初中几何练习题及答案 25页

精品文档初中几何练习题及答案经典题1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．证明：过点G作GH⊥AB于H，连接OE∵EG⊥CO，EF⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90°∴∠EGO+∠EFO=180°∴E、G、O、F四点共圆∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90°∴△EGO∽△FHG∴EOGO=FGHG∵GH⊥AB，CD⊥AB∴GH∥CDGOCO?HGCDEOCO∴?FGCD∴∵EO=CO∴CD=GF2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。求证：△PBC是正三角形．证明：作正三角形ADM，连接MP2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档∵∠MAD=60°，∠PAD=15°∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75°∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°∴∠BAP=∠MAP∵MA=BA，AP=AP∴△MAP≌△BAP∴∠BPA=∠MPA，MP=BP同理∠CPD=∠MPD，MP=CP∵∠PAD＝∠PDA＝15°∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75°∵BA=CD∴△BAP≌∠CDP∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP，MP=CP∴BP=CP∴△BPC是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档证明:连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG∵CN=DN，CG=DG∴GN∥AD，GN=1AD∴∠DEN=∠GNM∵AM=BM，AG=CG∴GM∥BC，GM=1BC∴∠F=∠GMN∵AD=BC∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM∴∠DEN=∠F经典题1、已知：△ABC中，H为垂心，O为外心，且OM⊥BC于M．求证：AH＝2OM；若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．证明：延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG⊥AD于G∵OG⊥AF∴AG=FG⌒=AB⌒∵AB∴∠F=∠ACB2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档又AD⊥BC，BE⊥AC∴∠BHD+∠DBH=90°∠ACB+∠DBH=90°∴∠ACB=∠BHD∴∠F=∠BHD∴BH=BF又AD⊥BC∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2=2GD又AD⊥BC，OM⊥BC，OG⊥AD∴四边形OMDG是矩形∴OM=GD∴AH=2OM连接OB、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120°∵OB=OC，OM⊥BC∴∠BOM=1∠BOC=60°∴∠OBM=30°∴BO=2OM由知AH=2OM∴AH=BO=AO2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.求证：AP＝AQ．证明：作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QF∵AG⊥PQ2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF即∠PAE=∠QAF∵E、F、C、D四点共圆∴∠AEF+∠FCQ=180°∵EF⊥AG，PQ⊥AG∴EF∥PQ∴∠PAF=∠AFE∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF∴∠AEF=∠PAF在△AEP和△AFQ中∵∠PAF+∠QAF=180°∠AFQ=∠AEP∴∠FCQ=∠QAFAF=AE∴F、C、A、Q四点共圆∠QAF=∠PAE∴∠AFQ=∠ACQ∴△AEP≌△AFQ又∠AEP=∠ACQ∴AP=AQ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．证明：作OF⊥CD于F，OG⊥BE于G，连接OP、OQ、OA、AF、AG∵C、D、B、E四点共圆2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档∴∠B=∠D，∠E=∠C∴△ABE∽△ADC∴ABBE2BGBG???ADDC2FDDF∴△ABG∽△ADF∴∠AGB=∠AFD∴∠AGE=∠AFC∵AM=AN，∴OA⊥MN又OG⊥BE，∴∠OAQ+∠OGQ=180°∴O、A、Q、E四点共圆∴∠AOQ=∠AGE同理∠AOP=∠AFC∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA∴△OAQ≌△OAP∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC求证：BC=2OP2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N∵OF=OD，DN∥OP∥FL∴PN=PL∴OP是梯形DFLN的中位线∴DN+FL=2OP∵ABFG是正方形∴∠ABM+∠FBL=90°又∠BFL+∠FBL=90°∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB∴△BFL≌△ABM∴FL=BM同理△AMC≌△CND∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN∴BC=FL+DN=2OP经典题1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．证明：连接BD交AC于O。过点E作EG⊥AC于G∵ABCD是正方形2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档∴BD⊥AC又EG⊥AC∴BD∥EG又DE∥AC∴ODEG是平行四边形又∠COD=90°∴ODEG是矩形∴EG=OD=111BD=AC=AE22∴∠EAG=30°∵AC=AE∴∠ACE=∠AEC=75°又∠AFD=90°-15°=75°∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC∴CE=CF2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．证明：连接BD，过点E作EG⊥AC于G∵ABCD是正方形∴BD⊥AC，又EG⊥AC∴BD∥EG又DE∥AC1∴ODEG是平行四边形∴∠CAE=∠CEA=∠GCE=15°又∠COD=90°在△AFC中∠F=180°-∠FAC-∠ACF∴ODEG是矩形=180°-∠FAC-∠GCE111∴EG=OD=BD=AC=CE2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档=180°-135°-30°=15°22∴∠F=∠CEA∴∠GCE=30°∴AE=AF∵AC=EC3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．证明：过点F作FG⊥CE于G，FH⊥CD于H∵CD⊥CG∴HCGF是矩形∵∠HCF=∠GCF∴FH=FG∴HCGF是正方形∴CG=GF∵AP⊥FP设AB=x，BP=y，CG=z∴∠APB+∠FPG=90°z：y=：x∵∠APB+∠BAP=90°化简得·y=·z∴∠FPG=∠BAP∵x-y≠0又∠FGP=∠PBA∴y=z∴△FGP∽△PBA即BP=FG∴FG：PB=PG：AB∴△ABP≌△PGF4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档证明：过点E作EK∥BD，分别交AC、AF于M、K，取EF的中点H，连接OH、MH、EC∵EH=FH∴OH⊥EF，∴∠PHO=90°∴EM=KM又PC⊥OC，∴∠POC=90°∵EK∥BD∴P、C、H、O四点共圆OBAOOD∴??∴∠HCO=∠HPOEMAMKM又EK∥BD，∴∠HPO=∠HEK∴OB=OD∴∠HCM=∠HEM又AO=CO∴H、C、E、M四点共圆∴四边形ABCD的对角∴∠ECM=∠EHM线互相平分又∠ECM=∠EFA∴ABCD是平行四边形∴∠EHM=∠EFA∴AB=DC，BC=AD∴HM∥AC∵EH=FH圆的一个线段关系问题AB是圆O的一条弦,P是圆外一点，PB切圆O于B,PA交圆O于C,且AC=BC,PD垂直于AB于D,E是AB中点,证明PB=2DE.解答要点：取PB中点F，连接DF、EF，设EF、BC交于M因为E是AB中点所以EF是△ABP的中位线所以EF∥AP所以∠3＝∠A，∠5＝∠又DF是Rt△PBD上的中线所以DF＝BF＝PF＝PB/所以∠FBD＝∠FDB即∠ABP＝∠FDB因为PB是切线所以∠A＝∠12016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档而∠APB＝∠BPC所以∠5＝∠ABP所以∠6＝∠5＝∠FDB所以B、D、F、M四点共圆所以∠4＝∠因为AC＝BC所以∠2＝∠A所以∠3＝∠所以DE＝DF＝PB/所以PB＝2DE一道比较复杂的线段关系问题P为正方形ABCD边CD上一点,PE丄AC于点E,连接AP并延长交BE延长线于点Q,连CQ.求证AQ+CQ=根号倍的2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档BQ.另外:请证明角=4度.解答要点：设PC、EQ交于点O同学已经证明了∠AQB＝4度＝∠PCE则△POQ∽△COE进而可证△COQ∽△EOP所以∠2＝∠CPE＝4度作BM⊥BQ与QC的延长线交于点M则△MBQ是等腰直角三角形所以∠M＝∠AQB＝4度，BQ＝BM＝MQ/√因为∠ABQ＋∠CBQ＝90度＝∠CBM＋∠CBQ所以∠ABQ＝∠CBM又因为AB＝BC所以△ABQ≌△CBM所以AQ＝CM所以AQ＋CQ＝CM＋CQ＝MQ因为BQ＝BM＝MQ/√所以MQ＝√2*BQ所以AQ＋CQ＝√2*BQ一道重点高中招生试题P是圆O外一点,过P点作圆O的两条切线PA,PB.切点为A,B.M为弦AB中点,C为圆O上优弧AB上的任一点,连结CM,CP.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档求证:∠ACP=∠BCM解答思路：如图，连接OP、OA、OC、PD，OP交圆O于点F根据题设条件可得OP过M点由MA*MB＝MC*MD，MA＝MB得MA＝MC*MD在直角三角形OAP中由射影定理得MA＝MO*MP所以MC*MD=MO*MP进而可证得△OCM∽△DPM所以∠OCM＝∠DPM又由OC＝OA，得OC＝OM*OP所以OC/OM＝OP/OC可得△OCM∽△OPC所以∠OCM＝∠OPC2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档所以∠DPM＝∠EPM所以∠APF＝∠BPF根据轴对称性质显然有AE弧＝BD弧所以∠ACP＝∠BCM一道等腰三角形问题的解答009-05-1015:1数学--绝对难题。一道超难的题，除了图上标注的角度外，没有其他条件。求问号角度数解：在三角形ABC内部作∠CBM＝20°，BM与AC交于M因为AB＝AC，∠A＝20°所以∠ABC＝∠ACB＝∠BCM＝80°所以∠BMC＝80°所以∠BMC＝∠BCM所以BC＝BM所以∠EBM＝60°因为∠ECB＝50°所以∠CEB＝50°所以∠ECB＝∠CEB所以2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档BC＝BE所以BE＝BM所以△BEM是等边三角形所以BM＝EM，∠BME＝60°所以∠DME＝40°因为∠DBM＝60°－20°＝40°，∠BMD＝100°所以∠BDM＝40°所以∠BDM＝∠DBM所以BM＝DM所以DM＝EM所以∠EDM＝∠DEM＝70°所以∠BDF＝70°－40°＝30°所以∠F＝∠DBC－∠BDF＝60°－30°＝30°另外形式的问题：另外形式的问题在等腰三角形ABC中，AB=AC,D、E分别在AC、AB上，连DE，如果∠A=20°,∠CBD=60°,∠ECB=50°.求∠ADE的度数。解：在三角形ABC内部作∠CBF＝20°，BF与AC交于F因为AB＝AC，∠A＝20°2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档所以∠ABC＝∠ACB＝∠BCF＝80°所以∠BFC＝80°所以∠BFC＝∠BCF所以BC＝BF所以∠EBF＝60°因为∠ECB＝50°所以∠CEB＝50°所以∠ECB＝∠CEB所以BC＝BE所以BE＝BF所以△BEF是等边三角形所以BF＝EF，∠BFE＝60°所以∠DFE＝40°因为∠DBF＝60°－20°＝40°，∠BFD＝100°所以∠BDF＝40°所以∠BDF＝∠DBF所以BF＝DF所以DF＝EF所以∠EDF＝∠DEF＝70°所以∠ADE＝180°－70°＝110°一个变式的问题：AB＝CD，是腰AB上一点，E已知BC＝BE，一个变式的问题：变式的问题在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝80°，∠BDC=40°。∠ADE等于多少度解：在梯形ABCD内部作∠CBF＝20°，BF与AC交于F因为AB＝CD，∠ABC＝80°所以∠BCD＝80°所以∠BFC＝80°2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档所以∠BFC＝∠BCF所以BC＝BF因为∠EBF＝80°－20°＝60°所以△BEF是等边三角形所以BF＝EF，∠BFE＝60°所以∠DFE＝40°因为∠DBF＝60°－20°＝40°，∠BFD＝100°所以∠BDF＝40°所以∠BDF＝∠DBF所以BF＝DF所以DF＝EF所以∠EDF＝∠DEF＝70°所以∠ADE＝100°－70°＝30°一道较难几何问题的证明已知三角形ABC的高AD、BE交于H，F是BC中点且AD=BC。求证：FC＝HF＋HD证明：因为AD、BE是高所以AD⊥BC，BE⊥AC所以∠CAD＋∠C＝∠CBE＋∠C＝90°所以∠CAD＝∠CBE因为∠ADC＝∠BDH所以△ADC∽△BDH所以CD/HD＝AD/BD所以CD?BD＝AD?HD因为2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档AD＝BC所以CD?BD＝BC?HD所以＝BC*HD因为F为BC的中点所以BF＝CF所以＝BC是小正方形边长的倍一道圆的题如图,俩个不等圆相交于点N、M，过点M的一条弦交两个圆于点A、B，点C是弧BN的中点，点D是弧AN的中点，连结CD/2＝BC/因为PN＝QN，CP＝BQ所以CN＝BN所以N是BC的中点因为B、C是定点，所以N是定点，因为MN＝BC/也是定长所以M点也是定点，即DF中点M的位置不变如图,以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连DF,取DF中点P,作PH垂直于2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档BC.求证:PH=BC证明：作FX⊥BC，DY⊥BC，AQ⊥BC因为PH⊥BC所以∠AQB＝∠BYD＝90°，FX//PH//DY所以∠BDY＋∠DBY＝90°因为四边形ABDE是正方形所以∠ABD＝90°，AB＝BD所以∠ABQ＋∠DBY＝90°所以∠BDY＝∠ABQ所以△ABQ≌△BDY所以AQ＝BY，BQ＝DY同理可证：AQ＝CX，CQ＝FX所以FX＋DY＝BQ＋CQ＝BC，BY＝CX因为P是DF的中点，FX//PH//DY所以H是XY的中点所以PH是梯形DFXY的中位线所以PH＝/2＝BC/2一则有难度的初中几何问题的证明已知MN是圆O的直径，弦MA、NB相交于圆内一点C，分别过A、B作圆的切线，两条切线交于点D，连接CD2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档。求证：CD⊥MN证明：连接MB、NA并延长MB、NA交于点E，连接EC并延长交MN于Q，过A作切线交CE于P因为MN是直径所以AM⊥EN，BN⊥ME，即AM、BN是△EMN的两条高所以∠ACE＋∠AEC＝90°，即∠NEQ＋∠ACP＝90°根据“三角形三条高交于一点”的性质知EQ也是△EMN的高，即EQ⊥MN所以∠NEQ＋∠ENM＝90°所以∠ACP＝∠ENM因为AP是切线所以∠PAM＝∠ENM，即∠PAC＝∠ENM所以∠ACP＝∠PAC所以PC＝PA因为∠PAE＋∠PAC＝90°，即∠PEA＋∠PCA＝90°所以∠PAE＝∠PEA所以PA＝PE所以P是CE的中点同样地，如果过B作圆的切线交CE于点H，可以证明H也是CE的中点即过A、B所作圆的切线都经过CE的中点所以点D就是CE的中点，即点D在EQ上因为EQ⊥MN所以CD⊥MN）关于圆的一道竞赛题解答圆O1与圆O交于点A、B，过A的直线分别交圆O1、圆O于M、N，C为MN的中点，P为O1O的中点。求证2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档PA=PC证明：方法一：作PQ垂直MN于Q，O1E垂直MN于E，O2F垂直MN于F，则PQ//O1E//O2F因为P是O1O的中点所以Q是EF的中点，即QE＝QF＝EF/根据垂径定理得：AE＝ME＝AM/2，AF＝NF＝AN/所以EF＝AE＋AF＝/2＝MN/设AM＝4X，AN＝4Y，则AE＝ME＝2X，AF＝NF＝2Y，QE＝QF＝X＋Y因为C为MN的中点所以MC＝NC＝MN/2＝2X＋2Y因为AQ＝AE－QE＝2X－＝X－YCQ＝QM－MC＝ME＋QE－MC＝2X＋－＝X－Y所以AQ＝CQ因为PQ⊥AC所以PQ垂直平分AC所以PA＝PC方法二：在⊙1中作直径AR，在⊙O中作直径AS，连接BR、BS，延长AP交BR于G，连接CG、RM、SN、AB因为AR、AS是直径所以∠ABR＝∠ABS＝90°，∠M＝∠N＝90°，所以R、B、S在同一直线上，且有AB⊥RS，RM//SN因为AB⊥O1O所以O1O2//RS所以O1P/RG＝AP/AG，O2P/SG＝AP/AG，因为O1P＝O2P所以RG＝SG因为CM＝CN所以CG是梯形MNSR2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档的中位线所以CG//RM所以CG⊥MN因为O1A＝O1R，O1P//RS所以PA＝PG所以PC是直角三角形ACG斜边上的中线所以PC＝AG/2＝PA所以PA＝PC圆的一道较难的问题点O1，点M，点N。以点O1为圆心，MN为直径作圆，交y轴于S。P为弧SN上的任意一点，点R为弧PS的中点，当点P运动时，给出两个结论：NK/TK的值不变，线段NK长度不变，其中只有一个正确，判断正确结论及证明，并求出定值。问题补充：圆交y轴正半轴于S，付半轴于T连接TR与NP，他们的延长线交于K点。解：2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档这个问题的确比较难。通过两个极端位置可以猜想“线段NK长度不变”这个结论是正确的，长度应该是√借助“几何画板”也能够验证“线段NK长度不变”这个结论是正确的具体解答过程还没有搞好。等搞好了再发出来一道竞赛题的解答菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E,F,G,H,在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M,交BC于N,交CD于P,交DA于Q,求证:MQ//NP证明：连结AC,BD,易知交点为内切圆心O.设MN切圆O于K,连结OM,OF,OK,ON,OE.因为四边形ABCD是菱形所以∠ABO＝∠CBO＝∠ABC/2，∠BAO＝∠BCO因为AB、BC、MN是圆O的切线所以∠OEB＝∠OFB＝∠OKM＝90°，∠OME＝∠OMK所以∠MOK＝∠MOE同理∠NOK＝∠NOF所以∠EOF＝2又因为∠EOF＝180°－∠ABC＝180°－2∠ABO所以＝180°－2∠ABO所以∠MOK＋∠KON＋∠ABO＝90°所以∠MOK＝90°－∠KON－∠ABO显然∠AOE＝∠COF＝∠CBO＝∠ABO所以∠BON＝90°－∠NOF－∠COF＝90°－∠KON－∠ABO＝∠MOK所以∠CNO＝∠NBO＋∠NOB＝∠ABO＋∠MOK＝∠AOE＋∠MOE＝∠AOM2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档又∠OCN＝∠MAO所以△OCN∽△MAO所以AM/CO＝AO/CN所以AM*CN＝AO*CO同理AQ*CP＝AO*CO所以AM*CN＝AQ*CP所以AM/PC＝AQ/CN又因为∠MAQ＝∠PCN所以△AMQ∽△CPN所以∠AMQ＝∠CPN延长MQ、CD相交于T则有∠AMQ＝∠T所以∠T＝∠CPN所以MT//NP即MQ//NP一道有点难度的几何证明题有关圆的一道很好的证明题在圆O中，有一个内接△ABC，过点A和B作切线PA和PB相交于点P，过点P作PQ平行于BC交AC于Q，连接QO并延长交BC于H，求证：BH＝CH证明：连接PO、AO，设PO、AB交于D因为PA、PB是切线所以PO⊥AB，OA⊥PA，OB⊥PB，∠C＝∠PBA因为OA⊥PA，OB⊥PB所以P、A、O、B四点共圆因为PQ//BC所以∠C＝∠PQA，∠CHQ＝∠PQO所以∠PBA＝∠PQA所以P、A、Q、B2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25\n精品文档四点共圆所以P、A、Q、O、B五点共圆所以∠PQO＝∠PAO＝90°所以∠CHQ＝90°所以OH⊥BC所以BH＝CH这个问题是第一次见到，感觉是一2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创25/25