初中数学竞赛题典--整除 24页

初中数学竞赛题典数的整除题l所有四位数中，有（）个数能同时被入3，5，7和11整除？（A）l（B）2（C）3（D）4题2设n是100到200之间的自然数，则满足7n＋2是5的倍数的。共有（）个．题3一个六位数能被12整除，这样的六位数共有多少个．（A）4（B）（C）8（D）12题4已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是（），\n题6n是一个两位数，它的数码之和为a．当n分别乘以3，5，79以后得到4个乘积．如果其每一个积的数码之和仍为a，那么，这样的两位数n有（）．题8设某个n位正整数的n个数宇是1，2，…，n的一个排列，如果它的前k个数字所组成的整数能被k整除，其中k＝1，2，…，n，那么就这个n位数为一个“好数”．例如，321就是一个三位“好数”，因为1整除3，2整除32，3整除321．那么六位“好数”的个数为（）．\n题9能被11整除的最小的九位数是题12在自然数1，2，3，…，1990，1991中．不能披7整除的数有（）个．\n题13将自然数N接写在任意一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数，在小于l30的自然数中，魔术数的个数为（）．题14在所有的五位数中，各位数字之和等于43且能被11整除的数是（）。\n题15定义：如果n个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两数的积能被这两数的和整除．那么，叫这组数为n个数的祖冲之数组。例如：60，120，180这三个数就构成一个三个数的祖冲之数组，（因（60×120）÷（60＋120），（60×180）÷（60＋180），（120×180）÷（120＋180）都是整数）．请你写出一组四个数的祖冲之数组．题16设a、b、c为整数，且a＋b和ab均可被c整除，求怔：a3＋b3可被c2整除．\n题17设a、b、c为正整数，求证：a3（b－c）＋b3（c－a）＋c3（a－b）可被a＋b＋c整除．题19一个魔方是由自然数组成的正方形网格。它有如下性质：每一行，每一列及两条对角线上的数的和都相同，这个值称为魔方和。求证：每一个3×3大小的魔方的魔方和都能被3整除。\n题20求证：如果两个不可约分数的和是整数，那么这两个分数的分母相同。题21设a和b为自然数，使得a2＋ab＋1可被b2＋ba＋1整除，求证：a＝b。题22自然数a、b、c、d都可以被ab－cd整除，其中ab－cd＞0。求证：ab－cd＝1。题23使求出所有这样的自然数n，使得n3＋3可被n＋3整除。\n题26圆上有9个数码，已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下，得到一个9位数并且能被27整除。求证：如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得的一个9位数也能被27整除。题27任意给定一个自然数A，把A的各位数字按逆序写出来，形成一个新的自然数A′。试证：A－A′是9的倍数。\n题28设n是正奇数，试证：1n＋2n＋…＋9n－3（1n＋6n＋8n）能被18整除。题29求证：被1001整除。\n题30求证：7|（22225555＋55552222）。题31求证：对任何自然数，数（2n－1）n－3都可被2n－3整除。\n题33给定自然数a，b和n，已知对任何自然数k（k≠0），数a－kn能被b－k整除，证明：a＝bn。题34设k为正奇数，证明1＋2＋…＋n整除（1k＋2k＋…＋nk）。题35求证：467|5123＋6753＋7203。\n题36已知最简分数可以表示成。试证：分子m是质数1993的倍数。\n题37设p与q是自然数，满足。求证：p可被质数1979整除。题38设p为奇质数，求证：的分子a是p的倍数。\n\n题39给定，其中是不可约分数，试证：m能被5整除。题40试证：将和写成一个最简分数时，m不会是5的倍数。\n题41设n是正偶数，求证：（2n－1）不整除（3n－1）。\n题42试证：对每一个自然数n，数11997＋21997＋…＋n1997不能被n＋2整除。题46一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b，如果a恰是b的3被，我们称a是一个“希望数”。（1）请举例说明：“希望数”一定存在。（2）请证明：如果a，b都是“希望数”，则一定有729|ab。\n题47求证：对任何自然数n，都有120|n5－5n3＋4n。\n题48求证：n（n2－1）（n2－5n＋26）可以被120整除。题49试证：n2（n2－1）（n2－4）可以被360整除。\n题50设n是任意自然数，求证：是整数。题51若干个整数的和能被6整除，求证：这些数的立方和也能被6整除。题52今有6根金属棒，每根的长度都是1m，能否将它们锯成10根27cm长、12根15cm长和25根6cm长的短棒？（锯棒时的损耗可忽略不计）\n题53柯楼南契大蛇有1000个头。神话中的大力士能一次用剑看去1，17，21或33个头，但是大蛇又相应地生出10，14，0或48个头。问大力士能战胜柯楼南契大蛇吗？题54一天我发现了如下的魔术钱币机：如果我放入一枚一分的硬币，出来一枚5分硬币和一枚一角硬币；如果我放进一枚5分硬币，机器给出四角硬币，而如果我放如一枚一角硬币，我取回3枚一分的硬币．我用一枚一分的硬币开始，反复进行以上过程，能出现我刚好有一美元硬币的机会吗？验证答案．题55是否存在两个不等于0的整数a和b，其中之一可被它们的和整除，另一个可被它们的差整除？\n题56一个凸n边形被划分成黑、白两色的若干个三角形，使得任意两个三角形要么有公共的边（这时它们染不同颜色），要么有公共顶点，要么没有公共顶点。而多边形的每条边都是某个黑色三角形的边。证明：3|n。题57求证：不存在整数a、b、c、d，使当x＝19时，ax3＋bx2＋cx＋d＝1，以及当x＝62时，ax3＋bx2＋cx＋d＝2。\n题58公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前三个数字之和等于后三个数字之和，刚称这张车票是幸运的．试证：所有幸运车票号码的和能被13整除，题59某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号．如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．例如号码0734，因0＋7＝3＋4，所以这个号码的购物券是幸运券．试证：这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除．\n