初中数学练习(高斯函数) 4页

初中数学竞赛的高斯函数一、知识概要1）定义：设，用表示不超过的最大整数。则称为高斯函数，也叫取整函数。显然，的定义域是R，值域是Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即：，因此，，这里，为的整数部分，而为的小数部分。注意：-1.8=-2+0.2(小数部分永远>0)2）性质1，函数是一个分段表达的不减的无界函数，即当时，有；2，，其中；3，；4，若，则其中；5，对于一切实数有；6，若，则；（不是整数时）（是整数时）7，8，若，则；当时，；9，若整数适合（是整数，），则；10，是正实数，是正整数，则在不超过的正整数中，的倍数共有个；11，设为任一素数，在中含的最高乘方次数记为，则有：\n。证明：由于是素数，所有中所含的方次数等于的各个因数所含的方次数之总和。由性质10可知，在中，有个的倍数，有个的倍数，有个的倍数，，当时，，所以命题成立。高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用。解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。一、解题示例例1，若实数使得，求。解：等式左边共73项，且因都小于1，则每一项为或，注意到：，故必有。进一步有：，所以原式左边从第1项至第38项其值为7，自第39项以后各项值为8。即：=743例2，计算：的值。解：由题意得：对于任意的，\n说明：本例采用了分组凑整的思想。例3，对自然数及一切实数，求证：。（厄尔密特等式）证明：对任意的自然数，构造函数，则：，所以，函数为周期函数，其周期，因此，原命题只需证在区间内成立即可。而这一结论显然是成立的。例4，对任意的，证明：。证明：首先证明。令，则。当时，，于是，那么；当时，，即，那么。所以命题成立，也就是：。故：。又：\n注：本例的证明采用了“两边夹”法则。