初中数学《容斥原理》讲义及练习 19页

容斥原理知识框架图7计数综合7-7容斥原理7-7-1两量重叠问题7-7-2三量重叠问题7-7-3图形中的重叠问题7-7-4容斥原理在数论问题中的应用7-7-5容斥原理中的最值问题教学目标1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积．图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积．1．先包含——重叠部分计算了次，多加了次；2．再排除——把多加了次的重叠部分减去．　包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求(意思是把的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．\n二、三量重叠问题类、类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数类元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数同时是类、类、类的元素个数．用符号表示为：．图示如下：图中小圆表示的元素的个数，中圆表示的元素的个数，大圆表示的元素的个数．1．先包含：重叠部分、、重叠了次，多加了次．2．再排除：重叠部分重叠了次，但是在进行计算时都被减掉了．3．再包含：．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲模块一、两量重叠问题【例1】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有人，参加数学兴趣小组的有人，有人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【解析】如图所示，圆表示参加语文兴趣小组的人，圆表示参加数学兴趣小组的人，与重合的部分(阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有(人)；图中圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：(人)．方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人参加数学兴趣小组的人两个小组都参加的人，即：(人)．【巩固】芳草地小学四年级有人学钢琴，人学画画，人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？\n【解析】解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．如图，圆表示学画画的人，圆表示学钢琴的人，表示既学钢琴又学画画的人，图中圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：(人)，图中圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：(人)．【巩固】四(二)班有名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有人，写完数学作业的有人，语文数学都没写完的有人．⑴问语文数学都写完的有多少人？⑵只写完语文作业的有多少人？【解析】⑴由题意，有(人)至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：(人)．⑵只写完语文作业的人数写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即(人)．【例1】某班共有人，参加美术小组的有人，参加音乐小组的有人，有人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【解析】已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为(人)．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是(人)．【巩固】四年级一班有人，其中人参加了数学竞赛，人参加了作文比赛，人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？【解析】由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：(人)，所以，两项比赛都没有参加的人数为：(人)．【巩固】实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？【解析】根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：(人)．【例2】某次英语考试由两部分组成，结果全班有人得满分，第一部分有人做对，第二部分有人有错，问两部分都有错的有多少人？【解析】如图，用长方形表示参加考试的人数，圆表示第一部分对的人数．圆表示第二部分对的人数，长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数．已知第一部分对的有人，全对的有人，可知只对第一部分的有：(人)．又因为第二部分有人有错，其中第一部分对第二部分有错的有人，那么余下的(人)必是第一部分和第二部分均有错的，两部分都有错的有人．【例3】对全班同学调查发现，会游泳的有人，会打篮球的有人．两项都会的有人，两项都不会的有人．这个班一共有多少人？\n【解析】如图，用长方形表示全班人数，圆表示会游泳的人数，圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．由图中可以看出，全班人数至少会一项的人数两项都不会的人数，至少会一项的人数为：(人)，全班人数为：(人)．【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有人，参加军棋比赛的有人，有人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【解析】如图，圆表示参加象棋比赛的人，圆表示参加军棋比赛的人，与重合的部分表示同时参加两项比赛的人．图中圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有(人)；图中圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有(人)．由此得到参加棋类比赛的人有(人)．或者根据包含排除法直接得：(人)．【例1】在人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有人，既采了樱桃又采了杏的有人，既没采樱桃又没采杏的有人，问：只采了杏的有多少人？【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员人，圆表示采了樱桃的人数，圆表示采了杏的人数．长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：(人)，而至少采了一种的人数只采了樱桃的人数两种都采了的人数只采了杏的人数，所以，只采了杏的人数为：(人)．【例2】甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中块玻璃不是甲组擦的，块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？【解析】68块玻璃不是甲组擦的，说明这块玻璃是乙、丙两组擦的；块玻璃不是乙组擦的，说明这块玻璃是甲、丙两组擦的．如图，用圆表示乙、丙两组擦的块玻璃，圆表示甲、丙两组擦的块玻璃．因甲乙两组共擦了块玻璃，那么(块)，这是两个丙组擦的玻璃数．(块)．丙组擦了块玻璃．乙组擦了：(块)玻璃，甲组擦了：(块)玻璃．\n【例1】育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？【解析】通过16幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是16，通过15幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15，那也就是说五年级的画比六年级多1幅，我们还知道五、六年级共展出25幅画，进而可以求出五年级画作有13幅，六年级画作有12幅，那么久可以求出其他年级的画作共有3幅．【例2】名学生参加数学和语文考试，其中语文得分分以上的人，数学得分分以上的人，两门都不在分以上的有人．问：两门都在分以上的有多少人？【解析】如图，用长方形表示这名学生，圆表示语文得分分以上的人数，圆表示数学得分以上的人数，与重合的部分表示两门都在分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在分以上的人数．由图中可以看出，全体人数是至少一门在分以上的人数与两门都不在分以上的人数之和，则至少一门在分以上的人数为：(人)．根据包含排除法，两门都在分以上的人数为：(人)．【巩固】(第二届小学迎春杯数学竞赛)有位旅客，其中有人既不懂英语又不懂俄语，有人懂英语，人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？【解析】方法一：在人中懂英语或俄语的有：(人)．又因为有人懂英语，所以只懂俄语的有：(人)．从位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：(人)．【例3】一个班人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有人；做完数学作业的有人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【解析】不妨用下图来表示：线段表示全班人数，线段表示做完语文作业的人数，线段表示做完数学作业的人数，重叠部分则表示语文、数学都做完的人数．根据题意，做完语文作业的有人，即．做完数学作业的有人，即．\n(人)①(人)②①式减②式，就有(人)所以，数学、语文作业都做完的有人．【巩固】四年级科技活动组共有人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有人，装配好一架飞机模型的同学有人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【解析】因，，所以必有人同时完成了这两项活动．由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，(完成了两项活动的人数)全组人数，即(完成了两项活动的人数)．由减法运算法则知，完成两项活动的人数为(人)．也可画图分析．【巩固】科技活动小组有人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有人，制作好一艘舰艇的同学有人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？【解析】因为，，所以必有人两项制作都完成了．由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知：全组人数完成了两项制作的人数，即完成了两项制作的人数．所以，完成了两项制作的人数为：(人)．【例1】一次数学测验，甲答错题目总数的，乙答错3道题，两人都答错的题目是题目总数的．求甲、乙都答对的题目数.【解析】(法一)设共有n道题．由右图知d即为所求，并有关系式由①③知,n是4和6的公倍数，即12的倍数．将③代入②，有，由于b是非负整数，所以n=12，由此求出c=2，b=1，a=1.又由a+b+c+d=n，得到d=n-（a+b+c)=8（法二）显然两人都答错的题目不多于3道，所以题目总数只可能是6、12、18，其中只有12，能使甲答错题目总数是整数.【例2】小赵、小钱、小孙、小李、小周、小吴、小郑、小王，这8名同学站成一排．其中小孙和小周不能相邻，小钱和小吴也不能相邻，小李必须在小郑和小王之间(可相邻也可不相邻)．则不同的排列方法共有________种．\n【解析】8名同学站成一排，所有的排法共有种，其中小孙和小周相邻的排法，根据“捆绑法”有种，小钱和小吴相邻的也有种，这两对都相邻的有种．根据容斥原理，符合前两个条件的排法有种．在这种排法里面，小李、小郑、小王个人的排列中每个人在中间的可能性都相等，所以小李在小郑和小王之间的排法占其中的，即有种．模块二、三量重叠问题【例1】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有人，手中有黄旗的共有人，手中有蓝旗的共有人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有人．而手中只有红、黄两种小旗的有人，手中只有黄、蓝两种小旗的有人，手中只有红、蓝两种小旗的有人，那么这个班共有多少人？【解析】如图，用圆表示手中有红旗的，圆表示手中有黄旗的，圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：(人)．【巩固】某班有人，其中人爱打篮球，人爱打排球，人爱踢足球，人既爱打篮球又爱踢足球，人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【解析】由于全班人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有人．根据包含排除法，既爱打篮球又爱打排球的人数，得到既爱打篮球又爱打排球的人数为：(人)．【例2】四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．．【解析】设参加数学小组的学生组成集合A，参加语文小组的学生组成集合B，参加文艺小组的学生组成集合G．三者都参加的学生有z人．有=46，=24，=20，=3.5，=7，=2，=10．因为，所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3，即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有37=21人．【巩固】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12\n人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．【解析】设参加自然兴趣小组的人组成集合A，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人组成集合C．=25，=35，=27，=12，=8，=9，=4.=.所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项．即这个班有62人．【解析】光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有人，参加中国象棋比赛的有人，参加国际象棋比赛的有人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有人，其中三种棋赛都参加的有人，问参加棋类比赛的共有多少人？【解析】根据包含排除法，先把参加围棋比赛的人，参加中国象棋比赛的人与参加国际象棋比赛的人加起来，共是人．把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的人，同时参加围棋和国际象棋的人与同时参加中国象棋和国际象棋的人减去，但是，同时参加了三种棋赛的人被加了次，又被减了次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：(人)．或者根据学过的公式：，参加棋类比赛的总人数为：(人)．【例1】(2008年西城实验考题)新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人．【解析】设只参加合唱的有人，那么只参加跳舞的人数为，由人没有参加演奏、人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为人，即，得，所以只参加合唱的有人，那么只参加跳舞的人数为人，又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少人”，得到同时参加三项的有人，所以参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有：人．【巩固】五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数．【解析】设三项都参加的人数有X人，则参加朗诵小组的人数为7X人，参加绘画小组又参加朗诵小组的人数为2X人，参加朗诵小组又参加合唱小组的人数为2X人，于是有46=（24+20+7X-2X-2X-10+X），解得X=3,所以参加朗诵小组的人数为21人．【巩固】六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项．其中，爱好体育的55\n人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人．问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？【解析】只是A类和B类的元素个数，有别于容斥原理Ⅱ中的既是A类又是B类的元数个数．依题意，画图如下．设只爱好科学和文艺两项的有人．由容斥原理，列方程得即只爱好体育的有：(人)．【例1】在某个风和日丽的日子，个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中个人带了汉堡，个人带了鸡腿，个人带了芝士蛋糕，有个人既带了汉堡又带了鸡腿，个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕．个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问：⑴三种都带了的有几人？⑵只带了一种的有几个？【解析】如图，用圆表示带汉堡的人，圆表示带鸡腿的人，圆表示带芝士蛋糕的人．⑴根据包含排除法，总人数带汉堡的人数带鸡腿的人数带芝士蛋糕的人数带汉堡、鸡腿的人数带汉堡、芝士蛋糕的人数带鸡腿、芝士蛋糕的人数三种都带了的人数，即三种都带了的人数，得三种都带了的人数为：(人)．⑵求只带一种的人数，只需从10人中减去带了两种的人数，即(人)．只带了一种的有人．【巩固】盛夏的一天，有个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有人；可乐、雪碧都要的有人；可乐、橙汁都要的有人；雪碧、橙汁都要的有人；三样都要的只有人，证明其中一定有人这三种饮料都没有要．【解析】根据根据包含排除法，至少要了一种饮料的人数(要可乐的人数要雪碧的人数要橙汁的人数)(要可乐、雪碧的人数要可乐、橙汁的人数要雪碧、橙汁的人数)三种都要的人数，即至少要了一种饮料的人数为：(人)．(人)，所以其中有人这三种饮料都没有要．【例2】全班有个学生，其中人会骑自行车，人会游泳，人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有个人数学不及格，那么，⑴数学成绩优秀的有几个学生？⑵有几个人既会游泳，又会滑冰？【解析】⑴有个数学不及格，那么及格的有：(人)，即最多不会超过人会这三项运动之一．而又因为没人全会这三项运动，那么，最少也会有：(人)至少会这三项运动之一．于是，至少会三项运动之一的只能是人，而这人又不是优秀，说明全班人中除了人外，剩下的名不及格，所以没有数学成绩优秀的．⑵上面分析可知，及格的人中，每人都会两项运动：会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车．所以，全班有(人)既会游泳又会滑冰．\n【巩固】五年级一班共有人，每人参加一个兴趣小组，共有、、、、五个小组，若参加组的有人，参加组的人数仅次于组，参加组、组的人数相同，参加组的人数最少，只有人．那么，参加组的有_______人．【解析】参加，，三组的总人数是(人)，，每组至少人，当，每组人时，组为人，不符合题意，所以参加组的有(人)．【例1】五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个．其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？【解析】参加3个小组的人数是一个不为0的偶数，如果该数大于或等于4，那么仅参加语文与自然小组的人数则大于等于20，而仅参加数学与自然小组的人有6个，这样至少应有30人，与题意矛盾，所以参加3个小组的人数为2．仅参加语文与自然小组的人数为10，于是仅参加语文与自然、仅参加数学与自然和参加3个小组的人数一共是18人，剩下的10人是仅参加数学与语文以及仅参加数学的．由于这两个人数相等，所以仅参加数学和语文小组的有5人．【例2】在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多人；个人没有摘草莓；个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是，你能回答下列问题吗？①有人摘了山莓；②有人同时摘了三种水果；③有人只摘了山莓；④有人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；⑤有人只摘了草莓.【解析】如图，根据题意有代入求解：，，，，，，所以①有(人)摘了山莓；②有人同时摘了三种水果；③有人只摘了山莓；④有人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；⑤有人只摘了草莓.【例3】\n某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？【解析】由条件可知，参加长跑的人中有2人参加其它项目，参加跳高的人中有3人参加其它项目，参加标枪的人中有4人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人数为x，只参加长跑和标枪的人数为y，只参加标枪和跳高的有z人，三项都参加的有n人.那么有以下方程组：由条件可知，参加长跑的人中有2人参加其它项目，参加跳高的人中有3人参加其它项目，参加标枪的人中有4人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人数为x，只参加长跑和标枪的人数为y，只参加标枪和跳高的有z人，三项都参加的有n人.那么有以下方程组：将3条等式相加则有2（x+y+z）+3n=9，由这个等式可以得到，n必须是奇数，所以，n只能是1或3、5、7……，如果n≥3时x、y、z中会出现负数.所以n=1，这样可以求得x=0，y=1，z=2.由此可得到这个学校一共派出了10+15+20-0-1-2-2×1=40人.将3条等式相加则有2（x+y+z）+3n=9，由这个等式可以得到，n必须是奇数，所以，n只能是1或3、5、7……，如果n≥3时x、y、z中会出现负数.所以n=1，这样可以求得x=0，y=1，z=2.由此可得到这个学校一共派出了10+15+20-0-1-2-2×1=40人.模块三、图形中的重叠问题【例1】把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长厘米，焊接后这根铁条有多长？【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长(厘米)．【巩固】把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长厘米，焊接后这根铁条有多长？【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：(厘米)．【例2】两张长厘米，宽厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为厘米的正方形，如果利用两个的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积(平方厘米)．\n【巩固】如图，一张长厘米，宽厘米，另一个正方形边长为厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积长方形面积正方形面积重叠部分．于是，组合图形的面积：(平方厘米)．【巩固】一个长方形长厘米，宽厘米，另一个长方形长厘米，宽厘米，它们中间重叠的部分是一个边长厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积长方形面积之和重叠部分．于是，组合图形的面积(平方厘米)．【例1】三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【解析】将图中的三个圆标上、、．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积(圆面积圆面积圆面积与重合部分面积与重合部分面积与重合部分面积三个纸片共同重叠的面积，得：与重合部分面积与重合部分面积与重合部分面积，得到、、三个圆两两重合面积之和为：平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：阴影部分面积，则阴影部分面积为：(平方厘米)．【巩固】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【解析】设甲圆组成集合A，乙圆组成集合B，丙圆组成集合C．=30，=6，=8，=5，=73，而=.有73=30×3-6-8-5+，即=2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为\n2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【例1】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【解析】阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三次．所以三张纸重叠部分的面积(平方厘米)．【巩固】如图所示，、、分别是面积为、、的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为．若与、与的公共部分的面积分别为、，、、这三张纸片的公共部分为．求与公共部分的面积是多少？【解析】设与公共部分的面积为，由包含与排除原理可得：⑴先“包含”：把图形、、的面积相加：，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了次，因此要排除掉．⑵再“排除”：，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑶再“包含”：，这就是三张纸片覆盖的面积．根据上面的分析得：，解得：．模块四、容斥原理在数论问题中的应用【例2】在的全部自然数中，不是的倍数也不是的倍数的数有多少个？【解析】如图，用长方形表示的全部自然数，圆表示中的倍数，圆表示中的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是的倍数也不是的倍数的数．由可知，中的倍数有个；由可知，中的倍数有个；由可知，既是的倍数又是的倍数的数有个．由包含排除法，或的倍数有：(个)．从而不是的倍数也不是的倍数的数有(个)．【巩固】在自然数中，能被或中任一个整除的数有多少个？【解析】，，．根据包含排除法，能被或\n中任一个整除的数有(个)．【巩固】在前个自然数中，能被或整除的数有多少个？【解析】如图所示，圆内是前个自然数中所有能被整除的数，圆内是前个自然数中所有能被整除的数，为前个自然数中既能被整除也能被整除的数．前个自然数中能被整除的数有：(个)．由知，前个自然数中能被整除的数有：个．由知，前个自然数中既能被整除也能被整除的数有个．所以中有个数，中有个数，中有个数．因为，都包含，根据包含排除法得到，能被或整除的数有：(个)．【例1】在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【解析】1～1000之间，5的倍数有=200个，7的倍数有=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有=28个．所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【巩固】求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【解析】记A：1～100中3的倍数，，有33个；B：1～100中7的倍数，，有14个；：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，，有4个．依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有个，则能被3或7整除的数的个数为43个.【例2】50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?【解析】在转过两次后，面向老师的同学分成两类：第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数．1～50之间，4的倍数有=12,6的倍数有=8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数，所以有=4．于是，第一类同学有50-12-8+4=34人，第二类同学有4人，所以现在共有34+4=38名同学面向老师．【例3】以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【解析】以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n与105互质，那么（105-n）与n互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.【巩固】分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.\n【解析】385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120.【例1】(2008年西城实验考题)在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有个．【解析】1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有个，3和7的倍数有个，5和7的倍数有个，3、5和7的倍数有个．所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有个．【例2】在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？【解析】表示取商的整数部分．例如，．要注意的是，符号与、、、符号一样，也是一种运算，叫取整运算．本题中，先求出能被2整除的数有多少个，再分别求出能被2和3、能被2和7分别整除的数的个数，那么用能被2整除的数的个数减去能被2和3整除的数的个数，再减去能被2和7整除的数的个数，所得的差是不是所求的得数呢？仔细想想你会发现不是的，因为它多减了能同时被2、3、7整除的数．故能被2整除的有：(个)．能被2和3同时整除的有：(个)．能被2和7同时整除的有：．能被2、3、7同时整除的有：(个)．所以，能被2整除，但不能被3或7整除的数有(个)．【例3】有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？【解析】三次拉完后，亮着的灯包括不是2、3、5的倍数的数以及是6、10、15的倍数但不是30的倍数的数．1～2000这2000个正整数中，2的倍数有1000个，3的倍数有666个，5的倍数有400个，6的倍数有333个，10的倍数有200个，15的倍数有133个，30的倍数有66个，亮着的灯一共有2000-1000-666-400+2×（333+200+133）-4×66=1002盏．【巩固】写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？\n【解析】因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的．没拉的灯有(盏)，拉两次的有(盏)，最后亮着的灯一共为(盏)【例1】在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?【解析】1～100，2的倍数有=50，3的倍数有=33个，因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一定是6的倍数，所以标签为这样的数有=16个．于是，既不是2的倍数，又不是3的倍数的数在1～100中有100-50-33+16=33．所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：50×2+33×3+33×1=232支.【例2】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成________段．【解析】假设木棍长，则沿第一种刻度线锯成的木棍每段长，沿第二种刻度线锯成的木棍每段长，沿第三种刻度线锯成的木棍每段长．因为，沿三种刻度线可将木棍分别锯成10、12、15段；沿第一、二种重合的刻度线可将木棍锯成段，沿第一、三种重合的刻度线可将木棍锯成段，沿第二、三种重合的刻度线可将木棍锯成段；沿三种刻度重合的刻度线可将木棍锯成段．应该减去重复计算的沿任意两种重合的刻度线锯成的段数，应加上多减去的沿三种刻度重合的刻度线锯成的段数．所以，沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成段．【例3】(2008年101中学考题)一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出段．【解析】要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数，而木棒上的刻度数，相当于1、2、3、…、100、101这101个自然数中2或3或5的倍数的个数，为：，故木棒上共有74个刻度，可以截出75段．【巩固】一根米长的木棍，从左段开始每隔2厘米画一个刻度，每隔3厘米画一个刻度，每隔5厘米画一个刻度，每隔7厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？【解析】米长的木棍，按2厘米一段画出刻度，那么也就是说所有的偶数点都已经划过了，即2、4、6、8、10……共89个点，那么再画3的时候所有的偶数点都已经划过，那么会多出30个点，即3、9、15……，再画5的时候会多出来的点是5、25、35、55、65、85、95、115、125、145、155、175，共12个，最后画间隔7厘米的时候，会多出7、49、77、91、119、133、161共7个点，那么所有的刻度总和应该是个，那么截断之后应该会有139段小木棍．模块五、容斥原理中的最值问题\n【例1】将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？【解析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.【例2】如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?【解析】如下图，下图中“”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在“”位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时显现的红色点最少，有1994×5-(2-1)×10=9960个．【例3】某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？【解析】（法1）首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于会游泳的有27人，会骑自行车的有33人，而总人数为48人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下，两项都会的学生至少有人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，至少有人.　　　　该情况可以用线段图来构造和示意：　　　　　　　　（法2）设三项运动都会的人有人，只会两项的有人，只会一项的有人，　　　　那么根据在统计中会项运动的学生被统计次的规律有以下等式：　　　　　　　　由第一条方程可得到，将其代入第二条式子得到：　　　　，即①　　　　而第二条式子还能得到式子，即②\n　　　　联立①和②得到，即．可行情况构造同上．【巩固】某班有名学生，参加语文竞赛的有人，参加数学竞赛的有人，参加英语竞赛的有人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有人．【解析】根据题意可知，该班参加竞赛的共有人次．由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次．要求参加两科的人数最多，则让这人次尽可能多地重复，而，所以至多有人参加两科，此时还有1人参加1科．那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有人，参加语文、英语两科的共有人，参加数学、英语两科的共有人．也就是说，此时全班有15人参加语文、数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1科，还有14人不参加．检验可知符合题设条件．所以35人是可以达到的，则参加两科的最多有35人．（当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）【巩固】60人中有的人会打乒乓球，的人会打羽毛球，的人会打排球，这三项运动都会的人有人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？【解析】设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有人，只会打乒乓球和排球两项的有人，只会打羽毛球和排球两项的有人．由于只会三项运动中的一项的不可能小于，所以、、有如下关系：　　　　将三条关系式相加，得到，而60人当中会至少一项运动的人数有人，所以60人当中三项都不会的人数最多4人（当、、分别取、、时，不等式组成立）．【例1】在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？【解析】为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变成乙浇了45盆，丙浇了50盆，丁浇60盆了，这时共有盆花，我们要让这70盆中恰好被3个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被3个人浇过的花最少有盆．【巩固】甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，此时甲单独浇过的为78-46=32盆，乙单独浇过的为68-46=22盆；欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端．于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆．【巩固】例题中恰好被1个人浇过的花最多有多少盆？\n【解析】100盆花共被浇水275次，平均每盆被浇次，为了让被浇1次的花多，我们也需要被浇4次的花尽量多，为30盆，那么余下70盆共被浇155次，平均每盆被浇次，说明需要一些花被浇3次才可以．我们假设70盆都被浇3次，那么多出55次，每盆花少浇2次变为被浇1次最多可以变27次，所以本题答案为27盆．【例1】图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?【解析】设甲借过的书组成集合A，乙借过的书组成集合B，丙借过的书组成集合C．=33,=44，=55，=29，=25，=36．本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可．,当最大时，有最大值.也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少有一人借过的书最多．而最大不超过、、、、、6个数中的最小值，所以最大为25．此时=33+44+55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借过的书最多为67本，所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．【巩固】甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?【解析】考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35个，此时甲单独读过的为75-35=40个，乙单独读过的为60-35=25个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52-40=12个．