初中数学《整式乘除运算》讲义及练习 16页

整式乘除运算中考要求考试内容A（基本要求）B（略高要求）C（较高要求）幂的运算了解整数指数幂的意义和基本性质能用幂的性质解决简单问题整式的乘法理解整式乘法的运算法则，会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式乘法仅指一次式相乘）会进行简单的整式乘法与加法的混合运算能选用适当的方法进行相应的代数式变形例题精讲板块一幂的运算幂的运算概念：求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数.含义：中，为底数，为指数，即表示的个数，表示有个连续相乘.例如：表示，表示，表示表示，表示特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：⑴多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：；.⑵有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：，而.⑶有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：，.特别地：当为奇数时，；而当为偶数时，.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”.⑴同底数幂相乘．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为：　（都是正整数）．⑵幂的乘方．幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．用式子表示为：　（都是正整数）．⑶积的乘方．\n积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．用式子表示为：　（是正整数）．⑷同底数幂相除．　同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：　　（，，都是正整数）⑸规定；（，是正整数）．【例1】计算：⑴；⑵【解析】有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的.⑴原式⑵原式【巩固】把下列各式写成乘方运算的形式：⑴；⑵⑶；⑷【解析】⑴；⑵；⑶；⑷原式.注意：底数是分数、负数或代数式时，均用括号括起来.【巩固】计算下列各题：⑴；⑵；⑶；⑷【解析】⑴；⑵；⑶；⑷.【例2】速算比赛：A组：⑴；⑵；⑶；⑷，其中，.B组：⑴；⑵；⑶；⑷【解析】A组：⑴；⑵；⑶；⑷；B组：⑴解法一：；解法二：；⑵；⑶；⑷；【点评】建议讲完基础知识之后马上讲解此题，此题是针对基础知识中的公式而设的，另外，讲解基础知识的时候，建议根据幂的定义对几个公式作简单的推导，如下：\n，，【巩固】计算：⑴；　　　　　　⑵；⑶；⑷．【解析】⑴；⑵；⑶；⑷．【巩固】(第14届华杯赛决赛)计算：__________【解析】．【例1】计算：（1）（2）（3）【解析】（1）（2）（3）【例2】(第4届希望杯)若是自然数，并且有理数满足，则必有()A．B．C．D．【解析】D．由知两数为相反数，且不为0，易得答案．【巩固】比较大小：⑴；⑵；⑶(为有理数)；⑷()【解析】⑴；⑵＞；⑶＞；⑷＞.【巩固】为自然数，那么；；；\n当为数时，；当为数时，【解析】；；；奇数；偶数.【巩固】计算：【解析】注意运用分组思想.在此注意给学生讲解通项的得来及通项中体现的项数！原式=当为偶数时，原式；当为奇数时，原式.【例1】（第届希望杯试题）三个互不相等的有理数，既可表示为，，的形式，又可表示为，，的形式，则．【解析】由条件知三个互不相等的有理数中有两个分别是和，由于这三个数不等且能表示成，，的形成，所以，但这三个数又能表示成，，的形式，且三数不等，所以，，那么对于形式，，，我们就知道，所以，，对比第一种情况我们就可以得到，进而．故．【巩固】（年第十三届华杯赛决赛）现有代数式，，和，当和取哪些值时，能使其中的三个代数式的值相等?【解析】，，或，．首先必须，否则没有意义．若，则，矛盾．所以．若，则由，或都得到，所以，即．因此，三个相等的式子只有两种可能：⑴．由后一等式得到，或，而是不可能的，因为此时由第一个等式得到，矛盾．当时，由第一个等式得到，即，所以．⑵．由后一等式同样得到，或，同样，是不可能的，而当时，由第一个等式得到，所以．【例2】（年学而思杯）已知、、是三个任意有理数，那么、、、、、、、、、这个数中，正数的个数可能是______．A．、、、、、B．、、、C．、、、、、D．、、、【解析】当都大于时，那么有个正数，当中两个大于0，一个等于时，有个正数，当中有两个大于，一个小于时，有个正数，当中有一个大于，两个等于时，有个正数，\n当中有一个大于，一个等于，另一个小于时，有个正数，当中有一个大于，两个小于时，有个正数，当都等于的情况时，没有正数，当中有两个等于，一个小于时，没有正数，当都小于时，没有正数．故选Ａ．【补充】(第19届希望杯)已知正整数，，(其中)满足，则的最小值是，最大值是．【解析】，故，根据题意可得：，，故，，，；，，故，，，；，，故，，，；，，故，，，；，，故，，，．【例1】已知：、、是有理数，满足，求值.【解析】依题意：，，，进而可得，，则所求式子多个非负数相加等于0，则每一个绝对值必须等于0，从而得出、、的值.【巩固】已知有理数，，满足，求的值．【分析】由题意得，解方程组得，代入所求代数式得．【例2】(2004年北京中考题)已知、互为相反数,、互为倒数，的绝对值等于,试求:的值.【解析】由题意可知，，当时,当时,【巩固】已知、互为倒数，、互为相反数，的绝对值为，则=__________.【解析】根据题意得，，，故当时，原式；当时，原式.\n【例1】(第10届希望杯)计算：_____________．【解析】可直接计算求出结果，也可通过观察式子的特点，注意到前面为“＋”号，提取公因式，再进行计算．原式……教师不防在此回忆巩固下面两个典型题目的计算：①②【巩固】计算：【解析】．【巩固】当是正整数时，求的值【解析】解法一：∵为正整数，∴解法二：【巩固】有理数等于它的倒数，有理数等于它的相反数，则？【解析】由有理数等于它的倒数，有理数等于它的相反数，可以得到：，，（1）若，1；（2）若，－1.【例2】计算：⑴；⑵；⑶；⑷.【解析】⑴；⑵；⑶；⑷.【巩固】计算：【解析】【巩固】⑴计算的结果为：⑵计算：【解析】⑴⑵从乘方的概念入手讲解，可得答案为.\n【例1】(第20届希望杯培训试题)在十进制记数法中写出的得数要用个阿拉伯数码．【解析】，这个得数中，有个数码．【巩固】（2005~2006三帆中学测试题）如果，则（）A．B．C．D．【解析】B．【巩固】(第19届希望杯)DigitsoftheproductofisA．B．C．D．(英汉小词典：digits位数；product乘积)【解析】，故有数位34位．【例2】⑴已知，，求的值．⑵若，求.【解析】⑴．⑵，，，.【巩固】已知，，求的值．【解析】【巩固】已知，，、是正整数且．求下列各式的值：①；　②．【解析】①；②【例3】已知，求的值【解析】当时，原式【巩固】已知：，，求．【解析】法1：；法2：.【巩固】已知，求．【解析】，即，，．【例4】(广西省竞赛题)比较、、、四个数的大小.\n【解析】根据幂的性质可知，、、、根据幂的定义可知，表示个相乘，故只要比较出、、、的大小即可.，，，故，.建议本题留给特别突出的学生，根据全体学生情况选讲.【巩固】比较，，的大小．【解析】；【巩固】（第十七届希望杯）设，，，比较，，的大小．【解析】∵，，，∴．【巩固】已知，，，，，则、、、、的大小关系是.【解析】.【补充】(第届华罗庚金杯香港赛)若为不等式的解，求的最小正整数值.【解析】，所以【补充】比较下列各题中幂的大小．⑴比较大小：，，，．⑵已知，，，比较，，的大小关系．⑶比较，，，这个数的大小关系．⑷与的大小关系是(填“”、“”或“”)．⑸已知，，比较、的大小关系．⑹已知，，比较、的大小关系．⑺已知，，试比较与的大小．⑻对于，(，是正整数)，比较，，的大小关系．【解析】本题介绍了幂的大小比较常用的8个方法．⑴，，，．．直接计算．⑵，，，所以．比较指数．⑶,,,，，．比较底数．⑷．,所以．放缩．⑸因为，所以．作差．⑹因为，所以．作商．\n⑺设，则，．而．换元．⑻因为，(，为正整数)，故可取，，，，，则，，．所以．【例1】你能比较两个数和的大小吗？为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小(是自然数)，然后，我们分析，，，…中发现规律，经归纳，猜想得出结论．⑴通过计算，比较下列各组中两个数的大小(在空格中填写“”、“”、“”号)①；②；③；④；⑤…⑵从第⑴题的结果经过归纳，可以猜想出和的大小关系是．【解析】⑶根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小．【解析】从简单情况找规律.⑴①；②；③；④；⑤…⑵(，2)，()；⑶.【巩固】符号表示正整数从到的连乘积，读作的阶乘．例如.试比较与的大小（是正整数）【解析】当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当，，时，，当时．【补充】比较与（为正数，为正整数）的大小．【解析】方法１∵，为正整数，∴，∵，∴分三种情况：①当，则，；②当，则，③当，则，则．方法2∵，为正整数，∴，∵,∴分三种情况：①当，则，；②当，则，；③当，则，则．【例2】(三帆单元测试)已知：，试比较与的大小．【解析】，变形时，注意从简单情况入手找规律.板块二整式的乘法⑴单项式与单项式相乘：\n系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下：，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母的幂分别是和，乘积中的幂是，同理，乘积中的幂是，另外，单项式中不含的幂，而中含，故乘积中含.⑵单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：，其中为单项式，为多项式.⑶多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：【例1】化简⑴；⑵；⑶⑷；⑸【解析】⑴原式；⑵原式；⑶原式；⑷原式；⑸原式.【巩固】若，则　　　　，　　　　【解析】，．【巩固】⑴（2009山东济南）化简：⑵（2009浙江嘉兴）化简：【解析】⑴；⑵．【巩固】计算．【解析】原式【巩固】计算【解析】原式【补充】计算：【解析】原式\n．【例1】已知，求的值．【解析】，，，比较等式两边得，，所以．定理：如果，那么，，，，．【巩固】若，则　　　，　　　　，　　　　．【解析】，，．【巩固】已知多项式，求与的值．【解析】解法一：(系数比较法)．比较对应项的系数，得，由⑶⑴得，将代入⑴，得．当，时，⑵显然成立．所以，．解法二:(数值代入法)由，分别用1和代入上式，可得,解得，．【例2】已知与的积不含的项，也不含的项，试求与的值．【解析】有，解得.【巩固】使的积中不含和，求，的值.【解析】将原式展开得，因为积中不含和，所以，解得.板块三整式的除法⑴单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.如：，被除式为，除式为，系数分别为3和1，故商中的系数为3，的幂分别为和，故商中的幂为，同理，的幂为，另外，被除式中含，而除式中不含关于的幂，故商中的幂为.⑵多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，公式为：，其中为单项式，为多项式.\n⑶多项式除以多项式后有专题介绍.【例1】计算：⑴；⑵【解析】⑴原式；⑵原式.【巩固】计算：⑴；⑵.⑶；⑷【解析】⑴原式；⑵原式；⑶原式；⑷原式.【巩固】⑴计算：　　　　　　；⑵计算：　　　　　　．【解析】⑴；⑵.【例2】计算．【解析】原式．在乘除混合运算中，巧用结合律，有时可简化运算．实际上，我们利用除法是乘法的逆运算，除以一个整式，相当于乘以该整式的倒数，通过约分，可更容易地解决问题．其解如下：原式．【巩固】计算：.【解析】原式【例3】（2009台湾）将一多项式，除以后，得商式为余式为．求　　　　　．【解析】．【巩固】已知多项式的除式为，商式为，余式为，求的值．【解析】由已知可列；则可得．【例4】计算：⑴;⑵.【解析】⑴用竖式除法\n所以，商式为，余式为0．⑵所以，商式为，余式为．说明：多项式的除法总可以用竖式除法来计算．计算时注意降幂排列，缺项补0(或空位)，同次项对齐等等．对多项式除法，我们有带余除法，即：被除式除式商式余式，其中余式的最高次数低于除式的最高次数．当余式为0时，我们也称除式整除被除式，用“除式|被除式”表示．如⑴，我们可记为；当余式不为0时，被除式不能整除被除式；当余式为常数时，我们也称余式为余数．显然，当除式为一次多项式时，余式必为常数．后有专题讲解！课后练习练习1．比一比，看谁算的又对又快．（请分钟之内完成）⑴（2009福建）；　　　　　　　⑵（2009重庆）⑶（2009四川）；　　　　　　⑷（2009泸州）⑸（2009山东）；　　　　　⑹\n⑺；　　　　　　⑻⑼；　　　⑽【解析】⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼；⑽．【点评】通过这个题目，学生训练完成后，教师可带领学生归纳总结在幂的混合运算中应当注意的问题：①先确定符号②正确应用运算法则．练习1．计算：【解析】练习2．『第14届希望杯』为有理数，下列说法中正确的是（）A.为正数B.为负数C.为正数D.为正数(2)在，，，这四个数中，负数共有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选．对于任意实数,都有，所以总有为正数．练习3．（2007~2008年理工附中试题）若，则．【解析】由题意得，，，∴，，∴．练习4．已知、互为相反数，、互为负倒数，的绝对值等于它相反数的倍.求的值.【解析】根据题意可知，，，，故练习5．化简（结果用幂的形式表示）【解析】练习6．有一张厚度为毫米的纸，你能将它连续对折10次吗？如果能，10次后将有多厚？【解析】(毫米)练习7．计算的值为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】Ｂ练习8．⑴计算；⑵\n【解析】⑴原式；⑵原式．练习1．若，，求的值．【解析】练习2．若，求的值．【解析】由条件，知．所以,所以的值为81．练习3．比较、、的大小.【解析】从乘方的基本定义出发可以得到：，，因为，所以，即.练习4．已知，，，比较，，的大小．【解析】因为，，，所以．练习5．⑴计算：　　　　　　　；⑵当，时，求：的值．⑶计算：　　　　　　．（为正整数）．【解析】⑴；⑵原式；⑶．练习6．⑴计算：；⑵计算：．【解析】⑴原式．⑵原式练习7．若不论取何值，多项式与都相等，求，．【解析】因为不论取何值，两多项式都相等，所以，，即，．\n练习1．计算：【解析】原式练习2．⑴计算：；⑵计算：；【解析】⑴；⑵；练习3．如果被除后余6，求的值及商式．【解析】因为，所以商式的最高次项为一次，并且系数为1．设商式为，由题意得，即，比较对应项的系灵敏，得，解得，．所以，商式为．