初中数学竞赛指导：初中几何竞赛题的解法探究 11页

初中几何竞赛题的解法探究题日点D在BC±，点E在AB±,使在厶ABC'P，ZC=90°,ZA=60°,AC=1,得AADE是等腰直角三角形，ZADE=90°,则BE长度为()(A)4-273(B)2-V3(C)丄(—1)(D)V3—12一、解题关键要素在AABC中，由ZC=90°,ZA=60°及AC=1,知图1ZB=30°,AB=2,BC=V3,ZDAC+ZADC=90°.又由ZADE=90°及AD=DE,知ZDEA=ZDAE=45°,ZADC+ZBDE=90°..•.ZDAC=ZBDE=15°.ZADC=75°.这里，AD=DE,LDAC=ZBDE及30°和75°的角，都是解题的关键要素，是成功解题的入口！二、解题思路1.利用AD=DE及ZDAC=ZBDE构造全等三角形解法一如图2,作EF丄CB于点F.VAD=DE,LDAC=ZBDE,ZACD=LDFE,\nAAACD^ADFE,\n・・・EF=CD,DF=AC=1.设CD=x,RtABFE中，ZB=30°,.•・BE=2x,BF=V^x,・：AE=2—x.・.・cd+df+bf=bc,x+1+V3x=a/3,解得x=2—>/3,・・・BE=4—2\^.解法二延长AC到点F,使AF=DB,•・・AD=DE,ZDAC=ZBDE,/.AADF^ADEB,・・・DF=EB,ZF=ZB.设CD=xRtZXCDF中，ZF=30°,・・・DF=2x,CF=>/3x,.\BD=1+V3x,•・・CD+BD=BC,x+1+V3x=V3,解得x=2—羽,・・・BE=4-2舲.1.构造含30°的直角三角形解法三如图4,作DF丄AB于点F.在RtABDF中，ZB=30°,\n连结DF.图3AEB设DF=x,则BF=V3x,\n在等腰RtAADE屮，AF=DF=x.•・・AF+BF=AB,x+V3x=2»解得x=V3—1,解法四如图5,在AC取点F,连结DF,使FD=FA,则有ZFAD=ZADF=15。，・・・ZDGC=3()“・图5VZACD=90°,・•・FD=2CD.设CD=x,则FD=2x,CF=V3x,VAF+CF=AC.2x+V3X=1,解得X=2—yji.在RtAADC屮，AD=VaC2+CD2=V6-x/2,在等腰RtAADE中,AE=>/2AD=2\/3-2,・・・BE=AB—AE=4—2希・1.构造底角为75°的等腰三角形解法五如图6,延长BC到F,使CF=CB,连结AF.VZACB=90°,AAC丄BF,・・・AF=AB,・・・ZFAC=ZBAC=60°,\n.\ZFAD=ZFDA=75O,・・・FD=FA=2.设CD=x,则FD=V3+x=2,.*.x=2—\/3..•.AD=VAC2+C£>2AAE=V2AD=2>/3-2,・・・BE=4—2冇.解法六如图7,延长BC到F,连接AF,使AF=AD,图7则有ZF=ZADC=75°.VAC1BF,.•.ZFAC=LDAC=15°,.•.ZFAD=ZABF=30°,.•.AADF^ABAF,.AF_DF••亦一乔设AD=x,CD=y,・x_2y••——2xAx2=2y,①RtZXADC中，x2=l+y2②由①、②，得=2>/3-2,.\AE=V2AD=2>/3-2,ABE=4-2>/3•\n题目在四边形ABCD屮，BC=8,CD=12,AD=10,ZA=ZB=60°，贝ljAB=题中四边形ABCD虽是不规则四边形，但条件ZA=ZB=60。很特殊.解题的关键是要从60°角出发去添加辅助线，把四边形ABCD通过补形或分割为常见的特殊四边形或三角形，最重要的还要找出60°角所在直角三角形，以便快速准确解题.一、把四边形ABCD补形解法一补为等边三角形，如图2,延长AD和BC,交点为E,作DF丄BE于点F.VZA=ZB=60°.・・・ZE=60°.AAEBC是等边三角形，EA=EB=AB.・・・EC=ED+2.设DE=x,在RtADFE中，ZEDF=30°,贝ljFE=0.5x,DF=在RtADFC屮,CD2=DF2+FC2.A122=(0.5x+2)2+(—x)2\n解得x=J141—1,\n・・・AB=AE=AD+DE=9+VuT.解法二补为平行四边形.如图3,过点A和点D作BC、AB的平行线，并延长BC,交点为E、F,作CG丄FE于点G.・•・四边形ABEF是平行四边形，ZGEC=ZB=60°,图3ZADF=ZBAD=60°,・・・AB=EF,AF=BE,ZF=ZB=60°,・・・AF=DF=AD=1().在RtACGE中，CE=BE-BC=2,ZECG=30°,・・・EG=1,CG=V3；在RtADCG中，DG=JDC?-CG?=J122_(问'=a/141・・・AB=RE=FD+DE=FD+DG—EG解法三补为矩形,如图4,分别过点A、B作AB的垂线，与过点D所作AB的平行线交于点E和F,作CH丄EF于点H,CG丄FB于点G.・・・四边形ABFE是矩形，ZDAE=30°,ZCBG=30°,\n・・・BF=AE,EF=AB.iERtADEG屮，DE=5,AE=5®在RtABCG中，CG=4,BG=4®AGF=>/3.在矩形CGFH中，CH=FG,HF=CG；在RtADCH中，DH=yjDC2-CH2=714?=ED+DH+HF=9+7141.二、把四边形ABCD进行分割解法四分割成矩形和直角三角形.垂足为E和F,作CG丄DE于点G.如图5,过点D和C作AB的垂线在RtAADE中，AE=5,DE=5a/3；在RtACBF中，BF=4,CF=4x/3.在RtACDG中，GD=DE-GE=DE-CF=473,CG=yjDC2-DG2=7141,・・・AB=AE+EF+FB=AE+CG+FB\n=9+714?.解法五分割成等边三角形、平行四边形及直角三角形.如图6,过点C作CE〃AB交AD于点E,CF〃AD交AB于点F,作DG丄EC于点G,・・・四边形AFCE是平行四边形，ZCFB=ZA=60°,ZDEG=ZA=60°.VZB=60°.・・・ZFCB=60°,・・・F=FB=BC.在平行四边形AFCE屮，AE=CF,CE=AF,・•・DE=AD-AE=2.在RtADEG中，ZEDG=30°,DE=2,・・・GE=1,DG=\/3.在RtADCG中，cg=Jdc2-dg2=714?,.\AF=EC=1+V141・・・AB=AF+FB=9+7141.