初中数学《完全平方数》讲义及练习 6页

5-4完全平方数教学目标完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.知识点拨一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4.若质数p整除完全平方数，则p能被整除。2.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3.重点公式回顾：平方差公式：例题精讲模块一、完全平方数基本性质和概念【例1】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛)是的平方．【解析】，，原式．【巩固】(华杯赛试题)下面是一个算式：，这个算式的得数能否是某个数的平方？\n【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．【例1】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．【巩固】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【解析】设该数为，那么它的平方就是，因此．由于，⑴所以，，，可得，；故该数的约数个数为个；⑵或者，，可得，那么该数的约数个数为个．所以这个数的约数个数为14个或者20个．【例2】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于，所以、、……、都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．【巩固】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．【解析】先将1016分解质因数：，由于是一个完全平方数，所以至少为，故a最小为．【巩固】已知恰是自然数b的平方数，a的最小值是。【解析】，要使是某个自然数的平方，必须使各个不同质因数的个数为偶数，由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以为2可以使是完全平方数，故至少为2．【例3】已知自然数n满足：除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。【解析】先将分解质因数：，由于除以得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是的约数，那么最大可以为，所以最小为．本题也可以这样想，既然除以得到一个完全平方数，的质因数分解式中3，7，11的幂次是奇数，所以的最小值是．【巩固】考虑下列32个数：，，，……，，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是．【解析】设这32个数的乘积为A．\n，所以，只要划去这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数．另外，由于，而16也是完全平方数，所以划去也满足题意．【例1】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【解析】设这个数减去为，减去为，则，可知，且，所以，，这样这个数为．【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为、，那么这两个完全平方数的差为，由于和的奇偶性质相同，所以不是4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．【巩固】三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数．【解析】设这三个数从大到小分别为、、，那么有，，因为，、同奇同偶，所以有，或，，分别解得，和，，对于后者没有满足条件的B，所以A只能等于12，，继而求得，所以这三个数分别为12、8、2．【例2】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．设中间数是x,则它们的和为,中间三数的和为．是平方数，设,则，是立方数，所以至少含有3和5的质因数各2个,即至少是225,中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．【巩固】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．【解析】为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子．设这个数分解质因数之后为，由于它乘以2以后是完全平方数，即是完全平方数，则、、都是2的倍数；同理可知、、是3的倍数，、、是5的倍数．所以，是3和5的倍数，且除以2余1；是2和5的倍数，且除以3余2；是2和3的倍数，且除以5余4．可以求得、、的最小值分别为15、20、24，所以这样的自然数最小为．【例3】两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？【解析】设这两个完全平方数分别是和，且，则两个完全平方数的和可以表示为，所以越大，平方和越大，越小，平方和越小，而，，当，时，取得最大值，此时两个完全平方数的和最大，为；当，时，取得最小值2，此时两个完全平方数的和最小，为85．【巩固】(2008年清华附中考题)有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是．(请写出所有可能的答案)【解析】设这两个两位数中较小的那个为，则另外一个为，由题知，(为正整数)，即，由于，所以，由于与均为两位数，所以，故可能为25、50或者75，可能为18、43或者68．经检验，\n、43、68均符合题意，所以这两个两位数为18、32，或者43、57，或者68、82．【例1】A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和为．【解析】如果把B放在A的左边，得到的五位数为；如果把放在的右边，得到的五位数为；这两个数的差为，是一个完全平方数，而，所以是5与一个完全平方数的乘积．A又是一个两位数，所以可以为、、，A的所有可能取值之和为．【巩固】已知是一个四位数，若两位数是一个质数，是一个完全平方数，是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________．【解析】本题综合利用数论知识，因为是一个质数，所以B不能为偶数，且同时是一个完全平方数，则符合条件的数仅有16和36，所以可以确定B为1或3，．由于是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，在61～69中只有63和68符合条件，那么A为3或8．那么可能为31，33，81，83，其中是质数的有31和83，所以满足条件的四位数有3163和8368．【例2】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数．【解析】设这个四位数为①，由于其各位数字都小于7，所以每位数字都加3，没有发生进位，故②由②①得：③将分解质因数，有，其有个约数，但是有，所以只有4种可能，即．由于，故，所以；又，所以，故；一一检验，只有满足且，所以，，得，原来的四位数为．【例3】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．【解析】平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道，所以满足条件的最小正整数是．【例4】能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由．【解析】因为偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，因此任一正整数的平方被4除余0或1．假设存在四个正整数，使得．又被4除余2，故被4除余2或3．若中有两个偶数，如是偶数，那么是4的倍数，被4除余2，，所以不可能是完全平方数；因此中至多只有一个偶数，至少有三个奇数．设为奇数，为偶数，那么被4除余1或3，所以中至少有两个数余数相同．如被4除余数相同，同为1或3，那么被4除余1，所以被4除余3，不是完全平方数；综上，不可能全是完全平方数．【巩固】证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。\n【解析】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．【例1】(2004年华杯赛)三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？【解析】是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于60．任何三个连续正整数，必有一个能为3整除，所以，任何美妙数必有因子3．若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子4．另外，由于完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，若其个位是0和5，则中间的数能被5整除；若其个位是1和6，则第一个数能被5整除；若其个位是4和9，则第三个数能被5整除．所以，任何美妙数必有因子5．由于3，4，5的最小公倍数是60，所以任何美妙数必有因子60，故所有美妙数的最大公约数至少是60．综合上面分析，所有美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，所以，只能是60．【例2】(2004年南京市少年数学智力冬令营)记，这里．当k在1至100之间取正整数值时，有个不同的k，使得S是一个正整数的平方．【解析】一个平方数除以4的余数是0或1．当时，S除以4余3，所以S不是平方数；当时，，当k在1至100之间时，S在13至409之间，其中只有8个平方数是奇数：，，，，，，，，其中每1个平方数对应1个k，所以答案为8．【例3】(2007年“走进美妙的数学花园”)称能表示成的形式的自然数为三角数．有一个四位数，它既是三角数，又是完全平方数．则．【解析】依题有，即．因为与是两个连续自然数，其中必有一个奇数，有奇数．又由相邻自然数互质知，“奇数”与“”也互质，于是奇数，()，而为四位数，有，即，又与相邻，有．当时，，相邻偶数为50时，满足条件，这时，即；当时，，相邻偶数为80和82都不满足条件；当时，，相邻偶数为120和122都不满足条件．所以，．【巩固】自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？【解析】1到3的平方是一位数，占去3个位置；4到9的平方是二位数，占去12个位置；10到31的平方是三位数，占去66个位置；32到99的平方是四位数，占去272个位置；将1到99的平方排成一行，就占去353个位置，从612减去353，还有259个位置．从100到300的平方都是五位数，因此，第612个位置一定是其中某个数的平方中的一个数字．因为，即从100起到150，共51个数，它们的平方都是五位数，要占去255个位置，而，它的第4个数字是0，所以第612个位置的数字是0．【例4】A是由2002个“4”组成的多位数，即，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．【解析】．如果A是某个自然数的平方，则也应是某个自然数的平方，并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而不是的倍数，矛盾，所以A不是某个自然数的平方．\n