初中数学《裂项》讲义及练习 8页

裂项中考要求内容基本要求略高要求较高要求有理数运算理解乘方的意义掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）能运用有理数的运算解决简单问题有理数的运算律理解有理数的运算律能用有理数的运算律简化运算例题精讲常规分数裂项示例：⑴　；⑵　；⑶　；⑷　；常规整数裂项示例：⑸；⑹；⑺【例1】（6级）（2008年第十三届“华杯赛”决赛集训题）已知，试求的值．【解析】∵，且，．∴解得，．∴原式．【巩固】（6级）⑴（2008年广东湛江市）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．\n，，，┅┅①计算．②探究．（用含有的式子表示）③若的值为，求的值．（6级）⑵（肇庆市2009年初中毕业生学业考试）观察下列各式：，，，…，根据观察计算：．（为正整数）【解析】⑴①．②．③；⑵【巩固】（6级）计算：【解析】【例1】（8级）计算：【解析】原式【例2】（8级）试求算式的整数部分．【解析】原式可见所求整数部分为．【变式】（6级）计算：．【解析】原式【例3】（8级）（06年希望杯2试）计算：．\n【解析】．【巩固】（8级）（我爱数学夏令营）【解析】原式【例2】（8级）计算：【解析】注意到每一项分母两个因子的差恰好等于分子，因此考虑拆项；经过尝试，发现有，…，所以原式【巩固】（8级）计算：【解析】原式【例3】（10级）计算：【解析】原式【巩固】（10级）计算：________．【解析】原式\n【例1】（10级）（2007~2008年北京四中期中考试附加题）求证：（为正整数）【解析】当时，原不等式为，显然成立；当时，，故．于是可知，得证．又，故成立．【巩固】（10级）已知，求[]的值.【解析】一方面，我们有另一方面，我们又有，从而，故.【补充】（10级）(2008年迎春杯高年级组复试)【解析】原式\n【例1】（6级）(2008年学而思杯)________【解析】本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：，所以原式另解：由于，所以原式采用此种方法也可以得到这一结论．常见的裂项都是分式的裂项，此处则是整式的裂项．从中还可以得出：．【巩固】（6级）计算：【详解】，所以，原式从中还可以看出，．【补充】（8级）计算：【解析】记原式为，再设，则，现在知道与的和了，如果能再求出与的差，那么、的值就都可以求出来了．\n所以，．【补充】（8级）计算：________【解析】观察发现，，……，可见，原式【例1】（6级）(五羊杯)设，，求的值．【解析】，所以有，进而可得：．【例2】（6级）计算：【解析】原式【巩固】（6级）计算：【解析】原式【例3】（6级）(第三届祖冲之杯邀请赛填空题第12题、人大附中入学测试题)计算：【解析】原式【总结】本题看见后面五项的分母是我们最常见的裂项分母，这样很明显我们可以先想着裂项，前面的两项先留住，再来观察分子和分母的关系，我们发现分子是分母的和，这样我们就叫“裂和”．【巩固】（6级）计算：\n【解析】原式【例1】（6级）计算：【解析】原式【巩固】（6级）计算：【解析】原式课后练习练习1．（6级）计算：【解析】原式\n练习1．（6级）计算：．【解析】原式练习2．（8级）(第17届希望杯)．【解析】⑴原式练习3．（8级）计算：【解析】式子中每一项的分母都是若干个连续整数连乘的积，分子则是这些整数中的最后一个与第一个的差，所以可以直接裂项．原式练习4．（8级）计算：【解析】原式练习5．（6级）计算：【解析】原式．练习6．（8级）(南京市迎春杯数学竞赛)【解析】原式【总结】对于部分的裂项，可能不容易看到．我们通过这道例题，体会一下，如果能裂项成与已知分数相同的部分，最终将出现前后抵消的效果．