初中数学竞赛题库 72页

!"#$%$$&第!章!实!!数!"!!实数的运算!!!!!!!"计算!!""#"!""$!""$#!""$"!""#!""#!解析!将!""$!""$及!""#!""#分别分解为两数的积"得!""$!""$$!""$"%""""%!""$$!""$"%"""%"!""#!""#$!""#"%""""%!""#$!""#"%"""%"所以"原式$!""#"!""$"%"""%#!""$"!""#"%"""%$"!评注!一般地有&’&’$&’"%"%#&’(&’($&’("%""%#&’()&’()$&’()"%"""%#$!!!!""计算!%"!"&%!"’"$%("%’"!%!%"&"#%!"$"%"%("!%"&#解析!原式$%"!"&"%%%!"!"!%("("(&%"&"#"%%%!"!"!%("("(&!)!#!!!!#"计算!%%%%$%%!%"!!"&**"%""%%%%%解析!原式$%%#&%%#&%$%%#&!!&**%""%**$%#$!%""%""评注!在做分数加减法运算时"根据特点"将其中一些分数适当拆开"使得拆开后有一些分数可以相互抵消"达到简化运算的目的"这种方法叫拆项法!本例中"我们把%拆成%#%"即有*"%*%%&**%%%%%$#!*"%*%%&**%%其他常用的拆项方法如!\n!!!!!!第"章!实!!数!%%&)$%#%’或%$%%%#%&(!它经常*"%*%)&**%)*"%*%)&)**%)用于分母各因子成等差数列"且公差为)的情形!%!&%$%"’%#%(!*"%*%%&"%*%!&!*"%*%%&%*%%&"%*%!&!!!!$"计算!%%%%%%%%%%%%%%%%%%%!%+#’%"+%+"!("&(+#"’$’++%"**"解析!原式$%%%%%%%%%%%%%&"$$"**"%!%!"%#%#"%+%+"!%!%"!’%%%!%%%!’"!(!("&"&""&&%%%%%%%%%$%#&%%#&%%#&%$&&$&$*&*%!%%%%%#&&&"&&%%%%"$%#&$!&&&&**!!!!%""计算!%%%%$%%!%"!"&!"&"’*+"**"%""解析!因为%$%%%#%&"所以+%+%%&%+%!&!+%+%%&%+%%&%+%!&原式$%%%#%&%%%%#%&%$!%"!!"&!!"&&"’%%%%%#&!*+"****"%""%%%’*’*$%#&$!!%"!**"%""%*+""!!!!&""计算!%%%%%%$%%!%%!%%!%&%%!%&%’%%!%$%%""解析!因为%$!$!%%#%&"所以%%!%$%**%*%%&**%%原式$!%!%!%$%!$!%%#%&$**!!"&&"’’"#%"""%"%!%"%%"%!!!!’""设,$’+"%%%%$%%"求与,最接近的%&!#’’!#’%""!#’&正整数!解析!对于正整数*#&"有%$%%%#%&"!’*#!*%!*#’\n!"#"!实数的运算$!!!!%%%所以!!,$’+"%&!#’%’!#’%$%%""!#’&%%%%%%$’+"’%%%%$%&#%%%$%&(’!*+#$%"!%%%%%%%$%!"%%%%%####&!&’**%""%"%%"!%%%%$!##%!"%%%%&!**%""%"%%"!因为%!"%%%%%%%%&$%!"’$%"所以"与,最接近的正整**%""%"%%"!**!数为!#!!!!!(""!""+加上它的%得到一个数"再加上所得的数的%又得到一个!&数"再加上这次得数的%又得到一个数"$"依此类推"一直加到上一次得数的’%!最后得到的数是多少)!""+解析!由!""+加上它的%得!""+"%%%%&"再加上这数的%得!""+"!!&%%%%%&"%%%&"依此类推"最后得到的数为!&%%%!!""+"%%%&"%%%&"$"%%%&!&!""+&’!""*!""+"!""*$!""+"""$"$!&!""+!$!"%("&$!!!!!)"计算!%%%%%%%%%%%!!’+%$&!$’解析!原式$%%%%%%%%%%%%%%&#%!’+%$&!$’$’$’%%%%%%%$%%%%%%&#!’+%$&!&!$’%%%%%%$%%%%%&#!’+%$%$$’%%%$&$$$%%&#$!!!$’$’!!!!!*"计算!-$%#!%&#’%$%!""(#!""+!解析!-$%%#!&%%&#’&%$%%!""(#!""+&$%#%&%%#%&%$%%#%&&%’共%""’个\n%!!!!!第"章!实!!数!$#%""’!!!!!!!""计算!%"!%!"&%&"’%$%%*"!"!解析!因为%!!!!%"!$"%"!"&"&!"&$%%!"&"’#%"!"&&"&&"’$%%&"’"##!"&"’&"&$$%*"!"$%%%*"!""!%#%+"%*"!"&"&所以!%"!%!"&%&"’%$%%*"!"$%"%"!"&%%%!"&"’#%"!"&&%$&&%%%%*"!""!%#%+"%*"!"&&%$"%*"!""!%$!$$"!&!!!!!"""计算!%"!"&%!"&"’%&"’"#%$%!+"!*"&"!解析!!%"!"&%!"&"’%&"’"#%$%!+"!*"&"$%"%"!"&"’%%%!"&"’"##%"!"&"’&%$’’%%%!+"!*"&""&%#!("!+"!*"&"&’%$"!+"!*"&""&%$%++(*"!’!!!!!#""计算!%%%%%%$%%!!!%""!!解析!设-$%%%%%%$%%"则!!%""!!%-$%%%%$%%%%"!!!%""%"%!!!所以-#%-$%#%"!%"%!故-$!#%!%""!评注!一般地"对于求和!%%.%.!%$%.*"我们常常采用如下方法"令\n!"#"!实数的运算&!!!!-$%%.%.!%$%.*"则.-$.%.!%$%.*%.*%%"于是-#.-$%#.*%%"*%%%#.-$%.(%&!%#.!!!!!$""计算!%%%%%%$%%!&!%"&&解析!设-$%%%%%%$%%"则%-$%%%%$%%%%"所以&!%"&&!%"%%&&&&&-#%-$%#%"-$&#%!&%%!%"&!"&!!!!!%"计算!%%%%%$%%&%%%%%$%%&%!&%***!%**+#%%%%%%%%$%&%%%$%&!!%***!&%**+解析!设&$%%%%$%%"’$%%%%$%%"则!&%***!&%**+原式$&%%%’&#%%%&&’$&#’$%!%***!!!!!&""计算下列繁分数!%#%%!""+个减号&!%%#%%#$%%#%%&%#&##解析!先耐心地算几步"从中发现规律!可将&##用字母&代替%这样可以得%%&到更一般的结论&!自下而上逐步算出%#%$&#%"%#%$%#&$#%"&&&#%&#%&#%&%%#$%%%&#%&$&!#%&#%由此可见"每计算&步"&又重新出现"即&是一个周期!而!""+$&"$$*%\n’!!!!!第"章!实!!数!%"所以"原式$%#%$&#%!特别地"在&$&##时"得出本题的答案是%#&&%%&%%&!’!$!&##&##!!!!!’""比较-*$%%!%&%’%$%*与!的大小!!’+%$*!解析!先将-*中的每一个数拆成两数的差!%$!#&"!$&#’"&$’##"’$##$"$"*$*%%#!!’!’+’+%$+%$**#%!!*%!*!!&&’’##$所以"-*$%!#&%%#&%%#&%%#&%$!!’’++%$*%%*%!%%!*#%#!*&*%!$!#*$!"!即-*$!!!!!!!(""已知&$%%"$$%%!"$(%%&"$+%%’"$*%%#"(""%""""%%"$#%%!"$$%%&"$(%%’"$+%%#"$*问!&的整数部分是多少)解析!我们只要估算出&在哪两个相邻整数之间即可!%%"$$%%!"$(%%&"$+%%’"$*%%#"("&$"%""%%"$#%%!"$$%%&"$(%%’"$+%%#"$*%%"%$#%%&%%!"%$$%%&%%&!!!!!!"%$(%%&%%’"%$+%%&%%#"%$*%%&$"%""%%"$#%%!"$$%%&"$(%%’"$+%%#"$*%%"$#%%%%%!"$$%%!%%&"$(%%&%%’"$+%%’%%#"$*%%#$"%""%%"$#%%!"$$%%&"$(%%’"$+%%#"$*%%%%!%%&%%’%%#$%%%&"%""%%"$#%%!"$$%%&"$(%%’"$+%%#"$*$%""%’!这里’$%%%%!%%&%%’%%#"%"""下面进一步估计%%"$#%%!"$$%%&"$(%%’"$+%%#"$*’介于哪两个相邻整数之间!%%%%!%%&%%’%%#!!’$"%""%%"$#%%!"$$%%&"$(%%’"$+%%#"$*\n!"#"!实数的运算(!!!!%%%%!%%&%%’%%#$"%""%%"$#%%!"$#%%&"$#%%’"$#%%#"$#%%%%!%%&%%’%%#%""$%%%%%!%%&%%’%%#&"$#"%""$$#$!"%%%%!%%&%%’%%#!!’$"%""%%"$#%%!"$$%%&"$(%%’"$+%%#"$*%%%%!%%&%%’%%#)"%""%%"$*%%!"$*%%&"$*%%’"$*%%#"$*%%%%!%%&%%’%%#%""$%%%%%!%%&%%’%%#&"$*"%""$$*)%!所以"%$’$!"%"%$&$%"!!即&的整数部分是%"%!!!!!!)""在数!"&"’"#"$"("+"*的前面分别添加*%+或%"%"%"%"%"%"%"%"*#+"使它们的和为%!你能想出多少种方法)解析!这+个有理数的分母都是%""只要!"&"’"#"$"("+"*这+个整数的代数和为%"即可"而!%&%$%*$’’"所以添加*%+或*#+后"正数的和应为!(%$%%’’%%"&&!!方法很多!如!!&’#$(+*%%%%%##$%"%"%"%"%"%"%"%"%"!&’#$(+*#%%%#%%#$%"%"%"%"%"%"%"%"%"!&’#$(+*#%#%%%#$%"%"%"%"%"%"%"%"%"!&’#$(+*#%%#%#%$%"%"%"%"%"%"%"%"%"!&’#$(+*%#%##%%$%等!%"%"%"%"%"%"%"%"%(’%$’&%%#’%$’&%!&’%$’&%&%’%$’&%&*’%$’&!!!!"*""计算!%&’%$’&%%%’%$’&%%*’%$’&%!(’%$’&%&#’%$’&解析!因为’’!!!!!&%$’$&%%$&%$’#%$&$%&%+&#%$&!!$%&%’&%+&%&#’&%+&!!$’%&%!&%’(’%&#!&%’("所以"原式等于\n)!!!!!第"章!实!!数!%#!%’&%*!%’&%%&!%’&%%(!%’&%!%!%’&!!!!!!!!!!%!#%’&%!*%’&%&&%’&%&(%’&%’%%’&!%%!%’&%#!%’&%*!%’&%%&!%’&%%(!%’&!!!!!!!!!%!%%’&%!#%’&%!*%’&%&&%’&%&(%’&!’%%’$!$&&(!%%’!!!!"!""求和!%%!%&%$%%""!"!’!’!’!’%%%%%%%!%!%%&%&%%%""%%""解析!因为%%+!%+’$%%%+!&!#+!$%%#+%+!&%%%+%+!&"所以+$%%%#%&"!’!+%+#%&%%+%+%%&%%%%+%+故原式$%’%%#%&%%%#%&%$!""%%%%"!%%%"!%%!"&%%%%%%#&(**"%""%%%"""%"%%%%%#"#"$%%#&$!!%"%"%%"%"%!!!!""""计算!%%&%%%&%#%%%&%#%(%"%%%!&%%%!&"%%%!%&&%%%!%&&"%%%!%&%’&%%&%#%$%!*%$%!%%%!%&%$%%’&"%%%!%&%$%%#&解析!原式的第+个分数是%%&%#%$%%!+%%&!%%%!%&%$%+&’%%!%&%$%%+%%&(%+%%&!$+%+%%&%+%%&%+%!&,!!$’$!%%#%&"+$%"!"$"%’!+%+%!&++%!!!!!!!!故原式$!"%%%%%$%&%"&!"’&"#’"$%’"%$%%%%%%%$!"’%%#&%%#&%%#&%%#&&!’&#’$%%%$%%#&(%’%$%%%&!*$!"%%%##&$!!%#%$%!"\n!"#"!实数的运算*!!!!!!!!!!"#""求下列分式的值!%%!%$%"!!%#%""%#"""!#!""%#"""!**!!**#**""%#"""+!%%""#+&!解析!由于%+!#%""+%#"""%%""#+&!#%""%%""#+&%#"""!!!+!%%""#+&$+!%%%""#+&!%%%""#+&!%+!$!"!!%**由此"原式$%%!#%""%#"""%**!#**""%#"""&%$!!’*#%%%’*!#’*""%#"""%#%!##%""%#"""&!#"%!#"##"""%#"""**#%$!,%%$**!!评注!对通项的分子分母同乘!"发现可以首尾配对是本题的关键!!!!!"$"已知一列数"%"%"!"%"%"!"&"!"%"%"$"那么%!!!&&&&&’(是第!!!!个数"第’""个数是!!!!!%"解析!把这些分数按分母分组!%第一组!#%%!%第二组!""#!!!%!&!%第三组!""""#&&&&&$$分组之后"易发现!%%&第一-二-三-$组中"分数的个数依次为%"&"#"$"%!&第+组的分母都是+#%&&各组中分数的分子是从%到*再到%!利用这三条规律"易知(是第%%%&%#%$%%(&%($++%个&"%"!或第%%%&%#%$%%*&#$$*’%个&#%第’""个分数的分母是!""分子是%"该分数是!!"\n"+!!!!第"章!实!!数!!"#!实数与数轴!!!!"!!"数&-’在数轴上对应的点如图所示"试化简/&%’/%/’#&/%/’/#/&#/&//!解析!由图可知&$""’)""而且由于&点离原点的距离比’点离原点的距离大"因此&%’$"!我们有!/&%’/%/’#&/%/’/#/&#/&//)#%&%’&%%’#&&%’#/&#%#&&/)#&#’%’#&%’#%#!&&)’!评注!本题由图"即数轴上&-’两点的位置"*读+得&$""’)""&%’$"等条件"从而去掉绝对值符号"解决问题!!!"!""已知0$#&"化简!/&%/!#/%%0///!解析!这是一个含有多层绝对值符号的问题"可从里往外一层一层地去绝对值符号!!!!!!原式$/&%/!%%%%0&//%因为%%0$"&$/&%/&%0//$/&#%&%0&/%因为&%0$"&$/#0/$#0!!!"!#"若0$""化简//0/#!0/!/0#&/#/0/解析!因为0$""所以0#&$""从而/0/$#0"/0#&/$#%0#&&$�"/0#&/#/0/$�#%#0&$&"//0/#!0/$/#0#!0/$/#&0/$#&0"因此"原式$#&0$#0!&评注!根据所给的条件"先确定绝对值符号内的代数式的正负"然后化去绝对值符号!若有多层绝对值符号"即在一个绝对值符号内又含有绝对值符号%如本例中的分子//0/#!0/&"通常从最内层开始"逐层向外化去绝对值符号!!!"!$"化简!/&0%%/%/!0#%/!解析!本题是两个绝对值和的问题!解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号!若分别去掉每个绝对值符号"则是很容易的事!例如"化简/&0%%/"只要考\n!"#!!实数与数轴""!!!虑&0%%的正负"即可去掉绝对值符号!这里我们是分0##%与0$#%两种&&情况加以讨论的"此时0$#%是一个分界点!类似地"对于/!0#%/而言"0$%&!是一个分界点!为同时去掉两个绝对值符号"我们把两个分界点#%和%标在数&!轴上"把数轴分为三个部分%如图所示&"即0$#%"#%*0$%"0#%!&&!!这样我们就可以分类讨论化简了!%%&当0$#%时"原式$#%&0%%&#%!0#%&$##0#&%!&当#%*0$%时"原式$%&0%%&#%!0#%&$0%!#&!%&&当0#%时"原式$%&0%%&%%!0#%&$#0!!,##0"当0$#%时#&即/&0%%/%/!0#%/$+0%!"当#%*0$%时#&!#0"当0#%时!-!评注!解这类题目"可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值"即先求出各个分界点"然后在数轴上标出这些分界点"这样就将数轴分成几个部分"根据变量字母的这些取值范围分类讨论化简"这种方法又称为*零点分段法+!!!"!%"设&$""且0*&"试化简/0%%/#/0#!/!/&/解析!因为&$""/&/$#&"所以&$&$#%!/&/#&0*&"即0*#%"/&/所以!!!!0%%*""0#!$""因此!/0%%/#/0#!/$#%0%%&#’#%0#!&($#0#%%0#!$#&!!!"!&""化简//0#%/#!/%/0%%/!解析!先找零点!由0#%$"得!0$%!由/0#%/#!$"即/0#%/$!"得0#%$1!"从而0$#%或0$&!\n"!!!!!第"章!实!!数!由0%%$"得!0$#%!所以零点共有,%"%"&三个!因此"我们应将数轴分成’个部分"即!!0$#%"#%*0$%"%*0$&"0#&!当0$#%时"原式$/#%0#%&#!/%’#%0%%&($/#0#%/#0#%$#0#%#0#%$#!0#!!当#%*0$%时"原式$/#%0#%&#!/%0%%$/#0#%/%0%%$0%%%0%%$!0%!!当%*0$&时"原式$/0#%#!/%0%%$/0#&/%0%%$�%0%%$’!当0#&时"原式$/0#%#!/%0%%$/0#&/%0%%$0#&%0%%$!0#!!即,#!0#!"%0$#%&!!!0%!"!%#%*0$%&原式$+’"!!!%%*0$&&!-!0#!!!%0#&&!!!评注!由于本例中含双重绝对值"采用零点分段法时"不要忘了考虑//0#%/#!/的零点!!!"!’""若!0%/’##0/%/%#&0/%’的值恒为常数"求0该满足的条件及此常数的值!解析!要使原式对任何数0恒为常数"则去掉绝对值符号"化简合并时"必须使含0的项相加为零"即0的系数之和为零"故本题只有!0##0%&0$"一种情况!因此必须有/’##0/$’##0且/%#&0/$&0#%!故0应满足的条件是\n!"#!!实数与数轴"$!!!.’##0#""&0#%#"!解得%’!*0*&#此时"原式$!0%%’##0&#%%#&0&%’$(!!!"!(""如果2$/0%%/#!/0/%/0#!/"且#%*0*!"求2的最大值和最小值!解析!%%&当#%*0$"时"有2$/0%%/#!/0/%/0#!/$0%%%!0#%0#!&$!0%&"所以%*2$&!%!&当"*0*!时"有2$/0%%/#!/0/%/0#!/$0%%#!0#%0#!&$&#!0"所以#%*2*&!综上所述"2的最大值是&"最小值是,%!!!"!)""求代数式/0%%%/%/0#%!/%/0%%&/的最小值!解析!设2$/0%%%/%/0#%!/%/0%%&/"根据绝对值的几何意义"我们知道2表示数轴上对应0的点到对应%!-#%%-#%&的点的距离之和!下面分类讨论!!当0#%!时"2)/0%%&/#!##当0*#%&时"2)/0#%!/#!##当#%&$0$%!时"2#/0#%!/%/0%%&/$!#!因此"当0$#%%时"2取最小值!#!!!"!!*""如果3为有理数"求代数式/3#%/%/3#&/%/3%#/%/3%$/的最小值!解析!分3*#$"#$$3*##"##$3*%"%$3*&"3)&五个部分进行讨论!去掉绝对值符号"经过化简得到!当3*#$时"原式$#’3#("最小值为%(#当#$$3*##时"原式$#!3%#"最小值为%##当##$3*%时"原式$%#!是一固定值#当%$3*&时"原式$!3%%#"最小值大于%##当3)&时"原式$’3%("最小值大于%#!综上所述"原代数式的最小值为%#!\n"%!!!!第"章!实!!数!此题还可以用绝对值的几何意义求解!本题就是要在数轴上找一点0"使它到,$-,#-%-&的距离之和最小!这一点显然应在,#与%之间%包括这两点&的任意一点"它到,$-,#-%-&的距离之和为%#"就是要求的最小值!!!"!!!""已知/0/*%"/2/*%"且+$/0%2/%/2%%/%/!2#0#’/"求+的最大值和最小值!解析!由题设条件知!#%*0*%"#%*2*%!于是2%%#""!2#0#’$"!所以%%&当0%2*"时"有+$/0%2/%/2%%/%/!2#0#’/$#%0%2&%2%%#%!2#0#’&$#!2%#"所以&*+*(!%!&当0%2#"时"有+$0%2%2%%#%!2#0#’&$!0%#"所以&*+*(!因此"+的最大值为("最小值为&!!!"!!"""已知2$/!0%$/%/0#%/#’/0%%/"求2的最大值!解析!首先使用*零点分段法+将2化简"然后在各个取值范围内求出2的最大值"再加以比较"从中选出最大者!有三个分界点!,&"%",%!%%&当0*#&时"2$#%!0%$&#%0#%&%’%0%%&$0#%"由于0*#&"所以2$0#%*#’"2的最大值是#’!%!&当#&*0*#%时"2$%!0%$&#%0#%&%’%0%%&$#0%%%"由于#&*0*#%"所以#’*#0%%%*$"2的最大值是$!%&&当#%*0*%时"2$%!0%$&#%0#%&#’%0%%&$#&0%&"由于#%*0*%"所以"*#&0%&*$"2的最大值是$!%’&当0#%时"2$%!0%$&%%0#%&#’%0%%&$#0%%"由于0#%"所以%#0*""2的最大值是"!综上可知"当0$#%时"2取得最大值为$!!!"!!#""设&$’$($)"求/0#&/%/0#’/%/0#(/%/0#)/的最"小值!解析!设&-’-(-)-0在数轴上的对应点分别为,-4-5-6-7"则/0#&/表示线段,7之长"同理"/0#’/"/0#(/"/0#)/分别表示线段47"57"67之长"现要求/0#&/"/0#’/"/0#(/"/0#)/之和的值最小"就是要在数轴\n!"#!!实数与数轴"&!!!上找一点7"使该点到,-4-5-6四点距离之和最小!因为&$’$($)"所以,-4-5-6的排列应如图所示!所以当7在4-5之间时"距离和最小"这个最小值为,6%45"即%)#&&%%(#’&!!!"!!$""&-’为有理数"且/&%’/$&#’"试求&’的值!解析!当&%’#"时"由/&%’/$&%’$&#’得’$#’"故此时’$"!当&%’$"时"由/&%’/$#%&%’&$#&#’$&#’"得#&$&"故此时&$"!所以"不管是&%’#"还是&%’$""&-’中至少有一个为""因此"&’$"!!!"!!%""若&-’-(为整数"且/&#’/%*%/(#&/**$%"试计算/(#&/%/&#’/%/’#(/的值!解析!因为&-’-(均为整数"则&#’"(#&也应为整数"且/&#’/%*"/(#&/**为两个非负整数"和为%"所以只能是%***/&#’/$"且/(#&/$%"!或者/&#’/%*$%且/(#&/**$"!"由!有&$’且($&1%"于是/’#(/$/(#&/$%#由"有($&且&$’1%"于是/’#(/$/&#’/$%!无论!或"都有/’#(/$%且/&#’/%/(#&/$%"所以/(#&/%/&#’/%/’#(/$!!!!"!!&""将%"!"$"%""这%""个正整数任意分成#"组"每组两个数"现将"每组的两个数中任一个数记为&"另一个数记为’"代入代数式%%/&#’/%&%’&!中进行计算"求出其结果"#"组都代入后可求得#"个值"求这#"个值的和的最大值!解析!代数式%%/&#’/%&%’&的值就是&-’中的较大数"为保证所计算!出的#"个值之和最大"分组时不要把#%"#!"$"%""这#"个数中任两个分成一组即可!对于任意一组中的两个数&-’"不妨设&)’"则代数式%%/&#’/%&%’&$%%&#’%&%’&$&!!!于是这#"个值之和与大数&有关"所以"这#"个值的和的最大值为\n"’!!!!第"章!实!!数!#%%#!%$%%""$&((#!!!"!!’""设*个有理数0%"0!"$"0*满足/08/$%%8$%"!"$"*&"且"/0%/%/0!/%$%/0*/$%*%/0%%0!%$%0*/"求*的最小值!解析!先估计*的下界!由/08/$%"及/0%%0!%$%0*/#""知*)/0%/%/0!/%$%/0*/$%*%/0%%0!%$%0*/#%*"所以"*#!"!又当*$!"时"取"!*#"!8$%"&"#"$"%*"08$."#"!*#"8$!"’"$"$"!"满足已知条件"所以"正整数*的最小值为!"!!"$!实数的判定,,!!!!#!!""证明循环小数!-$%#’#’#’$$!-$%#’是有理数!解析!要说明一个数是有理数"其关键要看它能否写成两个整数比的形式!设,,0$!-$%#’"!两边同乘以%""得,,,,%""0$!$%-#’$!$%-#’#’!"",!得**0$!$%-#’#!-$%$!#+-*&"所以0$!#+*&!**"",,既然0能写成两个整数比的形式"从而也就证明了!-$%#’是有理数!!!#!"""已知0是无理数"且%0%%&%0%&&是有理数"在上述假定下"分析下面四个结论!%%&0!是有理数#%!&%0#%&%0#&&是无理数#%&&%0%%&!是有理数#%’&%0#%&!是无理数!哪些是正确的)哪些是错误的)\n!"#$!实数的判定"(!!!解析!取无理数0$槡&#!"这时%0%%&%0%&&$%槡&#%&%槡&%%&$!是有理数"而0!!$%槡&#%&$’#!&槡是无理数"故结论%%&不正确!仍取0$槡&#!"仿上可知结论%&&不正确!由于%0#%&%0#&&$0!#’0%&$0!%’0%&#+0$%0%%&%0%&&#+0"且%0%%&%0%&&是有理数"+0是无理数"故%0#%&%0#&&是无理数"即结论%!&正确!同样"由%0#%&!$%0%%&%0%&&#$0#!"知结论%’&正确!!!#!#""求证!%是有理数!%%$%!!$!#槡/%*#%&个/*个解析!要证明所给的数能表示成3%3"*为整数"*("&的形式"关键是要证*明%%$%!!$!#是完全平方数!/%*#%&个/*个!%%$%!!$!#/%*#%&个/*个*%%)%%$%"%"%!!$!"%"%#/%*#%&个/*个*#%*%"#%*%%%"#%$"%"%!""%"%#**$%%%"!*#%"*%%%!"%"*%%#!"%’#&*$%%%"!*%%""%"*%!#&$%%%"*%#&!"**所以%&$*!%%$%!!$!#%"%#槡/%*#%&个/*个因为%"*%#与&均为整数"所以%是有理数!%%$%!!$!#槡/%*#%&个/*个!!#!$""证明槡!是无理数!解析!要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事!由于有理数\n")!!!!第"章!实!!数!与无理数共同组成了实数集"且二者是矛盾的两个对立面"所以"判定一个实数是无理数时"常常采用反证法!9假设槡!不是无理数"则槡!必为有理数!设槡!$%9-.是互质的正整数&"两.边平方有9!$!.!"!所以9一定是偶数!设9$!3%3是正整数&"代入!得’3!$!.!".!$!3!"所以.也是偶数!9-.均为偶数和9与.互质矛盾"所以槡!不是有理数"于是槡!是无理数!评注!只要9是质数"槡9就一定是无理数"这个结论的证明并不困难"请同学们自己完成!!!#!%""设*是正整数"槡*是有理数"则*必是完全平方数#反过来"如果*是完全平方数"则槡*是有理数%而且是正整数&!解析!第二个结论显然成立"下面证明第一个结论!因槡*是有理数"故可设.槡*$%9-.为互质的正整数&"从而9!!*9$.!!我们知道"任何一个平方数的质因数分解式中"每一个质因数的指数都是正偶数%反过来也成立&#而非平方%自然&数的质因数分解式中"至少有一个质因数的指数是奇数!由此可见"如果*不是完全平方数"那么无论*与9!有无相同的质因数"在*9!的质因数分解式中"至少有一个质因数的指数是奇数"即*9!不是平方数!这样!式不可能成立!所以"*是完全平方数!评注!本题是一个重要的结论"它可作为定理使用"读者应熟悉它!有了这个结论"可以立即断定槡("槡%""槡!!等都是无理数!!!#!&""设&-’及槡&%槡’都是整数"证明!槡&及槡’都是整数!解析!由于负数不能开平方"故由题设知&"’都是非负整数!若&$"或’$""易知结论成立!若&"’都是正整数"由槡’$%槡&%槡’&#槡&"两边平方得!’$%槡&%槡’&#!槡&%槡&%槡’&%&"!所以槡&$%槡&%槡’&%&#’!!%槡&%槡’&\n!"#$!实数的判定"*!!!由所设&-’及槡&%槡’都是整数"故槡&是有理数!从而&是平方数"故槡&是整数"从而槡’是整数!!!#!’""求满足等式&槡!#%槡!0$%%槡!2的有理数0-2!解析!把原式两边立方"得!#%槡!0$%%%$2!&%槡!%&2%!2&&!因0"2是有理数"故!%%$2$!#".&0$&2%!2!解得0$!!"2$!或0$#!!"2$#!"易检验它们都满足原式!!!#!(""求满足条件槡&#!槡$$槡0#槡2的正整数&"0"2!解析!将原式两边平方得&#!槡$$0%2#!槡02!!显然"&#!槡$是无理数!假设槡02是有理数"则0%2#!槡02是有理数"这与!式矛盾"所以槡02必为无理数!由!式变形为0%2#&$!%槡02#槡$&!假设0%2#&(""则槡02#槡$必为非零有理数"设为+%+("&"即槡02#槡$$+"所以有槡02$槡$%+"两边平方得02$$%!+槡$%+!"所以!+槡$$02#$#+!!因为+(""所以!+槡$是无理数"而02#$#+!是有理数"矛盾!所以\n!+!!!!第"章!实!!数!0%2#&$"且槡02#槡$$"!0%2$&"所以.02$$!又因为槡0#槡2$槡&#!$槡)""所以0)2"所以满足条件的正整数为!0$$"2$%"&$(或0$&"2$!"&$#!!!#!)""若&%%’%!$&!%’!!%其中&%-&!-’%-’!为有理数"!为无理数&"则&%$&!"’%$’!"反之"亦成立!解析!设法将等式变形"利用有理数不能等于无理数来证明!将原式变形为%’%#’!&!$&!#&%!若’%(’!"则&!#&%!$!’%#’!&!#&%因为!是无理数"而是有理数"矛盾!所以必有’%$’!"进而有&%$’%#’!&!!反之"显然成立!评注!本例的结论是一个常用的重要运算性质!!!#!!*""设&与’是两个不相等的有理数"试判断实数&%槡&是有理数还’%槡&是无理数"并说明理由!解析!假设&%槡&是有理数"设其为,"即’%槡&&%槡&$,!’%槡&整理得&%槡&$,’%,槡&!由%-&-*知&$,’"%$,"即&$’"这与已知&(’矛盾!所以原假设&%槡&是有理数错误"故&%槡&是无’%槡&’%槡&理数!评注!本例并未给出确定结论"需要解题者自己发现正确的结论!解这样的问题时"可以先找到一个立足点"如本例以&%槡&为有理数作为立足点"以其作为’%槡&推理的基础!\n!"#$!实数的判定!"!!!!!#!!!""已知&-’是两个任意有理数"且&$’"求证!&与’之间存在着无穷"多个有理数%即有理数集具有稠密性&!解析!只要构造出符合条件的有理数"题目即可被证明!因为&$’"所以!&$&%’$!’"所以&%’&$$’!!设&%$&%’"&%显然是有理数%因为&-’为有理数&!因为&%$’"所以"同理可证!&%%’&%%’&*%’&%$$’!设&!$"&!显然也是有理数!依此类推"设&*%%$"!!!*为任意正整数"则有&$&%$&!$$$&*$$$’"且&*为有理数"所以在&和’之间存在无穷多个有理数!!!#!!"""已知在等式&0%’$-中"&-’-(-)都是有理数"0是无理"(0%)数!问!%%&当&-’-(-)满足什么条件时"-是有理数#%!&当&-’-(-)满足什么条件时"-是无理数!解析!%%&当&$($"")("时"-$’为有理数!)当(("时"有-$&0%’$&%’(#&)"(0%)((%(0%)&所以"只有当’(#&)$""即&)$’(时"-为有理数!故当&$($""且)("#或((""且&)$’(时"-为有理数!%!&当($"")(""&("时"-$&0%’为无理数!))当(("时"有-$&%’(#&)"((%(0%)&故只有当’(#&)(""即&)(’(时"-为无理数!所以"当($""&("")("#或((""&)(’(时"-为无理数!!!#!!#""已知&-’是两个任意有理数"且&$’"问是否存在无理数!"使得&$!$’成立)解析!因为&$’"槡!#%)""所以%槡!#%&&$%槡!#%&’"\n!!!!!!第"章!实!!数!即槡!&$%槡!#%&’%&!!又因为&$’$’%槡!’#槡!’"所以&%槡!’#’$槡!’"即%槡!#%&’%&$槡!’!"由!""有槡!&$%槡!#%&’%&$槡!’"%槡!#%&’%&所以&$$’!槡!取!$%槡!#%&’%&!’%槡!%&#’&%&#’&$$’%,槡!!槡!!!因为’-&#’是有理数"且&#’(""所以’%&#’,槡!是无理数"即存在无理数!!!!"使得&$!$’成立!!!#!!$""已知数槡%’的小数部分是’"求’&!’%%!’%&(’%$’#!"的值!解析!因为无理数是无限不循环小数"所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来"这类涉及无理数小数部分的计算题"往往是先估计它的整数部分%这是容易确定的&"然后再寻求其小数部分的表示方法!因为*$%’$%$"即&$槡%’$’"所以槡%’的整数部分为&!设槡%’$&%’"两边平方得%’$*%$’%’!"所以’!%$’$#!’&!!’%%!’%&(’%$’#!"!!!!!!$%’’%!,$’&%&$’!&%%’!%$’&#!"!!!$%’%$’&%%’%$’&#!"!$#%##!"$%"!!!#!!%""已知!9-.是有理数"0$槡#%%"且满足0Z%.$""试求!9#.的值!解析!将0$槡#%%代入方程!0Z%.$""得!\n!"#$!实数的判定!$!!!&槡#%%槡#%%% ,%.$""!!化简"得%!#9&槡#%’#9%!.$"!因为9-.都是有理数"则.!#9$""’#9%!.$"!9$!"解方程组"得.所以9#.$&!!!!.$#%评注!本题应用到了性质!若&-’为有理数"9为无理数"&%’9$".&$’$"!!!#!!&""若*为正整数"求证!槡*’%!*&%!*!%!*%%必为无理数!解析!只需证*’%!*&%!*!%!*%%为非完全平方数!而这只要证明它位于两个相邻的正整数的平方之间即可!因为*’%!*&%!*!%!*%%$%*’%!*&%*!&%%*!%!*%%&’&!)*%!*%*$%*!%*&!"’&!’&!又因为!*%!*%!*%!*%%$*%!*%&*%!*%%$*’%*!%%%!*&%!*!%!*$%*!%*%%&!"所以!%*!%*&!$*’%!*&%!*!%!*%%$%*!%*%%&!!而%*!%*&!与%*!%*%%&!是两个相邻的整数的完全平方数"它们之间一定没有完全平方数!因而对任意的正整数*"数*’%!*&%!*!%!*%%不可能是完全平方数"即槡*’%!*&%!*!%!*%%必为无理数!!!#!!’""若3-*是正整数"&-)是实数"问是否存在三个不同的素数9-.-"&&&:"满足槡9$&"槡.$&%3)"槡:$&%*))&&&解析!假设存在三个不同的素数9-.-:"满足槡9$&"槡.$&%3)"槡:$&%*)!其中"&-)为实数"3-*是正整数!消去&-)"得&&槡.#槡93$"&&*槡:#槡9&&&即3槡:#*槡.$%3#*&槡9!!!式的两边立方"得&&&&&&3:#*.#&3*槡:.%3槡:#*槡.&$%3#*&9!"\n!%!!!!第"章!实!!数!&&将!式中的3槡:#*槡.代入"式"得&&&&&3*%3#*&槡9.:$3:#*.#%3#*&9!&但是槡9.:是无理数"故上面等式有矛盾!因此"不存在三个不同的素数9-.-&&&:"满足槡9$&"槡.$&%3)"槡:$&%*)!!!#!!(""设&*是%!%!!%&!%$%*!的个位数字"*$%"!"&"$"求证!"""!&%&!&&$&*$是有理数!解析!有理数的另一个定义是循环小数"即凡有理数都是循环小数"反之循环小数必为有理数!所以"要证"-&%&!&&$&*$是有理数"只要证它为循环小数!因此本题我们从寻找它的循环节入手!计算&*的前若干个值"寻找规律!%"#"’"""#"%"""’"#"#"$"""*"#"""$"#"*"""""%"#"’"""#"%"""’"$!发现!&!"$""&!%$&%"&!!$&!"&!&$&&"$"于是猜想!&+%!"$&+"若此式成立"说明"-&%&!$&*$是由!"个数字组成循环节的循环小数"即,,"-&%&!$&*$$"-%#’"#%"’##$"*#"$#*""!下面证明&+%!"$&+!令;%*&$%!%!!%$%*!"当;%*%!"&#;%*&是%"的倍数时"表明;%*%!"&与;%*&有相同的个位数"而!;%*%!"&#;%*&!!!!!!!!!!!!$%*%%&%%*%!&%$%%*%!"&$%"%!*!%’!,*&%%%!%!!%$%!"!&!由前面计算的若干值可知!%!%!!%$%!"!是%"的倍数"故&+%!"$&+成立"所以"-&%&!$&*$是一个有理数!!!#!!)""已知0%2-0#2-02-0均为有理数"如果它们中有三个数相等"2求0-2的值!解析!依题意"2(""否则0无意义!2若0%2$0#2"则2$""矛盾!所以0%2(0#2!若0$""则由0%2$02或0#2$02都得到2$""矛盾!所以02("!因此"三个相等的代数式只能是!%%&0%2$02$0或%!&0#2$02$0!22\n!"#$!实数的判定!&!!!,02$0"由+2得!2!$%/2$1%!-0("当2$%时"由%%&得0%%$0"矛盾#由%!&得0#%$0"矛盾!所以2(%!当2$#%时"由%%&得0#%$#0"!0$%"0$%!!由%!&得0%%$#0"!0$#%"0$#%!!所以0$1%"2$#%!!!!#!"*""’0(表示不超过实数0的最大整数"令.00$0#’0(!"%%&找出一个实数0"满足.00%.%0$%#0%!&证明!满足上述等式的0"都不是有理数!解析!设’0($3".00$!"’%($*".%0$""则3-*是整数""*!"00"$%!由题设!%"$%"所以0%%$3%*%!%"$3%*%%"0!#%3%*%0%&0%%$""%!0$%3%*%%1槡%3%*%%&#’&!!令3%*%%$&"则0$%%&1槡#&"再验证它满足.00%.%0$%!!0%%&取0$&%槡#"则%$&#槡#"于是.00$&%槡##!$槡##%"!0!!!.%0$&#槡#"所以0!.00%.%0$槡##%%&#槡#$%!0!!%!&设0$3%!"%$*%""其中3-*是整数""*!""$%!则!%"$%"0%0%$3%*%%!于是0!0#%3%*%%&0%%$""\n!’!!!!第"章!实!!数!%!0$%3%*%%1槡%3%*%%&#’&!!当%3%*%%&!$’时"0$1%"均不满足.00%.%0$%!0当%3%*%%&!)’时"若%3%*%%&!#’$+!"其中+为正整数"则%3%*%%#+&%3%*%%%+&$’!由于3%*%%#+$3%*%%%+"且3%*%%#+与3%*%%%+同奇偶"所以3%*%%#+$#!"3%*%%#+$!".或3%*%%%+$#!.3%*%%%+$!均不可能!故%3%*%%&!#’不是完全平方数"从而0是无理数!!!#!"!""设&-’是实数"对所有正整数*%#!&"&*%’*都是有理数"证明!""&%’是有理数!解析!由题意"&!%’!"&&%’&"&’%’’"$都是有理数!而&*%’*有如下*递推关系+!&*%!%’*%!$%&%’&%&*%%%’*%%&#&’%&*%’*&"所以&’%’’$%&%’&%&&%’&&#&’%&!%’!&"&#%’#$%&%’&%&’%’’&#&’%&&%’&&"从中解出&%’即可!设0$&%’"2$&’"则有&’%’’$%&&%’&&0#%&!%’!&2"&#%’#$%&’%’’&0#%&&%’&&2"消去2"得!’%&!%’!&%&’%’’&#%&&%’&&!(0$%&!%’!&%&#%’#&#%&&%’&&%&’%’’&"所以"当%&!%’!&%&’%’’&#%&&%’&&!(""即&’%&#’&("时"%&!%’!&%&#%’#&#%&&%’&&%&’%’’&0$%&!%’!&%&’%’’&#%&&%’&&!是有理数!\n!"#$!实数的判定!(!!!当&’%&#’&$"时"若&-’全为""则结论成立#若&-’中恰有一个为""不妨&&设&$""则’$&%’为有理数"从而&%’$’为有理数#若&#’$""且&-’!!&%’均不为""则&&%’&&&%’&!%&&%’&&&%’$&!%’!#&’$%&#’&!#%&!%’!&$&!%’!!!&%’%!是有理数!从而命题得证!评注!本题分析中给出的递推关系!&*%!%’*%!$%&%’&%&*%%%’*%%&#&’%&*%’*&非常重要!遇到涉及&*%’*类型的问题时"利用这一递推关系"可以帮助我们解题!!!#!""""设,是给定的正有理数!""%%&若,是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积"证明!一定存在&个正有理数0-2-<"使得!!!!0#2$2#<$,#%!&若存在&个正有理数0-2-<"满足!!!!0#2$2#<$,"证明!存在一个三边长都是有理数的直角三角形"它的面积等于,!解析!%%&设&-’-(是某个直角三角形的三边长"&-’-(都是有理数"且&!%’!$(!"%&’$,!!若&$’"则!&!$(!"($槡!!这与&-’-(都是有理数的假定矛盾"故&(’!&不妨设&$’"取0$&%’"2$("<$’#&"则0-2-<都是正有理数"且!!!%&%’&!#(!%!!0#2$$&’$,"’!!!!!(#%’#&&%2#<$$&’$,!’!%!&设三个正有理数0-2-<满足0!#2!$2!#"可以得到同样的结果"有兴趣的同学不妨试一试!"!"!!#""分解因式!\n%+!!!!第!章!代!数!式!%0!%&0%!&%’0!%+0%&&#*"!解析!先将两个括号内的多项式分解因式"然后再重新组合!原式$%0%%&%0%!&%!0%%&%!0%&&#*"$’%0%%&%!0%&&(’%0%!&%!0%%&(#*"!!$%!0%#0%&&%!0%#0%!&#*"!令2$!0!%#0%!"则原式$2%2%%&#*"$2!%2#*"$%2%%"&%2#*&!!$%!0%#0%%!&%!0%#0#(&!$%!0%#0%%!&%!0%(&%0#%&!评注!对多项式适当的恒等变形是我们找到新元%2&的基础!"!"!!$""分解因式!%&%’#!&’&%&%’#!&%%%#&’&!!解析!令&%’$0"&’$2"则原式$%0#!2&%0#!&%%%#2&!!!$0#!02#!0%’2%2#!2%%!!$0#!0%2%%&%%2%%&!$’0#%2%%&($%0#2#%&!"所以"原式$%&%’#&’#%&!!"!"!!%""分解因式!%%#!&#&!&’%&%&#%&%!’!#%&!解析!令&#%$0"则%#!&#&!$%&#%&!#!&!$0!#!&!!原式$%0!#!&!&’%&0%!’!#%&!!!$0’#!&’%!&’0#&0!!!$%0’#&0&%%!&’0#!&’&$%0’#&&%0%!&’&"所以"原式$’%&#%&’#&(’%&#%&%!&’($%&’#&#’&%&%!&’#%&!"!"!!&""分解因式!%0%%&’%%0%&&’#!(!!解析!令2$0%!"则原式$%2#%&’%%2%%&’#!(!!!!!!!!$%2#!2%%&%%2%!2%%&#!(!’!&!$%2%’2%%#’2%!2#’2&\n!!#!!因式分解%"!!!’!&!%%2%’2%%%’2%!2%’2&#!(!’!$!2%%!2#!("’!$!%2%$2#%&#&!!$!%2#*&%2%%#&!$!%2%&&%2#&&%2%%#&"所以"原式$!%0%#&%0#%&%0!%’0%%*&!"!"!!’""分解因式!%0!%’0%+&!%&0%0!%’0%+&%!0!!解析!设0!%’0%+$2"则原式$2!%&02%!0!$%2%!0&%2%0&!!$%0%$0%+&%0%#0%+&!$%0%!&%0%’&%0%#0%+&!评注!由本题可知"用换元法分解因式时"不必将原式中的元都用新元代换"根据题目需要"引入必要的新元"原式中的变元和新变元可以一起变形"换元法的本质是简化多项式!"!"!!(""分解因式!$0’%(0&#&$0!#(0%$!解析!!原式$$%0’%%&%(0%0!#%&#&$0!$$’%0’#!0!%%&%!0!(%(0%0!#%&#&$0!$$’%0!#%&!%!0!(%(0%0!#%&#&$0!!!!!$$%0#%&%(0%0#%&#!’0!!$’!%0#%&#&0(’&%0#%&%+0(!!$%!0#&0#!&%&0%+0#&&$%!0%%&%0#!&%&0#%&%0%&&!评注!本解法实际上是将0!#%看作一个整体"但并没有设立新元来代替它"即熟练使用换元法后"并非每题都要设置新元来代替整体!解析#!原式$0!%$0!%(0#&$#(%$&00!!!%%$0’$%0%0!&%(%0#0&#&$(!令0#%$?"则0!%%$?!%!"于是0!0原式$0!’$%?!%!&%(?#&$(!!!!!!!!$0!%$?!%(?#!’&$0!%!?#&&%&?%+&!%%$0’!%0#&#&&(’%0#&%+(00!!$%!0#&0#!&%&0%+0#&&\n%!!!!!第!章!代!数!式!$%!0%%&%0#!&%&0#%&%0%&&!"!"!!)""分解因式!%0!%02%2!&!#’02%0!%2!&!解析!本题含有两个字母"且当互换这两个字母的位置时"多项式保持不变"这样的多项式叫作二元对称式!对于较难分解的二元对称式"经常令>$0%2"@$02"用换元法分解因式!原式$’%0%2&!#02(!#’02’%0%2&!#!02(!令0%2$>"02$@"则原式$%>!#@&!#’@%>!#!@&!!!!!!!!’!!!!$>#$>@%*@$%>#&@&$%0!%!02%2!#&02&!$%0!#02%2!&!!"!"!"*"分解因式!0!#!02#&2!%!0%%"2#+!解析!原式$%0#&2&%0%2&%!0%%"2#+$%0#&2%’&%0%2#!&!其十字相乘图为0#&2’0%2#!评注!凡是可以化成0!%%&%’&0%&’或&’0!%%&(%’)&0%()形式的二次三项式"都可以直接采用十字相乘法把它分解成%0%&&%0%’&或%&0%)&%’0%(&的形式!对于某些二元二次六项式%&0!%’02%(2!%)0%A2%;&"我们也可以用十字相乘法分解因式"通常称为双十字相乘法!其因式分解的步骤是!首先用十字相乘法分解&0!%’02%(2!"得到一个十字相乘图%有两列&#然后把常数项;分解成两个因式填在第三列上"要求第二-第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的A2"第一-第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的)0!"!"!"!"分解因式!$0!#%&02%$2!%!!0#!&2%!"!解析!原式$%!0#&2&%&0#!2&%!!0#!&2%!"$%!0#&2%’&%&0#!2%#&!其十字相乘图为"!"!"""分解因式!$0!#(02#&2!#0<%(2<#!"2#&$@"<#&$D"则分式变为>@%@D%D>"且由已知有!!!>%@%D>%@%D$"!将>%@%D$"两边平方得!!!>%@%D%!%>@%@D%D>&$"!由于0-2-<不全相等"所以>-@-D不全为零"所以>!%@!%D!(""从而有>@%@D%D>$#%"!!!!>%@%D%即所求分式的值为,!!评注!从本例中可以看出"换元法可以减少字母个数"使运算过程简化!"!#!!$""已知0$2$<"求0%2%<的值!&#’’#((#&\n&!!!!!第!章!代!数!式!解析!本题的已知条件是以连比形式出现"可引入参数+"用它表示连比的比值"以便把它们分割成几个等式!设0$2$<$+"于是有&#’’#((#&0$%&#’&+"2$%’#(&+"<$%(#&&+!所以0%2%<$%&#’&+%%’#(&+%%(#&&+$"!!!!"!#!!%""已知0%2%<$%"&%’%($""求0%2%<的值!&(0"2$@"<$D"于是条件变为&’(>%@%D$%"!%%%%%$"!">@D由"有>@%@D%D>$"">@D所以>@%@D%D>$"!把!两边平方得!!!>%@%D%!%>@%@D%D>&$%"所以>!%@!%D!$%"即!!!02