初中数学《统计与概率》讲义及练习 17页

8-7概率与统计教学目标1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题.2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．3.理解和运用概率性质进行概率的运算知识点拨知识点说明在抛掷一枚硬币时，究竟会出现什么样的结果事先是不能确定的，但是当我们在相同的条件下，大量重复地抛掷同一枚均匀硬币时，就会发现“出现正面”或“出现反面”的次数大约各占总抛掷次数的一半左右．这里的“大量重复”是指多少次呢？历史上不少统计学家，例如皮尔逊等人作过成千上万次抛掷硬币的试验，随着试验次数的增加，出现正面的频率波动越来越小，频率在这个定值附近摆动的性质是出现正面这一现象的内在必然性规律的表现，恰恰就是刻画出现正面可能性大小的数值，就是抛掷硬币时出现正面的概率．这就是概率统计定义的思想，这一思想也给出了在实际问题中估算概率的近似值的方法，当试验次数足够大时，可将频率作为概率的近似值．在统计里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫做个体。从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。样本中个体的数目叫做样本的容量。总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，把样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。概率的古典定义：如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果：⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件，它的概率定义为：，表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，表示事件包含的试验基本结果数．小学奥数中，所涉及的问题都属于古典概率．其中的和需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．相互独立事件：事件是否发生对事件发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．公式含义：如果事件和为独立事件，那么和都发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率之积．举例：⑴明天是否晴天与明天晚餐是否有煎鸡蛋相互没有影响，因此两个事件为相互独立事件.所以明天天晴，并且晚餐有煎鸡蛋的概率等于明天天晴的概率乘以明天晚餐有煎鸡蛋的概率.⑵第一次抛硬币掉下来是正面向上与第二次抛硬币是正面向上是两个相互独立事件．所以第一次、第二次抛硬币掉下来后都是正面向上的概率等于两次分别抛硬币掉下来后是正面向上的概率之积，即.⑶掷骰子，骰子是否掉在桌上和骰子的某个数字向上是两个相互独立的事件，如果骰子掉在桌上的概率为，那么骰子掉在桌上且数字“”向上的概率为．\n例题精讲【例1】（2007年“希望杯”二试六年级)气象台预报“本市明天降雨概率是”．对此信息，下列说法中正确的是．①本市明天将有的地区降水．②本市明天将有的时间降水．③明天肯定下雨．④明天降水的可能性比较大．【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．的概率也不是指肯定下雨，的概率才是肯定下雨．的概率是说明有比较大的可能性下雨．因此④的说法正确．【巩固】一个小方木块的六个面上分别写有数字、、、、、，小光、小亮两人随意往桌面上扔放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得分．当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得分．每人扔次，______得分高的可能性比较大．【解析】因为、、、、、中奇数有个，偶数只有个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较大，即小亮得分高的可能性较大．【例2】在多家商店中调查某商品的价格，所得的数据如下（单位：元）2521232527292528302926242527262224252628请填写下表【解析】：【例3】在某个池塘中随机捕捞条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞尾，发现其中有条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？【解析】200尾鱼中有条鱼被标记过，所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为，所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是，池塘中鱼的数量约为尾．【例4】有黑桃、红桃、方块、草花这4种花色的扑克牌各2张，从这8张牌中任意取出2张。请问：这2张扑克牌花色相同的概率是多少？【解析】先从8张牌中选2张牌有28种选法。然后满足条件的选法只有4种，即4种不同的花色，所以这两张牌花色相同的概率是4/28＝1/7【巩固】小悦从1、2、3、4、5这5个自然数中任选一个数，冬冬从2、3、4、5、6、7这6个自然数中任选一个数。选出的两个数中，恰好有一个数是另一个数的倍数的概率是多少\n【解析】小悦从1、2、3、4、5这5个自然数中任选一个数，有5种选法冬冬从2、3、4、5、6、7这6个自然数中任选一个数，有6种许选法所以总共的组合有5×6＝30种不同选法，其中满足倍数关系的分别有小悦取1时，有6种小悦取2时，有3种,小悦取3时，有2种,小悦取4时，有2种，小悦取5时，有1种，一共有14种.所以满足条件的概率是14/30＝7/15【例2】妈妈去家乐福购物，正好碰上了橘子、香蕉、葡萄和榴莲大降价。于是她决定从这4中水果中任选一种买回家。爸爸下班时路过集贸市场，发现有苹果、橘子、香蕉、葡萄和梨出售。他也决定任选一种买回家。请问：他们买了不同的水果的概率是多少？【解析】妈妈爸爸都买香蕉的概率是1/4×1/5=1/20都买橘子的概率是1/4×1/5=1/20都买葡萄的概率是1/4×1/5=1/20。所以他们买的水果不同的概率为1-3/20=17/20【巩固】在标准英文字典中，由2个不同字母组成的单词一共有55个.如果从26个字母中任取2个不同的排列起来，那么恰好能拍成一个单词的概率是多少？【解析】从26个自母中任选2个字母进行排列有650种不同的选法，满足条件的只有26种，所有恰好构成一个单词的概率是55/650=11/130【巩固】口袋里装有100张卡片，分别写着1，2，3，……，100.从中任意抽出一张。请问：（1）抽出的卡片上的数正好是37的概率是多少？（2）抽出的卡片上的数是偶数的概率是多少？（3）抽出的卡片上的数是质数的概率是多少？（4）抽出的卡片上的数是101的概率是多少？（5）抽出的卡片上的数小于200的概率是多少？【解析】随机抽出有100种可能，所以是37的概率是1/100100种有50个偶数，所以是偶数概率是50/100＝1/2100以内有25个质数，所以是质数的概率是1/4抽出卡片不可能是101，所以概率为0抽出所有数都小于200，所以概率为1.【例3】在一只口袋里装着2个红球，3个荒丘和4个黑球。从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率有多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率有多少？（3）这个是绿球的概率有多少？不是绿球的概率又有多少?【解析】口袋里一共有9个球，2个红球，随机取有2/9的概率取到红球这个球不是是红球就是黄球或者黑球，所以取到黄球或者黑球的概率是7/9，由于没有绿球，所以取到旅求概率是0，不是绿球的概率是1【巩固】一只口袋里装有5个黑球和3个白球，另一只口袋里装有4个黑球和4个白球。从两只口袋里各取出一个球。请问：取出的两个球颜色相同的概率是多少？【解析】总共的取法数是8×8＝64种满足条件的选法有当选出都是黑球5×4＝20种，当选出都是白球3×4＝12种，一共有32种满足条件所以两个球颜色相同概率是32/64＝1/2【巩固】一只普通的骰子有6个面，分别写有1、2、3、4、5、6。掷出这个骰子，它的任何一面朝上的概率都是1/6.假设你将某一个骰子连续投掷了9次，每次的结果都是1点朝上。那么第十次投掷后，朝上的面上的点数恰好是奇数的概率是多少？\n【解析】本题要注意当你投掷9次之后的结果其实对第十次是没有影响的，所以第十次投掷只要投掷出1，3，5就满足条件，而总共有1～6六种可能，所以概率是1/2.【例2】甲、乙两个学生各从这个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：⑴这两个数字的差不超过的概率，⑵两个数字的差不超过的概率．【解析】⑴两个数相同（差为0）的情况有种，两个数差为有种，两个数的差为的情况有种，所以两个数的差不超过的概率有．⑵两个数的差为的情况有种．两个数的差为的情况有种．两个数的差为的情况有种．所以两个数字的差超过的概率有.两个数字的差不超过的概率有.【巩固】小悦掷出了2枚骰子，掷出的2个数字之和恰好等于10的概率有多少？【解析】掷出2个骰子总情况有6×6=36种，其中和为10的有第一次掷出4，第二次掷出6第一次掷出5，第二次掷出5第一次掷出6，第二次掷出4，所以满足条件情况只有三种，所以恰好为10的概率是1/12。【巩固】分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少？点数之积为6的概率为多少？【解析】根据乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有种不同情况．将点数为的情况全部枚举出来有：：：：：：点数之积为的情况为：：：：．两个数相加和为6的有5组，一共是36组，所以点数之和为6的概率是：点数之积为6的概率为．【例3】一枚硬币连续抛掷3次，至少有一次正面向上的概率是．【解析】从反面考虑，先求三次都是正面向下的概率，为，所以至少有一次正面向上的概率为．【巩固】冬冬与阿奇做游戏：由冬冬抛出3枚硬币，如果抛出的结果中，有2枚或2枚以上的硬币正面朝上，冬冬就获胜；否则阿奇获胜。请问：这个游戏公平吗？【解析】冬冬获胜的概率为，两枚或者两枚以上硬币正面朝上，两枚硬币正面朝上的概率为从三次投掷中选两次正面朝上有3种可能，每种的概率是3个1/2连乘。等于3/8，三枚硬币都正面朝上概率为1/8。所以冬冬获胜的概率为1/2.也就是阿奇获胜概率也是1/2，所以游戏是公平的。【巩固】一枚硬币连续抛4次，求恰有2次正面的概率．【解析】首先抛掷一枚硬币的过程，出现正面的概率为\n，又因为连续抛掷四次，各次的结果之间是相互独立的，所以这是独立事件的重复实验，可得恰有2次正面的概率为．另解：每抛一次都可能出现正面和反面两种情况，抛4次共有种情况，其中恰有2次正面的有种情况，所以恰有2次正面的概率为．【巩固】一枚硬币连续抛掷3次，求至少有两次正面向上的概率．【解析】至少有两次正面向上，可分为2次正面向上和3次正面向上两种情形:⑴2次正面向上的：此时只有1次正面向下，可能为第1次、第2次和第3次，所以此时共3种情况；⑵3次正面向上，此时只有一种情况．所以至少有两次正面向上的共有4种情况，而连续抛掷3次硬币，共有种情况，所以至少有两次正面向上的概率为：．【巩固】阿奇一次指出8枚硬币，结果恰有4枚硬币正面朝上的概率是多少？有超过4枚的硬币正面朝上的概率是多少？【解析】投掷8枚硬币，恰有4次正面朝上，应该从8次中选择4次正面朝上，这四次朝上的概率是4个1/2的联乘，这时不要忘记剩下的4次一定是反面朝上，也是4个1/2的连乘，所以恰好4枚硬币朝上的概率是35/128。利用对称的思想，有超过4枚硬币正面朝上的概率应该和有少于4枚硬币朝上的概率相同，所以有超过4枚硬币正面朝上的概率为（1－35/128）÷2＝93/256【例2】如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落到底部的从左至右的概率依次是_______．【解析】球在顶点时的概率是1，而每到一个岔口，它落入两边的机会是均等的，因此，可以采用标数法，如右上图所示，故从左至右落到底部的概率依次为、、、、．【巩固】如图为、两地之间的道路图，其中⊙表示加油站，小王驾车每行驶到出现两条通往目的地方向道路的路口时（所有路口都是三叉的，即每到一个路口都只有一条或两条路通往目的地），都用抛硬币的方式随机选择路线，求：⑴小王驾车从到，经过加油站的概率．⑵小王驾车从到，经过加油站的概率．【解析】运用标数法，标数规则（性质）：⑴从起点开始标“１”．⑵\n以后都将数标在线上，对于每一个节点，起点方向的节点相连线路上所标数之和与和目标方向节点相连线路上标数之和相等．⑶对于每一个节点，目标方向的各个线路上标数相等．　　　　如图：从到经过加油站的概率为；　　　　如图：从到经过加油站的概率为.【例1】小明爬楼梯时以抛硬币来确定下一步跨个台阶还是个台阶，如果是正，那么跨个台阶，如果是反，那么跨出个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出个台阶的概率为多少？【解析】小明跨出步的所有情况有种情况，其中恰好跨出个台阶的情况有：、、、、、六种，所以概率为．【巩固】小明爬楼梯掷骰子来确定自己下一步所跨台阶步数，如果点数小于，那么跨个台阶，如果不小于，那么跨出个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出个台阶的概率为多少？【解析】掷骰子点数有1～6这6种情况，其中小于3的有2个，不小于3的有4个。所以，小明每跨出一步，有的概率跨个台阶，有的概率跨个台阶，对于步跨个台阶的每一种情况，必定是有2步跨1个台阶，2步跨2个台阶，这4步的走法共有种；对于里面的每一种走法，例如，发生的可能性有，所以步跨台阶发生的总概率为．【巩固】从小红家门口的车站到学校，有路、路两种公共汽车可乘，它们都是每隔分中开来一辆．小红到车站后，只要看见路或路，马上就上车，据有人观察发现：总有路车过去以后分钟就来路车，而路车过去以后分钟才来路车．小红乘坐______路车的可能性较大．【解析】首先某一时刻开来路车，从此时起，分析乘坐汽车如下表所示：显然由上表可知每分钟乘坐路车的几率均为，乘坐路车的几率均为，因此小红乘坐路车的可能性较大．【例2】四位同学将各自的一张明信片随意放在一起互相交换，恰有一个同学拿到自己写的明信片的概率是________．\n【解析】一共有种可能的拿法，而其中一位同学拿到自己的明信片的情况是种，此时其他3位同学拿到的都是别人的明信片，各有2种情况，所以恰有一个同学拿到自己写的明信片的情况有种，概率为．【巩固】两封信随机投入4个邮筒，则前两个邮筒都没有投入信的概率是________．【解析】总的投信方法为种投法．而前2个邮筒不能投，那么信就只能投入后2个邮筒了，有种可能，所以前两个邮筒都没有投入信的概率是．【巩固】一张圆桌旁有四个座位，、、、四人随机坐到四个座位上，求与不相邻而坐的概率．【解析】四人入座的不同情况有种．、相邻的不同情况，首先固定的座位，有种，安排的座位有种，安排、的座位有种，一共有种．所以、相邻而座的概率为．【例2】小悦与阿奇比赛下军棋，两人水平相当，两人约定塞7局，先赢4局者胜，现在已经比了三局，小悦胜了2局，阿奇胜了1局。请问：小悦获得最后胜利的概率有多少？【解析】小悦已经胜了2局，如果5局结束比赛，则第4第5局小悦都胜利了，概率为1/4如果6局结束比赛，则4，5局中阿奇胜了1局，第六局小悦胜，概率为2×1/2×1/2×1/2=1/4如果进行了7场比赛，则4，5，6局比赛中小悦只赢了一局，第7局小悦胜利，3×1/2×1/2×1/2×1/2=3/16所以小悦总共获胜的概率是11/16【巩固】(2008年“奥数网杯”六年级)一块电子手表，显示时与分，使用小时计时制，例如中午点和半夜点都显示为．如果在一天(24小时)中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是．【解析】手表的时刻可以显示为的形式，其中的取值从01到12，的取值从00到59，因此手表上能显示出来的时刻一共有种。冒号之前不出现“1”的情况有：02，03，04，05，06，07，08，09，共8种。冒号后为两位数，十位不出现“1”的情况有0，2，3，4，5共5种，个位不出现“1”的情况有0，2，3，4，5，6，7，8，9共9种，所以不出现“1”的情况有种。因此至少出现一个数字“1”的情况有种。所以至少看到一个数字“1”的概率为。【例3】某列车有4节车厢，现有6个人准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢的可能性是相等的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为多少？【解析】6个人乘坐4节车厢，每个人都可能进入其中的某一节车厢，所以一共的可能数为种．出现6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的情况的可能性为种可能，所以所求概率为．【巩固】三个人乘同一辆火车，火车有十节车厢，则至少有两人上同一节车厢的概率为_______．【解析】三个人均上不同车厢的概率为，因此，至少有两人同上一节车厢的概率为\n．【巩固】某人有5把钥匙，一把房门钥匙，但是忘记是哪把，于是逐把试，问恰好第三把打开门的概率？【解析】从把钥匙中排列出前三把，一共有种，从把钥匙中将正确的钥匙排在第三把，并排出前二把一共有种，所以第三把钥匙打开门的概率为．【巩固】一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由、、、、五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是______．【解析】警察在调查过程中，在电脑上输入第一个数字可能是、、、、中的任何一个，有种可能，第二位数字有种可能，……，第五位数字有种可能，所以一共有种可能，则输入正确车牌号的可能性是．【例2】某小学六年级有个班，每个班各有名学生，现要在六年级的个班中随机抽取个班，参加电视台的现场娱乐活动，活动中有次抽奖活动，将抽取名幸运观众，那么六年级学生小宝成为幸运观众的概率为多少？【解析】小宝所在班级被抽中参加娱乐活动的概率为，如果小宝参加了娱乐活动，那么小宝成为幸运观众的概率为，所以小宝成为幸运观众的概率为.【巩固】（2009年全国数学资优生水平测试）编号分别为1～10的10个小球，放在一个袋中，从中随机地取出两个小球，这两个小球的编号不相邻的可能性是___________。【解析】从10个小球中取出两个的取法总数为种，其中编号相邻的取法有9种（1与2、2与3、3与4、4与5、5与6、6与7、7与8、8与9、9与10），所以不相邻的取法有种，那么取出来的两个小球编号不相邻的可能性为。【例3】一个年级有三个班级，在这个年级中随意选取3人，这3人属于同一个班级的概率是多少?【解析】设三个班分别为，，．从三个班级中随意选取1个人，选自各个班级的概率都相等，都是，那么3个人都选自班的概率为．同理，3个人都选自班和班的概率也都是，所以这三个人这3人属于同一个班级的概率是．【巩固】一个班有女生25人,男生27人，任意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几?【解析】从25名女生中任意抽出两个人有种不同的方法．从全体学生中任意抽出两个人有种不同的方法．计算概率：．【巩固】从6名学生中选4人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？【解析】法一：从6名学生中选4人的所有组合数为种，甲在其中的计数，相当于从另外5名学生中再选取3名，因此组合数为种，所以甲被选上的概率为。法二：显然这个人入选的概率是均等的，即每个人作为一号选手入选的概率为\n，作为二号入选的概率为，作为三号入选的概率为，作为四号入选的概率为，对于单个人“甲”来说，他以头号、二号、三号、四号入选的情况是不重复的，所以他被入选的概率为．【例1】（2008年武汉明心奥数挑战赛六年级）学校门口经常有小贩搞摸奖活动．某小贩在一只黑色的口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球．搅拌均匀后，每2元摸1个球．奖品的情况标注在球上（如图）．如果花4元同时摸2个球，那么获得10元奖品的概率是．【解析】（法1）计数求概率。摸两个球要获得10元奖品，只能是摸到两个黄色的球，由于只有2只黄球，所以摸到2只黄球只有1种可能，而从50只小球里面摸2只小球共有种不同的摸法，所以获得10元奖品的概率为。（法2）概率运算。摸两个球要获得10元奖品，只能是摸到两个黄色的球，而摸第1个球为黄球的概率为，摸第2个球为黄球的概率为，因此获得10元奖品的概率为．【巩固】用转盘(如图)做游戏，每次游戏游戏者需交游戏费1元．游戏时，游戏者先押一个数字，然后快速地转动转盘，若转盘停止转动时，指针所指格子中的数字恰为游戏者所押数字，则游戏者将获得奖励36元．该游戏对游戏者有利吗？转动多少次后，游戏者平均每次将获利或损失多少元？【解析】在此游戏中，指针落在37个区域的可能性是一样的，而游戏者押中的概率为，押错的概率为、，每押中一次获得奖金(36－1＝)35元，押错损失1元，因此转动多次后，游戏者平均每次将获利35×－1×＝－(元)．因此，该游戏对游戏者不利，游戏者平均每次损失元．【巩固】用下图中两个转盘进行“配紫色”游戏．分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色，此时小刚得1分，否则小明得1分．这个游戏对双方公平吗？若你认为不公平，如何修改规则，才能使该游戏对双方公平呢？【解析】\n为了保证自由转动转盘，指针落在每个区域的可能性相同，我们把转盘(1)按逆时针把红色区域等分成四部分，分别记作红1、红2、红3、红4，转盘(2)也类似地把蓝色区域分别记作蓝1、蓝2、蓝3、蓝4．接下来，我们就可以用列表法计算分别旋转两个转盘，其中一个转盘转出红色，另一个转出蓝色可配成紫色的概率．列表如下：注：“√”表示可配成紫色，“×”表示不可配成紫色．分别转动两个转盘，可配成紫色的概率为，不可配成紫色的概率为．因此，这个游戏对双方不公平，对小明不利．【巩固】小明和小刚改用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏．配成紫色，小刚得1分．否则小明得1分，这个游戏对双方公平吗？为什么？【解析】由上面两个转盘做“配紫色”游戏，等可能的结果列表如下：由上面的表格可得：配成紫色的概率为，配不成紫色的概率为，因此游戏不公平，对小刚不利．【巩固】转动如图所示的转盘两次，每次指针都指向一个数字．两次所指的数字之积是质数，游戏者A得10分；乘积不是质数，游戏者B得1分．你认为这个游戏公平吗？如果你认为这个游戏不公平，你愿意做游戏者A还是游戏者B？为什么？你能设法修改游戏规则使得它对游戏双方都公平吗？【解析】根据题意，我们可以用列表法计算出两次指针所指数字之积是质数的概率和积不是质数的概率．列表如下：\n由表格可求得转动转盘两次，指针所指数字之积是质数的概率为，指针所指数字之积不是质数的概率为，当然愿做A，因为A得高分的可能性较大．若使游戏公平，游戏规则应修改为：两次所指的数字之积是质数，则游戏者A得5分；乘积不是质数，游戏者B得1分．这样对游戏者双方都公平．【例1】小红的箱子中有4副手套，完全相同，但左、右手不能互换，有一副是姑姑送的，两副是奶奶送的，还有一副是自己买的，她从中任拿一副，恰好是姑姑送的那副的概率是多少？【解析】箱子里总共有8只手套，其中有一左一右是送姑姑的，不妨设为、．第一次拿出的概率是，尔后第二次拿出的概率是，所以拿出的概率是；同样，也可以第一次拿出，第二次拿出，同理可求出其概率是；所以，拿出的恰好是姑姑送的那副的概率为上面两种的概率之和，为．另解：箱子里总共有8只手套，从中取出2只有种取法，其中只有1种恰好是姑姑送的那副，所以拿出的恰好是姑姑送的那副的概率为．【巩固】盒子里装着20支圆珠笔，其中有5支红色的，7支蓝色的，8支黑色的。从中随意抽出4支，每种颜色的笔都被抽出的概率是多少？【解析】20支笔从中选出4支笔，总共4845种不同选法，其中3种颜色都有的情况是，一：2支红色1支蓝色1支黑色10×7×8=560种，二：1支红色2支蓝色1支黑色5×21×8=840种，三：1支红色1支蓝色2支黑色5×7×28=980种。所以一共有560+840+980=2380种满足条件的概率是2380/4845=28/57【例2】、、、、、六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代表，那么这六人被抽中的概率分别为多少？【解析】抽中的概率为，没抽到的概率为，如果没抽中，那么有的概率抽中，如果抽中，那么抽中的概率为，所以抽中的概率为.\n同理，抽中的概率为，抽中的概率为，抽中的概率为，抽中的概率为.由此可见六人抽中的概率相等，与抽签的先后顺序无关.【巩固】还是上面的题干，如果每个人抽完都放回，任意一个人如果抽中，则后边的人不再抽取，那么每个人抽中的概率为　　　　多少？【解析】抽中的概率依次为：、、、、、，在这种情况下先抽者，抽中的概率大．【巩固】在一次军事演习中，进攻方决定对目标进行两次炮击。第一炮命中的概率是0.6，第二炮命中的概率是0.8.请问：两炮都集中目标的概率是多少？恰好有一炮击中目标的概率是多少？两炮都未击中目标的概率是多少？【解析】两炮都击中目标的概率是同时都击中时的0.6×0.8＝0.48恰有一炮击中目标，第一炮击中第二炮没击中，等于0.6×0.2＝0.12第二炮击中第一炮没击中，等于0.4×0.8＝0.32恰有一炮击中概率为0.44【巩固】张先生每天早晨上班时有1/3的概率碰到堵车。在不堵车的时候，张先生按时到达单位的概率为0.9，吃到的概率为0.1；而堵车的时候，张先生上班迟到的概率高达0.8，按时到达的概率只有0.2.请问：张先生上班迟到的概率是多少？【解析】张先生迟到的概率分为不堵车时，2/3×0.1＝1/15堵车时，1/3×0.8＝4/15所以迟到的概率是1/3【例2】某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为，如果该射手在百步之外连射三箭，三箭全部射中靶心的概率为多少？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少?【解析】⑴全部射中靶心的概率为．⑵第一箭射中，其他两箭射空的概率为．　第二箭射中，其他两箭射空的概率为．　第三箭射中，其他两箭射空的概率为．　　　　　有一箭射中的概率为.　　　　⑶第一箭射空，其他两箭射中的概率为．　　　　　第二箭射空，其他两箭射中的概率为．第三箭射空，其他两箭射中的概率为．有两箭射空的概率为.【例3】设在独立重复3次试验中，至少有一次试验成功的概率为，问每次试验成功的概率是多少？【解析】重复实验，就是同一个实验，而同一个实验，同样的做法，完成的概率都是一样的，设每次试验不成功的概率为．由于至少有一次试验成功的概率为，里面包括了试验成功一次、两次和三次的情形，而所有的试验里面，除此之外只剩下三次试验都没有成功这一种情形，所以这种情形的概率为．\n由于每次试验不成功的概率为，那么三次试验都不成功的概率为，所以，所以，即每次试验不成功的概率是，那么成功的概率就是．【例1】已知10件产品中有3件次品，为了保证使3件次品全部检查出来的概率超过，则抽出来检验的产品最少有件．【解析】由于要求3件次品都被抽出来检验，所以未被抽出来检验的产品都是正品，考虑未被抽出来检验的产品的件数，如果是1件，那么这1件有10种可能，其中7种情况下是正品，所以这1件是正品的概率为，也就是3件次品全部抽出的概率为，，满足题意；如果未被抽出来检验的产品的件数为2件，那么这两件都是正品的概率为，，不合题意，所以未被抽出来检验的产品的件数最多为1件，那么抽出来检验的产品最少有9件．【巩固】工厂质量检测部门对某一批次的件产品进行抽样检测，如果这件产品中有两件产品是次品，那么质检人员随机抽取件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？【解析】从件产品中选择件一共有种情况．所以这两件产品恰好都是次品的概率为．两件产品中有一件次品的情况有种情况，所以两件产品中有一件次品的概率为．两件产品中都不是次品的概率有种情况，所以两件产品都不是次品的概率为．【例2】一批零件中有9个合格品和3个废品，安装机器时，从这批零件中随机选取一个，如果每次取出的废品不放回去，分别求在取得第一件合格品以前已取出件废品数的概率，，1，2，3．【解析】时，就是第一件就取得了合格品，概率是；时，就是第一件是废品，第二件是合格品，第一件废品的概率是，第二件取出合格品的概率为(是因为前面已经取出了一件)，概率是；时，分别是废品()、废品()、合格品()；概率是；时，分别是废品()、废品()、废品()、合格品()，概率是．【例3】甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，，．⑴现三人各投篮一次，求3人都没投进的概率．⑵现在3人各投篮一次，求至少有两人投进的概率．【解析】⑴甲、乙、丙没投进的概率分别是，，，故3人各投一次都没投进的概率为：．⑵至少有2人投进，可分为恰有2人投进和3人都投进两种情形，所以其概率为：\n．另解：也可从反面考虑，计算没人投进的概率与只有一个人投进的概率，为，所以至少有两人投进的概率为．【巩固】某篮球运动员投球的命中率为，则他投球10次，恰好连续投进5球的概率是多少？【解析】将各次投球分别编号为①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩．⑴①②③④⑤球投中⑥球不中，其余的不考虑，概率为；⑵①球不中②③④⑤⑥球中⑦球不中，概率为；⑶②球不中③④⑤⑥⑦球中⑧球不中，概率为；⑷③球不中④⑤⑥⑦⑧球中⑨球不中，概率为；⑸④球不中⑤⑥⑦⑧⑨球中⑩球不中，概率为；⑹⑤球不中⑥⑦⑧⑨⑩球中，概率为；所以恰好连续投进5球的概率为：．【例2】在某次的考试中，甲、乙、丙三人优秀（互不影响）的概率为，，，考试结束后，最容易出现几个人优秀？【解析】注意他们的优秀率是互不影响的．　　　　⑴三人都优秀的概率是；　　　　⑵只有甲乙两人优秀的概率为，（或）．　　　　只有甲丙二人优秀的概率，　　　　只有乙丙二人优秀的概率，　　　　所以有两人优秀的概率为；　　　　⑶甲一人优秀的概率，　　　　乙一人优秀的概率，　　　　丙一人优秀的概率，　　　　所以只有一人优秀的概率为；　　　　⑷全都不优秀的概率为；　　　　比较可知最容易出现只有一人优秀的情况．【巩固】在某次的考试中，甲、乙两人优秀（互不影响）的概率为，，考试结束后，只有乙优秀的概率为多少？【解析】只有乙优秀的概率为．【巩固】有个同学在一起，小亮的年龄不是最小的，那么小亮年龄最大的可能性是＿＿＿＿．【解析】在小亮的年龄不是最小的前提下，小亮的年龄可能是第，第，第，第，这四个事件是互斥的等概率事件，所以小亮年龄最大的可能性是．【例3】\n甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是，他们都得到了一件精美的礼物，事情是这样的：墙上挂着两串礼物（如图），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止．甲第一个取得礼物，然后，乙、丙、丁、戊依次取得第件到第件礼物，当然取法各种各样，那么共有种不同的取法．事后他们打开这些礼物仔细比较，发现礼物最精美，那么取得礼物可能性最大的是，可能性最小的是【解析】本题需要注意的隐含条件：对于每个人，如果摆在面前的有两串礼物，那么该人选择其中一串的概率为，如果摆在面前的只有一串礼物，那么该人选择那一串．第一件取的有种取法,第一件取的有种取法．所以有不同的取法种．观察这种取法的树状图可知，甲和戊不可能取得，所以取得可能性最小的是甲和戊，乙、丙、丁谁的可能性大不能看谁的取法较多，因为每种取法实现的可能性不同.法一：计算枚举出的每一种取拿方法的所有概率（各种取拿方法流程之间是互斥事件）：第一件取有种方法：第一件取有种方法：乙取得的可能性是；丙取得的可能性是；丁取得的可能性占．所以取得可能性最大的是丁．法二：计算流程各个阶段，事件发生情况：（每个人选择哪一串在是否取完一串的条件已知的情况下与后一个人选择哪一串相互独立）.\n乙取得的可能性是；丙取得的可能性是；丁取得的可能性占．所以取得可能性最大的是丁．【例1】从立方体的八个顶点中选个顶点，你能算出：⑴它们能构成多少个三角形？⑵随机取3个顶点，这3个点构成正三角形的可能性有多少？【解析】⑴这8个顶点任意3点都不在一条直线上，所以从个顶点中任取个顶点都能构成三角形，所以应该有个．⑵如下图所示，只有三角形的3条边分别是正方体各个面上的对角线时，才是正三角形，这样的三角形共有8个。所以构成正三角形的可能性有．【拓展】一个标准的五角星(如图)由个点连接而成，从这个点随机选取个点，则这三个点在同一条直线上的概率为多少，这三个点能构成三角形的概率为多少？如果选取个点，则这四个点恰好构成平行四边形的概率为多少？【解析】个点中任意取个的情况为种，其中涉及到条直线，每条直线上各有个点，其中任意点都共线，所以取这3点不能够成三角形，这样的概率是，所以点构成三角形的概率为．个点中取个点的情形为种，个点中平行四边形有2种（如上右图实线所示），每种各5个，共个，所以构成平行四边形的概率为．【巩固】从立方体的八个顶点中选个顶点，你能算出：⑴它们能构成多少个三角形？⑵随机取3个顶点，这3个点构成正三角形的可能性有多少？【解析】⑴这8个顶点任意3点都不在一条直线上，所以从个顶点中任取个顶点都能构成三角形，所以应该有个．⑵如下图所示，只有三角形的3条边分别是正方体各个面上的对角线时，才是正三角形，这样的三角形共有8个。所以构成正三角形的可能性有．\n