初中数学《和倍问题》讲义及练习 16页

和倍问题教学目标1.学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题2.掌握寻找和倍的方法解决问题．知识点拨知识点说明：和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．　　解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是：和÷(倍数+)=小数小数×倍数=大数或和一小数=大数如果要求两个数的差，要先求份数：份数×(倍数－)=两数差.解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。例题精讲【例1】根据线段图列式：【解析】列式：（米）【巩固】小敏有元，小花有元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的倍？【解析】小花现在的钱数：（元），小花给小敏：（元）【巩固】小华和爷爷今年共岁，爷爷的岁数是小华的倍.爷爷比小华大多少岁？【解析】小华：（岁），\n爷爷：（岁），（岁）或（岁）.【例1】有两盘苹果，如果从第一盘中拿2个放到第二个盘里，那么两盘的苹果数相同(条件A)；如果从第二个盘中拿2个放到第一盘里，那么第一盘的苹果数是第二盘的2倍(条件B).第一盘有苹果多少个?【解析】本题的数量关系更为隐蔽．首先须理解条件表述语中隐含的数量关系．条件A的数量关系为：第一盘中的苹果数比第二盘多2+2=4(个).从条件B可知，如果从第二个盘中拿2个放到第一盘里，那么第一盘就比第二盘多4+(2+2)=8(个)；此时，第一盘的苹果数是第二盘的2倍．(1)原来第一盘比第二盘多：2+2=4(个)或2×2=4(个)(2)从第二盘拿2个到第一盘里，第一盘就比第二盘多：4+(2+2)=8(个)或4+2×2=8(个)(3)第二盘拿走2个后剩下的苹果：8÷(2-1)=8(个)(4)第一盘原有苹果：8×2-2=14(个)答：第一盘有苹果14个．【巩固】一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？【解析】先求出长方形长和宽的和：36÷2=18（厘米）把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和对应的就是3份，所以长方形的宽是：18÷（2+1）=6（厘米）长是：6×2=12（厘米）这个长方形的面积是：12×6=72（平方厘米）【巩固】5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？【解析】5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份，1箱苹果与1箱葡萄重量和为：75÷5=15（千克）。把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：15÷（2+1）=5（千克）；每箱苹果重量为：5×2=10（千克）。【例2】师、徒两人共加工个零件，师傅加工的个数比徒弟的倍还多个，师傅和徒弟各加工零件多少个？　【解析】引导学生画图时，一定要注意“多5个”的画图方法，并找和与份数之间的关系．【详解】从线段图上可以看出，把徒弟加工的个数看作份数，师傅加工的个数就比份数还多个，如果师傅少加工个，两人加工的总数就少个，总数变为个，这样这道题就转化为例类型的题目，就可以求出师傅和徒弟各加工多少个了.列式：如果师傅少做个，师、徒共做：(个)，徒弟做了：(个),师傅做了：(个)．【巩固】实验小学共有学生人，男生比女生倍少人.问：实验小学男学生和女学生各有多少人？【解析】女生：（人），男生：（人）或（人）【巩固】两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少40\n人，求参加义务劳动的学生共有多少人？【解析】把乙组学生人数看作1份，画出线段图如下：甲组学生人数是乙组学生人数的3倍，则甲组学生人数的3倍就是乙组人数的（3×3=）9倍。所以，乙组人数为：40÷（9-1）=5（人）；参加义务劳动的学生共有：5×（1+3）=20（人）。【巩固】商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，橘子重多少千克?【解析】我们可以把苹果的重量看作1份，如下图：如果橘子重量增加3千克，正好是苹果重量的3倍，香蕉的重量减少2千克，正好是苹果重量的2倍，这时三种水果的总重量变为：53＋3－2＝54(千克)，正好是苹果重量的(1＋3＋2)倍，苹果有(53＋3－2)÷(1＋3＋2)＝54÷6＝9(千克)，橘子有9×3－3＝24(千克).【例1】实验小学三、四年级的同学们一共制作了件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？【解析】已知四年级同学制作的航模件数是三年级的倍，可以想到三年级同学制作的航模件数是倍数．两个年级共制作了件，这件就相当于倍，这样就可以求得倍数——三年级同学的制作件数是：(件)．再根据四年级同学和三年级同学制作航模件数的倍数关系，求出四年级同学制作航模的件数是：(件)或(件)。【巩固】一家三口人，三人年龄之和是岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的倍，三人各是多少岁？【解析】妈妈的年龄是孩子的倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的倍，把孩子的年龄作为倍数，已知三口人年龄和是岁，那么孩子的年龄为：(岁)，妈妈的年龄是：(岁)，爸爸和妈妈同岁为岁．【巩固】果园里有梨树和苹果树共棵，苹果树的棵数是梨树的倍，苹果树比梨树多多少棵？【解析】把梨树的棵数看作份数，苹果树的棵数就是份数，棵就相当于(份数，分别求出梨树和苹果树的棵数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数.这道题还可以这样想，先求出份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了.（法１）梨树：(棵)，苹果树：(棵)，苹果树比梨树多：(棵)　　　（法２）梨树：(棵)，苹果树比梨树多：(棵)【巩固】某镇上有东西两个公交车站，东站有客车84辆，西站有客车56辆，每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车，几天后，东站车辆是西站的4倍？【解析】“每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车”\n，则每天东站增加（11-7=）4辆车，西站减少4辆车，但两站车辆总数不变为：84+56=140（辆）。要使东站车辆是西站车辆的4倍，西站只能有车辆：140÷（4+1）=28（辆）。用西站需要减少的总车辆数除以每天减少的车辆数，可以得出所求天数：（56-28）÷4=7（天）。所以，7天后，东站车辆是西站的4倍。【例1】果园里有梨树和苹果树共棵，苹果树的棵数是梨树的倍，苹果树比梨树多多少棵？【解析】把梨树的棵数看作份数，苹果树的棵数就是份数，棵就相当于(份数，分别求出梨树和苹果树的棵数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数.这道题还可以这样想，先求出份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了.（法１）梨树：(棵)，苹果树：(棵)，苹果树比梨树多：(棵)　　　（法２）梨树：(棵)，苹果树比梨树多：(棵)【巩固】甲、乙两位学生原计划每天自学时间相同．若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学天的时间仅相当于甲自学天的时间．问：甲、乙原定每天自学的时间是多少？【详解】改变后，甲每天比乙多自学小时，即分钟．它是乙现在五天自学的时间，即乙现在每天自学：（分），原来每天自学的时间是：（分）．【巩固】光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？【解析】把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。女生人数：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）男生人数：200×3-40=560（人）或760-200=560（人）验算：560＋200=760（人）（560+40）÷200=3（倍）。答：男生有560人，女生有200人。【巩固】红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票56张．其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒的2倍，蓝色纸盒里的彩票是红色纸盒的2倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票?【解析】以黄色纸盒的彩票数为1倍数，红纸盒是这样的2倍，蓝纸盒是红纸盒的2倍，也就是黄纸盒的4倍，一共就是(1+2+4)倍，这样就能建立起彩票总数与总倍数之间的对应关系，从而求出黄纸盒里有几张彩票．56÷(1+2+4)=8(张)……黄纸盒里的彩票数；8×2=16(张)……红纸盒里的彩票数；16×2=32(张)……蓝纸盒里的彩票数。【例2】有只盒子，每只盒内放有同一种笔．只盒子所装笔的支数分别为支、支、支、支、支、支、支、支．在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的倍，铅笔支数是钢笔支数的倍，只有一只盒里放的是水彩笔．这盒水彩笔共有多少支？【解析】铅笔数是钢笔数的倍，圆珠笔数是钢笔数的倍，因此这三种笔支数的和是钢笔数的倍．除以余，所以水彩笔的支数除以余，在上述盒的支数中，只有除以余，因此水彩笔共有支．【巩固】(第五届小数报数学竞赛初赛)六张卡片上分别标上、、、、、六个数，甲取张，乙取张，丙取张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的\n倍，则丙手中卡片上的数是________．【解析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的倍”可知，甲、乙手中五张卡片上的数之和应是的倍数．计算这六个数的总和是，除以余；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以余．六个数中只有除以余，故丙手中卡片上的数为．【例1】（2008第四届“IMC国际数学邀请赛”（新加坡）四年级复赛）甲、乙、丙三个小朋友共有块巧克力，如果丙吃掉块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如果乙给甲块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的倍，丙原有块巧克力．【解析】方法一：由题意可知，丙比乙多块，所以如果乙给甲两块巧克力，则丙比乙多块，此时乙的巧克力数为（块），丙原有（块）。方法二：如果丙吃掉块，那么乙与并的糖就一样多，说明丙比乙多块；如果乙给甲块糖，那么甲的糖就是乙的糖的倍，即甲的糖加是乙的糖减后的倍，说明甲的糖是丙的糖的倍少块．所以，丙有块糖．【巩固】甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为，已知甲校学生人数的倍，乙校学生人数减，丙校学生人数加都是相等的，问：甲、乙、丙各校的人数是多少？【解析】甲校学生人数为：（人），乙校学生人数为：（人），丙校学生人数为：（人）．甲、乙、丙三校的人数分别为，，．【巩固】学校买来一些乒乓球和羽毛球共个，乒乓球的个数是羽毛球的倍.买来的乒乓球和羽毛球各多少个？【解析】先引导学生认识一倍量和它的几倍量，并带领学生画线段图，借助图形来解决实际问题．根据题意和线段图可知，羽毛球的个数看作份数，乒乓球的个数就是份数，个就相当于份数，这样就可求出份数，也就是羽毛球的个数，把羽毛球的个数乘就是乒乓球的个数.　　羽毛球有：，乒乓球有：(个)．【巩固】某项竞赛分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的倍．如果评出一、二、三等奖各人，那么每个一等奖的奖金是元．如果评出个一等奖，个二等奖，个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元?【解析】我们把每个三等奖奖金看作份，那么每个二等奖奖金是份，每个一等奖奖金则是份．当一、二、三等奖各评人时，个一等奖的奖金之和是元，个二等奖的奖金之和等于个一等奖的奖金元，个三等奖的奖金等于个二等奖奖金元．所以奖金总额是：元．当评个一等奖，个二等奖，个三等奖时，个一等奖奖金看做份，个二等奖奖金（份），个三等奖奖金的份数是（份），总份数就是：（份）．这样，可以求出份数为元，一等奖奖金为：\n（元）．【例1】甲、乙、丙三所小学的学生人数的总和为1999。已知甲校学生人数的2倍和乙校学生人数减去3人与丙校学生人数加上4人都相等。问甲、乙、丙各校学生人数是多少？【解析】把甲校学生人数作为标准，画出线段图：把甲校人数看作1份，乙校人数就是2份多3，丙校就是2份少4。我们把乙校人数减去3，丙校人数加上4，都凑成2份，则总人数变成：1999-3+4=2000（人）。所以甲校人数为：2000÷（1+2+2）=400（人）；乙校人数为：400×2+3=803（人）；丙校人数为：400×2-4=796（人）。【巩固】有100块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块，三位小朋友各分得多少块糖?【解析】此题从两个数量扩展到三个数量．已知甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块，从线段图上可以清楚地看出：甲比丙多分了3＋5＝8(块)．如果甲少拿7块，乙少拿5块，那么糖的总数就要减少8＋5＝13(块)，总共就是100－13＝87(块)．87块相当于丙所有的糖块数的3倍，由此可以算出甲乙丙三人各自糖块的数量．[100－(3＋5)－5]÷3＝29(块)……………………………………．丙29＋5＝34(块)………………………………………………乙34＋3＝37(块)………………………………………………甲【巩固】实验一小、实验二小两校共有学生2346人，如果实验一小增加146人，实验二小减少88人，两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗?【解析】已知两校的人数和是2346人，而两校人数的差没有直接告诉我们．只要求出两校人数的差，就能解决问题了．差是多少呢?从图上可以看出，实验一小增加146人，实验二小减少88人，两校的学生人数就相等．在实验一小人数没有增加，实验二小人数没有减少之前，两校的人数相差：146＋88＝234(人)，利用(和＋差)÷2＝大数，就可以求出实验二小实际的人数：(2346＋146＋88)÷2＝1290(人)………………实验二小2346－1290＝1056(人)………………………实验一小本题也可以用和倍方法解【例2】有堆苹果，较小的堆平均有个苹果．较大的堆，苹果数之差为个．又较大的堆平均有个苹果，较小的堆苹果数之差为个．最大堆与最小堆平均有个苹果．问：每堆各有多少个苹果?【解析】最大堆与最小堆共个苹果．较大的堆与较小的堆共个苹果．所以中间的一堆有：个苹果；\n较大的堆有：个苹果；最大的一堆有：个苹果；次大的一堆有：个苹果；较小的堆有：个苹果；次小的一堆有：个苹果；最小的一堆有：个苹果．【巩固】超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的3倍还多10颗．售货员将这些糖包装成相同的小袋，每袋内装了3颗巧克力糖和7颗水果糖．最后巧克力糖全部装完，水果糖还剩下170颗．请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？【解析】由题意，如果每袋里装3颗巧克力糖和9颗水果糖，则只剩下10颗水果糖；现在每袋里装了3颗巧克力糖和7颗水果糖，结果剩下了170颗水果糖．由此可以算出总的袋数为：（袋），因此水果糖总数为（颗），巧克力糖总数为（颗）．【巩固】四年级有甲、乙、丙、丁四个班．不算甲班，其余三个班的总人数是131人；不算丁班，其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人．问：这四个班共有多少人？【解析】由题意，乙、丙、丁三个班总人数为131人，甲、乙、丙三个班总人数为134人，于是可以看出，甲班比丁班多3个人．又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，也就是说乙、丙两班总人数是丁班的2倍还多2人．从而可以求出丁班的人数为：（人）．因此这四个班的总人数为（人）．【例1】某日停电，房间里燃起了长、短两根蜡烛，它们燃烧速度是—样的．开始时长蜡烛是短蜡烛长度的倍，当送电后吹灭蜡烛，发现此时长蜡烛是短蜡烛长度的倍．短蜡烛燃烧掉的长度是厘米．问原来两根蜡烛各有多长？【解析】我们要注意发掘题目中真正的不变量，实际上本题中两根蜡烛的长度差是不变的(因为两根蜡烛燃烧的速度一样)．所以我们根据题意可知：原长蜡烛长度倍原短蜡烛长度，差为倍原短蜡烛长度；后长蜡烛长度倍后短蜡烛长度，差为倍后短蜡烛长度；所以原短蜡烛长度倍后短蜡烛长度，也就是说短蜡烛燃烧了倍后短蜡烛长度，为厘米，所以原短蜡烛长厘米，原长蜡烛长厘米．【巩固】某日停电，房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛．这两支蜡烛的质量不同，一支可以维持小时，另一支可以维持小时，当送电时吹灭蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的倍．这次停电时间是多少小时？【解析】两支蜡烛长度相同，一支可以维持小时，另一支可以维持小时，所以从两支蜡烛中取相同长度的部分，可以燃烧的时间之比为．现在可以维持小时的那支蜡烛剩下的长度是另外一支的倍，所以剩下的部分可以燃烧的时间是另外一只剩下部分可以燃烧时间的倍，由于燃烧了相同的时间，所以这支剩下的部分可以燃烧的时间比另外一只剩下部分可以燃烧的时间要长小时．所以另外一支剩下的部分可以燃烧的时间为小时，这次停电的时间为小时．\n【例1】某有三堆棋子，每堆棋子一样多，并且都只有黑、白两色棋子．已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占到三堆棋子里黑子总数的，如果把三堆棋子集中到一起，那么白子占全部棋子的几分之几？【解析】第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，那么我们不妨把第一堆里的黑子与第二堆里的白子调换一下，那么第一堆全是白子，第二堆全是黑子，且每堆总数不变．因为第三堆里的黑子占到三堆棋子里黑子总数的，我们不妨把第三堆里的黑棋子看作份，那么剩下的份都是第二堆的黑子，所以每堆都是份，共有棋子，白子共份，白子占全部棋子的．【例2】爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头．父子二人发现，如果爸爸帮冬冬搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5倍；如果冬冬帮爸爸搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的2倍．请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？【详解】由题意，如果爸爸多搬10块，冬冬少搬10块那么爸爸搬的砖头数是冬冬的5倍；如果爸爸少搬10块，冬冬多搬10块，那么爸爸搬的砖头块数是冬冬的2倍．对于前一种情况，如果让爸爸再多搬100块，冬冬再多搬20块，那么爸爸搬的砖头块数仍然是冬冬的5倍，也就是说如果爸爸多搬110块，冬冬多搬10块，爸爸搬的砖头块数是冬冬的5倍．由以上的关系可以列式求出爸爸原计划搬的块数为：（块），冬冬原计划搬的块数为：（块）．【巩固】某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多人，现在把室内活动的人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的倍，则参加室内、室外活动的共有多少人?【解析】原来室外、室内活动人数相差人，现把室内的人改为室外活动，这样室外活动人数比室内人数多(人)，这时室外活动人数正好是室内人数的倍，人相当于现在室内活动人数的(倍)，这样可先求出现在室内活动人数为，再求出室内、外人数之和：人．【例3】一家汽车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售。福特汽车的数量是丰田汽车的3倍，如果每周销售2辆丰田汽车和4辆福特汽车，丰田汽车销售完时还剩下30辆福特汽车请问：原有丰田汽车和福特汽车各多少辆？【解析】假设福特汽车的数量是3份，丰田车的数量是1份，根据福特车销售量是丰田车的两倍知道，销售完一份丰田车肯定要销售完2份福特车，也就是说当丰田车销售完的时候，福特车应该只剩下1份，所以我们知道1份数量是30，那么原来的丰田车和福特车就分别应有30辆和90辆。【巩固】大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有300级台阶的山坡，爸爸每步上3级台阶，儿子每步上2级台阶，从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级台阶？【解析】大头儿子踏过的台阶数是：（级），小头爸爸踏过的台阶数是（级），父子俩每（级）台阶要共同踏1级台阶，共重复踏了（级），所以父子俩共踏了：（级）．\n【例1】果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？【解析】下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍。梨树的棵数：（552＋20-12）÷（1＋1＋2）=560÷4=140（棵）桃树的棵数：140×2＋12=292（棵）苹果树的棵数：140-20=120（棵）答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。【例2】甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少？【解析】我们把丙数看作一份，画出线段图如下：假如我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7凑成3份，则这时候三个数的总和为：183+4-7=180，和对应的份数为：1+2+3=6。所以，一份数即丙数为：180÷6=30；乙数为：30×2-4=56；甲数为：30×3+7=97。【巩固】549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多少？【解析】上图可以看出，丙数最小.由于丙数乘以2和丁数除以2相等，也就是丙数的2倍和丁数的一半相等，即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根据这些倍数关系，可以先求出丙数，以丙数为一份量，再分别求出其他各数。丙数是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）=549÷9=61甲数是：61×2-2=120乙数是：61×2＋2=124丁数是：61×4=244验算：120+124＋61+244=549120＋2=122124-2=12261×2＝122244÷2＝122答：甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.【例3】大桶里有油60千克，小桶里有油30千克．将两个桶的油卖出同样多以后，所剩下的油中，大桶是小桶的4倍．问两个桶各剩油多少千克？【解析】用下图表示它们的关系：卖出同样多的油，可知两个桶里所有油的差总保持不变，因此这是一个差倍问题．小桶所剩的油为１倍数，大桶剩油是小桶剩油的4倍，所以大桶剩油比小桶剩油多（倍）．而大桶比小桶多的油总保持不变，是（千克）．再利用差倍问题的公式就可解决．小桶剩下的油是：（千克），大桶剩下的油是：（千克）．\n【巩固】两筐千克数相同的苹果，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克后，甲筐余下的千克数是乙筐的3倍，两筐苹果原来各有多少千克？【解析】用下图表示它们的关系：设乙筐余下的千克数为1份，则甲筐余下的千克数为3份，甲、乙两筐余下的苹果相差（份）．原来甲、乙两筐苹果的千克数相同，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克，说明甲筐比乙筐少卖出（千克），也就是乙筐余下的苹果比甲筐少12千克，所以甲、乙两筐余下的差是12千克，所对应的份数差是2，从而可以求出1份及两筐苹果原来的重量，甲、乙两筐余下的苹果数相差（千克），乙筐余下苹果的数是（千克），甲、乙两筐原来各有苹果的数量（千克）．【巩固】甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？【解析】甲、乙两水池共有水：2600＋1200=3800（立方米）甲水池剩下的水：3800÷（4+1）=760（立方米）甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840（立方米）经过的时间（分钟）：1840÷23＝80（分钟）。【巩固】甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？【解析】甲、乙两桶油总重量：470+190=660（千克）：当甲桶油是乙桶油2倍时，乙桶油是：660÷（2+1）=220（千克）：由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。【巩固】有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，这两根绳子原来长多少米？【解析】用下图表示它们的关系：两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第二根的长度是第一根的3倍．应该把变化后的第一根长度看作1倍，而（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍．所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了．所以，第一根截去12米剩下的长度：（米）两根绳子原来的长度：（米）．【巩固】北京某小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵。已知红花的朵数比黄花的2倍少30朵。问两种花各有多少朵？【解析】我们把黄花朵数看作一份，画出线段图如下：从线段图中可以看出，两种花的总和再添上30朵，正好对应了3份。所以黄花朵数为：（300+30）÷（1+2）=110（朵）。\n红花朵数为：300-110=190（朵）。【例1】学校买来一些乒乓球和羽毛球共个，乒乓球的个数是羽毛球的倍.买来的乒乓球和羽毛球各多少?【解析】先引导学生认识一倍量和它的几倍量，并带领学生画线段图，借助图形来解决实际问题．根据题意和线段图可知，羽毛球的个数看作份数，乒乓球的个数就是份数，个就相当于份数，这样就可求出份数，也就是羽毛球的个数，把羽毛球的个数乘就是乒乓球的个数.　　羽毛球有：，乒乓球有：(个)．【巩固】甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？【解析】设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：乙班：160÷（3+1）=40（本）甲班：40×3=120（本）或160-40=120（本）验算：120＋40=160（本）120÷40=3（倍）答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。【巩固】甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？【解析】解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图）。甲、乙两班共有图书的本数是：30＋120=150（本）甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：2＋1＝3（倍）乙班现有的图书本数是：150÷3=50（本）甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本）综合算式：（30＋120）÷（2+1）=50（本）50-30=20（本）验算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）（120-20）+（30+20）＝150（本）答：甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。【例2】二⑴班的图书角里有故事书和连环画共本，如果故事书拿走本后，故事书的本数就是连环画的倍.原有连环画和故事书各有多少本？【解析】可引导学生，让他们自己画图来分析，教师辅导指正．从线段图可以看出，如果故事书拿走本以后，则正好是连环画的倍.这时故事书与连环画总数应减少本，列式成(本)，正好是连环画本数的()倍.\n⑴如果故事书拿走本，总本数为：(本)　⑵现在连环画与故事书的倍数和为：　⑶连环画有：(本)　⑷故事书有：(本)【巩固】两个书架，甲书架存书相当于乙书架存书量的倍，甲书架比乙书架存书多本，则乙书架存书多少本？【解析】多的本相当于乙书架的倍，则乙书架的书为：（本）．【例1】盒子里有红球和白球若干，若每次从里面拿出1个红球和1个白球，那么当拿到没有红球时，还剩下白球50个，若每次拿出1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，还剩下50个红球，那么盒子里有红球和白球各多少个？【解析】方法一：第二次拿到没有白球的时候还剩下50个红球，因此如果再增加150个白球，可以使得“每次拿出1个红球和3个白球”两种球都不剩下，这样增加150个白球后，按照第一种取法，白球会剩下（个），这说明白球增加150个后，白球的数量是红球的3倍且白球比红球多200个，转化为差倍问题，所以，红球的数量是（个），此时白球的数量是：（个），不过这个数量是白球增加150个之后的结果，所以原来盒子里有白球（个），红球100个．方法二：用下图表示它们的关系：把红球的数量减去50个看做“1倍量”，可以得到，“2倍量”的数量是（）个．所以红球的数量有（个），白球的数量比红球多50个，有（个）．可以看出作图表示简洁明了得多，也更容易发现隐含的关系．【巩固】小月和冬冬看同一本小说，小月打算第一天看50页，接着每天看15页；冬冬则打算每天看22页，最后两人正好在同一天看完。这本小说一共多少页？【解析】小月第一天比冬冬多看了28页，也就是说冬冬以后几天里面要比小月多看28页才能和小月同时看完小说，所以冬冬应该又看了天，那么可以知道这本小说一共：页，验证页。【例2】有5堆苹果，较小的3堆平均有18个苹果，较大的2堆，苹果数之差为5个；又较大的3堆平均有苹果26个，较小的2堆苹果之差为7个；最大堆与最小堆平均有22个苹果，问：各堆各有多少个苹果？【解析】作图表示题目各个量之间的关系能让复杂的关系看起来简洁明了且不易混乱，用下图表示它们的关系：最大堆与最小堆平均22个，那么最大堆与最小堆一共有（个）；较大的2堆，苹果数之差为5个，得知次大堆比最大堆少5个苹果；较小的2堆苹果之差为7\n个，说明次小堆比最小堆多7个苹果，因此，得知次小堆和次大堆之和为：（个），这样最大堆、最小堆、次大堆、次小堆四堆苹果数量之和是：（个），较大的3堆苹果之和：（个），较小的3堆苹果之和：（个），较大的3堆苹果和较小的3堆苹果总和等于最大堆、次大堆、最小堆、次小堆以及2个中间堆的数量之和．所以，中间堆的数量是：（个），最大堆与次大堆的和是：（个），最大堆有苹果：（个），次大堆有：（个），同理最小堆有苹果：（个），次小堆有苹果：（个）．【例1】有几个同学想称一下体重，可是秤的秤砣不齐，只能称50千克以上的重量，他们只好每人都和其他人合称一次，共得到以下10个数据（单位：千克）：75、78、79、80、81、82、83、84、86、88．问：⑴有几名同学？⑵他们的重量各是多少千克？【解析】⑴首先，也就是说5个同学两两合称才恰好需要称10次，所以有5个同学．⑵设这5个同学的体重从小到大依次为、、、、．则有，，，；．则千克；千克；千克；千克；千克．即他们的体重分别为37千克、38千克、41千克、43千克、45千克．【拓展】(2005年“迎春杯”初赛)有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3张．相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数．老师把这l2张卡片发给6名同学，每人得到两张颜色不同的卡片．然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和．六名同学交上来的答案分别为：92，125，133，147，158，191．老师看完6名同学的答案后说，只有一名同学的答案错了．问：四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？【解析】根据题意可知，6名同学每人都得到给定的4个数中的某2个，而从4个数中选取2个不同的数共有种不同的方法．而6名同学所给的6个答案中只有1个错误，有5个是正确的，而且这5个正确的答案互不相同，所以这5名同学所拿到的两个数也互不相同．而总共只有6种不同情况，所以给出错误答案的那名同学所拿到的两个数与其他5名同学所拿到的两个数的情况也都不相同．那么本题相当于：有四个数、、、()，每次从中取出两个数，计算它们的和，得到六个和：92，125，133，147，l58，l91，其中只有一个是错误的，求的值．由取法可知，得到的六个和可以两两匹配，即与，与，与，互相匹配的两个和的和是相等的，都等于．而题中的6个数中，，可见，那么六个和数中133和147都可能是错误的．如果147是错误的，那么133是正确的，另一个正确的和数为，根据、、、的大小顺序，可得，，，，而与分别为133和150．再由得，所以是偶数，那么，得，进而得．即四种颜色卡片上所写各数中最小数是42．如果133是错误的，那么147是正确的，同样分析可知，此时四种颜色卡片上所写各数中最小数是35．\n【巩固】食堂买来5只羊，每次取出两只合称一次重量，得到10种不同重量（单位：千克）：47，50，51，52，53，54，55，57，58，59．问：这五只羊各重多少千克？【解析】可以设定羊的重量从轻到重分别为，，，，．则，．同时不难整体分析得到千克．则千克．不难有，．则千克，千克，千克，千克．【例1】(2008年湖北省第六届“创新杯”全国数学邀请赛六年级)某小学五年级和六年级参加创新杯数学邀请赛共有16人，其中：五年级的学生比六年级的学生多；六年级的男生比五年级的男生多；五年级的男生比五年级的女生多；六年级的女生至少有1人．那么六年级的男生有人．【解析】因“五年级的学生比六年级的学生多”，故五年级学生至少有9人，而六年级学生至多有7人；因“五年级男生比五年级的女生多”，所以五年级男生至少有5人；因“六年级男生比五年级男生多”，所以六年级男生至少有6人，而六年级男生不能多于6人，否则再加上六年级的女生至少有1人，则六年级的学生人数就会多于7人，这不可能．因此，六年级的男生恰好有有6人．【巩固】有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒千克水到大桶，则大桶中水是小桶的倍，求原来大桶有水多少千克？【解析】现在大桶水比小桶水多：（千克），所以现在小桶中的水是：（千克），而原来大桶中有水是：（千克）．【例2】学校买来篮球、足球、排球共个，其中篮球的个数是足球的倍．排球比足球多个．问学校买来的篮球、足球、排球各多少个？　　　【解析】可引导学生，让他们自己画图来分析，强调和与对应的份数，教师辅导指正．从线段图上可以看出，把足球的个数看作份数，篮球的个数是份数，如果排球少买个，也是份数，这时三种球一共()个，总份数是()，就可先求出足球的个数，再分别求篮球和排球的个数．如果排球减少个，三种球一共多少个？　　(个)足球多少个？　　(个)篮球多少个？　　(个)排球多少个？　　(个)【巩固】一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉共重千克．已知苹果的重量是梨的倍，香蕉的重量比梨少千克．一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？【解析】梨的重量是：（千克）苹果的重量是：（千克）香蕉的重量是：（千克）　　　　　　\n【巩固】玩具厂生产红、黄、白气球共个，其中红气球的个数是黄气球的倍，白气球比黄气球少个．问三种气球各生产了多少个？【解析】黄气球：（个）；红气球：（个）；白气球：（个）【例1】在一道减法算式中，已知被减数、减数、差的和是，而减数是差的倍．求差是多少？【解析】引导学生分析被减数、减数、差三者之间的关系，并认识它们之间的转化．我们先看下面一道简单的减法算式：－=被减数减数差被减数、减数、差这三个数有下面的关系：被减数=差+减数，如这道题中，被减数、减数、差的和是，是被减数的倍，，就得被减数，也就是减数与差的和，这样题目就转化为：“已知减数与差的和是，减数是差的倍”，按照和倍问题的解题方法，就可求出差是：．列式：减数与差的和是多少？差是多少？　【巩固】被除数、除数、商3个数的和是212。已知商是2，被除数和除数各是多少？【解析】由商是2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；且被除数是除数的2倍。把除数看着1份，两数和对应的份数是3份，除数为：210÷（2+1）=70；被除数为：70×2=140。【巩固】（2008年第七届“小机灵杯”数学竞赛五年级复赛）两个正整数相除，商是，余数是，如果被除数、除数都扩大到原来的倍，那么被除数、除数、商、余数的和等于．原来的被除数是，除数是．【解析】被除数、除数都扩大到原来的倍，它们的商还是、余数为，所以被除数与除数的和为，而此时被除数比除数的倍大，所以除数为，所以原来的除数为，被除数原来为．【巩固】小红家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多只，比白鸡少只．白鸡的只数是黄鸡的倍，白鸡、黄鸡、黑鸡一共有多少只?【解析】⑴黄鸡多少只？　　(只)　⑵白鸡多少只？　　(只)⑶黑鸡多少只？　　(只)⑷白鸡、黄鸡、黑鸡共多少只？　(只)【例2】下面有三道加法题，当正方形、三角形、圆形各代表什么数时，才能使下面的等式成立?□+□+△+〇=16①□+△+△+〇=13②□+△+〇+〇=11③【解析】先求□、△、〇\n三种图形的代表数之和，再减去其中两图形代表数之和，从而求出其中一图形代表的数，进而求出其他图形的代表数．由①、②、③相加4个□+4个△+4个〇=404×(□+△+〇)=40得，□+△+〇=10④由①-④得：□=16-10=6由②-④得：△=13-10=3由③-④得：〇=11-10=1检验，将□=6，△=3，〇=1分别代入原等式①、②、③，三等式成立，说明求解正确．【巩固】用中国象棋的车、马、炮分别表示不同的自然数。如果，车÷马=2，炮÷车=4，炮-马=56，那么“车+马+炮”等于多少？【解析】车、马、炮表示的三个数中，马表示的数最小，我们以马表示的数作为标准，画出线段图如下：把马表示的数看作1份，车表示的数就是2份，炮表示的数就是4个2份，所以，马表示的数为：56÷（2×4-1）=8。“车+马+炮”等于：8×（1+2+2×4）=88。