初中数学竞赛题汇编(几何部分1)(含解答) 6页

初中数学竞赛题汇编（几何部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1：ΔABC中，AC⊥BC，CE⊥AB，ＡＦ平分∠CAB，过Ｆ作ＦＤ∥ＢＣ，交ＡＢ于Ｄ。求证：ＡＣ＝ＡＤ。证明分析：延长ＤＦ交ＡＣ于Ｇ．∵ＦＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥ＡＣ，∴ＦＧ⊥ＡＣ．易证RtΔAGF≌RtΔAEF．∴AＥ＝AＧ．则易证RtΔAEC≌RtΔAGD．∴ＡＣ＝ＡＤ．例2：ΔABC中，∠A＝100°，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分∠ABC．求证：ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ。证明分析：在ＢＣ上分别截取ＢＥ＝ＢＡ，ＢＦ＝ＢＤ．易证ΔABD≌ΔEBD．∴ＡＤ＝ＥＤ，∠A＝∠BED＝100°．由已知可得：∠C＝40°，∠DBF＝20°．∵ＢＦ＝ＢＤ，∴∠BFD＝80°．由三角形外角性质可得：∠CDF＝40°＝∠C．∴ＣＦ＝ＤＦ．∵∠BED＝100°，∴∠BFD＝∠DEF＝80°，∴ＥＤ＝ＦＤ＝ＣＦ，∴ＡＤ＝ＣＦ，∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．例3：已知在ΔABC中，Ｅ为ＢＣ的中点，ＡＤ平分∠BAC，于Ｄ．ＡＢ＝９，ＡＣ＝１３．求ＤＥ的长．证明分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD≌ΔAFD．则ＢＤ＝ＤＦ．又ＢＥ＝ＥＣ，即ＤＥ为ΔBCF的中位线．∴DE＝FC＝(AC－AB)＝2．-6-\n例4：已知在ΔABC中，∠A＝108°，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分∠ABC．求证：ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．证明分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD≌ΔBED．由已知可得：∠ABD＝∠DBE＝18°，∠A＝∠BED＝108°，∠C＝∠ABC＝36°．∴∠DEC＝∠EDC＝72°，∴ＣＤ＝ＣＥ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．例5：如图（１）所示，ＢＤ和ＣＥ分别是△ABC的外角平分线，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＤ于Ｆ，ＡＧ⊥ＣＥ于Ｇ，延长ＡＦ及ＡＧ分别与ＢＣ相交I、H，连接ＦＧ．（１）求证：FG＝(AB＋BC＋CA)（２）若(a)ＢＤ与ＣＥ分别是△ABC的内角平分线，如图（２）；(b)ＢＤ是ΔABC的内角平分线，ＣＥ是ΔABC的外角平分线，如图（３）．则在图（２）与图（３）两种情况下，线段ＦＧ与ΔABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．　图（１）　　　　　图（２）　　　　　　图（３）证明分析：图（１）中易证ΔABF≌ΔIBF及ΔACG≌ΔHCG．∴有ＡＢ＝ＢＩ，ＡＣ＝ＣＨ及ＡＤ＝ＩＤ，ＡＧ＝ＧＨ．∴ＧＦ为ΔAIH的中位线．∴FG＝(AB＋BC＋CA)．同理可得图（２）中FG＝(AB＋CA－BC)；图（３）中FG＝(BC＋CA－AB)。-6-\n例6：如图，ΔABC中，Ｅ是ＢＣ边上的中点，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交∠BAC的平分线ＡＤ于Ｄ，过Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于Ｍ，作ＤＮ⊥ＡＣ于Ｎ．求证：ＢＭ＝ＣＮ．证明分析：连接ＤＢ、ＤＣ．∵ＤＥ垂直平分ＢＣ，∴ＤＢ＝ＤＣ．易证ΔAMD≌ΔAND．∴有ＤＭ＝ＤＮ．∴ΔBMD≌ΔCND（ＨＬ）．∴ＢＭ＝ＣＮ．例7：如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ．证明分析：将ΔABF视为ΔADE绕Ａ顺时针旋转90°即可．∵∠FAB＋∠BAE＝∠EAD＋∠BAE＝90°．∴∠FBA＝∠EDA．又∵∠FAB＝∠EDA＝90°，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF≌ΔADE．（ASA）∴ＤＥ＝ＤＦ．例8：如图，在ΔABC中，∠B＝2∠C，ＡＤ平分∠BAC．求证：ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．证明分析：在ＡＣ上截取ＡＥ＝ＡＢ，连接ＤＥ．则有ΔABD≌ΔAED．∴ＢＤ＝ＤＥ．∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠EDC．又∵∠B＝2∠C，∴∠C＝∠EDC．∴ＤＥ＝ＣＥ．∴ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．例9：如图，点Ｅ在ΔABC外部，Ｄ在边ＢＣ上，ＤＥ交ＡＣ于Ｆ．若∠1＝∠2＝∠3，ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC≌ΔADE．证明分析：若ΔABC≌ΔADE，则ΔADE可视为ΔABC绕Ａ逆时针旋转∠1所得．-6-\n∵∠B＋∠1＝∠ADE＋∠2，且∠1＝∠2．∴∠B＝∠ADE．又∵∠1＝∠3．∴∠BAC＝∠DAE．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC≌ΔADE．例10：在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ平分∠BAD，过Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且AE＝(AB＋AD)．求∠ABC＋∠ADC的度数．证明分析：延长ＡＢ到Ｆ，使得ＢＦ＝ＡＤ．则有ＣＥ垂直平分ＡＦ，∴ＡＣ＝ＦＣ．∴∠F＝∠CAE＝∠DAC．∴有ΔCBF≌ΔCDA（SAS）．∴∠CBF＝∠D．∴∠ABC＋∠ADC＝180°．例11：如图，已知在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ上，Ｆ在ＤＣ上，ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ．求证：∠EAF＝45°．证明分析：将ΔADF绕Ａ顺时针旋转90°得ΔABG．∴∠GAB＝∠FAD．易证ΔAGE≌ΔAFE．∴∠FAE＝∠GAE＝∠FAG＝45°．例12：如图，ΔABC与ΔEDC均为等腰直角三角形，且Ｃ在ＡＤ上．ＡＥ的延长线交ＢＤ于Ｆ．请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程．证明分析：将RtΔBCD视为RtΔACE绕Ｃ顺时针旋转45°即可．例13：如图，在ΔABC中，∠ABC＝90°，ＡＢ＝ＢＣ，Ｄ为ＡＣ中点．ＡＢ的延长线上任意一点Ｅ．ＦＤ⊥ＥＤ交ＢＣ延长线于Ｆ．求证：ＤＥ＝ＤＦ．证明分析：连接ＢＤ．则ΔBDE可视为-6-\nΔCDF绕Ｄ顺时针旋转90°所得．易证ＢＤ⊥ＤＣ与ＢＤ＝ＣＤ．则∠BDE＝∠CDF．又易证∠DBE＝∠DCF＝135°．∴ΔBDE≌ΔCDF．∴ＤＥ＝ＤＦ．例14：已知在ΔABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＡＢ上一点，Ｅ为ＡＣ延长线一点，且ＢＤ＝ＣＥ．求证：ＤＭ＝ＥＭ．证明分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易证ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．则ＤＦ可视为ＣＥ平移所得．∴四边形ＤＣＥＦ为．∴ＤＭ＝ＥＭ．例15：如图，在梯形ABCD中，ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＣ＝８，ＢＤ＝15．求梯形ＡＢＣＤ的中位线长．证明分析：延长ＤＣ到Ｅ使得ＣＥ＝ＡＢ．连接ＢＥ．可得．可视为将ＡＣ平移到ＢＥ．ＡＢ平移到ＣＥ．由勾股定理可得ＤＥ＝17．∴梯形ABCD中位线长为8.5．例16：已知，在ABCD中，AB＝BD．Ｅ为ＯＡ的中点，Ｆ为ＯＤ中点，Ｇ为ＢＣ中点．求证：ＥＦ＝ＥＧ．证明分析：连接ＢE．∵AB＝BD，ＡＥ＝ＯＥ．∴ＢＥ⊥ＣＥ，∵ＢＧ＝ＣＧ．∴EG＝BC．又ＥＦ为ΔAOD的中位线．∴EF＝AD．∴ＥＦ＝ＥＧ．例17：已知，ＡＤ为ΔABC的中线．求证：ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．证明分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＥ＝２ＡＤ．-6-\n连接ＢＥ易证ΔBDE≌ΔCDA．∴ＢＥ＝ＡＣ．∴ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．例18：如图，ＡＤ为ΔABC的角平分线且ＢＤ＝ＣＤ．求证：ＡＢ＝ＡＣ．证明分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．连接CE，易证ΔABD≌ΔECD．∴ＥＣ＝ＡＢ．∵∠BAD＝∠CAD．∴∠E＝∠CAD．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ．例19：已知在等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ和Ｅ分别为ＢＣ与ＡＣ上的点，且ＡＥ＝ＣＤ．连接ＡＤ与ＢＥ交于点Ｐ，作ＢＱ⊥ＡＤ于Ｑ．求证：ＢＰ＝２ＰＱ．证明分析：延长ＰＤ到Ｆ使得ＦＱ＝ＰＱ．在等边三角形ＡＢＣ中ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，∠ABD＝∠C＝60°．又∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝ＣＥ．∴ΔABD≌ΔBCE．∴∠CBE＝∠BAD．∴∠BPQ＝∠PBA＋∠PAB＝∠PBA＋∠DBP＝60°．易证ΔBPQ≌ΔBFQ．得ＢＰ＝ＢＦ，又∠BPD＝60°．∴ΔBPF为等边三角形．∴ＢＰ＝２ＰＱ．例20：在ΔABC中，ＡＤ是高，ＣＥ是中线，ＤＣ＝ＢＥ，ＤＧ⊥ＣＥ于Ｇ．求证：（１）ＣＧ＝ＥＧ．（２）∠B＝2∠BCE．证明分析：（1）连接ＤＥ．则有ＤＥ＝ＢＥ＝ＤＣ．∴RtΔCDG≌RtΔEDG（ＨＬ）．∴ＥＧ＝ＣＧ．（2）∵ＤＥ＝ＢＥ．∴∠B＝∠BDE＝∠DEC＋∠BCE．∵ＤＥ＝ＣＤ．∴∠DEC＝∠BCE．∴∠B＝2∠BCE．-6-