初中数学《奇数与偶数》讲义及练习 9页

5-1奇数与偶数教学目标本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。知识点拨一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。推论2：对于任意2个整数a,b,有a+b与a-b同奇或同偶例题精讲模块一、奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质【例1】的和是奇数还是偶数？【解析】在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数.【巩固】得数是奇数还是偶数？【解析】偶数。原式中共有60个连续自然数，奇数开头偶数结尾说明有30个奇数，为偶数个。【巩固】得数是奇数还是偶数？【解析】200至288共89个数，其中偶数比奇数多1，44个奇数的和是偶数；151至233共83个数，奇数比偶数多1，42个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。【例2】的计算结果是奇数还是偶数，为什么？【解析】特殊数字：“”．在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数\n偶数，所以它们的乘积都是偶数，这些偶数相加的结果还是偶数，只有是奇数，又因为奇数偶数奇数，所以这个题的计算结果是奇数．【巩固】的和是奇数还是偶数？为什么？【解析】在算式中，都出现了次，所以是偶数，而也是偶数，所以的和是偶数．【巩固】东东在做算术题时，写出了如下一个等式：，他做得对吗？【解析】等式左边是偶数，是奇数，是偶数，根据奇数偶数奇数，等式右边是奇数，偶数不等于奇数，因此东东写出的等式是不对的．【例1】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由（1）1□2□3□4□5□6□7□8□9＝10（2）1□2□3□4□5□6□7□8□9＝27【解析】不能。很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式有5个奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。本小题是一个典型的奇偶性质“先定性分析后定量计算的题目”（2）可以。或【例2】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.【解析】不能。因为不论如何选，选出的5个数均为奇数，5个奇数的和还是奇数，不可能等于22。【巩固】能否从、四个6，三个10，两个14中选出5个数，使这5个数的和等于44.【解析】从性质上看，选出5个偶数的和仍然是偶数。而从计算层面上考虑，假设等式可以成立，那么可以把题目中的数都除以2.那么本题相当于：能否从、四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.因为3，5，7都是奇数，而且5个奇数的和还是奇数，不可能等于偶数22，所以不能.【例3】一个自然数数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数是多少？【解析】由定义知道，相邻两个奇数相差2，那么说明150是这个未知自然数的两倍，所以原自然数为75.【巩固】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80，那么这三个偶数的和是多少？【解析】由定义知道，相邻两个偶数相差2，那么80恰好是原偶数的4倍，即原来的偶数是20。而由题意知道原来的三个偶数分别18,20,22，它们的和是60。【例4】多米诺骨牌是由塑料制成的1×2长方形，共28张，每张牌上的两个1×1正方形中刻有“点”，点的个数分别为0，1，2，…，6个不等，其中7张牌两端的点数一样，即两个0，两个1，…，两个6；其余21张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数相同，且以点数相同的端相连，例如：现将一付多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为6点，那么在链的另一端为多少点?并简述你的理由．【解析】由连牌规则可知，在链的内部各种点数均成对相连，即所有点都有偶数个，而6点的个数为8，所以在链的两端一定有偶数个点，所以链的另一端也应为6．【巩固】一条线段上分布着n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为n+1段，已知线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶数？【解析】因为中间的每一个点的两边各有一黑一白，所以所有的点一定是两个黑点、两个白点依次相邻（除了首尾可能出现一个黑点），所以白点都是成对出现的.所以白点的个数为偶数.\n模块二、奇偶运算性质综合及代数分析法【例1】是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115?【解析】不存在。此类问题引导学生接触分类讨论的基本思想，即2个自然数在奇偶性的组合上只有3种情况，“2奇0偶，1奇1偶，0奇2偶”，可以分别讨论发现均不成立。【巩固】是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？【解析】不存在。可以分情况来讨论：3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶。但是比较繁琐，可以根据45327是一个奇数，只有奇数乘以奇数才能得到，所以a-b、b-c、a-c都为奇数，再根据奇偶性进行判断。【巩固】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数？【解析】根据题目内容，可以列出所要讨论的式子为。则接下来可以分类讨论3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶四种情况。经验证如果要满足上式结果为奇数，那么可以发现最多只能有1个奇数。【例2】已知a,b,c中有一个是511，一个是622，一个是793。求证：是一个偶数【解析】因为在a,b,c中有2个是奇数，1个是偶数，那么说明a,c两个数中至少有一个是奇数，那么和中至少有一个是偶数，所以中至少有一个因数是偶数，结果为偶数.【巩固】小红写了四个不同的非零整数a,b,c,d，并且说这四个整数满足四个算式：但是小明看过之后立刻说小红是错的，根不不存在这样的四个数，你能证明小明的结论吗？【解析】由小红的提出的等式组，我们可以得到，，，，发现如果每个等式的结果都是一个奇数，那么要求四个数都是奇数，因为只有奇数与奇数相乘才能得奇数，这样中任意三个数的乘积也为奇数，导致等四个差均为偶数，乘积结果只能得偶数，发生矛盾。【例3】设,,,,,,都是整数，试说明：在中，必有奇数个偶数．【解析】加数中奇数的个数决定和的奇偶性，反过来，和的奇偶性由加数中奇数的个数决定，所以我们考虑这7个数的和．，和是偶数，,,,,,,中，必有偶数个奇数，因而必有奇数个偶数．【例4】有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，数与最大数的乘积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数．求这四个数．【解析】入手点：最小的两位奇数是，最小数与最大数的乘积是一个奇数可得最小数和最大数都是奇数．首先由这四个数的和是最小的两位奇数，可知这四个自然数的和是\n．其次，由最小数与最大数的乘积是一个奇数，可知最小数与最大数都是奇数．由，，可以推导出这四个互不相等的自然数分别是：，，，．【例1】甲、乙两个哲人将正整数5至11分别写在7张卡片上．他们将卡片背面朝上，任意混合之后，甲取走三张，乙取走两张．剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放到麻袋里去了．甲认真研究了自己手中的三张卡片之后，对乙说：“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数．”试问：甲手中的三张卡片上都写了哪些数？答案是否唯一．【解析】甲手中的8张卡片上分别写了6，8和10．甲知道其余张卡片上分别写了哪些数，但不知道它们之中的哪两张落到了乙的手中．因此，只有在它们之中任何两张卡片上的数的和都是偶数时，甲才能说出自己的断言．而这就意味着，这4张卡片上所写的数的奇偶性相同，亦即或者都是偶数，或者都是奇数．但是由于一共只有3张卡片上写的是偶数，所以它们不可能都是偶数，从而只能都是奇数．于是3张写着偶数的卡片全都落入甲的手中．答案是唯一的．【例2】甲同学一手握有写着23的纸片，另一只手握有写着32的纸片．乙同学请甲回答如下一个问题：“请将左手中的数乘以3，右手中的数乘以2，再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数？”当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中．你能说出是什么道理吗？【解析】甲的两张纸片，23是奇数，32是偶数．因此，只要能判断出甲的左手中握的是奇数，即可知左手的是23．设甲左手握的数为，右手握的数为，乙同学请甲计算所得结果为，则．⑴若为奇数，则为奇数，所以左手握的数是奇数．⑵若为偶数，则为偶数，所以左手握的数是偶数．因此，从的奇偶性就可以断定左手握的数的奇偶性，从而确定左手握的数是23还是32．在本题中，为奇数，因此合于第(1)种情况，是奇数，即左手中握的是23．【例3】在一张行列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如．问：填入的个数字中是奇数多还是偶数多？【解析】此题如果按步就班地把每个格子的数算出来，再去数一数奇数和偶数各有多少．然后得出奇数和偶数哪个多，哪个少的结论．显然花时间很多，不能在口试抢答中取胜．我们应该从整体上去比较奇偶数的多少．易知奇数行偶数多一个，偶数行奇数多个．所以前行中奇偶数一样，余下第行奇数行，答案可脱口而出．偶数多．【巩固】如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如：．问填入的81个数中是奇数多还是偶数多？【解析】奇数行奇数多1个，偶数行全是偶数，显然偶数多。模块三、奇偶模型与应用题【例4】试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上等于．如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由．【解析】因为两个数的和与两个数的差的奇偶性相同，所以的和是偶数．由结论三可知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加1000还是偶数，所以它们的和不能等于奇数1999．【例5】你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数\n【解析】不能。此题学生容易想到九宫格数阵问题，其实不是。1到9中共有5个奇数，分别分成3组后会分布在每一行里面，也就是说要想实现每一行都是偶数，就需要每一行都有偶数个奇数，从而需要三行奇数的和是偶数，但是现在仅有5个奇数，所以无法填入。【巩固】你能不能将整数数0到8分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是奇数?【解析】不能。分析过程与例7类似。【例1】任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？【解析】不能。2个三位数的和为999，说明在两个数相加时不产生任何进位。如果不产生进位说明两个三位数的数字之和相加求和，就会等于和的数字之和，这是一个今后在数字谜中的常用结论。那么999的数字之和是27，而原来的2个三位数经调换数字顺序后数字之和是不会变的，若以a记为其中一个三位数的数字之和，那么另一个也为a，则会有2a=27的矛盾式子出现。说明原式不成立。【巩固】两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？【解析】不能。本题为上一例题的拓展练习。【例2】有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7。从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的各位数字，那么在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？【解析】不会。观察前4个数，奇偶性排列次序为奇奇偶奇，而一个数的奇偶性仅与它的个位数字有关，所以之后的第5个数为奇数，第6个为偶数，第7个为奇数，第8个为奇数，整体的出现规律为奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶……，所以不肯能有两个连续的偶数，所以1、9、8、8不会出现。【巩固】数列，，，，，，，，，，的排列规律是前两个数是，从第三个数开始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列前个数中共有几个偶数？【解析】三个一组三个一组看，可以发现奇数，偶数交替变化的规律．可以发现有奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶…这样的变化规律，因为，所以前个数有个偶数.【巩固】黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？【解析】黑板上的数起初为一奇一偶，按照规则增写出的第三个数一定是一个奇数，第四个数如果选择仍由一奇一偶写出来的，那么仍然是奇数；另一种可以选择两个奇数开始，那么“奇×奇＋奇＋奇=奇”，所以不论如何增写，新增的数一定是奇数，所以不可能出现2008。【例3】在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好．主人很高兴，笑着说：“不论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个．”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？【解析】⑴握偶数次手的人：不管奇数个人还是偶数个人．总次数偶数次人数偶数⑵握奇数次手的总次数握手总次数偶数次握手总次数，即偶偶偶，而偶奇数次人数人数为偶数，由此证明．【巩固】元旦前夕，同学们相互送贺年卡．每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？【解析】此题初看似乎缺总人数．但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关．\n由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次．那么贺年卡的总张数应能被整除，所以贺年卡的总张数应是偶数．送贺年卡的人可以分为两种：一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数．另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数所有人送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数偶数偶数偶数．他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数．所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数【例1】桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的5只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？【解析】杯子要翻过来得翻奇数次，6个杯子都要翻过来，则总共需要翻动(6×奇数)偶数次杯子；按规定每次同时翻动5只杯子，因为5是奇数，由奇数偶数偶数可知，要想翻动总次数也是偶数，需要将5只杯子翻动偶数次．因此有可能经过有限次翻动，使得全部杯子的开口全都向下．【巩固】桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4个，问能否经过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下？【解析】不能，杯子要翻过来得翻奇数次，5个杯子都要翻过来，要把所有杯子都翻过来则总共需要翻动奇数次杯子，而每次同时翻动4个，那总次数是偶数，奇数不可能等于偶数，因此不能把5个杯子的开口全都向下．【巩固】桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？【解析】杯子要翻过来得翻奇数次，6个杯子都要翻过来，则总共需要翻动(6×奇数)偶数次杯子；按规定每次同时翻动4只杯子，因为4是偶数，所以翻动有限次后，翻动次数的总和也是偶数．因此有可能经过有限次翻动，使得全部杯子的开口全都向下．【例2】在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯．如果每次拨动4个不同房间的开关，能不能把全部房间的灯都关上？为什么？【解析】按要求每次拨动4个不同房间的开关，而4是偶数，所以，这样的一次操作，拨动房间开关次数是偶数．那么经过有限次拨动后，拨动各房间开关次数总和是偶数．可是，要使7个房间的灯由开变为关，需要拨动各个房间开关奇数次；第8个房间的开关仍为关，需要这个房间拨动开关偶数次．这样，需要拨动开关的总次数是奇数个奇数与一个偶数的和，是奇数．所以按照要求不能把全部房间的灯关上．【巩固】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．【解析】不能。本题为俄罗斯小学生奥数竞赛题，可以给学生介绍。相邻的两个植物果实数目差1个意味着相邻2个植物的奇偶性不同，所以一定有4棵植物的果实为奇数个，总和一定为偶数，不能为225.【例3】四个人一道去郊游，他们年龄的和是97岁，最小的一人只有10岁，他与年龄最大的人的岁数和比另外两人岁数的和大7岁．问：⑴年龄最大的人是多少岁？⑵另外两人的岁数的奇偶性相同吗？【解析】先将四个人的岁数暂时分为两组进行分析，如果将97岁减去7岁，则两组人的岁数和相等（可以按照和差问题求出大小数），然后再求出年龄最大的人的岁数，再说明另外两人的岁数的奇偶性．⑴另外两人的岁数和是：（岁）年龄最大的人的岁数：（岁）⑵因为另外两人的年龄和是45岁，是一个奇数，那么他们中一个的岁数是奇数，另一个人的岁数是偶数，也就是他们的岁数的奇偶性不同．【例4】在“”的方格中放棋子，每格至多放枚棋子．若要求行、列、条斜线（如图所示）上的棋子数均为偶数．那么“”的方格中最多可以放多少枚棋子？\n【解析】如图，观察向左下倾斜的15条斜线，其中的方格数依次是：1，2，3，，7，8，7，，3，2，1，其中有8个奇数，表明有8条斜线中必须至少缺一个棋子．同理右下倾斜的斜线中，也有8条必须缺一个棋子．这样，总共至少缺16个子．下图表明缺16个棋子的时候是可以办到的，其中黑点占据的空格表示不放棋子的空格．【例1】有8个棱长是1的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上都写着数字1，第二组相对的面上都写着数字2，第三组相对的面上都写着数字3(如图)．现在把这8个小正方体拼成一个棱长是2的大正方体.。问：是否有一种拼合方式，使得大正方体每一个面上的4个数字之和恰好组成6个连续的自然数?【解析】假设满足条件的大正方体ABCD－EFGH可以拼成(见图2)，即它的每个面上的4个数字之和恰好组成6个连续的自然数．那么这个大正方体的六个面上的24个数字之和S就等于这6个连续自然数之和．又因为，6个连续自然数之中必有三个偶数、三个奇数，所以6个连续自然数之和必是奇数，即S是奇数．另一方面，考虑大正方体的8个顶点A、B、C、D、E、F、G、H，它们分别是一个小正方体的顶点．由于，交于这些顶点的小正方体的三个面互不相对，因此，在这三个面上所写的3个数字分别为1、2、3．这样大正方体的六个面上的24个数之和S=8×(1＋2＋3)=48．即S又应该是偶数．所以这是不可能的．【例2】圆桌旁坐着2k个人，其中有k个物理学家和k个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家．”那么请你证明：k为偶数．【解析】由题目条件可发现不仅物理学家与化学家总人数相同，其中说真话与说假话的人数也分别相同，如果有a个物理学家说谎，同时也会有a个化学家说谎。所以总共有2a个人说谎。而最后发现有k个物理学家的身份被说谎的人改变了，每一个人只能影响有右邻的人，说明有k个说谎的人，那么k=2a，则说明k是偶数。【例3】有一个袋子里边装着红、黄、蓝三种颜色的球，现在小峰每次从口袋中取出3个球，如果发现三个球中有两个球的颜色相同，就将第三个球放还回口袋，如果三个球的颜色各不相同，就往口袋中放一个黄球，已知原来有红球42个、黄球23个、蓝球43，那么取到不能再取的时候，口袋里还有蓝球，那么蓝球有多少个？【解析】一共有108个球，每次取3还1，所以取到不能再取的时候还剩下2个球，对于每次取3个球，如果3个球颜色中有两个相同，那么第三个球还回去后，实际上取走了两个相同的球，如果每次取3个不同颜色的球，那么还回一个黄球，实际上黄球并没有被去掉,所以对于黄球来说每次都取掉偶数个黄球，到最后剩下的球中只剩下1个黄球，那么剩下两个球中另一个球一定是蓝球.所以蓝球的个数为1.模块四、整数的奇偶性分析法\n【例1】一个图书馆分东西两个阅览室．东阅览室里每张桌子上有2盏灯．西阅览室里每张桌子上有3盏灯．现在知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数．问：哪个阅览室的桌子数是奇数？【解析】根据两个阅览室里总的桌子数和灯数都是奇数，想一想可以确定哪个阅览室桌子数、灯数的奇偶性呢？由于东阅览室里每张桌子上有盏灯，因此东阅览室的灯的总数一定是偶数．由于两个阅览室里灯的总数是奇数，因此西阅览室的灯的总数一定是奇数．又因为西阅览室里每张桌子上有盏灯，可知西阅览室的桌子数是奇数．由于两个阅览室里的总的桌子数是奇数，因此东阅览室的桌子数是偶数．所以，只有西阅览室的桌子数是奇数．【巩固】四年级一班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道，评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分．请你说明：该班同学的得分总和一定是偶数．【解析】因为题目中没有说明该班的人数，说明该班人数的多少与总分的奇偶性无关，所以要说明总分是偶数，只需要说明每人得分必为偶数就可以了．对于一名参赛同学来说，如果他全部答对，他的成绩将是，是偶数；有一道题未答，则他将丢2分，也是偶数；答错一道题，则他将丢4分，还是偶数；所以不论这位同学答的情况如何，他的成绩将是150减一个偶数，还将是偶数．所以，全班同学得分总和一定是偶数．【例2】师傅与徒弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的箩筐里，师傅的产量是徒弟的2倍，师傅的产品放在4只箩筐中，徒弟的产品放在2只箩筐中，每只箩筐都标明了产品的只数：78只，94只，86只，87只，82只，80只．根据上面的条件，你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗？【解析】注意到所给出的6个数只有一个为奇数，它肯定是徒弟制造的．原因是：师傅的产量是徒弟的2倍，一定是偶数，它是4只箩筐中产品数的和，在题目条件下只能为四个偶数的和．徒弟的另一筐产品可以利用求解“和倍问题”的方法来得出，求出徒弟加工零件总数为：，那另一筐放有产品(只)．所以，标明“82只”和“87只”这两筐中的产品是徒弟制造的．【例3】在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和，这样继续操作下去，最后得到66，88，237．问：原来写的三个整数能否为1，3，5？【解析】此题单从具体的数来，无从下手．但抓住其操作过程中奇偶变化规律，问题就变得很简单了．如果原来三个数为1，3，5，为三奇数，无论怎样，操作一次后一定为二奇一偶，再往后操作，可能有以下两种情况：一是擦去一奇数，剩下一奇一偶，其和为奇，因此换上去的仍为奇数；二是擦去一偶数，剩下两奇，其和为偶，因此，换上去的仍为偶数．总之，无论怎样操作，总是两奇一偶，而66，88，237是两偶一奇，这就发生矛盾．所以，原来写的不可能为1，3，5．【例4】苹果，梨，橘子三种水果都有许多，混在一起合成一大堆．最少要分成多少堆(每堆都有苹果，梨子和橘子三种水果)才能保证找到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数？【解析】由于有三种水果，我们首先来分析一下这三种水果分堆后每一堆中水果数的奇偶性的搭配状态．因为每堆中都有苹果、橘子和梨子三种水果，而每种水果的个数不是奇数就是偶数．所以，根据乘法原理不难求得，这三种水果的奇偶性共有(种)情况．根据抽屉原理，必须最少分成9堆，才能保证有两堆，这两堆中三种水果的奇偶性完全相同．根据奇数与偶数的加法运算性质，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数．【例5】有一批文章共15篇，各篇文章的页数是1页、2页、3页、、14页和15页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇？【解析】先将偶数页的文章(2页、4页、、14页)编排，这样共有7篇文章的第一页都是奇数页码．然后将奇数页的文章(1页、3页、5页、7页、9页、11页、13页和15页)依次编排，这样编排的1页、5页、9页和13页的4篇文章的第一页都是奇数页码．因此每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多是(篇)．【例6】\n有一个袋子里装着许多玻璃球．这些玻璃球或者是黑色的，或者是白色的．假设有人从袋中取球，每次取两只球．如果取出的两只球是同色的，那么，他就往袋里放回一只白球；如果取出的两只球是异色的，那么，他就往袋里放回一只黑球．他这样取了若干次以后，最后袋子里只剩下一只黑球．请问：原来在这个袋子里有奇数个还是偶数个黑球？【解析】无论这个人取同色和异色的两个球黑色球总是减少0个或2个，即减少偶数个，而剩下一个黑球，则原来袋子里必有奇数个黑球．【巩固】有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋．康康每次从大盒内随意摸出两枚棋子：若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内．问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？【解析】首先分析在操作条件下会出现的各种可能情况：｛枚白子，枚黑子｝｛取枚同色棋子｝｛取枚异色棋子｝｛取枚白子｝｛取枚黑子｝⑴此时白子减少枚，黑子增加枚．⑵此时棋子总数减少枚．⑴此时白子数目不变，黑子减少枚．⑵此时棋子总数减少枚．⑴此时白子数目不变，黑子减少枚．⑵此时棋子总数减少枚．通过上面分析可知，每操作一次棋子的总数都要减少1枚，所以在不断操作下去的过程中，总棋子数将越来越少．摸了1999次棋子后，大盒内的棋子要减少1999枚，此时大盒内还剩：(枚)，接下来要分析这2枚棋子会是什么颜色呢？注意到每操作一次黑子数不是增加一枚就是减少一枚，而相邻两个自然数的奇偶性不同．所以，开始时有1000枚黑子，是一个偶数，那么，第一次操作后黑子数目将变为奇数，接下来黑子数目又将变为偶数这样一来，黑子数目的奇偶性将呈现下列规律：显然，根据上述规律，第1999次操作后黑子数将有奇数枚．而此时大盒中仅剩2枚棋子，所以必然是1枚白子1枚黑子．