教学重点等差数列前n项和公式的推导、理解及应用.●教学难点灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.●教学方法启发引导法结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握.●教具准备投影片一张：记作\n例:如图（课本），一个堆放铅笔的v形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个v形架上共放着多少支铅笔?●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：（1）an－an－1=d（n≥1），d为常数.（2）若a，a，b为等差数列，则a=a?b.2（3）若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.（其中m,n,p,q均为正整数）Ⅱ.讲授新课［师］随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题.（打出投影片）这是一堆放铅笔的v形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个v形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？首先，我们来看这样一个问题：1+2+3+…+100=？对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，第2项与倒数第2项的和：2+99=101，第3项与倒数第3项的和：3+98=101，……100=5050.2\n这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.设等差数列{an}的前n项和为sn，即sn=a1+a2+…+an,①把项的次序反过来，sn又可写成sn=an+an－1+…+a1②①+②?2sn=（a1+an）+（a2+an－1）+…+（an+a1）又∵a2+an－1=a3+an－2=a4+an－3=…=an+a1,∴2sn=n（a1+an）,即：sn=n(a1?an)2若根据等差数列{an}的通项公式，sn可写为：sn=a1+（a1+d）+…+［a1+（n－1）d］①,把项的次序反过来，sn又可写为：sn=an+（an－d）+…+［an－（n－1）d②］,把①、②两边分别相加，得2sn=由此可得等差数列{an}的前n项和的公式sn==n（a1+an）,即：sn=n(a1?an).2n(a1?an).2也就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.\n100(1?100)=5050.2n(a1?an)n?a1?a1?(n?1)d?n(n?1)又∵an=a1+（n－1）d,∴sn=??na1?d222n(a1?an)n(n?1)∴sn=或sn=na1+d22用这个公式来计算1+2+3+…+100=？我们有s100=有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？（打出投影片）［师］分析题意可知，这个v形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{an}，其中a1=1,a120=120,n=120.［生］解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{an}，其中n=120,a1=1,a120=120.则：s120=120(1?120)=72602答案：这个v形架上共放着7260支铅笔.下面我们再来看一例题：等差数列－10,－6,－2,2，…前多少项的和是54?\n分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.解：设题中的等差数列为｛an｝，前n项为的sn，由题意可知：a1=－10,d=（－6）－（－10）=4，sn=54由等差数列前n项求和公式可得：－10n+n(n?1)解之得：n1=9,n2=－3（舍去）答案：等差数列－10,－6,－2,2,…前9项的和是54.Ⅲ.课堂练习［生］练习课本1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{an}的sn;（1）a1=5,an=95,n=10;解：由sn=n(a1?an)10?(5?95),得sn==500.22（2）a1=100,d=－2,n=50;n(n?1)d,250?(50?1)2解：由sn=na1+（3）a1=14.5,d=0.7,an=32n(n?1)26(26?1)评述：要熟练掌握等差数列求和公式的两种形式，以便根据题目所给条件灵活选用而求解.\n2.（1）求正数数列中前n个数的和.解：由题意可知正整数列为：1，2，3，…，n,…,∴sn=n(n?1)2（2）求正整数列中前n个偶数的和.解：由题意可知正整数数列为：1，2，3，…，n,…,其中偶数可组成一新数列为：2，4，6，…2n,…，设正整数列中前n个偶数的和为sn，则sn=评述：首先要理解题意，然后综合使用公式而求解.3.等差数列5，4，3，2，…前多少项的和是－30？解：由题意可知，a1=5,d=4－5=－1.由sn=na1+n(2?2n)=n（n+1）.2n(n?1)n(n?1)评述：利用方程思想，解决一些简单的相关问题.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n项和公式:sn=n(a1?an)n(n?1)=na1+d及其获22取思路.Ⅴ.课后作业（一）课本（二）1.预习内容：课本2.预习提纲：如何灵活应用等差数列求和公式解决相关问题?●板书设计\n【篇二：沪科版高中数学等差数列等比数列教案】7.2（3）等差数列的前n项和一、教学内容分析本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能采用了倒序相加法，思路的获得得益于等差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识“倒序相加”数学方法.二、教学目标设计1．掌握等差数列前n项和公式推导思路和方法．2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题三、教学重点及难点等差数列n项和公式的理解、推导及简单应用灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的问题四、教学用具准备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．观察高斯是伟大的数学家、天文学家.高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家出道题目:1+2+?+100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10;?算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：\n“1+2+3+?教师问：“你是如何算出答案的？2．思考这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法.这就是“倒序相加”3．讨论如图，一个堆放铅笔的v形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个v形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的v形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个v形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数列求和问题？这个问题，类似于刚才我们所遇到的小故事中的问题，它可以看成是求等差数列1，2，\n3，…，n,…的前120项的和.在上面的求解中，我们设想：如果还有一堆同样放置的铅笔的v形架.我们将它倒置拼在一旁,那么这时每层铅笔的个数相同.可以发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去研究一般地等差数列的前n项的和公式.如果我们可归纳出这一个公式，那么上述问题便可迎刃而解.二、学习新课1．公式推导等差数列的前n项和公式1:sn?推导过程：n(a1?an).2证明：sn?a1?a2?a3???an?1?an①sn?an?an?1?an?2???a2?a1②①+②：2sn?(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)???(an?an).∵a1?an?a2?an?1?a3?an?2???.∴2sn?n(a1?an).由此得：sn?n(a1?an).22．等差数列的前n项和公式2：sn?na1?n(n?1)d.2用上述公式要求sn必须具备三个条件：n,a1,an.把an?a1?(n?1)d入公式1即得：sn?na1?n(n?1)d.2此公式要求sn必须已知三个条件：n,a1,d（有时比较有用）总之：两个公式都表明要求sn,必须已知n,a1,d,an公式2又可化成式子：sn?2．例题分析d2dn?(a1?)n.当d≠022例1\n一个堆放铅笔的v型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个v形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个v形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为?an?，其中a1?1,a120?120，根据等差数列前n项和的公式，得s120?120?(1?120)?7260.2答：v形架上共放着72603．问题拓展例2等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？解：设题中的等差数列为?an?，前n项的和为sn,则a1??10,d?(?6)?(?10)?4,sn?54.由公式可得?10n?n(n?1)?4?54.2解得n1?9,n2??3（舍）.故等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.三、巩固练习?1．求集合m??m|m?7n,n?n*且m?1001002?14.77∴正整数n共有14个即m中共有14个元素.解：由7n?100得n?即7，14，21，…，98是a1?7为首项a14?98的等差数列.sn?∴14?(7?98)?735.2四、课堂小结本节课学习了以下内容：1.等差数列的前n项和公式1：sn?n(a1?an).2n(n?1)d.22.等差数列的前n项和公式2：sn?na1?\n3.sn?d2dn?(a1?)n,，当d≠0，是一个常数项为零的二次式.22五、作业布置课本练习:p19,1,2,3.补充练习:1.已知等差数列的前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项和．2.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前n项和的公式.补充练习参考答案1.3(b?a)2.sn?3n2?n七、教学设计说明该节课是通过对于1+2+3+?+100的算法，发现等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首、末项的和，从而得出了求等差数列前n项和的思路，获得求和的一般思路.关键是通过具体的例子发现一般规律，然后导出前n项和公式.教师应多创造机会让学生自己去发现、推导，逐步体会从特殊到一般的认识过程及归纳的思想方法.7.2（4）等差数列的通项公式和前n项和一、教学内容分析本课是在学习等差数列的通项公式和前n项和公式后的一节练习课.在知晓公式的两种表示形式后，进一步分析公式的特征，运用公式解决一些基本问题.二、教学目标设计1.熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.从而发展分析问题、解决问题的能力.三、教学重点及难点\n熟练掌握等差数列的求和公式灵活应用求和公式解决问题四、教学用具准备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．回忆回忆一下上一节课所学主要内容.1.等差数列的前n项和公式：sn?2.sn?n(a1?an)n(n?1)d和sn?na1?.22d2dn?(a1?)n,?d?0?是一个常数项为零的二次式.222．思考两个求和公式的基本特征和使用条件.3．讨论二、学习新课1．基本问题简析求集合m={m|m=2n－1,n∈n*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.61.261又∵n∈n*.∴满足不等式n＜的正整数一共有30个.2分析：由2n－1＜60,得n＜即集合m中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59.它们组成一个以a1=1,a30=59,n=30的等差数列.∵sn=n(a1?an)30(1?59),∴=900.s30=22\n故集合m中一共有30个元素，其和为900.2．例题分析例1.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2分析：满足条件的数属于集合，m={m|m=3n+2,m＜100,m∈n*，n∈n}解：分析题意可得满足条件的数属于集合.m={m|m=3n+2,m＜100,n∈n}由3n+2＜100,得n＜322,且m∈n*,3∴n可取0，1，2，3，…，32.即在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.它们可组成一个以a1=2,d=3,a33=98,n=33的等差数列.由sn=n(a1?an)33(2?98),得s33==1650.22故在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.例2．已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？分析：若要确定其前n项求和公式，则要确定a1和d,由已知条件可获两个关于a1和d的关系式，从而可求得.解：由题意知s10?310,s20?1220.代入公式sn?na1?n(n?1)d.2?10a1?45d?310?a?4,n(n?1)可得?解得?1?sn?4n??6?3n2?n.2?d?6.?20a1?190d?1220\n[说明]（1）一般来说，等差数列的求解中，就是已知a1,an,n,d,sn这五个量中的三个量，求另外的两个量的问题.其中a1和d是关键的基本量.（2）从本题还可以看来，由s10与s20可确定sn.事实上，已知两次代入求和公式就可以【篇三：数学：4.5《反函数的概念》教案(1)(沪教版高一下)】4.5反函数的概念一、教学内容分析“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用.二、教学目标设计（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；（2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情.三、教学重点与难点：\n反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定.四、教学流程设计五、教学过程设计1、设置情境，引出概念?引例：在两种温度度量制摄氏度(c)和华氏度（f）相互转化时会发现，有时两人选?用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号y?f?1(x)；了解f?1(x)表示反函数的符号，f2、探索研究，深化概念①探求反函数成立的条件.?1表示对应法则.例1（1）y?x2（x?r）的反函数是（2）y?x2（x?0）的反函数是（3）y?x2（x?0）的反函数是学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定义）：对值域a中任意一个y值，在定义域d中总有唯一确定的x值与它对应，即x与y必须一一对应.②探求求反函数的方法.（课本例题）例2．求下列函数的反函数：32（1）y?4x?2（2）y?x?1（3）y?x?1(x?0)\n（4）y?3x?11(x?r,x??)4x?22[说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影.学生活动：探求求反函数的方法.（1）变形:解方程y?f(x)，得x?f?1(y)；(x)；（2）互换:互换x,y的位置，得y?f?1（3）写出定义域:注明反函数的定义域.③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.教师点拨：指导学生观察函数及其反函数的图像，结合反函数的定义，探讨函数及其反函数之间的关系.学生活动：探讨互为反函数的两个函数的关系.①从函数角度看：若函数y?f(x)有反函数y?f?1(x)，则y?f?1(x)的反函数是y?f(x)，即y?f(x)和y?f?1(x)互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.②从函数图像看：原函数和反函数图像关于y?x对称.\n③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性.3、例题分析，巩固方法：（1）课本练习4.5（2）补充练习：1、给出下列几个函数：①y?x?1(x?2?4(x?1)1)；②y??2?2x(x?2)③y?x3?2(x?r)④y?x(2?x)(x?0)其中不存在反函数的函数序号是②、④2、若指数函数y?f(x)的反函数的图像经过点（２，－１），则此指数函数为(a)（a）y?()（b）y?2x（c）y?3x（Ｄ）y?10x3、设f(x)??2?2x(x?1)，则f?112x(x)（d）（a）在（??,??)上是增函数（b）在（??,??)上是减函数（c）在[0,??)上是减函数（Ｄ）在（??,0]上是增函数4、若函数f(x)是函数y??2?2x2?0?x?1?的反函数，则f(x)的图像为（b）yy\nyyxxxabcd5、y?2x?x2(1?x?2)反函数是（b）（b）y?1??x2(0?x?1)（d）y?1??x2(0?x?1)（a）y?1??x2(?1?x?1)（c）y?1??x2(?1?x?1)6、若y?ax?b(a?0)有反函数且它的反函数就是y?ax?b本身，求a,b应满足的条件.解：由y?ax?b，得ax?y?b.由a?0，知x?所以函数y?ax?b的反函数为x?1by?.aa1by?.aa1b由于函数y?ax?b的反函数x?y?就是函数y?ax?b本身，即有aa1b?a，且??b.aa于是，解得a?1，b?0或a??1，b为任意实数.教师点拨：提出两个问题：①什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？②除了一次\n函数外，是否还存在其它函数，满足反函数就是它本身?(y?4、课堂小结①反函数的概念及求法；②函数及其反函数的关系；5、作业布置练习册4.5a组六、教学设计说明1．反函数概念比较抽象，不能简单地从形式上来定义.在教学时先通过实例根据自变量和应变量的不同，得到两个函数关系式和图像完全不同的函数.在此基础上指出这两个函数互为反函数，这样使学生对反函数有一个初步的认识.2．在此基础上，引出反函数的一般概念，使得较抽象的概念能被学生逐步理解.然后再进一步强调函数y?f(x)(x?d,y?a)的反函数存在的条件——“对值域a中任意一个y值，在定义域d中总有唯一确定的x值与它对应”.3．通过学生对课本例题的练习，发现学生在解题过程中存在的问题.通过对课堂练习的点评，让学生了解并总结出求反函数的步骤.同时让学生认识到若函数y?f(x)有?1y?f(x)的反函数是y?f(x)，即y?f(x)和反函数y?f(x)，则?1kx?1(k?0),y?等)xx?1y?f?1(x)互为反函数，并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.\n4．通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图像，让学生掌握x,y互换的几何意义，了解原函数和反函数图像关于y?x对称，从而巩固对反函数概念的理解.