初中数学《比较预估算》讲义及练习 10页

第一讲：比较与估算教学目标本讲是在分数计算方面技巧的基础上，进一步认识小数、分数，只是从比较大小方面认识它们，这一讲主要介绍一些比较较为复杂的小数、分数大小的方法，主要有通分子、通分母、倒数法、放缩法等。知识点拨一、小数的大小比较常用方法：为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式)二、分数的大小比较常用方法：⑴通分母：分子小的分数小.⑵通分子：分母小的分数大.⑶比倒数：倒数大的分数小.⑷与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．(适用于真分数)⑸重要结论：①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大．⑹放缩法在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！⑺十字相乘法⑻中间值法三、数的估算时常用方法：（1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小．使结果介于某两个接近数之间，从而估算出结果．（2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式．例题精讲模块一、数的大小比较【例1】⑴比较以下小数，找到最大的数：，，，，\n⑵比较以下5个数，排列大小：1，，，.【解析】⑴题目中存在循环小数，将所有小数位数补至相同的位数，如下所示：→1.12112112l→1.121000000→1.121212121→1.121210000→1.120000000于是可以得出结果，是最大的数．对于循环小数的问题，首先考虑的就是将其展开，从中获得足够的信息，然后按照小数比较原则判断，不处理而一味的观察是没有意义的．⑵题目中出现了整数、小数、假分数，可以先把数分为两个部分，一部分为小于1的数，一部分为大于等于1的数，然后两部分内部比较，无须两部分间重复比较．①小于l的部分为和，将小数展开，并把化为小数得：，显然，即；②大于等于1的部分中，有整数、小数、假分数：1，1.667，，先将假分数化为带分数，比较三数整数部分，发现都为1，然后比较其他部分：1.666666…<1.667，所以得到1<<1.667．即得：11.667.【巩固】有8个数，，,,,是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?【解析】,,,，显然有，即，8个数从小到大排列第4个是，所以有．(“□”表示未知的那2个数).所以，这8个数从大到小排列第4个数是．【例1】(第六届希望杯1试试题)在小数上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。)【解析】因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为【例2】如果，，那么a，b中较大的数是【解析】方法一：<与1相减比较法>1；1．因为，所以b较大；方法二：<比倒数法>因为，所以，进而，即；方法三：两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大，所以b大\n【巩固】(第六届迎春杯决赛)如果，,A与B中哪个数较大？【解析】方法一：观察可以发现A、B都很接近，且比它小．我们不防与比较．A,B,BA，即B比A更接近，换句话说BA.方法二：，即.方法三：，显然，则【巩固】请把这4个数从大到小排列。【解析】将1与这四个分数依次做差，得、、、,显然有,被减数相同,差小的数反而大,所以.【例1】试比较和的大小【解析】方法一：观察可知，这两个分数的分母都比分子的10倍多1．对于这样的分数，可以利用它们的倒数比较大小．的倒数是1，的倒数是１，我们很容易看出1010，所以；方法二：，两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大，所以即【例2】（1）把下列各数按照从小到大的顺序排列：，，，（2）(幼苗杯数学邀请赛)把下列分数用“”号连接起来：，，，，【解析】⑴我们可以用通分子的方法，可得：，分母大的反而小，所以．⑵这五个分数的分母都不相同，要通分变成同分母的分数比较麻烦．再看分子，60正好是10、12、15、20、60五个数的公倍数．利用分数的基本性质，可以将题中的各分数化为分子都是60的分数．我们称之为“通分子比大小”的方法．，，，，；可见；也就是.【例3】，在上式的方框内填入一个整数，使两端的不等号成立，那么要填的整数是多少?【解析】将不等式中的三个数同时除以80，不等号的方向不改变，有，而、\n的倒数分别为、，而□应该在之间，即在103.33～102.86之间(在计算循环小数时，将其小数点后保留2位数字)，其中的整数只有103，所以□内所填的整数为103．【巩固】⑴比大比小的分数有无数多个，则分子为27的分数是_________.(写出一个即可)⑵下面方框里填什么自然数时，不等式成立?１【解析】⑴设比大比小的分数为，则：，即，，所以，不妨取，那么，满足题意．再比如等也满足题意．⑵分子549，可以把1看成，利用加成分数原理得□13.【例1】与相比，哪个更大，为什么？【解析】记，显然有：，而，有，所以原分式比小.【例2】在中选出若干个数使它们的和大于3，最少要选多少个数?【解析】为了使选出的数最少，那么必须尽可能选择较大的数．有依次减小，所以我们选择时应从左至右的选择．有而所以最少选择11个即可使它们的和大于3.【例3】在下面9个算式中:①，②,③,④,⑤，⑥，⑦，⑧,⑨,第几个算式的答数最小，这个答数是多少?【解析】方法一：①-②=,即①>②；②-③=，即②>③；③-④=，即③>④；\n④-⑤=，即④<⑤；⑤-⑥，⑥-⑦，⑦-⑧，⑧-⑨所得的差依次为，,均小于0,所以⑤<⑥，⑥<⑦，⑦<⑧，⑧<⑨，那么这些算式中最小的为④，有④为方法二：注意到每组内两个分数的乘积相等，均为．因为当两个数的乘积相等时，这两个数越接近，和越小．其中第4个算式中、最接近，所以第4个算式最小·【例1】设a=，b=,则在a与b中，较大的数是______。【解析】可采用放缩法。因为=+＞+，＞。所以＞，即a是较大的数。当然这道题目我们也可采用通分求结果的一般方法。【例2】用“＞”号把下列分数连接起来：　　　　　　　　　　　【解析】这道题目本身并不难，孩子们用自己的办法可以很快的做出来，但如果数字变的复杂些，那么我们就必须找到一个有效方法了。从这道题目，我们可以给大家展示另外2种典型思路。法1：法2:观察可以发现分母都是4的倍数，所以我们不妨把分母都化为4，可得：因为，即【例3】试比较:与哪一个大?【解析】296=37×8，185=37×5，因为所以＞【例4】从六个数中选出三个数，分别记为A，B，C.要求选出的三个数使得A×（B-C）尽量大，并写出A×（B-C）的最简分数表示。【解析】要求A×（B-C）尽量大，显然C取最小数，A、B取最大和次大数，利用和一定，差越小积越大，显然A取次大数，B取最大数。六个数中分数、小数并存，发现是比1小的数，所以C为。再看其它五个数字，本题将分数化为小数容易判断：因此\n，故有：.模块二、数的估算【例1】求数的整数部分．【解析】这道题显然不宜对分母中的11个分数进行通分求和．要求a的整数部分，只要知道a在哪两个连续整数之间．因为a中的11个分数都不大于，不小于，所以1111即１1.1由此可知a的整数部分是1．【巩固】(06年清华附测试题)已知：S,则S的整数部分是.【解析】如果全是，那么结果是，如果全是，那么结果是，所以＜S＜，不能确定S的整数部分.我们不妨采用分段估值，有：则大家马上会被这个计算量吓住了！这只是我们的第一次尝试，如果不行我们还要再次细化分段，计算量的庞大让我们有些止步了.那么我们有没有更好的方法来解决这个问题呢？答案是：有！下面先让我们来看看两个例子：⑴那么也就有：（2）那么也就有：聪明的你从中会发现一个找“最小界限的新规律”，那么再让我们回到原题来看看吧！\n则由此可以确定整数部分是73．【巩固】(第六届小数报决赛)A8.88.988.9988.99988.99998，A的整数部分是_________.【解析】方法一：A8.8544，A9545，所以A的整数部分是44.方法二：将原式变形后再估算A8.88.988.9988.99988.99998(90.2(90.02)(90.002)(90.0002)(90.00002)450.22222所以A的整数部分是44.【巩固】(第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛)计算8.011.248.021.238.031.22的整数部分.【解析】方法一：在8.011.248.021.238.031.22中，各式的两个因数之和都相等.根据两个数和一定时，这两个数越接近则乘积越大，所以8.011.248.021.238.031.22；则有1.228.0031.228.033原式1.248.0131.258.003，即29.28原式30，所以原式的整数部分是29.方法二：为了使计算简便，可以把8.01、8.02、8.03分成整数和小数两部分计算，小数部分可以进行估算81.2481.2381.228(1.241.231.22)83.6629.280.011.240.021.230.031.22≈0.0110.0210.0310.06因为0.06不会影响整个算式的整数部分，所以整数部分是29．【例1】A=1＋＋＋＋＋＋＋＋…＋的整数部分是多少?【解析】把算式中的分数放大或缩小，如果全部放大为，则A＜8；全部缩小为，则A＞1，这样无法确定A的整数是多少，于是我们来用一种分段放大和缩小的办法．1＋＋＋＋…＋＞１＋＋（＋）＋（＋＋＋）＋（）通过计算得1＋＋＋＋…＋＞31＋＋＋＋…＋＜1＋＋＋（＋＋+）+（＋＋＋+＋＋＋）+即A＜3，因为3＜A＜3，所以A的整数部分是3．【例2】老师在黑板上写了七个自然数，让小明计算它们的平均数（保留小数点后面两位）．小明计算出的答数是14.73，老师说：“除最后一位数字外其它都对了．”那么，正确的得数应是______.【解析】法1：因为14.7这三个数字正确，14.7×7＝102.9，所以，这七个自然数的和只可能是103，104，……等，当和为103时，平均数为103÷7≈14.71，当和为104时，平均数为104÷7≈14．86，就不符已知条件了，所以，七个自然数的和是103，平均是14.71．法2：此题可以用放缩法：由题意知：14.70≤平均数≤14.79，所以这7个数的和介于102.90和103.53之间，又由于7个自然数的和必然是整数，所以是103。则正确的平均数是103÷7＝14.71.【巩固】有13个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是26.9．那么，精确到小数点后两位数是多少？\n【解析】利用放缩法，13个自然数之和必然是整数，又有26.85平均数26.95，则这13个自然数的和介于1326.85和1326.95之间．即在349.05和350.35之间，所以只能是350．所以3501326.923，则精确到小数点后两位数是26.92.【例1】有一列数，第一个数是133，第二个数是57，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么，第16个数的整数部分是_______．【解析】由已知：第三个数＝(133＋57)÷2＝95，第四个数＝(57＋95)÷2＝75，第五个数＝(76＋95)÷2＝85.5第六个数＝(85.5＋76)÷2＝80.75，第七个数＝(80.75＋85.5)÷2＝83.125，第八个数＝(83.125＋80.75)÷2＝81.9375，第九个数＝(81.9375＋83.125)÷2＝82.53125．第十个数＝(81.9375＋82.53125)÷2＝82.234375，从第十一个数开始，以后任何一个数都82.53125与82.234375之间，所以，这些数的整数部分都是82，那么第16个数的整数部分也82．课后练习练习1.给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.19980.19980.19980.1998【解析】根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因此一定是，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8，因此一定是．其后添加的循环点必定使得小数点后第五位出现9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是，而次大数为．于是得到不等式：练习2.(数学爱好者夏令营测试题)在，，中，最小的分数是__________.【解析】因为，，根据重要结论——对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；而且：，所以，最小的是．练习3.这里有五个分数：如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数?【解析】练习4.下式中五个分数都是最简真分数，要使不等式成立，这些分母的和最小是多少？【解析】由于要求分母的和最小，则从最小的自然数开始考虑，1是不符合最简真分数要求的分母，因此可选择的最小自然数为2，2只能放在第一个分数上做分母．后面要找比小的最简分数：3、4依次被淘汰，5被选中放入第二个分数中．依次规律，可得结果：.\n练习1.(第三届华杯赛复赛试题)求数的整数部分是几？【解析】即1＜原式＜1.9，所以原式的整数部分是1.练习2.已知除法算式：1234567891011121331211101987654321．它的计算结果的小数点后的前三位数字分别是.【解析】各取被除数、除数前两位，有：原式12320.375，原式13310.4194；在0.375～0.4194之间无法确定小数点后三位的准确值，说明放缩的范围太大.　　再各取被除数、除数前三位，有：原式1233130.3930，原式1243120.3974，仍无法确定；　　又各取被除数、除数前四位，有：原式123431220.3953，原式123531210.3957.说明原式的结果在0.3953～0.3957之间，因此，小数点后前三位数分别是3，9，5.月测备选【备选1】试比较和的大小【解析】>【备选2】(祖冲之杯数学邀请赛)如果，那么A和B中较大的数是.【解析】，即大【备选3】已知x0.90.990.9990.9999999999．求x的整数部分．【解析】方法一：要求x的整数部分，必须找到x介于哪两个连续整数之间即axa1，x的整数部分和n相等．可以先将原算式放大，把每个加数都看成1这样结果是11010；然后将原算式缩小，把每个加数都看成0.9，结果是0.9109．可见原算式的结果介于10和9之间即9x10，所以x的整数部分是9．方法二：将原式变型后再估算．x0.90.990.9990.9999999999(10.1)(10.01)(10.001)(10.0000000001)10(0.10．010.0010.0000000001)100.1111111111所以x的整数部分是9．【备选4】⑴找出一个比大，比小的分数．⑵满足下式的括号里的数字有多少个自然数：【解析】⑴方法一：任意两个分数，把分子和分子相加，分母和分母相加，所得的分数叫做加成分数．加\n成分数的值介于原来两个分数之间．根据加成分数原理，是介于和之间的一个分数．方法二：如果通分母，可以得到同分母分数和．把这两个分数的分子、分母扩大2倍，可以找出一个比大，比小的分数；如果把这两个分数扩大3倍，可以再得到两个中间的分数等等．我们也可以用类似的方法，通过通分子去找比大、比小的分数．同学们可以自己试一试．⑵首先判断第一个不等号两边的关系，，因此()35，再判断第二个不等号两边的关系，，因此()15．根据以上分析，可以确定()中能填入19个自然数．根据分数基本性质等值放缩分数是处理分数问题最常用的方法．【备选5】求的整数部分是多少?【解析】分段放缩.原式，即1原式，所以原式整数部分为1．