平面初中几何竞赛题 4页

初中数学竞赛中的平面几何（学生班级用）满涛2006年7月亲爱的同学们，欢迎你们参加江苏省初中生数学夏令营。数学学习是艰苦的，也是美妙有趣的，几何问题特别能够体现数学的美妙。竞赛中的几何又比我们平时学习的几何要高一个层次，但又能体现她的美丽。单墫教授曾经在我本科学习的时候提及了一本小书——《平面几何中的小花》，从那时起，我喜欢上几何……对于要参加江苏省初中生数学竞赛的你们，我从近两年的竞赛真题讲起，从分析竞赛真题到触类旁通，归纳出：◆如何复习全面的几何知识◆如何掌握解决几何问题的一般方法◆几何问题需要的能力◆与几何问题相关的其他问题▲面积问题1、（20届省竞赛）如图，△ABC中，AD、BE相交于点O，BD：CD＝3：2，AE：CE=2：1．那么S⊿BOC：S⊿AOC：S⊿AOB为(A)2：3：4(B)2：3：5(C)3：4：5(D)3：4：6从本题推想到三角形的面积，和求面积的比例方法。（中线相交、中线的比，面积问题系列）同样，2004年第19届的一道问题2、如图，正方形ABCD面积为144cm2，P为BC边上的任意一点，E为AP的中点，F为PD上的一点，且DF=2FP，则△PEF的面积是_____________cm2．BCDPEF还有几道关于三角形的问题3、（20届省竞赛）下面有三个判断：(1)存在这样的三角形，它有两条角平分线互相垂直．\n(2)存在这样的三角形，它的三条高的比是1：2：3．(3)存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半．其中正确的判断有()(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个4、下列4个判断：（1）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；（2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；（3）三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；（4）一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等。上述判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例。▲面积与最优化有关的问题5、（20届省竞赛）平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠ABC=60°．要用一块矩形铝板切割出这样的平行四边形并使废料最少，则矩形的面积最小为．6、将长为156cm的铁丝剪成两段，每段都围成一个边长为整数(cm)的正方形，则这两个正方形面积和的最小值是cm2．7、如果△ABC的两边长分别为a、b，那么△ABC的面积不可能等于()(A)(a2+b2)(B)(a2+b2)(C)(a+b)2(D)ab由这一题目联想到2004年初二的一道试题8、凸四边形ABCD中，AB+AC+CD=16,问：对角线AC,BD为何值时，四边形ABCD面积最大？面积最大值是多少？同样是给几个联加号，应该同样考虑不等式9、四面体DABC的体积为，且满足则。10、长边与短边之比为2：1的长方形为“标准长方形”。约定用短边分别为a1、a2、a3、a4、a5(其中a1＜a2＜a3＜a4＜a5的5个不同“标准长方形”拼成的大长方形记为（a1、a2、a3、a4、a5），如图，短边长分别为1，2，2.5，4.5，7的“标准长方形”拼成的大长方形记为（1，2，2.5，4.5，7），解答下列问题：（1）写出长方形（1，2，5，a4，a5）中a4和a5可取的值及相应的面积不同的长方形（用上述长方形的记法表示出来），并画出其中两个符合要求的长方形示意图。74.52.521（2）所有这些长方形（1，2，5，a4，a5）的面积的最大值是多少？\n▲与角度有关的问题11、如图，AB为⊙O的直径，诸角p、q、r、s之间的关系(1)p=2q；(2)q=r；(3)p+s=180°中，正确的是()(A)只有(1)和(2)(B)只有(1)和(3)(C)只有(2)和(3)(D)(1)、(2)和(3)12、如图，DC∥AB，∠BAF=∠BCD，AE⊥DE，∠D=130°，则∠B=.13、在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD，∠ABC=700，则∠ADC等于()(A)1450(B)1500(C)1550(D)160014、如图，△ABC为等边三角形，且BM=CN，AM与BN相交于点P，则∠APN()(A)等于700(B)等于600(C)等于500(D)大小不确定▲几何计数问题15、设一个三角形的三边长为正整数，其中。则对于给定的边长，所有这样的三角形的个数是　　　　　　（A）　　　　　（B）　　　（C）　　（D）16、空间6个点（任意三点不共线）两两连线，用红、蓝两色染这些线段，其中A点连出的线段都是红色的，以这6个点为顶点的三角形中，三边同色的三角形至少有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）（A）3个　　　　（B）4个　　　　（C）5个　　　（D）6个17、在一张3×3\n的方格纸上（如图），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖列被涂方格的个数都是奇数。如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图1和图2是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由。引申到4×4的方格。18、两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”．现平面上有条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°之一，问：（1）W的最大值是多少？（2）当W取最大值时，问所有的“交角”的和是多少？19、右图中，在圆周上有十个等分点，每隔两个等分点用一条线段连接两个等分点，共十条线段，它们彼此相交，构成各种几何图形。请回答：图中共有多少个三边形？图中共有多少个四边形？（包括凹四边形）▲其他20、如图，在五边形ABCDE中，M、N分别是AB、AE的中点，四边形AMPN，△CPM，△CPD，△DPN的面积分别为9、6、9、6。求五边形ABCDE的面积。9966NMEDCBAP