初中数学《定义新运算》讲义及练习 7页

第四讲定义新运算知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合例题精讲模块一、直接运算型【例1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。【解析】A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12＝312【巩固】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7\n【巩固】设△，那么，5△______，(5△2)△_____.【解析】,【巩固】、表示数，表示与的平均数，求3(68)【解析】【例1】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）&5]×[5◎（3&7）]【解析】新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。[（7◎6）&5]×[5◎（3&9）]＝[6&5]×[5◎9]＝6×5＝30【巩固】我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：的结果是多少？【解析】【例2】[A]表示自然数A的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:=.【解析】因为有个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.原式.【巩固】x为正数,表示不超过x的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是.【解析】<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.【巩固】定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12=.【解析】18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.【例3】已知a,b是任意自然数,我们规定:a⊕b=a+b-1,,那么.【解析】原式【例4】\n（第五届“华杯赛”复赛）羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)【解析】因为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼总等于狼，所以原式=狼【例1】（北京市“迎春杯”）对于任意的整数x与y定义新运算“△”：,求2△9。【解析】根据定义于是有【巩固】“*”表示一种运算符号，它的含义是：，已知，求。【解析】根据题意得，所以模块二、反解未知数型【例2】如果a△b表示,例如3△4,那么,当a△5=30时,a=.【解析】依题意,得,解得.【巩固】规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x=.【解析】因为4※1=,所以x※(4※1)=x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.【例3】如果a⊙b表示,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时,x=【解析】根据题意x⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25,由5x-25=5,解得x=6.【巩固】对于数a、b、c、d，规定，＝2ab－c＋d，已知<1、3、5、x>＝7，求x的值。【解析】根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知<1、3、5、x>＝7，故1＋x＝7，x＝6。【例4】定义新运算为，⑴求的值；⑵若则x的值为多少？【解析】⑴因为，所以⑵，，所以x的值为4.4.【例5】对于任意的两个自然数和，规定新运算：，其中、表示自然数.如果，那么等于几？【解析】方法一：由题中所给定义可知，为多少，则就有多少个乘数．，即：602，则；，即33,所以．方法二：可以先将（x3）看作一个整体，那么就是2，2,所以，那么也就有x3，，即33，所以．\n【例1】定义为与之间（包含、）所有与奇偶性相同的自然数的平均数，例如：，．在算术的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？【解析】，所以方格中填的数一定大于80．如果填的是个奇数，那么只能是；如果填的是个偶数，那么这个数与60的平均数应该是80，所以只能是．因此所填的数可能是100和101．【例2】（101中学小升初试题）如有#新运算，#表示、中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#））=5，则可以是________（小于50）【解析】这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的方法.第一步先把（21#）看成一个整体.对于21#5，这个式子，一方面可把21作被除数，则等于（21-5）16的大于5的约数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数，这样满足要求的数为26，47…，即形如21N+5这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由所代表的式子（21#）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些的值都得舍去.现在只剩下8，与16.第二步求：（21#）8与（21#）16.对于（21#）8可分别解得，把21作被除数时：13，把21作除数时为：29，50，…形如21N+8的整数（N是正整数）.对于（21#）16，把21作被除数无解，21作除数时同理可得：37，58……所有形如21N+16这样的整数.（N是正整数）.所以符合条件的答案是13,29,37．模块三、观察规律型【例3】如果1※2＝1＋112※3＝2＋22＋2223※4＝3＋33＋333＋333＋3333计算（3※2）×5。【解析】通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。（5※3）×5＝（5＋55＋555）×5＝3075【巩固】规定:6※2=6+66=722※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=.【解析】7※5=7+77+777+7777+77777=86415.【例4】有一个数学运算符号，使下列算式成立：，，，，求【解析】通过对，，，这几个算式的观察，找到规律：，因此【例5】规定△,计算：（2△1）（11△10）______.【解析】这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和．但是我们注意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b＝a－1，所以，我们不妨把b＝a－1代入原定义．a△b就变成了a△b．所以2△1，3△2，……，3△2，则原式＋＋＋…＋．这里需要补充一个公式：．\n【巩固】“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3；7⊙2：3⊙5，……按此规则，如果n⊙868，那么，n____.【解析】因为从已知条件可归纳出的运算规则：⊙表示几个连续自然数之和，⊙前面的数表示第一个加数，⊙后面的数表示加数的个数，于是，即.模块四、综合型题目【例1】表示成;表示成.试求下列的值:(1)，，;(4)如果x,y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:.【解析】(1);(2);(3)因为,所以;(4)令则..【例2】对于任意两数x,y,定义一种运算“※”，规定:x※y=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是_________。【解析】由题设的等式x※y=及x※m=x(m≠0),得,所以bm=0,又m≠0,故b=0.因此x※y=ax-cxy.由1※2=3,2※3=4,得解得a=5,c=1.所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.【巩固】x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.【解析】x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求（1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定义：a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出k、m、n的值.通过1*2=5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出k的值.因为1**2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：　　，（舍去）①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k有36k=64，解出，这与k是自然数矛盾，因此m=3，n=1，这组值应舍去。所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3　=1×4+2×3=10.\n【例1】两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.【解析】(1)1991☉2000=9;由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2)我们不知道11和x哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.1)x<11,这时x除11余2,x整除11-2=9.又x≥3(因为x应大于余数2),所以x=3或9.2)x>11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13.因此(2)的解为x=3,9,13.(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应小于19.方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.当y=7时,分两种情况解19☉x=7.1)x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.2)x>19,此时19除x余7,x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26=45.当y=14时,分两种情况解19☉x=14.1)x<19,这时x除19余14,x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的.2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14=33.总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解,x=12,26,33,45.【例2】设a,b是两个非零的数,定义a※b.(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).(2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值.【解析】(1)按照定义有2※3,3※4.于是(2※3)※4※4=.2※(3※4)=2※.(2)由已知得①若a≥6,则≥2,从而与①矛盾.因此a≤5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检查知,只有a=3符合要求.【巩固】定义运算“⊙”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.(1)求12⊙21,5⊙15;(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b;(3)已知6⊙x=27,求x的值.【解析】(1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10.(2)如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除a⊙b.如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,再由c整除a⊙b推知,整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以c整除b.(3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围。\n因为6与x的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6的倍数,可见6和x的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3.由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到.所以.课后作业练习1规定a☉b=,则2☉(5☉3)之值为.【答案】.练习2如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5=.【答案】45678练习3设a,b为自然数,定义a△b.(1)计算(4△3)+(8△5)的值;(2)计算(2△3)△4;(3)计算(2△5)△(3△4).【答案】(1)62(2)37(3)283练习4两个整数a和b,a除以b的余数记为a☆b.例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算,(26☆9)☆4=.【答案】0.