初中数学论文：新课标下竞赛题转化策略浅析 3页

新课标下竞赛题转化策略浅析数学竞赛就是以各个知识点为基础，对已有的问题或变形，或删减条件，或水末倒置，或重新整合，或另辟新路，使数学问题显得既熟悉又陌生，好象有路又好彖没路。直到你走完了才恍然大悟，不得不为岀题者的构思所折服。它是源于生活高于生活，始于基础知识又高于基础知识，一句话就是要活学活用各种数学思想方法，为达目的誓不罢休。数学思想方法是数学知识更高层次上的抽象与概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程屮，迁移并作用丁相关学科和社会生活，而转化思想是数学思想方法的核心，从广义上讲，数学解题的过程就是恰当地运用已知条件将问题逐步转化，从而获得解决的过程。在数学考试竞赛中，我们会碰到各种类型的题口。比如实际应用问题，可传化为数学模型（代数模型、几何模型）。常见的数学模型及相关问题归类如K：模型相关内容方程工程、行程、质量分数、增长率（降低率）、利息、存货、调配、面积等函数方案优化、风险估算、成本最低、利润最大、几何动态不等式、统计、概率最佳设计、租金预算、合理调配、人口、环保、设资估算解直角三角形测高量距、航海、气象、图形设计、土地测量、堤坝、屋架计算线性规划初步产品成本、销售盈亏、投资获利、城市规划、产业预估，利润分配生产方案设计再比如目前十分流行的几何动态问题（动点，动直线，动图形），可以用动与静的辩证关系，最终把动态问题转化为特定条件下的静态计算问题。在具体解题过程中，当然会用到一些具体的转化策略：复杂问题一般化，突显本原G•波利亚在《怎样解题》屮指出：“更普遍的问题可能更易于求解。”例1』2_』2_血_】2-……=（）分析：此题由于省略号的出现，使计算繁琐，而且冬有明确显示根号内是2减多少。但冇一点可以肯定，这是一个循环运算。考查X二0.&D\n10X二9.9②②一®9X二9可以借助这个办法。解：设X二』2_』2_J2_j2_••…三①则有X2=2—V2-^2-72-72^……②②+①得X2+X=2X二1或X二—2•/X>0X=1即原式二1二、退一步，海阔天空有些问题，有些时候，局部情况相当复杂，如果盲冃进入局部探索、往往会陷入云里雾屮。此时，如果能退一步，从整体上把握方向，常会找到问题的简明解法。例21024名乒乓球选手，用淘汰制争夺单打冠军。问：应进行多少场比赛？为什么？解法1因每两人比赛一场，第一轮要比赛也兰场，第二轮要比赛场啤，第3,4,2225,6,7,8,9轮分别要比赛罟,102410241024102410241°24场,29第10轮比赛罟=1场，最终决出冠军。可见，共应比赛10?41024+匕学二512+256+128+64+210+291024+1024+1024十1024+1024+1024十1024十102422223242526272832+16+8+4+2+1二1023（场）解法2从整体思想考虑，即从淘汰制看，每场比赛总要淘汰一名选手，现在1024名选手屮要决出冠军，需淘汰1023名选手，因此需要进行1023场比赛。上面两种解法比较，显然，解法2简洁明快，美不胜收。从中可以品到应用整体思想解题的特点。三、数形结合，互相转化“数”与“形”是数学中两个最基本的研究对象。形中有数，数中有形，两者结合,威力无比。正如华罗庚教授指出的那样：“数无形，少直观；形无数，难入微”，我们应仔细挖掘题口屮数与形的结合点，通过数形结合，化难为易。例3.x+1+x-2+x-3的最小值是•（第十三届江苏省初中数学竞赛试题）分析：设数轴上的点A、B、C对应的数依次为-1,2,3O那么问题的实质就是在数轴上找一点表示数x的点x,使点x到点A、B、C之间的距离之和为最小。显然，当点x与点B重合时，距离之和最小，它等于A、C两点距离，若点x不与点B重合，\n例如在A、B间某一位置,（如图）则距离之和等于xA+xB+xC=AC+xB>AC,于是，本题答案为当x二2时取得最小值为4。四、一般问题，特殊化由于特殊问题比较简单，而特殊问题的解决常常孕育着一般问题的解决，华罗庚教授讲：“这是一般的研究方法，先足够地退到我们容易看清问题的地方去，看透了，钻深T,然后再上去。”例4、设（2xT）3=a5x:,+a4x4+a3x3+a2x"+a,x+a（）（1）a0+a】+82+83+a4+a5（2）a0~a（+a9_a3+a4-a5（3）a0+a2+a4的值。解（1）令x=l即得a0+3]+a2+a3+a4+a5=l0（2）令x二-1即得a0~a,+a9_a3+a4-a5=~243（3）由上述解得：a0+a2+a=—（1—243）二-121五、反戈一击，立竿见影反证法是间接证法中的一种，在解某个数学问题吋，若感到条件“不足”或无从下手，不妨考虑使用反证法。反证法最大的优点是无形中多了一个或几个条件，从原结论的相反结论出发，再利用原有的一些已知条件，导出矛盾，从而达到否定假设，肯定原命题的目的。例5要将29个数学竞赛的名额分配给10所学校，每校至少要分到一个名额。求证:（1）不管怎样分配，至少有3个学校得到的名额相同。（2）如果分到相同名额的学校小于4,则29名选手至少有5名来自同一学校。解：（1）若没冇3个学校得到相同的名额，由于每校至少一名，则最节约的方案是：2个学校各得1名；2个学校各得2名；2个学校各得3名；2个学校各得4名；2个学校各得5名。这样，最少要2（1+2+3+4+5）二30个名额，但只有29个名额，不够分配。（2）若每个学校分得的名额都不超过4,则在分到相同名额的学校小于4的条件下,10校派出的选手不超1X1+3X2+3X3+3X4=28o数学解题的成功需要人量的经验知识积累：（1）多跑阅览室，在课余可以坐-•会，既可以放松也是可学习到许多其它老师的经验;（2）多跑书店，许多新的好书是我们需要收藏的，也可以推荐给学生；（3）多和同事交流，三个臭皮匠顶个诸葛亮，思维的撞击才能产生更多的火花；（4）多做精选的试题，多做变式训练，真正把学来的知识转化为自身的东西。数学题就像是一间里而藏有珍宝而又被锁起来的屋子，而我们这些心灵手巧的工匠就站在屋子的前面……