初中数学《排列》讲义及练习 17页

排列知识框架图7计数综合7-4排列7-4-1排列的基本应用7-4-2捆绑法7-4-3排列的综合应用教学目标1.使学生正确理解排列的意义；2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3.掌握排列的计算公式；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．知识要点一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；步骤：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位，有()种方法；……步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有(种)方法；由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘．\n二、排列数一般地，对于的情况，排列数公式变为．表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数．这种个排列全部取出的排列，叫做个不同元素的全排列．式子右边是从开始，后面每一个因数比前一个因数小，一直乘到的乘积，记为，读做的阶乘，则还可以写为：，其中．例题精讲模块一、排列的基本应用【例1】计算：⑴；⑵．（2级）【解析】由排列数公式知：⑴⑵,，所以．【巩固】（难度等级※）计算：⑴；⑵．（2级）【解析】⑴　　　　　⑵．【巩固】（难度等级※）计算：⑴；⑵．（2级）【解析】⑴；⑵．【例2】有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？(照相时3人站成一排)（4级）【解析】由于人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有人，可以看成有个位置由这人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选人照相，所以，问题就转化成从四个人中选人，排在个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．由排列数公式，共可能有：(种)不同的拍照情况．也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：(种)不同的拍照情况．【巩固】4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？（4级）【解析】个人到照相馆照相，那么个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从个元素中选个，排成一列的问题．这时，．\n由排列数公式知，共有(种)不同的排法．【巩固】9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？（4级）【解析】如果问题是名同学站成一排照相，则是个元素的全排列的问题，有种不同站法．而问题中，个人要站成两排，这时可以这么想，把个人排成一排后，左边个人站在前排，右边个人站在后排，所以实质上，还是个人站个位置的全排列问题．方法一：由全排列公式，共有(种)不同的排法．方法二：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个．【巩固】5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？（4级）【解析】由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且．由全排列公式，共有(种)不同的站法．【巩固】丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？（4级）【解析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且n=4．由全排列公式，共有(种)不同的站法．【例2】一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共需要多少种不同的车票．（4级）【解析】(种)．【例3】班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：有多少种不同的分工方式？（4级）【解析】(种)．【例4】有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？（4级）【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中，．由排列数公式知，共可组成(种)不同的信号．【巩固】有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？（4级）【解析】．\n【巩固】在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？（4级）【解析】方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题．由排列数公式，共可以组成(种)不同的信号．方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有种方法；其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：(种)．【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．【例1】用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？（4级）【解析】这是一个从个元素中取个元素的排列问题，已知，，根据排列数公式，一共可以组成(个)不同的四位数．【巩固】由数字、、、、、可以组成多少没有重复数字的三位数？（2级）【解析】．【例2】用、、、、可以组成多少个没重复数字的三位数？（4级）【解析】（法）本题中要注意的是不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从、、、这四个数字中选择一个，有种方法；十位和个位上的数字可以从余下的个数字中任选两个进行排列，有种方法．由乘法原理得，此种三位数的个数是：(个)．（法）：从、、、、中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是的．从、、、、这五个数字中任选三个数字的排列数为，其中首位是的三位数有个．三位数的个数是：(个)．本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．【例3】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？（2级）【解析】个位数字已知，问题变成从从个元素中取个元素的排列问题，已知，，根据排列数公式，一共可以组成(个)符合题意的三位数．【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？（4级）【解析】由于组成偶数，个位上的数应从，，中选一张，有种选法；十位和百位上的数可以从剩下的\n张中选二张，有(种)选法．由乘法原理，一共可以组成(个)不同的偶数．．【例1】由，，，，，组成无重复数字的数，四位数有多少个？（4级）【解析】方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为，由于不能在千位上，而以为千位数的四位数有，它们的差就是由，，，，，组成无重复数字的四位数的个数，即为：个．方法二：完成这件事——组成一个四位数，可分为个步骤进行，第一步：确定千位数；第二步：确定百位数；第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确定了，思维过程如下：千位百位十位个位第一步：确定千位数由于首位不能为，所以只能从，，，，中任选一个数字，共有种选法．第二步：确定百位数由于数字不允许重复使用，所以千位用过的数字百位不能再用，然而百位可以是，所以在，，，，中去掉千位用去的一个数字，百位共有种选法．第三步：确定十位数因为千位和百位已从，，，，，中用去个数字，所以十位只能从剩下的数字中选择，共有种选法．第四步：确定个位数因为千位、百位和十位已从，，，，，中用去个数字，所以个位只能从剩下的数字中选择，共有种选法．根据乘法原理，所求的四位数的个数是：(个)．【例2】用、、、、这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？（4级）【解析】按位数来分类考虑：⑴一位数只有个；⑵两位数：由与，与，与，与四组数字组成，每一组可以组成(个)不同的两位数，共可组成(个)不同的两位数；⑶三位数：由，与；，与；，与；，与四组数字组成，每一组可以组成(个)不同的三位数，共可组成(个)不同的三位数；⑷四位数：可由，，，这四个数字组成，有(个)不同的四位数；⑸五位数：可由，，，，组成，共有(个)不同的五位数．由加法原理，一共有(个)能被整除的数，即的倍数．\n【例1】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比大且百位数字不是的无重复数字的五位数？（4级）【解析】可以分两类来看：⑴把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有(种)放法，对应24个不同的五位数；⑵把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有种选择．由乘法原理，可以组成(个)不同的五位数．由加法原理，可以组成(个)不同的五位数．【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？（4级）【解析】从高位到低位逐层分类：⑴千位上排，，或时，千位有种选择，而百、十、个位可以从中除千位已确定的数字之外的个数字中选择，因为数字不重复，也就是从个元素中取个的排列问题，所以百、十、个位可有(种)排列方式．由乘法原理，有(个)．⑵千位上排，百位上排时，千位有种选择，百位有种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择．也就是从个元素中取个的排列问题，即，由乘法原理，有(个)．⑶千位上排，百位上排，十位上排，，，，，时，个位也从剩下的七个数字中选择，有(个)．⑷千位上排，百位上排，十位上排时，比小的数的个位可以选择，，，，共个．综上所述，比小的四位数有(个)，故比小是第个四位数．【例2】由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列．2008排在个．（6级）【解析】比小的位数有和，比小的位数有（种），比小的位数有（种），比小的位数有（种），所以排在第（个）．【例3】千位数字与十位数字之差为2（大减小)，且不含重复数字的四位数有多少个?（4级）【解析】千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为，对应的十位数字取，每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的个数字中选出个作百位和个位就行了，因此总共有个这样的四位数．⑵千位数字小于十位数字，千位数字取，十位数字取，共有个这样的四位数．所以总共有个这样的四位数．【例4】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非数码组成，且四个数码之和是，那么确保打开保险柜至少要试几次？（6级）【解析】四个非数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种．\n第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑的位置就可以了，可以任意选择个位置中的一个，其余位置放，共有种选择；第二种中，先考虑放，有种选择，再考虑的位置，可以有种选择，剩下的位置放，共有(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有种选择．最后一种，与第一种的情形相似，的位置有种选择，其余位置放，共有种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试次．【例1】幼儿园里的名小朋友去坐把不同的椅子，有多少种坐法？（4级）【解析】在这个问题中，只要把把椅子看成是个位置，而名小朋友作为个不同元素，则问题就可以转化成从个元素中取个，排在个不同位置的排列问题．由排列数公式，共有：(种)不同的坐法．【巩固】幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少种不同的坐法？（4级）【解析】与例不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把把椅子看成是个元素，而把名小朋友作为个位置，则问题转化为从把椅子中选出把，排在名小朋友面前的排列问题．由排列公式，共有：(种)不同的坐法．【巩固】10个人走进只有辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种不同的坐法？（4级）【解析】把辆碰碰车看成是个位置，而个人作为个不同元素，则问题就可以转化成从个元素中取个，排在个不同位置的排列问题．共有(种)不同的坐法．【例2】一个篮球队有五名队员，，，，，由于某种原因，不能做中锋，而其余个人可以分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？（4级）【解析】方法一：此题先确定做中锋的人选，除以外的四个人任意一个都可以，则有种选择，确定下来以后，其余个人对应个位置，有(种)排列．由乘法原理，，故一共有种不同的站位方法．方法二：五个人分配到五个位置一共有(种)排列方式，能做中锋一共有(种)排列方式，则不能做中锋一共有种不同的站位方法．【例3】小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?（4级）【解析】我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO块糖分成了两部分．我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：○○○○|○○○|○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法．\n【例1】一种电子表在6时24分30秒时的显示为::，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?（6级）【解析】设A:BC是满足题意的时刻，有A为8，B、D应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有种选法，而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有种选法，所以共有×=1260种选法．从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个．模块二、捆绑法在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．【例2】4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧挨着排在正中间有多少种不同的排法？（4级）【解析】⑴4男2女6人站成一排相当于6个人站成一排的方法，可以分为六步来进行，第一步，确定第一个位置的人，有6种选择；第二步，确定第二个位置的人，有5种选择；第三步，排列第三个位置的人，有4种选择，依此类推，第六步，最后一个位置只有一种选择．根据乘法原理，一共有种排法．⑵根据题意分为两步来排列．第一步，先排4个男生，一共有种不同的排法；第二步，将2个女生安排完次序后再插到中间一共有2种方法．根据乘法原理，一共有种排法．【巩固】4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？（4级）【解析】分为三步：第一步：4个男得先排，一共有种不同的排法；第二步：2个女的排次序一共有2种方法；第三步：将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间，一共有5个位置可插．根据乘法原理，一共有种排法．【例3】将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻．请问共有多少种不同的排列方法？（2007年台湾第十一届小学数学世界邀请赛）（4级）【解析】（法）七人排成一列，其中要与相邻，分两种情况进行考虑．若站在两端，有两种选择，只有一种选择，另五人的排列共有种，所以这种情况有种不同的站法．若站在中间，有五种选择，无论在中间何处，都有两种选择．另五人的排列共有种，所以这种情况共有种不同的站法．所以共有种不同的站法．（法）由于与必须相邻，可以把与当作一个整体来考虑，这样相当于个元素的全排列，另外注意、内部有种不同的站法，所以共有种不同的站法．\n【巩固】6名小朋友站成一排，若两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？（6级）【解析】若A、B两人必须站在一起，那么可以用“捆绑”的思想考虑，甲和乙两个人占据一个位置，但在这个位置上，可以甲在左乙在右，也可以甲在右乙在左．因此站法总数为=2×120=240（种）A、B两个人不能相邻与A、B两个人必须相邻是互补的事件，因为不加任何条件的站法总数为=720（种），所以A、B两个人不能相邻的站法总数为720-240=480（种）．【例1】某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有人，全组同学站成一排，要求女少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？（6级）【解析】把个女少先队员看成一个整体，将这个整体与不是少先队员的名同学一块儿进行排列，有(种)排法．然后在七个空档中排列个男少先队员，有(种)排法，最后个女少先队员内部进行排列，有(种)排法．由乘法原理，这样的排法一共有(种)．【例2】学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？（6级）【解析】(1)要求男生不能相邻，则可以先排女生，然后把男生插进女生之间的空位里．因为有3名女生，考虑到两端也可以放人，所以一共有四个空位．则站法总数为：（种）(2)根据题意，采用捆绑法，将所有女生看成一个整体，则站法总数为：（种）．【例3】书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？（6级）【解析】⑴每种书内部任意排序，分别有，，种排法，然后再排三种类型的顺序，有种排法，整个过程分4步完成．种，一共有103680种不同排法．⑵方法一：首先将漫画书和童话书全排列，分别有、种排法，然后将漫画书和童话书捆绑看成一摞，再和3本故事书一起全排列，一共有种排法，所以一共有种排法．方法二：首先将三种书都全排列，分别有24、120、6种排法，然后将排好了顺序的漫画书和童话书，整摞得先后插到故事书中，插漫画书时有4个地方可以插，插童话书时就有5个地方可插，所以一共有种排法．【例4】四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？（4级）【解析】要求同类型的节目连续演出，则可以应用“捆绑法”．先对舞蹈、演唱、小品三种节目做全排列，再分别在各类节目内部排列具体节目的次序．因此出场顺序总数为：=144（种）．\n【例1】停车站划出一排个停车位置，今有辆不同的车需要停放，若要求剩余的个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案?（4级）【解析】把个空车位看成一个整体，与辆车一块进行排列，这样相当于个元素的全排列，所以共有．【例2】a，b，c，d，e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法？（4级）【解析】解法一：插空法，先排，，，有种排法．在，，三个人之间有2个空，再加上两端，共有4个空，，排在这4个空的位置上，与就不相邻，有种排法．根据分步计数乘法原理，不同的排法共有（种）．解法二：排除法，把，当作一个人和其他三个人在一起排列，再考虑与本身的顺序，有种排法．总的排法为．总的排法减去与相邻的排法即为与不相邻的排法，应为（种）．【巩固】8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？（6级）【解析】人的环状排列与线状排列的不同之处在于：、、、…、在线状排列里是个不同的排列，而在环状排列中是相同的排列．所以，个不同的元素的环状排列数为．甲、乙两人必须相邻，可把他们看作是1人（当然，他们之间还有顺序），总排列数为．从中扣除甲、乙相邻且乙、丙也相邻（注意，这和甲、乙、丙三人相邻是不同的．如甲在乙、丙之间合于后者，但不合于前者）的情况种．所以，符合题意的排法有（种）．模块三、排列的综合应用【例3】甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间必须有两个人，问一共有多少种站法？（6级）【解析】先考虑给甲乙两人定位，两个人可以站在队伍从左数的一、四个，二、五个或三、六个，甲乙两人要在内部全排列，剩下四个人再全排列，所以站法总数有：（种）．【巩固】甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法？（6级）【解析】类似地利用刚才的方法，考虑给甲乙两人定位，两人之间有两个人、一个人、没有人时分别有3、\n4、5种位置选取方法，所以站法总数有：（种）．【例1】甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲不能站在队伍左半边，乙不能站在队伍右半边，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？（6级）【解析】先对丙定位，有4种站法，无论丙站在哪里，甲和乙一定有一个人有两种站法，一个人有三种站法，剩下三个人进行全排列，所以站法总数有：（种）．【例2】甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八个人站队，要求：甲不能站在队伍最靠左的三个位置，乙不能站在队伍最靠右的三个位置，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？（6级）【解析】按甲在不在队伍最靠右的位置、乙在不在队伍最靠左的位置分四种情况讨论：如果甲在队伍最靠右的位置、乙在队伍最靠左的位置，那么丙还有6种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：（种）如果甲在队伍最靠右的位置，而乙不在队伍最靠左的位置，那么乙还有4种站法，丙还有5种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：（种）如果甲不在队伍最靠右的位置，而乙在队伍最靠左的位置，分析完全类似于上一种，因此同样有2400种站法如果甲不在队伍最靠右的位置，乙也不在队伍最靠左的位置，那么先对甲、乙整体定位，甲、乙的位置选取一共有（种）方法．丙还有4种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：（种）所以总站法种数为（种）【例3】名男生，名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：⑴甲不在中间也不在两端；⑵甲、乙两人必须排在两端；⑶男、女生分别排在一起；⑷男女相间．（6级）【解析】⑴先排甲，个位置除了中间和两端之外的个位置都可以，有种选择，剩下的个人随意排，也就是个元素全排列的问题，有(种)选择．由乘法原理，共有(种)排法．⑵甲、乙先排，有(种)排法；剩下的个人随意排，有(种)排法．由乘法原理，共有(种)排法．⑶分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是个元素与个元素的全排列问题，分别有(种)和(种)排法．由乘法原理，共有(种)排法．⑷先排名男生，有(种)排法，再把名女生排到个空档中，有\n(种)排法．由乘法原理，一共有(种)排法．【例1】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排．（6级）【解析】（1）（种）．（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．（种）.（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×=1440(种)．（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．(种)．（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，（种）.（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3××2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列．【例2】已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？（6级）【解析】这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化．仔细审题，已知“甲和乙都未拿到冠军”，而且“乙不是最差的”，也就等价于人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有种排法，再排甲，也有种排法，剩下的人随意排，有(种)排法．由乘法原理，一共有(种)不同的排法．【例3】书架上有本故事书，本作文选和本漫画书，全部竖起来排成一排．⑴如果同类的书不分开，一共有多少种排法？⑵如果同类的书可以分开，一共有多种排法？（6级）【解析】⑴可以分三步来排：先排故事书，有(种)排法；再排作文选，有(种)排法；最后排漫画书有种排法，而排故事书、作文选、漫画书的先后顺序也可以相互交换，排列的先后顺序有(种)．故由乘法原理，一共有种排法．\n⑵可以看成(本)书随意排，一共有(种)排法．若同类书不分开，共有种排法；若同类书可以分开，共有种排法．【例1】一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少种不同的串法？⑴把盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位．⑵串起其中盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位．（4级）【解析】⑴可以先考虑紫灯的位置，除去第一位和第七位外，有种选择；然后把剩下的盏灯随意排，是一个全排列问题，有(种)排法．由乘法原理，一共有(种)．⑵先安排第一盏和第四盏灯．第一盏灯不是紫灯，有种选择；第四盏灯有种选择；剩下的盏灯中随意选出盏排列，有(种)选择．由乘法原理，有(种)．【例2】某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其中某动画片和某新闻播报必须在第一天播出，一场体育比赛必须在第二天播出，那么一共有多少种不同的播放节目方案？（4级）【解析】某动画片和某新闻播报在第一天播放，对于动画片而言，可以选择当天四个节目时段的任何一个时段，一共有种选择，对于新闻播报可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段，一共有种选择，体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个，一共有种选择．剩下的个节目随意安排顺序，有(种)选择．由乘法原理，一共有(种)不同的播放节目方案．【例3】从名运动员中选出人参加接力赛．试求满足下列条件的参赛方案各有多少种：⑴甲不能跑第一棒和第四棒；⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．（6级）【解析】⑴先确定第一棒和第四棒．第一棒是甲以外的任何一个人，有种选择，第四棒有种选择，剩下的个人中随意选择个人跑第二棒和第三棒，有种选择．由乘法原理，一共有(种)参赛方案．⑵先不考虑甲、乙的特殊要求，从名运动员中随意选择人参赛，有种选择．考虑若甲跑第一棒，其余人随意选择人参赛，对应种不同的选择，考虑若乙跑第四棒，也对应种不同的选择，但是，从种中减去两个种的时候，重复减了一次甲跑第一棒，且乙跑第四棒的情况．这种情况下，对应于第一棒，第四棒已确定只需从剩下的人选择人参赛的(种)方案，应加上．综上所述，一共有(种)不同的参赛方案．【例4】一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目．求：（6级）⑴当个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？⑵当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？【解析】⑴先将个舞蹈节目看成个节目，与个演唱节目一起排，则是个元素全排列的问题，有(种)方法．第二步再排个舞蹈节目，也就是个舞蹈节\n目全排列的问题，有(种)方法．根据乘法原理，一共有(种)方法．⑵首先将个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，是个元素全排列的问题，一共有(种)方法．×□×□×□×□×□×□×第二步，再将个舞蹈节目排在一头一尾或个演唱节目之间(即上图中“×”的位置)，这相当于从个“×”中选个来排，一共有(种)方法．根据乘法原理，一共有(种)方法．【巩固】由个不同的独唱节目和个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？（6级）【解析】先排独唱节目，四个节目随意排，是个元素全排列的问题，有种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，有(种)排法；再在独唱节目之间的个位置中排一个合唱节目，有种排法．由乘法原理，一共有(种)不同的编排方法．【小结】排列中，我们可以先排条件限制不多的元素，然后再排限制多的元素．如本题中，独唱节目排好之后，合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了．总的排列数用乘法原理．把若干个排列数相乘，得出最后的答案．【例1】用排成四位数：（6级）（1）共有多少个四位数？（2）无重复数字的四位数有多少个？（3）无重复数字的四位偶数有多少个？（4）2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个？（5）2在千位上的无重复数字的四位数有多少个？（6）5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个？【解析】⑴条件中未限制“无重复数字”，所以，数字可以重复出现，如等．依分步计数乘法原理共有（个）⑵（个）⑶个位上只能是或，有（个）⑷所有四位数中，在的左边或在的右边的数各占一半，共有（个）⑸在千位上，只有种方法，此后只能在另外的个位置上排列，有（个）⑹法一：不在十位、个位上，所以只能在千位上或百位上，有（个）法二：从中减去不合要求的（在十位上、个位上），有（个）．【巩固】用数字组成没有重复数字的正整数．（6级）\n　　　　⑴能组成多少个五位数？⑵能组成多少个正整数？⑶能组成多少个六位奇数？⑷能组成我少个能被整除的四位数？⑸能组成多少个比大的数？⑹求三位数的和．【解析】本题属带有限制条件的排列问题，利用直接方法或间接方法都可以解决这类问题，但需考虑特殊位置和特殊元素．（1）因为万位上的数字不能是，所以万位上的数字的排法有种，其余四位上的排法有种，所以，共可组成个五位数．（2）组成的正整数，可以是一位、二位、三位、四位、五位、六位数，相应的排法依次有，所以，可组成个正整数．（3）首位与个位的位置是特殊位置，是特殊元素，先选个位数字，有种不同的选法；再考虑首位，有种不同的选法；其余四个位置的排法有种．所以，能组成个六位奇数．（4）能被整除的四位数的特殊是末两位数是或，这两种形式的四位数依次是和个．所以，能组成个能被25整除的四位数．（5）因为除首位数字以外，其余个数字顺次递增排列，所以，是首位数是的没有重复数字的最小六位数，比它小的六位数是首位数为的没有重复数字的最小六位数．比它小的六位数是首位数为的六位数，共有个，而由组成的六位数有个．所以，大于的没有重复数字的六位数共有（个）（6）由组成无重复数字的三位数共有（个）.个位数字是的三位数有（个），同理个位数字是2、3、4、5的三位数都各有16个，所以，个位数字的和是；同样十位上是数字1、2、3、4、5的三位数也都各有个，这些数字的和为；百位上是数字1、2、3、4、5的三位数都各自有个，这些数字的和为．所以，这100个三位数的和为\n【例1】由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数．（6级）⑴四位数有多少个？⑵四位数奇数有多少个？⑶四位数偶数有多少个？⑷整数有多少个？⑸是5的倍数的三位数有多少个？⑹是25的倍数的四位数有多少个？⑺大于5860的四位数有多少个？⑻小于5860的四位数有多少个？⑼由小到大排列的四位数中，5607是第几个数？⑽由小到大排列的四位数中，第128个数是多少？【解析】⑴（个）（或（个））．⑵个位上只能是5或7，0不能作千位数字，有（个）．⑶个位上只能是0或2，6，8，个位上是0的有个，个位上的是2，6，8的有个，所以共有（个）．⑷包括一位数，二位数，…，六位数，共有（个）．⑸5的倍数只能是个位上的0或5的数，共有（个）．⑹末两位数只能是25，50，75，共有（个）．⑺共有（个）．⑻共有（个），或者从总数300中减去大于和等于5860的数的个数（个）．⑼小于5607的四位数，即形如，，，的数，共有（个）．所以，5607是第86个数．⑽由小到大排列的四位数形如，，各有个，共120个；需再向后数8个，，，各有个，然后是6072，6075，这样，6075是第（个）数．所以，6075为所求的数．【例2】⑴从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）（6级）⑵从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？⑶3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？⑷8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？⑸一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？⑹8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？\n【解析】⑴按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出3个往上排，有种．⑵3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有种．⑶3位同学看成是三个位置，任取8个座位号（8个元素）中的3个往上排（座号找人），每确定一种号码即对应一种坐法，有种．⑷3个坐位排号1，2，3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有种．⑸3列火车编为1，2，3号，从8股车道中任取3股往上排，共有种．⑹土地编1，2，3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有种．【例1】现有男同学3人，女同学4人(女同学中有一人叫王红)，从中选出男女同学各2人，分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组：（6级）(1)共有多少种选法?(2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种?(3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种?(4)参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种?【解析】（1）从3个男同学中选出2人，有=3种选法．从4个女同学中选出2人，有=6种选法．在四个人确定的情况下，参加四个不同的小组有4×3×2×1=24种选法．3×6×24=432，所以共有432种选法．（2）在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有2×3×2×1=12种选法．3×6×12=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216种．（3）考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人，从3个女同学中选出1人，3个人参加3个小组时的选法．3×3×3×2×1=54，所以参加数学小组的是王红时的选法有54种，432-54=378，所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有378种．（4）考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人参加两个不同的小组，从3个女同学中选出1人参加美术小组时的选法．3×2×3=18，所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有18种，216-18=198，所以参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有198种．