- 152.90 KB
- 2022-08-26 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
全国初中数学竞赛题及参考答案一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)1.若,则的值为( ).(A) (B) (C) (D)解: 由题设得.代数式变形,同除b2.若实数a,b满足,则a的取值范围是( ).(A)a (B)a4 (C)a≤或a≥4 (D)≤a≤4解.C因为b是实数,所以关于b的一元二次方程的判别式 ≥0,解得a≤或a≥4.方程思想,判别式定理;要解一元二次不等式3.如图,在四边形ABCD中,∠B=135°,∠C=120°,AB=,BC=,CD=,则AD边的长为( ).(A) (B)(C) (D)\n解:D如图,过点A,D分别作AE,DF垂直于直线BC,垂足分别为E,F.由已知可得BE=AE=,CF=,DF=2,于是EF=4+.过点A作AG⊥DF,垂足为G.在Rt△ADG中,根据勾股定理得AD=.勾股定理、涉及双重二次根式的化简,补全图形法4.在一列数……中,已知,且当k≥2时,(取整符号表示不超过实数的最大整数,例如,),则等于( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解:B由和可得,,,,,,,,……\n因为2010=4×502+2,所以=2.高斯函数;找规律。5.如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,-1),C(-2,-1),D(-1,1).y轴上一点P(0,2)绕点A旋转180°得点P1,点P1绕点B旋转180°得点P2,点P2绕点C旋转180°得点P3,点P3绕点D旋转180°得点P4,……,重复操作依次得到点P1,P2,…,则点P2010的坐标是( ). (A)(2010,2)(B)(2010,)(C)(2012,) (D)(0,2)解:B由已知可以得到,点,的坐标分别为(2,0),(2,).记,其中.根据对称关系,依次可以求得:,,,.令,同样可以求得,点的坐标为(),即(),由于2010=4502+2,所以点的坐标为(2010,).二、填空题6.已知a=-1,则2a3+7a2-2a-12的值等于 . 解:0 由已知得(a+1)2=5,所以a2+2a=4,于是2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a-12=0.\n7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车;再过t分钟,货车追上了客车,则t= .解:15设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米,小轿车、货车、客车的速度分别为(千米/分),并设货车经x分钟追上客车,由题意得, ①, ② . ③由①②,得,所以,x=30. 故(分). 8.如图,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式是 . 解:如图,延长BC交x轴于点F;连接OB,AFCE,DF,且相交于点N.由已知得点M(2,3)是OB,AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分.又因为点N(5,2)是矩形CDEF的中心,所以,\n过点N(5,2)的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分.于是,直线即为所求的直线.设直线的函数表达式为,则解得,故所求直线的函数表达式为.9.如图,射线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D.若CD=CF,则 . 解:见题图,设.因为Rt△AFB∽Rt△ABC,所以.又因为FC=DC=AB,所以即 ,\n解得,或(舍去).又Rt△∽Rt△,所以, 即=.10.对于i=2,3,…,k,正整数n除以i所得的余数为i-1.若的最小值满足,则正整数的最小值为 .解: 因为为的倍数,所以的最小值满足,其中表示的最小公倍数.由于,因此满足的正整数的最小值为. 三、解答题(共4题,每题20分,共80分)11.如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,连接EF.求证:(第12A题) .(第12B题) \n(第12B题) 证明:如图,连接ED,FD.因为BE和CF都是直径,所以ED⊥BC, FD⊥BC,因此D,E,F三点共线. …………(5分)连接AE,AF,则,所以,△ABC∽△AEF. …………(10分)作AH⊥EF,垂足为H,则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得,从而 , 所以 . …………(20分)\n12.如图,抛物线(a0)与双曲线相交于点A,B.已知点A的坐标为(1,4),点B在第三象限内,且△AOB的面积为3(O为坐标原点).(1)求实数a,b,k的值;(2)过抛物线上点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C,求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.解:(1)因为点A(1,4)在双曲线上,所以k=4.故双曲线的函数表达式为.设点B(t,),,AB所在直线的函数表达式为,则有 解得,.于是,直线AB与y轴的交点坐标为,故,整理得,解得,或t=(舍去).所以点B的坐标为(,).\n因为点A,B都在抛物线(a0)上,所以解得 …………(10分)(2)如图,因为AC∥x轴,所以C(,4),于是CO=4.又BO=2,所以.设抛物线(a0)与x轴负半轴相交于点D,则点D的坐标为(,0).因为∠COD=∠BOD=,所以∠COB=.(i)将△绕点O顺时针旋转,得到△.这时,点(,2)是CO的中点,点的坐标为(4,).延长到点,使得=,这时点(8,)是符合条件的点.(ii)作△关于x轴的对称图形△,得到点(1,);延长到点,使得=,这时点E2(2,)是符合条件的点.所以,点的坐标是(8,),或(2,). …………(20分) 13.求满足的所有素数p和正整数m..解:由题设得,所以,由于p是素数,故,或. ……(5分)\n (1)若,令,k是正整数,于是,,故,从而.所以解得 …………(10分)(2)若,令,k是正整数.当时,有,,故,从而,或2. 由于是奇数,所以,从而. 于是这不可能.当时,,;当,,无正整数解;当时,,无正整数解.综上所述,所求素数p=5,正整数m=9. …………(20分) 14.从1,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除? 解:首先,如下61个数:11,,,…,(即1991)满足题设条件. …………(5分)\n 另一方面,设是从1,2,…,2010中取出的满足题设条件的数,对于这n个数中的任意4个数,因为, ,所以 .因此,所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………(10分)设,i=1,2,3,…,n.由,得,所以,,即≥11. …………(15分)≤,故≤60.所以,n≤61.综上所述,n的最大值为61. …………(20分)