初中数学练习册复习元旦2011 217页

A．（x1，y1）C．（x0，y0）Y2=ax+b2Y1=ax+b1B．（x2，y2）Y3=-1/ax+b31、如图，角1=角2=角3。有几对相似三角形？1232、如图，梯形，AD平行于BC，2AD=BC。则AO：OC=？，S△ODA：S△ODA=？，S△AOB：S△AOD=？，S△AOB：S△DBC=？ADOCB3、矩形ABCD，AB=2BC，∠DAE=∠BAC，求EC长ABCDE\n4、如图，过C作直线与X轴交与D，使三角形COD与三角形AOB相似，这样的直线有几条？ABCOXYD5、圆O中，证，PG*PE=PB*PC;PA2=PB*PCED*FD=BD*CDBD2=ED*FDO·FEDCBGPA6、在三角形ABC中，DE∥BC，AE=4,则BC=（）7、在三角形ABC中，D为AB的中点，AB=4,则AC=7，若AC上有一点E，且三角形ADE与原三角形相似，则AE=（）8、在在三角形ABC中，AB=AＣ，AB/BC=AD/DC，，BD将三角形ABC的周长分为30cm和15cm两部分，则AB的长为（）9、把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则矩形的长宽比是多少？10、把抛物线ax2+bx+c先关于X轴对称变换，然后关于Y轴对称变换，写出其曲线。先Y后X呢？11、B(-1,3)A(-2,4)XYO\n茶壶倒水，水线是抛物线，在A、B位置均可准确倒入瓶中，如以瓶口为原点，写出其解析式112、抛物线y=x2-(2m-1)x-2m与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），若x1/x2的绝对值=1，则m的值为（-1/2，+-1/2，0，1/2）13、若抛物线y=x2-x-k与X轴的两个交点都在X轴的正半轴上，则k的取值范围是（）14、抛物线ax2+bx+c，当x=2时，Y有最小值-1，其图像与X轴的2个交点之间的距离为2，则求a、b、c15、在y=x2-4x+m的图像上有三个点（-4，y1），（-5，y2），（-6，y3），y1、y2、y3的大小顺序是（）16、已知y=4x2-mx+2，当x〉-2时，y随x的增大而增大；当x〈-2时，y随x的增大而减小，则当x=-1时，函数值为（）4、（2010•咸宁）已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（-3m，0）（m≠0）．（1）证明4c=3b2；解方程，或韦达定理（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的最值．分析：（1）由根与系数关系得出等式，消去m，得出b、c的关系式；（2）根据对称轴公式可求系数b，代入（1）的结论可求c，可确定二次函数解析式，再求函数的最小值．\n解答：（1）证明：依题意，m，-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得m+（-3m）=-b，m（-3m）=-c，∴b=2m，c=3m2，∴4c=3b2=12m2；（2）解：依题意，，即b=-2，由（1）得，∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴二次函数的最小值为-4．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点横坐标与一元二次方程根与系数关系的联系，待定系数法求二次函数解析式的方法．5、（2010•连云港）已知反比例函数y=的图象与二次函数y=ax2+x-1的图象相交于点（2，2）（1）求a和k的值；（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，为什么？考点：待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数的性质．分析：（1）将交点坐标分别代入两个函数的解析式中，即可求得a、k的值；（2）根据（1）可确定两个函数的解析式；求得二次函数的顶点坐标后，将其代入反比例函数的解析式中进行验证即可．\n解答：解：（1）因为二次函数y=ax2+x-1与反比例函数y=交于点（2，2）所以2=4a+2-1，解之得a=（2分）2=，所以k=4；（4分）（2）反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点；（5分）由（1）知，二次函数和反比例函数的关系式分别是y=x2+x-1和y=；因为y=x2+x-1=y=（x2+4x-4）=（x2+4x+4-8）=y=[（x+2）2-8]=（x+2）2-2，（6分）所以二次函数图象的顶点坐标是（-2，-2）；（7分）因为x=-2时，y==-2，所以反比例函数图象经过二次函数图象的顶点．（8分）点评：此题主要考查了用待定系数法确定函数解析式的方法及二次函数的顶点坐标的求法；在求二次函数的顶点坐标时，要针对题型要灵活地根据已知条件选择配方法和公式法．6、（2010•上海）如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=-x2+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P（m，n）在第四象限，点P关于直线l的对称点对称点坐标变换为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值．\n考点：二次函数综合题．分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；将所求得的二次函数解析式化为顶点式，即可得到其对称轴方程及顶点坐标；（2）首先根据抛物线的对称轴方程求出E点的坐标，进而可得到F点的坐标，由此可求出PF的长，即可判断出四边形OAPF的形状，然后根据其面积求出n的值，再代入抛物线的解析式中即可求出m的值．解答：解：（1）将A（4，0）、B（1，3）两点坐标代入抛物线的方程得：，解之得：b=4，c=0；所以抛物线的表达式为：y=-x2+4x，将抛物线的表达式配方得：y=-x2+4x=-（x-2）2+4，所以对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）；（2）点p（m，n）关于直线x=2的对称点坐标为点E（4-m，n），则点E关于y轴对称点为点F坐标为（m-4，n），则FP=OA=4，即FP、OA平行且相等，所以四边形OAPF是平行四边形；S=OA•|n|=20，即|n|=5；因为点P为第四象限的点，所以n＜0，所以n=-5；代入抛物线方程得m=5．点评：此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及图形面积的求法，难度适中．7、\n（2010•广东）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．考点：抛物线与x轴的交点．分析：（1）把抛物线上的两点代入解析式，解方程组可求b、c的值；（2）令y=0，求抛物线与x轴的两交点坐标，观察图象，求y＞0时，x的取值范围．应观察图像，注意与单调性的区别解答：解：（1）将点（-1，0），（0，3）代入y=-x2+bx+c中，得，解得．∴y=-x2+2x+3．（2）令y=0，解方程-x2+2x+3=0，得x1=-1，x2=3，抛物线开口向下，∴当-1＜x＜3时，y＞0．点评：本题考查了待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线与x轴的交点，开口方向，可求y＞0时，自变量x的取值范围．8、\n（2010•楚雄彝族自治州）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于两点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点D（，m）是抛物线y=ax2+bx+c上的一点，请求出m的值，并求出此时△ABD的面积．考点：二次函数综合题．分析：（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，从而确定该二次函数的解析式；（2）将D点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出m的值；以AB为底，D点纵坐标的绝对值为高，即可求出△ABD的面积．解答：\n解：（1）由已知得，（3分）解之得，（4分）∴y=x2-4x+3；（5分）（2）∵是抛物线y=x2-4x+3上的点，∴；（6分）∴．（8分）点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定以及三角形面积求法．9、同7题10、（2010•哈尔滨）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时AB的长．\n考点：根据实际问题列二次函数关系式；解一元二次方程-因式分解法．专题：几何图形问题．分析：（1）根据长方形的面积公式求出S与x之间的函数关系式．（2）根据矩形ABCD的面积为50平方米，即S=50，即可列出一元二次方程求解．解答：解：（1）根据题意AD=，S=x（15-x）=-x2+15x（2）当S=50时，-x2+15x=50，整理得x2-15x+50=0解得x1=5，x2=10当AB=5时，AD=10；当AB=10时，AD=5∵AB＜AD∴AB=5答：当矩形ABCD的面积为50平方米且AB＜AD时，AB的长为5米．点评：对于长方形的面积公式要熟记．注意本题AB＜AD，因此可根据这个条件舍去不合题意的解．11、（2010•绵阳）如图面积算法：大减小，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为200m、120m，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为3xm、2xm．（1）用代数式表示三条通道的总面积S；当通道总面积为花坛总面积的\n时，求横、纵通道的宽分别是多少？（2）如果花坛绿化造价为每平方米3元，通道总造价为3168x元，那么横、纵通道的宽分别为多少米时，花坛总造价最低？并求出最低造价．（以下数据可供参考：852=7225，862=7396，872=7569）考点：二次函数的应用．分析：（1）根据等量关系“三条道路的总面积=横通道的面积+纵通道的面积-重叠的面积”列出方程求解；（2）根据等量关系“花坛总造价=绿化造价+通道造价”列出函数关系，并求得函数的最大值．解答：解：（1）由题意得：S=3x•200+2x•120×2-2×6x2=-12x2+1080x由S=×200×120，得：x2-90x+176=0，解得：x=2或x=88又∵x＞0，4x＜200，3x＜120，∴解得0＜x＜40，∴x=2，得横、纵通道的宽分别是6m、4m．（2）设花坛总造价为y元．则y=3168x+（200×120-S）×3=3168x+（24000+12x2-1080x）×3=36x2-72x+72000=36（x-1）2+71964，当x=1，即纵、横通道的宽分别为3m、2m时，花坛总造价量低，最低总造价为71964元．点评：本题考查了运用函数方程解决实际问题，并考查了函数最大值的求解问题．12、\n（2010•潍坊）学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米．图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖．（1）要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？（2）如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元．铺绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺广场地面的总费用最少？最少费用是多少？考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．分析：（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据等量关系“白色地板砖的面积=4个小正方形的面积+中间矩形的面积”列出一元二次方程求解即可；（2）设铺矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，根据等量关系“总费用=铺白色地面砖的费用+铺绿色地面砖的费用”列出y关于x的函数，求得最小值．解答：解（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意，得：4x2+（100-2x）（80-2x）=5200整理，得：x2-45x+350=0（3分）解之，得：x1=35，x2=10，经检验，x1=35，x2=10均适合题意∴要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或10米．（2）设铺矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则，y=30×[4x2+（100-2x）（80-2x）]+20×[2x（100-2x）+2x（80-2x）]即：y=80x2-3600x+240000配方得，y=80（x-22.5）2\n+199500当x=22.5时，y的值最小，最小值为199500．∴当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时，所铺广场地面的总费用最少，最少费用为199500元．点评：本题第（1）问考查了通过二次方程解决实际问题的能力；第（2）问考查了根据函数解析式求函数最值的能力．13、（2010•江西）图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2、当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开、已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米、设AP=x分米．（1）求x的取值范围；（2）若∠CPN=60°，求x的值；（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留）．考点：扇形面积的计算；根据实际问题列二次函数关系式；角平分线的性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：综合题；转化思想．分析：\n（1）根据题意，得AC=CN+PN，进一步求得AB的长，即可求得x的取值范围；（2）根据等边三角形的判定和性质即可求解；（3）连接MN、EF，分别交AC于O、H．此题根据菱形CMPN的性质求得MO的长，再根据相似三角形的对应边的比相等，求得圆的半径即可．解答：解：（1）∵BC=2，AC=CN+PN=12，∴AB=12-2=10．∴x的取值范围是：0≤x≤10．（2）∵CN=PN，∠CPN=60°，∴△PCN是等边三角形．∴CP=6．∴AP=AC-PC=12-6=6．即当∠CPN=60°时，x=6分米．（3）连接MN、EF，分别交AC于O、H．∵PM=PN=CM=CN，∴四边形PNCM是菱形．∴MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线，PO=．在Rt△MOP中，PM=6，∴MO2=PM2-PO2=62-（6-x）2=6x-x2．∵CE=CF，AC是∠ECF的平分线，∴EH=HF，EF⊥AC．\n∵∠ECH=∠MCO，∠EHC=∠MOC=90°，∴△CMO∽△CEH．∴．∴，∴EH2=9•MO2=9•（6x-x2）．∴y=π•EH2=9π（6x-x2），即y=-πx2+54πx．点评：此题的难点是第（3）问，熟练运用菱形的性质、相似三角形的性质和二次函数的实际应用．14、（2010•安徽）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1≤x≤20且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：（1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x（天）之间的函数关系式？（当天收入=日销售额-日捕捞成本）试说明（2）中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？考点：二次函数的应用．专题：应用题．\n分析：（1）由图表中的数据可知该养殖场每天的捕捞量与前一天减少10kg；（2）根据收入=捕捞量×单价-捕捞成本，列出函数表达式；（3）将实际转化为求函数最值问题，从而求得最大值．解答：解：（1）该养殖场每天的捕捞量与前一天减少10kg；（2）由题意，得y=20（950-10x）-（5-）（950-10x）=-2x2+40x+14250；（3）∵-2＜0，y=-2x2+40x+14250=-2（x-10）2+14450，又∵1≤x≤20且x为整数，∴当1≤x≤10时，y随x的增大而增大；当10≤x≤20时，y随x的增大而减小；当x=10时即在第10天，y取得最大值，最大值为14450．点评：此题考查二次函数的性质及其应用，要运用图表中的信息，将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题，比较简单．15、（2010•青岛）某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500．（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）\n考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．解答：解：（1）由题意，得：w=（x-20）×y，=（x-20）•（-10x+500）=-10x2+700x-10000，答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得：-10x2+700x-10000=2000，解这个方程得：x1=30，x2=40，答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．（3）∵a=-10＜0，∴抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000，∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000，设成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500）=-200x+10000，∵k=-200＜0，∴P随x的增大而减小，∴当x=32时，P最小=3600，答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．点评：此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．\n16、（2010•重庆）今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y=-x2+bx+c．（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x的函数关系式，并求出5月份y与x的函数关系式；（2）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？（3）若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少a%，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0.8a%．若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值．（参考数据：372=1369，382=1444，392=1521，402=1600，412=1681）考点：二次函数的应用．分析：（1）从表格看出，x每增加1，y就增加0.2，由此可确定是一次函数关系式；把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，分别代入y=-+bx+c可求b、c的值，确定二次函数解析式；（2）根据一次函数，二次函数的性质及自变量的取值范围，求最大利润；（3）根据增长率的公式，列出方程求解即可．\n解答：解：（1）4月份y与x满足的函数关系式为y=0.2x+1.8把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，分别代入y=-+bx+c得解得：，∴5月份y与x满足的函数关系式为y=-0.05x2-0.25x+3.1；（2）设4月分第x周销售此种蔬菜一千克的利润为W1元，5月份第x周销售此种蔬菜一千克的利润为W2元．则：W1=（0.2x+1.8）-（+12）=-0.05x+0.6∵-0.05＜0，∴W1随x的增大而减少∴当x=1时，W1最大=-0.05+0.6=0.55W2=（-0.05x2-0.25x+3.1）-（-x+2）=-0.05x2-0.05x+1.1∵对称轴为x=-=-0.5，且-0.05＜0，∴当x=1时，W2最大=1∴4月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为0.55元，5月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为1元．（3）由题意知：[100（1-a%）+2]×2.4（1+0.8a%）=2.4×100，整理，得a2+23a-250=0，解得a=∵392=1521，402=1600，而1529更接近1521，∴取≈39∴a≈-31（舍去）或a≈8．点评：本题考查了一次函数、二次函数解析式求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．\n17、（2010•河北）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=x+150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润=销售额-成本-广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）（利润=销售额-成本-附加费）．（1）当x=1000时，y=140元/件，w内=57500元；（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（）．考点：二次函数的应用．专题：分类讨论．分析：（1）将x=1000代入函数关系式求得y，并根据等量关系“利润=销售额-成本-广告费”求得w内；（2）根据等量关系“利润=销售额-成本-广告费”“利润=销售额-成本-附加费”列出两个函数关系式；（3）对w内函数的函数关系式求得最大值，再求出w外的最大值并令二者相等求得a值；（4）通过对国内和国外的利润比较，又由于a值不确定，故要讨论a的取值范围．\n解答：解：（1）x=1000，y=×1000+150=140，w内=（140-20）×1000-62500=57500；（2）w内=x（y-20）-62500=x2+130x-62500，w外=x2+（150-a）x．（3）当x==6500时，w内最大；由题意得：=，解得a1=30，a2=270（不合题意，舍去）．∴a=30．（4）当x=5000时，w内=337500，w外=-5000a+500000．若w内＜w外，则a＜32.5；若w内=w外，则a=32.5；若w内＞w外，则a＞32.5．∴当10≤a＜32.5时，选择在国外销售；当a=32.5时，在国外和国内销售都一样；当32.5＜a≤40时，选择在国内销售．点评：本题是一道综合类题目，考查了同学们运用函数分析问题、解决问题的能力．18、1、（2010•武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间\n的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？考点：二次函数的应用．分析：（1）理解每个房间的房价每天增加x元，则减少房间间，则可以得到；（2）每个房间订住后每间的利润是房价减去20元，每间的利润与所订的房间数的积就是利润；（3）求出二次函数的对称轴，根据二次函数的增减性以及x的范围即可求解．解答：解：（1）由题意得：y=50-，且0＜x≤160，且x为10的正整数倍．（2）w=（180-20+x）（50-），即w=-x2+34x+8000，（3）w=-x2+34x+8000=-（x-170）2+10890抛物线的对称轴是：x=-=-=170，抛物线的开口向下，当x＜170时，w随x的增大而增大，但0＜x≤160，因而当x=160时，即房价是340元时，利润最大，此时一天订住的房间数是：50-=34间，最大利润是：10880元．答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880元．点评：本题是二次函数的应用，特别容易出现的错误是在求最值是不考虑x的范围，直接求顶点坐标．19、\n4、（2010•贵阳）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示．（1）每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式是m=-x+100（0≤x≤100）．（2）求该商场每天销售这种商品的销售利润y（元）与每件的销售价格x（元）之间的函数表达式；（3）每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？考点：一次函数的应用．分析：（1）设出一次函数的一般表达式m=kx+b，将（0，100）（100，0）代入即可求出；（2）根据等量关系“销售利润=（销售价格-购进价格）×销售量”列出函数表达式；（3）由销售的利润和销售价格得出函数关系式，由函数性质判断出随销售价格增大利润增大的范围．解答：解：（1）m=-x+100（0≤x≤100）（2）每件商品的利润为x-50，所以每天的利润为：y=（x-50）（-x+100）∴函数解析式为y=-x2+150x-5000（3）∵x=-=75∴在50＜x＜75元时，每天的销售利润随着x的增大而增大\n点评：此题为函数图象和实际结合的题型，考查同学们由图象写出函数的能力，同学们应加强注意．20、1、（2010•淮安）红星食品厂独家生产具有地方特色的某种食品，产量y1（万千克）与销售价格x（元/千克）（2≤x≤10）满足函数关系式y1=0.5x+11、经市场调查发现：该食品市场需求量y2（万千克）与销售价格x（元/千克）（2≤x≤10）的关系如图所示．当产量小于或等于市场需求量时，食品将被全部售出；当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的食品，剩余食品由于保质期短将被无条件销毁．（1）求y2与x的函数关系式；（2）当销售价格为多少时，产量等于市场需求量？（3）若该食品每千克的生产成本是2元，试求厂家所得利润W（万元）与销售价格x（元/千克）（2≤x≤10）之间的函数关系式．考点：一次函数的应用．专题：应用题．分析：（1）根据函数图象得到直线上的两个点（10，4），（2，12）代入函数关系式，利用待定系数法求解即可；（2）令y1=y2\n，解方程即可求解；（3）要考虑到“当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的食品，剩余食品由于保质期短将被无条件销毁”根据题意列式即可求解．解答：解：（1）设y2=kx+b，把点（10，4），（2，12）代入函数关系式得解得所以y2=-x+14；（2）当y1=y2时0.5x+11=-x+14解得x=2即当销售价格为2元时，产量等于市场需求量；（3）由（2）可知2＜x≤10时，产品的产量大于市场需求量，则w=y2（x-2）-2（y1-y2）=（-x+14）（x-2）-2（0.5x+11+x-14）=-x2+11.5x-19．点评：主要考查了一次函数的实际运用和读图能力．从图象中获得所需的信息是需要掌握的基本能力，还要会熟练的运用待定系数法求函数解析式．注意第（3）问中要考虑到“当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的食品，剩余食品由于保质期短将被无条件销毁”．21、\n1、（2010•荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1=170-2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；（2）求月产量x的范围；（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）设函数关系式为y2=kx+b，把（30，1400）（40，1700）代入求解即可；（2）根据题中条件“每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元”列出不等式组求解月产量x的范围；（3）根据等量关系“设备的利润=每台的售价×月产量-生产总成本”列出函数关系式求得最大值．解答：解：（1）设函数关系式为y2=kx+b，把坐标（30，1400）（40，1700）代入，解得：∴函数关系式y2=30x+500（2）依题意得：解得：25≤x≤40（3）∵W=x•y1-y2=x（170-2x）-（500+30x）=-2x2+140x-500\n∴W=-2（x-35）2+1950∵25＜35＜40，∴当x=35时，W最大=1950答：当月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．点评：本题考查了函数关系式及其最大值的求解，同时还有自变量取值范围的求解．22、（2010•荆门）某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．（1）假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式，并注明x的取值范围．（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入-购进成本）考点：二次函数的应用．分析：（1）根据等量关系“利润=（13.5-降价-进价）×（500+100×降价）”列出函数关系式．（2）根据（1）中的函数关系式求得利润最大值．解答：解：（1）设降价x元时利润最大、依题意：y=（13.5-x-2.5）（500+100x）整理得：y=100（-x2+6x+55）（0＜x≤1）（2）由（1）可知，当x=3时y取最大值，最大值是6400即降价3元时利润最大，∴销售单价为10.5元时，最大利润6400元．答：销售单价为10.5元时利润最大，最大利润为6400元\n点评：本题考查的是函数关系式的求法以及最值的求法．23、（2010•恩施土家族苗族自治州）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额-收购成本-各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）根据等量关系“销售总金额=（市场价格+0.5×存放天数）×（原购入量-6×存放天数）”列出函数关系式；（2）按照等量关系“利润=销售总金额-收购成本-各种费用”列出函数方程求解即可；（3）根据等量关系“利润=销售总金额-收购成本-各种费用”列出函数关系式并求最大值．解答：解：（1）由题意y与x之间的函数关系式为y=（10+0.5x）（2000-6x）=-3x2+940x+20000（1≤x≤110，且x为整数）；（2）由题意得：-3x2+940x+20000-10×2000-340x=22500解方程得：x1=50，x2\n=150（不合题意，舍去）李经理想获得利润2250元需将这批香菇存放50天后出售．（3）设最大利润为w，由题意得w=-3x2+940x+20000-10×2000-340x=-3（x-100）2+30000∴x=100时，w最大=30000100天＜110天∴存放100天后出售这批香菇可获得最大利润30000元．点评：本题考查了同学们列函数关系式及求其最值的能力．24、（2010•孝感）X市与W市之间的城际铁路正在紧张有序的建设中，在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m与该列车每次拖挂车厢节数如下：（1）请你根据上表数据，在三个函数模型：①y=kx+b（k，b为常数，k≠0）；②y=（k为常数，k≠0）③y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中，选取一个合适的函数模型，求出的m关于n的函数关系式是m=-2n+24（不写n的取值范围）；（2）结合你的求出的函数探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设计运营人数Q最多（每节车厢容量设定为常数p）考点：二次函数的应用．专题：探究型．分析：（1）通过表中数据判断为一次函数，用待定系数法求得函数关系式；（2）根据等量关系“营运人数=每车厢的人数×往返次数×车厢节数”列出函数关系式并求得最大值．解答：解：（1）m=-2n+24（2）Q=pmn=pn（-2n+24）=-2pn2+24pn∵-2p＜0，\n∴Q取最大值．当n=-=6时，Q取最大值．此时，m=-2n+24=-2×6+24=12∴一列火车每次挂6节车厢，一天往返12小时，一天的设计运营人数最多．点评：本题考查了同学们运用函数关系式求解最值解决实际问题的能力．25、（2010•包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．（1）求一次函数y=kx+b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．考点：二次函数的应用．分析：（1）列出一元二次方程组解出k与b的值可求出一次函数的表达式．（2）依题意求出W与x的函数表达式可推出当x=87时商场可获得最大利润．（3）由w=500推出x2-180x+7700=0解出x的值即可．解答：解：（1）根据题意得解得k=-1，b=120．所求一次函数的表达式为y=-x+120．（2分）（2）W=（x-60）•（-x+120）=-x2\n+180x-7200=-（x-90）2+900，（4分）∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而60≤x≤87，∴当x=87时，W=-（87-90）2+900=891．∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（6分）（3）由W=500，得500=-x2+180x-7200，整理得，x2-180x+7700=0，解得，x1=70，x2=110．（7分）由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60元/个≤x≤87元/个，所以，销售单价x的范围是70元/个≤x≤87元/个．（10分）点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．利用二次函数解决实际问题．26、（2010•深圳）儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x（x＞0）．（1）求M型服装的进价；（2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值．考点：二次函数的应用；一次函数的应用．分析：\n（1）销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．可得：标价打8折等于（1+0.5）乘进价．（2）开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，则实际销价为60-x，利润W=（60-x）（20+4x）．解答：解：（1）设进价为x，∵销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．则75×0.8=（1+0.5）x．∴x=40（元）；（2）∵销售时标价为75元/件，开展促销活动每件在8折的基础上再降价x元销售，∴M型服装开展促销活动的实际销价为75×0.8-x=60-x，销售利润为60-x-40=20-x．而每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x，∴促销期间每天销售M型服装所获得的利润：W=（20-x）（20+4x）=-4x2+60x+400=-4+625．∴当x==7.5（元）时，利润W最大值为625元．点评：解答函数的实际应用问题时，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．27、（2010•德州）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80%销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2\n元．（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？考点：二次函数的应用；分段函数．分析：（1）对甲，由于购买个数不同，售价也不同，因此需按购买个数分成三段由等量关系“所需金额=售价×购买个数”列出函数关系式；对乙，按等量关系“所需金额=售价×购买个数”列出函数关系式．（2）分别计算投资额在甲乙商家各能购买的太阳能路灯的数量，比较得出最大值．解答：解：（1）由题意可知，当x≤100时，购买一个需5000元，故y1=5000x；当x≥100时，∵购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500元/个，∴x≤+100=250个．即100≤x≤250时，购买一个需5000-10（x-100）元，故y1=6000x-10x2；当x＞250时，购买一个需3500元，故y1=3500x；∴y2=5000×80%x=4000x．（2）在甲商家，当0＜x≤100时，y1=5000x≤500000＜1400000；当100＜x≤250时，y1=6000x-10x2=-10（x-300）2+900000＜1400000；∴由3500x=1400000，得x=400；在乙商家，由4000x=1400000，得x=350个故选择甲商家，最多能购买400个路灯．点评：本题考查了分段函数关系式的列法，应从自变量的变化范围入手，同时考查了最值的求法．\n28、（2010•沈阳）某公司有甲，乙两个绿色农产品种植基地，在收获期这两个基地当天收获的某种农产品，一部分存入仓库，另一部分运往外地销售，根据经验，该农产品在收获过程中两个种植基地累积总产量y（吨）与收获天数x（天）满足函数关系y=2x+3（1≤x≤10且x为整数）．该农产品在收获过程中甲，乙两基地累积产量分别占两基地累积总产量的百分比和甲，乙两基地累积存入仓库的量分别占甲，乙两基地的累积产量的百分比如下表：（1）请用含y的代数式分别表示在收获过程中甲，乙两个基地累积存入仓库的量；（2）设在收获过程中甲，乙两基地累积存入仓库的该种农产品的总量为p（吨），请求出p（吨）与收获天数x（天）的函数关系式；（3）在（2）的基础上，若仓库内原有该种农产品42.6吨，为满足本地市场需求，在此收获期开始的同时，每天从仓库调出一部分该种农产品投入本地市场，若在本地市场售出该种农产品总量m（吨）与收获天x（天）满足函数关系m=-x2+13.2x-1.6（1≤x≤10且x为整数）．问在此收获期内连续销售几天，该农产品库存量达到最低值？最低库存量是多少吨？考点：二次函数的应用．分析：\n（1）根据等量关系“该地累积存入仓库中的量=累积产量分别占两基地累积总产量的百分比×累积存入仓库的量占累积产量的百分比×累积总产量”通过表中的数据用y表示出甲乙两基地累积存入仓库中的量；（2）根据等量关系“存入仓库的该种农产品总产量=甲基地存入仓库的总产量+乙基地存入仓库的总产量”列出函数关系式；（3）根据等量关系“该产品库存量=原存入量+收获时存入量-售出量”列出函数关系式并求得最小值．解答：解（1）①甲基地累积存入仓库的量：85%×60%y=0.51y（吨）②乙基地累积存入仓库的量：22.5%×40%y=0.09y（吨）（2）p=0.51y+0.09y=0.6y∵y=2x+3∴p=0.6（2x+1）=1.2x+1.8（3）设在此收获期内仓库库存该种农产品T吨．T=42.6+p-m=42.6+1.2x+1.8-（-x2+13.2x-1.6）=x2-12x+46=（x-6）2+10∵1＞0∴抛物线的开口向上又∵1≤x≤10且x为整数，∴当x=6时，T的最小值为10；∴在此收获期内连续销售6天，该农产品库存达最低值，最低库存为10吨．点评：本题考查了运用函数解决实际问题的能力，同时考查了函数求最值的问题．29、（2010•呼和浩特）如图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？\n考点：二次函数的应用．分析：首先建立直角坐标系，设抛物线为y=ax2，把点（2，-2）代入求出解析式可解．解答：解：如图，建立直角坐标，（1分）可设这条抛物线为y=ax2，（3分）把点（2，-2）代入，得-2=a×22，a=，（4分）∴y=，（5分）当y=-3时，，（7分）∴水面下降1m，水面宽度增加2m．（8分）点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．30、某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=-+c且过顶点C（0，5）（长度单位：m）（1）直接写出c的值；（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/m2\n，求购买地毯需多少元？（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG的倾斜角∠GEF的度数．（精确到0.1°）考点：二次函数的应用．专题：计算题；应用题．分析：（1）根据点在抛物线上易求得c；（2）根据解析式求出A，B，C三点坐标，求出地毯的总长度，再根据地毯的价格求出购买地毯需要的钱；（3）由已知矩形EFGH的周长，求出GF，EF边的长度，再根据三角函数性质求出倾斜角∠GEF的度数．解答：解：（1）抛物线的解析式为y=-+c，∵点（0，5）在抛物线上∴c=5；（2）由（1）知，OC=5，令y=0，即-+5=0，解得x1=10，x2=-10；∴地毯的总长度为：AB+2OC=20+2×5=30，∴30×1.5×20=900答：购买地毯需要900元．（3）可设G的坐标为（m，-+5）其中m＞0则EF=2m，GF=-+5，由已知得：2（EF+GF）=27.5，即2（2m，-+5）=27.5，解得：m1=5，m2\n=35（不合题意，舍去），把m1=5代入，-+5=-×52+5=3.75，∴点G的坐标是（5，3.75），∴EF=10，GF=3.75，在Rt△EFG中，tan∠GEF===0.375，∴∠GEF≈20.6°．点评：此题考查二次函数和三角函数的性质及其应用，要结合图形做题．31、如图，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25m，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的距离为1m处达到距地面最大高度2.25m．试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数关系式．小明在解答下图所示的问题时，写下了如下解答过程：①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴建立如图所示的平面直角坐标系；②设抛物线的解析式为y=ax2；③则B点的坐标为（-1，1）；④代入y=ax2，得-1=a•1，所以a=-1⑤所以y=-x2\n问：（1）小明的解答过程是否正确，若不正确，请你加以改正；（2）喷出的水流能否浇灌到地面上距离A点3.5m的庄稼上（图上庄稼在A点的右侧，庄稼的高度不计），若不能请你在上图所示的坐标系中将喷头B上下或左右平移上下左右，问至少要平移多少距离才能浇灌到地面的庄稼，并求出此时喷出的抛物线形水流的函数解析式．考点：二次函数的应用．分析：（1）点B在第三象限，纵坐标的符号不正确，为（-1，-1），代入求值即可；（2）易得点C的纵坐标为-2.25，代入所得函数解析式可得x的值，加1后即为AC的距离，与3.5比较即可；把（1）中所求的抛物线向右平移1个单位，或者向上平移，设出相应的函数解析式为y=-x2+b，把（2.5，-2.25）代入求值即可．解答：解：（1）不正确．B点的坐标为（-1，-1），代入y=ax2，得a=-1，所以y=-x2；（2）将C（x，-2.25）代入y=-x2，得x=1.5，∴水流落点C到A点的距离AC=2.5，∵3.5＞2.5∴不能浇灌到地面上距离A点3.5m的庄稼上，应将B沿水平方向向右平移1m，y=-（x-1）2，即y=-x2+2x-1，或上下平移：设平移后的抛物线为：y=-x2+b，将（2.5，-2.25）代入得：b=4，∴应将B向上平移4m，y=-x2+4．点评：抛物线的平移，看顶点的平移即可；上下平移，只改变顶点的纵坐标，上加下减；左右平移，只改变顶点的横坐标，左减右加．\n32、（2010•日照）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O、A两点相距8米．（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点？考点：二次函数的应用．分析：（1）已知OA与水平方向OC的夹角为30°，OA=8米，解直角三角形可求点A的坐标及直线OA的解析式；（2）分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式；（3）把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，看函数值与点A的纵坐标是否相符．解答：解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC=30o，OA=8，∴AC=OA•sin30o=8×=，OC=OA•cos30o=8×=12．∴点A的坐标为（12，），设OA的解析式为y=kx，把点A（12，）的坐标代入得：\n=12k，∴k=，∴OA的解析式为y=x；（2）∵顶点B的坐标是（9，12），点O的坐标是（0，0）∴设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12，把点O的坐标代入得：0=a（0-9）2+12，解得a=，∴抛物线的解析式为y=（x-9）2+12及y=x2+x；（3）∵当x=12时，y=≠，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．点评：本题考查了点的坐标求法，一次函数、二次函数解析式的确定方法，及点的坐标与函数解析式的关系．33、（2010•南充）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球\n能不能落入桶内？（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？考点：二次函数的应用．分析：（1）以抛物线的对称轴为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确定抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式；（2）由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确定m的值的范围．解答：解：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0）设抛物线的解析式为y=ax2+k，抛物线过点M和点B，则k=5，．∴抛物线解析式为：；∴当x=时，y=\n；当x=时，y=．∴P（1，），Q（，）在抛物线上；当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高=×5=，∵＜且＜，∴网球不能落入桶内．（2）设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，由题意，得，≤m≤，解得：≤m≤；∵m为整数，∴m的值为8，9，10，11，12．∴当竖直摆放圆柱形桶8，9，10，11或12个时，网球可以落入桶内．点评：研究抛物线的问题，需要建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件，求出相关点的坐标，确定解析式，这是解答其它问题的基础．34、（2010•江西）如图，已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）；（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）设△CDP的面积为S，求S关于m的关系式．考点：二次函数综合题．\n分析：（1）令原抛物线的解析式中y=0，即可求得A点的坐标；很显然P点位于线段AC的垂直平分线上，由此可判定△PAC是等腰三角形；（2）根据平移的性质知：AO=CD=2，OC=AD=m；（3）求△CDP的面积需要知道两个条件：底边CD及CD边上的高PH（过P作PH⊥x轴于H）；因此本题要分两种情况讨论：①0＜m＜2时，P点在x轴上方；②m＞2时，P点位于x轴下方；可分别表示出两种情况的CH的长即P点横坐标，根据抛物线的解析式即可得到P点的纵坐标；以CD为底，P点纵坐标的绝对值为高即可得到关于S、m的函数关系式．解答：解：（1）令-2x2+4x=0，得x1=0，x2=2∴点A的坐标为（2，0）△PCA是等腰三角形（2）存在OC=AD=m，OA=CD=2不可遗漏（3）如图，当0＜m＜2时，作PH⊥x轴于H也是2种情况，设P（xP，yP）∵A（2，0），C（m，0）∴AC=2-m，∴CH=∴xP=OH=m+把xP=代入y=-2x2+4x，得yP=-m2+2∵CD=OA=2∴S=CD•HP=•2•（-m2+2）=-m2+2\n如图，当m＞2时，作PH⊥x轴于H，设P（xP，yP）∵A（2，0），C（m，0）∴AC=2-m，∴AH=∴xP=OH=2+把xP=代入y=-2x2+4x，得yP=-m2+2∵CD=OA=2∴S=CD•HP==-m2+2．点评：此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、平移的性质以及三角形面积的求法等知识，需注意的是（3）题要根据m的取值范围分段讨论，以免造成漏解、错解．\n35、可讲c（2010•武汉）如图，抛物线y1=ax2-2ax+b经过A（-1，0），C（0，）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于点E，G，与（2）中的函数图象交于点F，H．问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出y1的函数解析式；（2）过M作MN⊥x轴于N，根据抛物线y1的函数解析式，即可得到M点的坐标，可分别在Rt△MPN和Rt△MBN中，用勾股定理表示出MN的长，由此可得到关于PM、x的函数关系式；由于∠MPQ=∠MBP=45°，易证得△MPQ∽△MBP，根据相似三角形得到的比例线段即可得到关于PM、y2的关系式，联立两式即可求出y2、x的函数关系式；（3）根据两根抛物线的解析式和两条直线的解析式，可求出E、F、G、H四点的坐标，即可得到EF、GH的长，由于EF∥GH，若四边形EFHG是平行四边形，那么必有EF=GH，可据此求出m、n的数量关系．\n解答：解：（1）∵抛物线y1=ax2-2ax+b经过A（-1，0），C（0，）两点；∴，解得；∴抛物线的解析式为y1=-x2+x+；（2）作MN⊥AB，垂足为N，由y1=-x2+x+，易得M（1，2），N（1，0），A（-1，0），B（3，0）；∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，∠MBN=45°；根据勾股定理有：BM2-BN2=PM2-PN2，∴（2）2-22=PM2-（1-x）2…①；又∠MPQ=45°=∠MBP，∴△MPQ∽△MBP，∴PM2=MQ•MB=y2•22…②\n；由①②得：y2=x2-x+；∵0＜x＜3，∴y2与x的函数关系式为y2=x2-x+（0＜x＜3）；（3）四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是：m+n=2（0＜m＜2，且m≠1）；∵点E、G是抛物线y1=-x2+x+分别与直线x=m，x=n的交点，∴点E、G坐标为E（m，-m2+m+），G（n，-n2+n+）；同理，点F、H坐标为F（m，m2-m+），H（n，n2-n+）．∴EF=m2-m+-（-m2+m+）=m2-2m+1，GH=n2-n+-（-n2+n+）=n2-2n+1；∵四边形EFHG是平行四边形，EF=GH，∴m2-2m+1=n2-2n+1，∴（m+n-2）（m-n）=0；∵由题意知m≠n，∴m+n=2（0＜m＜2，且m≠1）；因此四边形EFGH可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2（0＜m＜2，且m≠1）．点评：此题考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，综合性强，难度较大．36、（2010•泰州）如图，抛物线y=-x2+c与x轴交于点A、B，且经过点D（-）（1）求c；（2）若点C为抛物线上一点，且直线AC把四边形ABCD分成面积相等的两部分，试说明AC平分BD，且求出直线AC的\n解析式；（3）x轴上方的抛物线y=-x2+c上是否存在两点P、Q，满足Rt△AQP全等于Rt△ABP，若存在求出P、Q两点，若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将D点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数c的值；（2）面积：多（3）种解法若△ACD与△ABC的面积相等，则两个三角形中，AC边上的高相等，设AC、BD的交点为E，若以CE为底，AC边上的高为高，可证得△CED和△CEB的面积相等；这两个三角形中，若以DE、BE为底，则两个三角形同高，那么DE=BE，由此可证得AC平分BD；由于E是BD的中点，根据B、D的坐标，即可求出E点的坐标，根据A、E的坐标即可用待定系数法求出直线AC的解析式；（3）由于△ABP是直角三角形，且P点在x轴上方的抛物线上，那么P必为直角顶点，即∠APB=90°，若Rt△AQP全等于Rt△ABP，且Q点在x轴上方的抛物线上，那么∠APQ也必为直角，由此可得B、P、Q三点共线，而一条直线与抛物线的交点最多有两个，显然这种情况不成立，所以不存在符合条件的P、Q点．解答：解：（1）∵抛物线经过D（-），则有：-×3+c=，解得c=6；（2）设AC与BD的交点为E，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N；∵S△ADC=S△ACB，\n∴AC•DM=AC•BN，即DM=BN；∴CE•DM=CE•BN，即S△CED=S△BEC（*）；设△BCD中，BD边上的高为h，由（*）得：DE•h=BE•h，即BE=DE，故AC平分BD；易知：A（-2，0），B（2，0），D（-，），由于E是BD的中点学过中点公式吗，也可用相似，则E（，）；设直线AC的解析式为y=kx+b，则有：，解得；∴直线AC的解析式为y=x+；（3）由于P、Q都在x轴上方的抛物线上，若△APB是直角三角形，则∠APB=90°；若Rt△AQP全等于Rt△ABP，则AB=AQ，∠APQ=∠APB，即B、P、Q三点共线；显然一条直线不可能与一个抛物线有3个交点，故不存在符号条件的P、Q点．点评：此题主要考查了一次函数与二次函数解析式的确定、三角形面积的求法、以及全等三角形和直角三角形的判定和性质．37、\n（2010•福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5．若抛物线过点O、A两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若A点关于直线y=2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作O1的切线OP，P为切点关键是把该点做出来，要多写多画（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将O、A的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；（2）根据A点的坐标和直线OB的解析式可求出B点的坐标，进而可求出OA、AB、OB的长；设AC与OB的交点为E，连接OC，由于A、C关于OB对称，那么OB垂直平分线段AC，则有BC=AB，AE=CE，OA=OC，由此可求出OC、BC的长，在Rt△BCO中，根据直角三角形面积的不同表示方法，可求出CE的长，进而可得到AC的长；过C作CD⊥x轴于D，易证得△CDA∽△OAB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出AD、CD的长，从而得到C点的坐标；然后将C点坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可；（3）在（2）中已经证得BC⊥OC，则OC是⊙O1的切线，由于P、C不重合，所以P点在第一象限；连接O1P，若存在符合条件的Q点，那么点Q必为直线O1P与抛物线的加点，所以解决此题的关键是求出O1、P的坐标；过O1作O1H⊥x轴于H，则O1H是梯形CDAB的中位线，易得AH=DH=AD，由此可得求出AH、DH的长，进而可求出OH的长，根据梯形中位线定理即可得到O1H的长，由此可求出点O1的坐标；过P作PF⊥x轴于F，由于OC、OP都是圆的切线，则OC=OP=O1C=O1P=5，由此可得四边形OCO1\nP是正方形，得∠POC=90°，根据等角的余角相等，可证得∠OCD=∠POF，由此可证得△POF≌△COD，即可得到PF、OF的长，也就得出了P点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线O1P的解析式，联立抛物线的解析式，即可得到Q点的横坐标．解答：解：（1）把O（0，0）、A（5，0）分别代入y=x2+bx+c，得，解得；∴该抛物线的解析式为y=x2-x；（2）点C在该抛物线上．理由：过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，设AC交OB于点E∵点B在直线y=2x上，∴B（5，10）∵点A、C关于直线y=2x对称，∴OB⊥AC，CE=AE，BC⊥OC，OC=OA=5，BC=BA=10又∵AB⊥x轴，由勾股定理得OB=5∵SRt△OAB=AE•OB=OA•OB∴AE=2，∴AC=4；∵∠OBA+∠CAB=90°，∠CAD+∠CAB=90°，∴∠CAD=∠OBA；又∵∠CDA=∠CAB=90°，∴△CDA∽△OAB∴==；∴CD=4，AD=8；\n∴C（-3，4）当x=-3时，y=×9-×（-3）=4；∴点C在抛物线y=x2-x上；（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切；过点P作PF⊥x轴于点F，连接O1P，过点O1作O1H⊥x轴于点H；∴CD∥O1H∥BA∴C（-3，4），B（5，10）∵O1是BC的中点，∴由平行线分线段成比例定理得AH=DH=AD=4，∴OH=OA-AH=1，同理可得O1H=7，∴点O1的坐标为（1，7）∵BC⊥OC，∴OC为⊙O1的切线；又∵OP为⊙O1的切线，∴OC=OP=O1C=O1P=5∴四边形OPO1C为正方形，∴∠POF=∠OCD又∵∠PFO=∠ODC=90°，∴△POF≌△OCD∴OF=CD，PF=OD，∴P（4，3）设直线O1\nP的解析式为y=kx+b（k≠0），把O1（1，7）、P（4，3）分别代入y=kx+b，得，解得；∴直线O1P的解析式为y=x+；若以PQ为直径的圆与⊙O1相切，则点Q为直线O1P与抛物线的交点，可设点Q的坐标为（m，n），则有n=m+，n=y=m2-m∴m+=m2-m，整理得m2+3m-50=0解得m=，∴点Q的横坐标为或．点评：此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、解直角三角形、相似三角形及全等三角形的判定和性质、切线的判定和性质、切线长定理、函数图象交点坐标的求法等；涉及知识点较多，难度很大．38、（2010•无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=．设直线AC与直线x=4交于点E．\n（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．考点：二次函数综合题；二次函数的最值；三角形的面积．分析：（1）设直线x=4与x轴的交点为F，易证得△ABC∽△AFE，根据相似三角形得到的比例线段即可求出EF的长，也就得到了E点的坐标；可用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将E点坐标代入其中进行判断即可；（2）过M作y轴的平行线，交直线CN于P，交x轴于Q；根据抛物线的解析式可求出N点的坐标，进而可求出直线CN的解析式，设出Q点的坐标，即可根据抛物线和直线的解析式求出MP的长；以MP为底，C、N的横坐标差的绝对值为高即可得到△CMN的面积，由此可求出关于△CMN的面积与Q点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可得到△CMN的最大面积面积求法多种：此解法要CN解析式。也可直接相似求得PQ。或CBQM+MQN-BCN．解答：解：（1）如图；易知：△ABC∽△AFE；∴；由题意知：AF=8，AB=6，BC=2；∴EF=，即E（4，）；设抛物线的解析式为：y=a（x-4）2+h（a≠0），由于抛物线经过C（2，2），O（0，0）；则有：，解得；\n∴抛物线的解析式为y=-（x-4）2+=-x2+x；其顶点坐标为（4，），正好与E点坐标相同，故此抛物线一定经过E点；（2）过M作MQ∥y轴，交x轴于Q，交直线CN于P；易知：N（8，0），C（2，2）；可得直线CN的解析式为y=-x+；设点Q的坐标为（m，0），则P（m，-m+），M（m，-m2+m）；∴MP=-m2+m-（-m+）=-m2+m-；∴S=S△CMN=MP•|xN-xC|=×（-m2+m-）×6=-m2+5m-8；即S=-（m-5）2+（2＜m＜8）；∵2＜5＜8，∴当m=5时，Smax=；即△CMN的最大面积为．点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图象交点坐标及图形面积的求法等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．39、（2010•邵阳）如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴相交于点\nF．（1）求直线BC的解析式；（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交，求r的取值范围；②若r=，是否存在点P使⊙P与直线BC相切，若存在，请求出点P的坐标不要遗漏；若不存在，请说明理由．提示：抛物线y=ax2+bx+x（a≠0）的顶点坐标（），对称轴x=．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线的解析式，易求得A、B、C的坐标，进而可用待定系数法求出直线BC的解析式；（2）根据抛物线的解析式，可求出顶点D的坐标，进而可根据直线BC的解析式求出E点的坐标，由此可求出DE、EF、BF的长；①当D、P重合时，过D作DG⊥BC于G，易证得△DEG∽△BEF，由此可得到DE、EG的比例关系，进而可由勾股定理求出DE的长；若⊙P与直线BC相交，那么半径r＞DE，由此可求出r的取值范围；②由①知：当DE=r=；可过F作FM⊥BC于M，由于DE=EF=2，易证得FM=DG=r；可分别过D、F作直线BC的平行线m、n，则P点必为直线m、n与抛物线的交点，可先求出直线m、n的解析式，再分别联立抛物线的解析式，即可求出P点的坐标．解答：解：（1）抛物线y=-x2+x+3中，令y=0，得0=-x2\n+x+3，解得x=-2，x=6；令x=0，得y=3；∴A（-2，0），B（6，0），C（0，3）；设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得∴直线BC的解析式为：y=-x+3；（2）由抛物线的解析式知：y=-（x-2）2+4，即D（2，4）；当x=2时，y=-x+3=-1+3=2，即E（2，2）；∴EF=DE=2，BF=4；①过D作DG⊥BC于G，则△DEG∽△BEF；∴DE：GE=BF：EF=2：1，即DG=2GE；Rt△DGE中，设GE=x，则DG=2x，由勾股定理，得：GE2+DG2=DE2，即：4x2+x2=4，解得x=；∴DG=2x=；故D、P重合时，若⊙P与直线BC相切，则r＞DG，即r＞；\n②存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（2，4），P2（4，3），P3（3+，），P4（3-，）；过点F做FM⊥BC于M；∵DE=EF=2，则Rt△DGE≌Rt△FME；∴FM=DG=r=；分别过D、F作直线m、n平行于直线BC，则直线m与直线BC、直线n与直线BC之间的距离都等于r；所以P点必为直线m、n与抛物线的交点；设直线m的解析式为：y=ax+h，由于直线m与直线BC平行，则a=-；∴-×2+h=4，h=5，即直线m的解析式为y=-x+5；同理可求得直线n的解析式为：y=-x+1；联立直线m与抛物线的解析式，得：，解得，；∴P1（2，4），P2（4，3）；同理，联立直线n与抛物线的解析式可求得：P3（3+，），P4（3-，）；故存在符合条件的P点，且坐标为：P1（2，4），P2（4，3），P3（3+，），P4（3-，）．点评：此题是二次函数的综合类试题，考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、一次函数解析式的确定、勾股定理、相似三角形及全等三角形的性质、切线的性质等重要知识点，综合性强，难度较大．\n40、（2010•宜宾）将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）已知OA、OC的长，可得A、C的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式．（2）设出点P的横坐标，表示出CP的长，由于PE∥AB，可利用相似三角形△CPE∽△CBA，求出△APE的面积表达式，进而可将面积问题转换为二次函数的最值问题，根据函数的性质即可得到△APE的最大面积及对应的P点坐标．（3）由于△AGC的面积无法直接求出，可用割补法求解，过G作GH⊥x轴于H，设出G点坐标，表示出△AGC、梯形AOHG的面积，它们的面积和减去△AOC的面积即可得到△AGC的面积表达式，然后将（2）题所得△APE的面积最大值代入上式中，联立抛物线的解析式即可得到点G的坐标．\n解答：解：（1）如图，∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（0，6），∴c=6．（1分）∵抛物线的图象又经过点（-3，0）和（6，0），∴，（1分）解之得，（1分）故此抛物线的解析式为：y=-x2+x+6．（1分）（2）设点P的坐标为（m，0），则PC=6-m，S△ABC=BC•AO=×9×6=27；（1分）∵PE∥AB，∴△CEP∽△CAB；（1分）∴，即=（）2，∴S△CEP=（6-m）2，（1分）∵S△APC=PC•AO=（6-m）×6=3（6-m），∴S△APE=S△APC-S△CEP=3（6-m）-（6-m）2=-（m-）2+；当m=时，S△APE有最大面积为；此时，点P的坐标为（，0）．（1分）\n（3）如图，面积的求法：相似、和差法、和法（求出底、高）过G作GH⊥BC于点H，设点G的坐标为G（a，b），（1分）连接AG、GC，∵S梯形AOHG=a（b+6），S△CHG=（6-a）b，∴S四边形AOCG=a（b+6）+（6-a）b=3（a+b）．（1分）∵S△AGC=S四边形AOCG-S△AOC，∴=3（a+b）-18，（1分）∵点G（a，b）在抛物线y=-x2+x+6的图象上，∴b=-a2+a+6，∴=3（a-a2+a+6）-18，化简，得4a2-24a+27=0，解之得a1=，a2=；故点G的坐标为（，）或（，）．（1分）\n41、（2010•黄冈）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）．（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x=1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由．考点：二次函数综合题；等边三角形的判定．分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，可得a，b，c的值．（2）过P作直线x=1的垂线，可求P纵坐标，知道M、P、F三点坐标，就能求出三角形各边的长．（3）不存在，因为当t＜，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，PM与PN不可能相等．解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，可得-=1，=1，c=0，∴a=-1，b=2，c=0．（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为，此时，MP=MF=PF=1，故△\nMPF为正三角形．（3）不存在，因为当t＜，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，PM与PN不可能相等．点评：本题二次函数的综合题，考查了二次函数图象的对称轴问题，判定三角形是正三角形的方法，综合性强，能力要求极高．答题：yangjigang老师；42、（2010•德州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）．（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；（2）点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．考点：二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式．专题：综合题．分析：（1）知道二次函数的解析式经过三点，把三点坐标代入就能求得函数解析式，由解析式写出对称轴．（2）①过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E，要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB，算出时间t．②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G，根据题意求出PF=QG，MFP≌△MGQ，由S=S四边形ABPQ-S△BPN列出函数关系式，求出最小值．\n解答：解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点C（0，-3），∴c=-3，将点A（3，0），B（2，-3）代入y=ax2+bx+c得解得：a=1，b=-2．∴y=x2-2x-3，配方得：y=（x-1）2-4，所以对称轴为x=1．（2）①由题意可知：BP=OQ=0.1t，∵点B，点C的纵坐标相等，∴BC∥OA，过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E，要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB，即QE=AD=1．又QE=OE-OQ=（2-0.1t）-0.1t=2-0.2t，∴2-0.2t=1，解得t=5．即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．面积的求法∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，∴BF=CF=OG=1．又∵BP=OQ，∴\nPF=QG．又∵∠PMF=∠QMG，∴MFP≌△MGQ，∴MF=MG，∴点M为FG的中点，∴S=S四边形ABPQ-S△BPN，=S四边形ABFG-S△BPN．由S四边形ABFG==．，∴S=．又BC=2，OA=3，∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．∴0＜t≤20．∴当t=20秒时，面积S有最小值3．点评：本题主要考查二次函数的应用，会求二次函数的对称轴等一系列问题，此题比较繁琐，做题需要耐心．43、（2010•莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴对称轴，即与其它关系。（2圆，（3）面积：△PNA与△NGA同高不等底与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的）\n长；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？考点：二次函数综合题．分析：（1）将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；（2）根据（1）得到的抛物线的解析式，可求出其对称轴方程联立直线OD的解析式即可求出D点的坐标；由于⊙D与x轴相切，那么D点纵坐标即为⊙D的半径；欲求劣弧EF的长，关键是求出圆心角∠EDF的度数，连接DE、DF，过D作y轴的垂线DM，则DM即为D点的横坐标，通过解直角三角形易求得∠EDM和∠FDM的度数，即可得到∠EDF的度数，进而可根据弧长计算公式求出劣弧EF的长；（3）易求得直线AC的解析式，设直线AC与PG的交点为N，设出P点的横坐标，根据抛物线与直线AC的解析式即可得到P、N的纵坐标，进而可求出PN，NG的长；Rt△PGA中，△PNA与△NGA同高不等底，那么它们的面积比等于底边PN、NG的比，因此本题可分两种情况讨论：①△PNA的面积是△NGA的2倍，则PN：NG=2：1；②△PNA的面积是△NGA的，则NG=2PN；可根据上述两种情况所得的不同等量关系求出P点的横坐标，进而由抛物线的解析式确定出P点的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，0），B（6，0），；∴，解得；∴抛物线的解析式为：；（3分）（2）易知抛物线的对称轴是x=4，把x=4代入y=2x，得y=8，∴点D的坐标为（4，8）；∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8；（1分）连接DE、DF，作DM⊥\ny轴，垂足为点M；在Rt△MFD中，FD=8，MD=4，∴cos∠MDF=；∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°；（2分）∴劣弧EF的长为：；（1分）（3）设直线AC的解析式为y=kx+b；∵直线AC经过点，∴，解得；∴直线AC的解析式为：；（1分）设点，PG交直线AC于N，则点N坐标为，∵S△PNA：S△GNA=PN：GN；∴①若PN：GN=1：2，则PG：GN=3：2，PG=GN；即=；解得：m1=-3，m2=2（舍去）；当m=-3时，=；∴此时点P的坐标为；（2分）②若PN：GN=2：1，则PG：GN=3：1，PG=3GN；即=；解得：m1=-12，m2=2（舍去）；当m1=-12时，=；\n∴此时点P的坐标为；综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分．（2分）点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图形面积的求法等知识，需要特别注意的是（3）题中，△PGA被直线AC所分成的两部分中，并没有明确谁大谁小，所以要分类讨论，以免漏解．44、（2010•巴中）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以AB所在直线为x轴，过c点的直线为y轴建立平面直角坐标系．此时，A点坐标为（-1，0），B点坐标为（4，0）（1）试求点C的坐标；（2）若抛物线y=ax2+bx+c过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式；（3）可知DB和ABE是固定的，故需∠OBD=∠EAB，否则不可能相似点D（1，m）在抛物线上，过点A的直线y=-x-1交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）在Rt△ABC中，OC⊥AB，根据射影定理即可求出OC的长，由此得到C点的坐标；（2）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，从而确定其解析式；（3）根据抛物线的解析式，易求得D（1，3）；联立直线AE的解析式即可求得E点的坐标，此时可发现∠OBD和∠EAB同为45°，对应相等，若以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似，可考虑两种情况：①△PBD∽△BAE，②△PBD∽△EAB；根据上述两种情况所得到的不同比例线段即可求出BP的长，从而确定P点的坐标．\n解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，OC⊥AB，由射影定理，得：OC2=OA•OB=4，即OC=2，∴C（0，2）；（2）∵抛物线经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2），可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），则有：2=a（0+1）（0-4），a=-，∴y=-（x+1）（x-4）=-x2+x+2；（3）存在符合条件的P点，且P（，0）或（-，0），根据抛物线的解析式易知：D（1，3），联立直线AE和抛物线的解析式有：，解得，，∴E（6，-7），∴tan∠DBO==1，即∠DBO=45°，tan∠EAB==1，即∠EAB=45°，∴∠DBA=∠EAB，若以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似，则有两种情况：可直接证相似①△PBD∽△BAE，②△PBD∽△EAB，易知BD=3，EA=7，AB=5，由①得：，即，即PB=，OP=OB-PB=，由②得：，即，即PB=，OP=OB-BP=-，∴P（，0）或（-，0）．\n点评：此题主要考查了直角三角形的性质、二次函数解析式的确定以及相似三角形的判定和性质，要注意当相似三角形的对应边和对应角不确定的情况下需要分类讨论，以免漏解45、一般最后一问难，可放弃。大三角形面积有多种求法，但如发现是直角三角形就简单了。（2010•绍兴）如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D、将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）连接EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据OA、AB、OC的长，即可得到A、B、C三点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）此题要通过构造全等三角形求解；过B作BM⊥x轴于M，由于∠EBF是由∠DBC旋转而得，所以这两角都是直角，那么∠EBF=∠ABM=90°，根据同角的余角相等可得∠EBA=∠FBM；易知BM=OA=AB=2，由此可证得△FBM≌△EBA，则AE=FM；CM的长易求得，关键是FM即AE的长；设抛物线的顶点为G，由于G点在线段AB的垂直平分线上，若过G作GH⊥AB，则GH是△ABE的中位线，G点的坐标易求得，即可得到GH的长，从而可求出AE的长，即可由CF=CM+FM=AE+CM求出CF的长；（3）由（2）的全等三角形易证得BE=BF，则△BEF是等腰直角三角形，其面积为BF平方的一半；△BFC中，以CF为底，BM为高即可求出△BFC的面积；可设CF的长为a，进而表示出FM的长，由勾股定理即可求得BF的平方，根据上面得出的两个三角形的面积计算方法，即可得到关于S、a的函数关系式，根据函数的性质即可求出S的最小值及对应的CF的长．解答：解：（1）由题意可得A（0，2），B（2，2），C（3，0），\n设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则，解得；（3分）∴抛物线的解析式为y=-+x+2；（1分）（2）设抛物线的顶点为G，则G（1，），过点G作GH⊥AB，垂足为H，则AH=BH=1，GH=-2=；∵EA⊥AB，GH⊥AB，∴EA∥GH；∴GH是△BEA的中位线，∴EA=2GH=；（2分）过点B作BM⊥OC，垂足为M，则BM=OA=AB；∵∠EBF=∠ABM=90°，∴∠EAB=∠FBM=90°-∠ABF，∴Rt△EBA≌Rt△FBM，可用证相似法∴FM=EA=；∵CM=OC-OM=3-2=A，∴CF=FM+CM=（2分）；（3）设CF=a，则FM=a-1或1-a，∴BF2=FM2+BM2=（a-1）2+22=a2-2a+5，∵△EBA≌△FBM，∴\nBE=BF，则S△BEF=BE•BF=（a2-2a+5），（1分）又∵S△BFC=FC•BM=×a×2=a，（1分）∴S=（a2-2a+5）-a=a2-2a+，即S=（a-2）2+；（1分）∴当a=2（在0＜a＜3范围内）时，S最小值=．（1分）46、（2010•常州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A、C，与y轴相较于点B，A（），且△AOB∽△BOC．（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y=ax2+bx+3的关系式；（2）在线段AC上是否存在点M（m，0）．使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形三种情况？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；二次函数综合题；等腰三角形的性质．专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论．分析：（1）由二次函数y=ax2+bx+3的解析式，首先求出B点坐标，然后由△AOB∽△BOC，根据相似三角形的对应边成比例，求出OC的长度，得出C点坐标；根据相似三角形的对应角相等得出∠OAB=∠OBC，从而得出∠ABC=90°；由y=ax2+bx+3图象经过点A（-，0），C（4，0），运用待定系数法即可求出此二次函数的关系式；（2）如果以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形，那么分三种情况讨论：①CP=CO；②PC=PO；③OC=OP．针对每一种情况，都应首先判断M点是否在线段AC上，然后根据相似三角形的对应边成比例求出m的值．\n解答：解：（1）由题意，得B（0，3），∵△AOB∽△BOC，∴∠OAB=∠OBC，∴=，∴=，∴OC=4，∴C（4，0）；∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠OBC+∠OBA=90°，∴∠ABC=90°；∵y=ax2+bx+3图象经过点A（-，0），C（4，0），∴，∴y=-x2+x+3．（2）①如图，当CP=CO时，点P在BM为直径的圆上，因为BM为圆的直径，∴∠BPM=90°，∴PM∥AB，∴△CPM∽△CBA，∴CM：CA=CP：CB，∴CM=5，∴m=4-5=-1；②如图，当PC=PO时，点P在OC垂直平分线上，得PC=2.5，由△CPM∽△CBA，得CM=，∴m=4-=；③当OC=OP时，M点不在线段AC上．综上所述，m的值为或-1．\n点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质，探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．47、（2010•常州）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．设AP=x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S面积的求法，梯形-2个三角形，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．考点：二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质．专题：综合题．分析：（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP=CQ求x即可；（2）连接EP、EQ，则EP=EQ，设BE=y，列出等式（8-x）2+y2=（6-y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．解答：解：（1）当PQ∥AD时，则∠A=∠APQ=90°，∠D=∠DQP=90°，又∵AB∥CD，\n∴四边形APQD是矩形，∴AP=QD，∵AP=CQ，AP=CD=，∴x=4．（2）如图，连接EP、EQ，则EP=EQ，设BE=y．∴（8-x）2+y2=（6-y）2+x2，∴y=．∵0≤y≤6，∴0≤≤6，∴≤x≤．（3）S△BPE=•BE•BP=••（8-x）=，S△ECQ==•（6-）•x=，∵AP=CQ，∴SBPQC=，∴S=SBPQC-S△BPE-S△EOQ=24--，整理得：S==（x-4）2+12（），∴当x=4时，S有最小值12，当x=或x=时，S有最大值．∴12≤x≤．48、\n（2010•滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A、B两点．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位．考点：二次函数综合题．分析：（1）过C作CE⊥AB于E，根据抛物线的对称性知AE=BE；由于四边形ABCD是菱形，易证得△OAD≌△EBC，则OA=AE=BE，可设菱形的边长为2m，则AE=BE=m，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出m的值，由此可确定A、B、C三点的坐标；（2）根据（1）题求得的三点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（3）设出平移后的抛物线解析式，将D点坐标代入此函数的解析式中或求出与Y轴的交点坐标，移动坐标间隔，即可求出平移后的函数解析式，与原二次函数解析式进行比较即可得到平移的单位．解答：解：（1）由抛物线的对称性可知AM=BM在Rt△AOD和Rt△BMC中，∵OD=MC，AD=BC，∴△AOD≌△BMC，∴OA=MB=MA，（1分）设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，，解得m=1；∴DC=2，OA=1，OB=3；∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，）；（4分）（2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+\n，代入A点坐标可得a=-，抛物线的解析式为y=-（x-2）2+；（7分）（3）设抛物线的解析式为y=-（x-2）2+k，代入D（0，）可得k=5，所以平移后的抛物线的解析式为y=-（x-2）2+5，（9分）平移了5-=4个单位．（10分）点评：此题考查了菱形的性质、全等三角形的性质、抛物线的对称性、勾股定理以及二次函数图象的平移，综合性较强，难度适中．49、（2010•荆门）已知：如图一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积SS△AEC-S△ABD；（3）以BC为直径作圆，与X轴的交点即是在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据直线BC的解析式，可求得点B的坐标，由于B、D都在抛物线的图象上，那么它们都满足该抛物线的解析式，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）根据抛物线的解析式，可求得E点的坐标，联立直线BC的解析式，可求得C点坐标；那么四边形BDEC的面积即可由△AEC、△ABD的面积差求得．（3）假设存在符合条件的P点，连接BP、CP，过C作CF⊥x轴于F，若∠BPC=90°，则△BPO∽△\nCPF，可设出点P的坐标，分别表示出OP、PF的长，根据相似三角形所得比例线段即可求得点P的坐标．解答：解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y=x2+bx+c，得：，得解析式y=x2-x+1．（3分）（2）设C（x0，y0），则有解得，∴C（4，3）（6分）由图可知：S=S△ACE-S△ABD，又由对称轴为x=可知E（2，0），∴S=AE•y0-AD×OB=×4×3-×3×1=．（8分）（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：可以BC的中点作圆，看是否与X轴有交点，可知相交，求出焦点坐标即可。当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；∵Rt△BOP∽Rt△PFC，∴，即，整理得a2-4a+3=0，解得a=1或a=3；∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），综上所述：满足条件的点P共有二个．（12分）点评：此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标及图形面积的求法、直角三角形的判定以及相似三角形的性质等，难度适中．\n50、（2010•成都）面积、相切几种情况在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（-3，0），若将经过A、C两点的直线y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x=-2．（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段AC上一点，设△ABP、△BPC的面积分别为S△ABP、S△BPC，且S△ABP：S△BPC=2：3，求点P的坐标；（3）设⊙Q的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切．考点：二次函数综合题．专题：分类讨论．分析：（1）根据“过A、C两点的直线y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点”，即可得到c-3=0，由此可得到C点的坐标，根据A、C的坐标即可求出直线AC的解析式；根据抛物线的对称轴及A、C的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由于△ABP和△BPC等高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，由此可求出AP、PC的比例关系，过P作x轴的垂线，通过构建的相似三角形的相似比即可求出P点的坐标；（3）①此题要分成两种情况讨论：一、⊙Q与x轴相切，可设出Q点的横坐标，根据抛物线的解析式表示出它的纵坐标，若⊙Q与x轴相切，那么Q点的纵坐标的绝对值即为⊙Q的半径1，由此可列方程求出Q点的坐标；二、⊙Q与y轴相切，方法同一；\n②若⊙Q与x、y轴都相切，那么Q点的横、纵坐标的绝对值相等，可据此列方程求出Q点的坐标，进而可得到⊙Q的半径．解答：（1）解：（1）∵y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，∴b=3，C（0，3）．将A（-3，0）代入y=kx+3，得-3k+3=0．解得k=1．∴直线AC的函数表达式为y=x+3．∵抛物线的对称轴是直线x=-2∴，解得；∴抛物线的函数表达式为y=x2+4x+3；（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D．∵S△ABP：S△BPC=2：3，∴∴|AP|：|PC|=2：3．过点P作PE⊥x轴于点E，∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO，∴，∴∴\n，解得∴点P的坐标为；（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在⊙Q与坐标轴相切的情况．设点Q的坐标为（x0，y0）．①当⊙Q与y轴相切时，有|x0|=1，即x0=±1．当x0=-1时，得y0=（-1）2+4×（-1）+3=0，∴Q1（-1，0）当x0=1时，得y0=12+4×1+3=8，∴Q2（1，8）②当⊙Q与x轴相切时，有|y0|=1，即y0=±1当y0=-1时，得-1=x02+4x0+3，即x02+4x0+4=0，解得x0=-2，∴Q3（-2，-1）当y0=1时，得1=x02+4x0+3，即x02+4x0+2=0，解得，∴，．综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为Q1（-1，0），Q2（1，8），Q3（-2，-1），，．（Ⅱ）设点Q的坐标为（x0，y0）．当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有y0=±x0．由y0=x0，得x02+4x0+3=x0，即x02+3x0+3=0，∵△=32-4×1×=-3＜0∴此方程无解．由y0=-x0，得x02+4x0+3=-x0，即x02+5x0\n+3=0，解得∴当⊙Q的半径时，⊙Q与两坐标轴同时相切．（12分）点评：此题是二次函数的综合题，主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定，三角形面积的求法，相似三角形的判定和性质以及直线与圆的位置关系等知识；需要注意的是（3）①所求的是⊙Q与坐标轴相切，并没有说明是x轴，还是y轴，因此要将所有的情况都考虑到，以免漏解．51实际问题与P无关，直到最后，但有几种情况不能遗漏。（2010•潍坊）如图所示，抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．以AB为直径作⊙M，过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，并与⊙M的切线AE相交于点E，连接DM并延长交⊙M于点N，连接AN、AD．（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；（2）若四边形EAMD的面积为，求直线PD的函数关系式；（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据A、B、C的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可用配方法求出其顶点坐标；（2）连接EM，过D作DF⊥x轴于F；由于ED、EA都是⊙O的切线，根据切线长定理可得EA=ED，易证得△EAM≌△EDM则它们的面积相等，由此可得到S△EAM=2，即可求出EA的长，也就得到了E点的坐标；在Rt△EAM中，根据EA、AM的值，即可求出∠EMA的度数，进而可求出∠DMF的度，从而在Rt△DMF中，通过解直角三角形求出MF、DF的长，由此求得D点坐标，用待定系数法即可求出直线DP的解析式；（需注意的是AE的长为正值，但是E点的纵坐标有正负两种情况，所以要分类讨论）（3）在△DAN中，由于DN是⊙M的直径，所以DM=MN，则△DAM和△MAN等底同高，所以面积相等，即△DAN的面积是△DAM的2倍；在（2）题中已经求出四边形EAMD的面积是△EAM的2倍，若四边形EAMD的面积等于△DAN的面积，则△DAM、△\nEAM的面积相等，这两个三角形共用底边AM，所以它们的高相同，由此可证得PD与x轴平行，即PD的解析式为y=±2，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标．解答：解：（1）、因为抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，设抛物线的函数关系式为：y=a（x+1）（x-3），∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），∴-3=a（0+1）（0-3），∴a=1，所以，抛物线的函数关系式为：y=x2-2x-3，（2分）又y=（x-1）2-4，因此，抛物线的顶点坐标为（1，-4）；（3分）（2）连接EM，∵EA、ED是⊙M的两条切线，∴EA=ED，EA⊥AM，ED⊥MD，∴△EAM≌△EDM，又四边形EAMD的面积为，∴S△EAM=2，∴AM•AE=2，又AM=2，∴AE=2，因此，点E的坐标为E1（-1，2）或E2（-1，-2），（5分）当E点在第二象限时，切点D在第一象限，在直角三角形EAM中，tan∠EAM===，∴∠EMA=60°，∴∠DMB=60°，过切点D作DF⊥AB，垂足为点F，\n∴MF=1，DF=，因此，切点D的坐标为（2，），（6分）设直线PD的函数关系式为y=kx+b，将E（-1，2），D（2，）的坐标代入得，解之，得：，所以，直线PD的函数关系式为，（7分）当E点在第三象限时，切点D在第四象限，同理可求：切点D坐标为（2，-），直线PD的函数关系式为，因此，直线PD的函数关系式为或；（8分）（3）若四边形EAMD的面积等于△DAN的面积，又S四边形EAMD=2S△EAM，S△DAN=2S△AMD，∴S△AMD=S△EAM，∴E、D两点到x轴的距离相等，∵PD与⊙M相切，∴点D与点E在x轴同侧，∴切线PD与x轴平行，此时切线PD的函数关系式为y=2或y=-2，（9分）当y=2时，由y=x2-2x-3得，x=1±；当y=-2时，由y=x2-2x-3得，x=1±，（11分）故满足条件的点P的位置有4个，分别是P1（1+，2）、P2（1-，2）、P3（1+，-2）、P4（1-，-2）．（12分）说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考本标准给出相应分数．\n点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、切线的性质、切线长定理、全等三角形的判定和性质、图形面积的求法等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，综合性强，难度较大．52与抛物线没多大关系，不要被迷惑，善用相似，同高、（2010•常德）如图，已知抛物线+bx+c与x轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标；（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；（2）根据抛物线的解析式可得出C点的坐标，易证得△ABC是直角三角形，则EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，则面积比等于底边比，由此可得出CF=2BF；易证得△BEF∽△BAC，根据相似三角形的性质，即可求得BE、AB的比例关系，由此可求出E点坐标；（3）PQ的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点横坐标为m，用m表示出P、Q的纵坐标，然后可得出PQ的长与m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ最大时，m的值，也就能求出此时P点的坐标．解答：解：（1）由题意，得：，解得；\n∴y=x2+x-2；（2）由（1）知：C（0，-2）；则AC2=AO2+OC2=20，BC2=BO2+OC2=5；而AB2=25=AC2+BC2；∴△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°；∵EF∥AC，∴EF⊥BC；∵S△CEF=2S△BEF，∴CF=2BF，BC=3CF；∵EF∥AC，∴；∵AB=5，∴BE=；OE=BE-OB=，故E（-，0）；（3）设P点坐标为（m，m2+m-2）；已知A（-4，0），C（0，-2），设直线AC的解析式为：y=kx-2，则有：-4k-2=0，k=-；∴直线AC的解析式为y=-x-2；∴Q点坐标为（m，-\nm-2）；则PQ=-m-2-（m2+m-2）=-m2-2m；∴当m=-2，即P（-2，-3）时，PQ最大，且最大值为2．故当P运动到OA垂直平分线上时，PQ的值最大，此时P（-2，-3）．点评：此题考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定和性质、三角形面积的求法、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识，综合性强，难度较大．53、（2010•郴州）如图（1），抛物线y=x2+x-4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y=x+b与抛物线交于点B、C．（1）求点A的坐标；（2）当b=0时（如图（2）），△ABE与△ACE的面积大小关系如何？当b＞-4时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题；三角形的面积；直角三角形全等的判定．专题：综合题．\n分析：（1）知道抛物线的解析式，要求与y轴的交点，令x=0就能求得．（2）当b=0时，直线为y=x，联立两方程式解得交点坐标，由三角形面积公式分别求出两三角形的面积．当b＞-4时，仍然联立方程解坐标，作BF⊥y轴，CG⊥y轴，垂足分别为F、G，解得BF和CG的值，再由面积公式求面积值．（3）由BF=CG，∠BEF=∠CEG，∠BFE=∠CGE=90°，可证△BEF≌△CEG，可知BE=CE，即E为BC的中点，当OE=CE时，△OBC为直角三角形，解三角形得到答案．解答：（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，-4），（2）当b=0时，直线为y=x，由，解得，．∴B、C的坐标分别为（-2，-2），（2，2），，∴S△ABE=S△ACE．当b＞-4时，仍有S△ABE=S△ACE成立．理由如下由，解得，．故B、C的坐标分别为（-，-+b），（，+b），作BF⊥y轴，CG⊥y轴，垂足分别为F、G，则，而△ABE和△ACE是同底的两个三角形，∴S△ABE=S△ACE．（3）存在这样的b，∵BF=CG，∠BEF=∠CEG，∠BFE=∠CGE=90°，∴△BEF≌△CEG，∴\nBE=CE，即E为BC的中点，∴当OE=CE时，△OBC为直角三角形．∵，∴，而OE=|b|，∴，解得b1=4，b2=-2，∴当b=4或-2时，△OBC为直角三角形．点评：本题主要考查二次函数的应用，是一道综合性很强的习题，做题需要细心．54、（2010•怀化）下图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b；（b＜1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．考点：二次函数综合题．分析：（1）由顶点坐标确定m、k的值，再令y=0求得图象与x轴的交点坐标；（2）设存在这样的P点，由于底边相同，求出△PAB的高|y|，将y求出代入二次函数表达式求得P点坐标；（3）画出翻转后新的函数图象，由直线y=x+b，b＜1确定出直线移动的范围，求出b的取值范围．\n解答：解；（1）因为M（1，-4）是二次函数y=（x+m）2+k的顶点坐标，所以y=（x-1）2-4=x2-2x-3令x2-2x-3=0，解之得x1=-1，x2=3．∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）（4分）（2）在二次函数的图象上存在点P，使设p（x，y），则，又，∴．∵二次函数的最小值为-4，∴y=5．当y=5时，x=-2或x=4．故P点坐标为（-2，5）或（4，5）（3）如图，求得直线与X轴的交点（-b，0），-1<-b<3当直线y=x+b（b＜1）经过A点时，可得b=1．当直线y=x+b（b＜1）经过B点时，可得b=-3由图可知符合题意的b的取值范围为-3＜b＜1．点评：本题考查了由函数图象确定坐标，以及给出面积关系求点的坐标和直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．55、（2010面积的求法，由P做X轴平行线法，由P做Y轴平行线法（本解法，也可用相似），梯形+EPC，梯形+BPF，后2法出现x的3次方,但整理会消去。前2种可用相似法•恩施土家族苗族自治州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的\n抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．考点：二次函数综合题．分析：（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．解答：解：（1）将B、C两点的坐标代入得（2分）解得：；所以二次函数的表达式为：y=x2-2x-3（3分）（2）存在点P，使四边形POPC为菱形；设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；连接PP′则PE⊥CO于E，∴OE=EC=∴y=；（6分）\n∴x2-2x-3=解得x1=，x2=（不合题意，舍去）∴P点的坐标为（，）（8分）（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），易得，直线BC的解析式为y=x-3则Q点的坐标为（x，x-3）；S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ===（10分）当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．（12分）点评：此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．56、（2010•红河哈尼族彝族自治州）二次函数y=x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．（1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式．（2）求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的图象；抛物线与x轴的交点．\n分析：（1）由平移规律求出新抛物线的解析式；（2）令y=0，求出x的值，即可得交点坐标．抛物线开口向上，当x的值在两交点之外y的值大于0．解答：解：画图如图所示：依题意得：y=（x-1）2-2=x2-2x+1-2=x2-2x-1∴平移后图象的解析式为：x2-2x-1（2）当y=0时，x2-2x-1=0（x-1）2=2∴平移后的图象与x轴交与两点，坐标分别为（，0）和（，0）由图可知，当x＜或x＞时，二次函数y=（x-1）2-2的函数值大于0．点评：主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．57、（2010•河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S面积的求法同55题、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）考虑全面，不能遗漏若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．\n考点：二次函数综合题．分析：（1）由待定系数法将三个坐标代入y=ax2+bx+c联立求解即可；（2）过M作x轴的垂线，设垂足为D，设出点M的坐标，即可表示出MD、OD的长，分别求出△AMD、梯形MDOB、△AOB的面积，那么△AMD、梯形MDOB的面积和减去△AOB的面积即为△AMB的面积，由此可得关于S、m的函数关系式，根据函数的性质即可求得S的最大值．（3）解决此题需要充分利用平行四边形的形求解；①如图1，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ=OB，而PQ是两个函数值的差，那么可得到的等量关系是：|-x-（x2+x-4）|=4，解得x=±4，由此可得Q（4，-4）或（-4，4）；②如图2，当OB为对角线时，那么P、Q的横坐标互为相反数（若P的横坐标为x，则Q的横坐标为-x），且P、O的纵坐标差的绝对值等于Q、B纵坐标差的绝对值，由此可得：x2+x-4=-[-（-x）-4]，即x2+4x-16=0，解得x=-2±，即Q（-2+，2-）或（-2-，2+）．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则有解得，∴抛物线的解析式为y=x2+x-4．（2）过点M作MD⊥x轴于点D，设M点的坐标为（m，n），则AD=m+4，MD=-n，n=m2+m-4，\n∴S=S△AMD+S梯形DMBQ-S△ABQ==-2n-2m-8=-2=-m2-4m（-4＜m＜0）；∴S最大值=4．（3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4），（-2+2，2-2），（-2-2，2+2）．点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数最值的应用以及平行四边形的判定和性质；此题的难点在于（3）题，需要熟练掌握平行四边形的性质，并且要考虑到各种情况才能做到不漏解．58、（2010•乐山）如图所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），连接AC，若tan∠OAC=2．（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC=90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如面积2种求法图所示，连接BC，M是线段BC上（不与B、C重合）的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？考点：二次函数综合题．\n分析：（1）已知了C点的坐标，即可得到OC的长，根据∠OAC的正切值即可求出OA的长，由此可得到A点的坐标，将A、C的坐标代入抛物线中，即可确定该二次函数的解析式；（2）根据抛物线的解析式即可确定其对称轴方程，由此可得到点P的横坐标；若∠APC=90°，则∠PAE和∠CPD是同角的余角，因此两角相等，则它们的正切值也相等，由此可求出线段PE的长，即可得到点P点的坐标；（用相似三角形求解亦可）（3）根据B、C的坐标易求得直线BC的解析式，已知了点M的横坐标为t，根据直线BC和抛物线的解析式，即可用t表示出M、N的纵坐标，由此可求得MN的长，以MN为底，B点横坐标的绝对值为高，即可求出△BNC的面积（或者理解为△BNC的面积是△CMN和△MNB的面积和），由此可得到关于S（△BNC的面积）、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得S的最大值及对应的t的值．解答：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点C（0，2），∴x=2；又∵tan∠OAC==2，∴OA=1，即A（1，0）；又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上，∴0=12+b×1+2，b=-3；∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2-3x+2；（2）存在．过点C作对称轴l的垂线，垂足为D，如图所示，∴x=-；∴AE=OE-OA=-1=，∵∠APC=90°，∴tan∠PAE=tan∠CPD，∴，即=，解得PE=或PE=，\n∴点P的坐标为（，）或（，）．（备注：可以用勾股定理或相似解答）（3）如图所示，易得直线BC的解析式为：y=-x+2，∵点M是直线l′和线段BC的交点，∴M点的坐标为（t，-t+2）（0＜t＜2），∴MN=-t+2-（t2-3t+2）=-t2+2t，∴S△BCM=S△MNC+S△MNB=MN▪t+MN▪（2-t），=MN▪（t+2-t）=MN=-t2+2t（0＜t＜2），∴S△BCN=-t2+2t=-（t-1）2+1，∴当t=1时，S△BCN的最大值为1．备注：如果没有考虑取值范围，可以不扣分．点评：此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的性质、解直角三角形、函数图象交点以及图形面积的求法等重要知识点；能够将图形面积最大（小）问题转换为二次函数的最值问题是解答（3）题的关键．59、（2010•徐州）如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．（1）点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（8，0）；（2等腰三角形，作另一边的垂直平分线。有3情况，勿遗漏）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？考点：二次函数综合题．\n分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0即得二次函数与y轴交点A的纵坐标，令y=0即得二次函数与x轴交点的横坐标．（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不确定，因此要分成三种情况讨论：①CD=DE，由于OD=3，OA=4，那么DA=DC=5，此时A点符合E点的要求，即此时A、E重合；②CE=DE，根据等腰三角形三线合一的性质知：E点横坐标为点D的横坐标加上CD的一半，然后将其代入直线AC的解析式中，即可得到点E的坐标；③CD=CE，此时CE=5，过E作EG⊥x轴于G，已求得CE、CA的长，即可通过相似三角形（△CEG∽△CAO）所得比例线段求得EG、CG的长，从而得到点E的坐标．（3）过P作x轴的垂线，交AC于Q，交x轴于H；设出点P的横坐标（设为m），根据抛物线和直线AC的解析式，即可表示出P、Q的纵坐标，从而可得到PQ的长，然后分两种情况进行讨论：①P点在第一象限时，即0＜m＜8时，可根据PQ的长以及A、C的坐标，分别表示出△APQ、△CPQ的面积，它们的面积和即为△APC的面积，由此可得到S的表达式，通过配方即可得到S的取值范围；②当P在第二象限时，即-2＜m＜0时，同①可求得△APQ、△CPQ的面积，此时它们的面积差为△APC的面积，同理可求得S的取值范围；根据两个S的取值范围，即可判断出所求的结论．解答：解：（1）在二次函数中令x=0得y=4，∴点A的坐标为（0，4），令y=0得：，即：x2-6x-16=0，∴x=-2和x=8，∴点B的坐标为（-2，0），点C的坐标为（8，0）．（2）易得D（3，0），CD=5，设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：\n，解得；∴y=-x+4；①当DE=DC时，∵OA=4，OD=3，∴DA=5，∴E1（0，4）；②当DE=EC时，可得E2（，）；③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD，则△CEG∽△CAO，∴，即EG=，CG=2，∴E3（8-2，）；综上所述，符合条件的E点共有三个：E1（0，4）、E2（，）、E3（8-2，）．（3）如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC与点Q；设P（m，-m2+m+4），则Q（m，-m+4）．①当0＜m＜8时，PQ=（-m2+m+4）-（-m+4）=-m2+2m，S=S△APQ+S△CPQ=×8×（-m2+2m）=-（m-4）2+16，∴0＜S≤16；②当-2＜m＜0时，PQ=（-m+4）-（-m2+m+4）=m2-2m，S=S△CPQ-S△APQ=×8×（m2-2m）=（m-4）2-16，\n∴0＜S＜20；故当S=16时，相应的点P有且只有两个．点评：此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、等腰三角形的构成条件、图形面积的求法等知识，（3）题的解题过程并不复杂，关键在于理解题意．60、（2010•昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）以先忽略抛物线，当纯几何题做，最后求交点OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果可保留根号）考点：二次函数综合题；切线的性质．分析：（1）设抛物线的一般式，将O、A、B三点坐标代入解析式，解方程组即可；（2）存在这样的点P，设满足条件的切线l与x轴交于点B，与⊙M相切于点C，连接MC，过C作CD⊥x轴于D，在Rt△BMC中，CM为半径，∠CBM=30°，可求BM，从而可求B点坐标，在Rt△CDM中，∠CMD=60°，CM为半径，可求CD、DM，OD=OM--DM，可确定C点坐标，根据“两点法”求直线BC解析式，联立直线解析式、抛物线解析式，解方程组可求P点坐标，根据图形的对称性求另外两点坐标．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0）由题意得：（1分）解得：（2分）\n∴抛物线的解析式为：（3分）（2）存在（4分）抛物线的顶点坐标是，作抛物线和⊙M（如图），设满足条件的切线l与x轴交于点B，与⊙M相切于点C连接MC，过C作CD⊥x轴于D∵MC=OM=2，∠CBM=30°，CM⊥BC∴∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4，∴B（-2，0）在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°∴DM=1，CD==∴C（1，）设切线l的解析式为：y=kx+b（k≠0），点B、C在l上，可得：解得：∴切线BC的解析式为：∵点P为抛物线与切线的交点由解得：∴点P的坐标为：，；∵抛物线=239x2-839x的对称轴是直线x=2此抛物线、⊙M都与直线x=2成轴对称图形于是作切线l关于直线x=2的对称直线l′（如图）得到B、C关于直线x=2的对称点B1、C1\n直线l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线x=2的对称点：，即为所求的点；∴这样的点P共有4个：，，，．点评：本题考查了抛物线、直线解析式的求法，圆的切线的性质，30°直角三角形的性质．61、（2010•陕西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点平行四边形，两个顶点点可以是边，也可以是对角线Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标．考点：二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式．专题：分类讨论．分析：（1）设出抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，由于抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点，把三点代入表达式，联立解方程组，求出a、b、c．（2）要分类讨论AB是边还是对角线两种情况，AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可，进而求出P点坐标，当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，进而求出P点坐标．解答：解：（1）设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c根据题意，得：，解之得，∴所求抛物线的表达式为y=x2-x-1．（2）①AB为边时，只要PQ∥\nAB且PQ=AB=4即可．又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1，P2．而当x=4时，y=；当x=-4时，y=7，此时P1（4，）、P2（-4，7）．②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1，∴点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3．而且当x=2时y=-1，此时P3（2，-1），综上，满足条件的P为P1（4，）、P2（-4，7）、P3（2，-1）．点评：本题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定，分类讨论的思想，此题不是很难，但是做题时要考虑周全．62、（2010•内江）如图，抛物线y=mx2-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；（2）经探究可知，△BCM面积的求法，相似法，或用本方法与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否直角三角形的三个角都可能是直角，勿漏解存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：\n（1）将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到顶点M的坐标；抛物线的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐标．（2）易求得C点坐标，即可得到OC的长，以AB为底，OC为高，即可求出△ABC的面积；△BCM的面积无法直接求得，可用割补法求解，过M作MD⊥x轴于D，根据B、C、M四点坐标，可分别求出梯形OCMD、△BDM的面积，它们的面积和减去△BOC的面积即为△BCM的面积，进而可得到△ABC、△BCM的面积比．（3）首先根据B、C、M的坐标，求出BC2、BM2、CM2的值，由于△BCM中，B、C、M都有可能是直角顶点，所以要分三种情况讨论：①∠BCM=90°，②∠BMC=90°，③∠MBC=90°，在上述三种不同的直角三角形中，利用勾股定理可求得m的值，进而可确定抛物线的解析式．解答：解：（1）∵y=mx2-2mx-3m=m（x2-2x-3）=m（x-1）2-4m，∴抛物线顶点M的坐标为（1，-4m）；（2分）∵抛物线y=mx2-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，∴当y=0时，mx2-2mx-3m=0，∵m＞0，∴x2-2x-3=0；解得x1=-1，x2=3，∴A、B两点的坐标为（-1，0）、（3，0）．（4分）（2）当x=0时，y=-3m，∴点C的坐标为（0，-3m）．∴（5分）过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=1，BD=OB-OD=2，MD=|-4m|=4m．∴S△BCM=S△BDM+S梯形OCMD-S△OBC===3m．（7分）∴S△BCM：S△ABC=1：2．（8分）（3）存在使△\nBCM为直角三角形的抛物线；过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为Rt△，CN=OD=1，DN=OC=3m，∴MN=DM-DN=m．∴CM2=CN2+MN2=1+m2；在Rt△OBC中，BC2=OB2+OC2=9+9m2，在Rt△BDM中，BM2=BD2+DM2=4+16m2；①如果△BCM是Rt△，且∠BMC=90°，那么CM2+BM2=BC2，即1+m2+4+16m2=9+9m2，解得，∵∴存在抛物线y=x2-x-使得△BCM是Rt△；（10分）②如果△BCM是Rt△，且∠BCM=90°，那么BC2+CM2=BM2，即9+9m2+1+m2=4+46m2，解得m=±1，∵m＞0，∴m=1；∴存在抛物线y=x2-2x-3，使得△BCM是Rt△；③如果△BCM是Rt△，且∠CBM=90°，那么BC2+BM2=CM2，即9+9m2+4+16m2=1+m2，整理得，此方程无解；∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在；综上所述，存在抛物线y=x2-x-和y=x2-2x-3，使得△BCM是Rt△．（12分）点评：此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法、勾股定理、直角三角形的判定等知识；需要注意的是（3）题中，由于直角三角形的直角顶点不确定，一定要分类讨论，以免漏解．\n63、（2010•大田县）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B（2，0）和点C（0，8），且它的对称轴是直线x=-2．（1）求抛物线与x轴的另一交点A的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）连接AC，BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A，点B）不重合，过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；（4）在（3）的基础上试说明S面积之比等于边之比是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状，若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；相似三角形的判定与性质．专题：综合题．分析：（1）知道对称轴了和x轴上另一点，就能求出该点．（2）知道两点坐标和对称轴就能求出抛物线的解析式．（3）依题意，AE=m，则BE=8-m，由题意可知△BEF∽△BAC，求出EF，过点F作FG⊥AB，垂是为G，则Sin∠FEG=Sin∠CAB，进而求出FG，由S=S△BCE-S△BFE，进而求得S与m之间的函数关系式．（4）由S与m之间的函数关系式，求得S的最大值，算出点E坐标，判断三角形的形状．解答：（1）∵抛物线y=ax2+bx+C的对称轴是直线x=-2，∴由对称性可得A点的坐标为（-6，0），（2）∵点C（0，8）在抛物线y=ax2+bx+C的图象上∴C=8．将A（-6，0），B（2，0）代入表达式得．解得，∴所求解析式为y=x2-\nx+8．（3）依题意，AE=m，则BE=8-m，∵OA=6，OC=8∴AC=10，∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC，∴即EF=，过点F作FG⊥AB，垂是为G，则sin∠FEG=sin∠CAB=，∴∴FG=×=8-m，∴S=S△BCE-S△BFE．=（8-m）×8-（8-m）（8-m）=-m2+4m，（4）存在．理由如下：∵S=-m2+4m=-（m-4）2+8且-＜0，∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8，∵m=4，∴点E的坐标为（-2，0），∴△BCE为等腰三角形．点评：本题是二次函数的综合题，涉及到求抛物线的表达式和求最值等知识点，题不是很难，但要注意细节．64、（2010•东营）如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．考点：二次函数综合题．\n分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；（2）设抛物线与x轴的另一交点为C，根据（1）所得的函数解析式即可求得A、B、C的坐标；在△ABP中，AB的长为定值，若三角形的周长最小，那么AP+BP的长最小；由于A、C关于抛物线的对称轴对称，若连接BC，那么BC与对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线的对称轴方程，即可求得P点的坐标．解答：解：（1）根据题意，得（2分）解得（3分）∴二次函数的表达式为y=x2-4x-5．（4分）（2）令最短距离的典型解法，与抛物线有关吗y=0，得二次函数y=x2-4x-5的图象与x轴的另一个交点坐标C（5，0）；（5分）由于P是对称轴x=2上一点，连接AB，由于，要使△ABP的周长最小，只要PA+PB最小；（6分）由于点A与点C关于对称轴x=2对称，连接BC交对称轴于点P，则PA+PB=BP+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得PA+PB的最小值为BC；因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点；（8分）设直线BC的解析式为y=kx+b，根据题意可得解得所以直线BC的解析式为y=x-5；（9分）因此直线BC与对称轴x=2的交点坐标是方程组的解，解得所求的点P的坐标为（2，-3）．（10分）点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定以及轴对称性质的应用，能够正确的确定P点的位置时解答此题的关键．\n65、（2010•绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（-4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D、E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在最短距离的典型解法直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．考点：二次函数综合题．分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，进而可用配方法求出其顶点D的坐标；（2）根据抛物线的解析式可求出C点的坐标，由于CD是定长，若△CDH的周长最小，那么CH+DH的值最小，由于EF垂直平分线段BC，那么B、C关于直线EF对称，所以BD与EF的交点即为所求的H点；易求得直线BC的解析式，关键是求出直线EF的解析式；由于E是BC的中点，根据B、C的坐标即可求出E点的坐标；可证△CEG∽△COB，根据相似三角形所得的比例线段即可求出CG、OG的长，由此可求出G点坐标，进而可用待定系数法求出直线EF的解析式，由此得解；（3）过K作x轴的垂线，交直线EF于N；设出K点的横坐标，根据抛物线和直线EF的解析式，即可表示出K、N的纵坐标，也就能得到KN的长，以KN为底，F、E横坐标差的绝对值为高，可求出△KEF的面积，由此可得到关于△KEF的面积与K点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出其面积的最大值及对应的K点坐标．解答：解：（1）由题意，得解得\n，b=-1．所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（-1，）．（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连接BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH+CH最小，即最小为：DH+CH=DH+HB=BD=；而；∴△CDH的周长最小值为CD+DR+CH=；设直线BD的解析式为y=k1x+b，则解得，b1=3；所以直线BD的解析式为y=x+3；由于BC=2，CE=BC=，Rt△CEG∽△COB，得CE：CO=CG：CB，所以CG=2.5，GO=1.5，G（0，1.5）；同理可求得直线EF的解析式为y=x+；联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）；（3）设K（t，），xF＜t＜xE、过K作x轴的垂线交EF于N；则KN=yK-yN=-（t+）=-；所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=KN（t+3）+KN（1-t）=2KN=-t2-3t+5=-（t+）2+；即当t=-时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（-，）点评：此题是二次函数的综合类试题，考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积的求法、二次函数的应用等知识，难度较大．\n66、（126）（2010•孝感）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上．（1）二次函数的解析式为y=y=x2-x+1；（2）证明点（-m，2m-1）不在（1）中所求的二次函数的图象上；（3）若C为线段AB的中点，过C点作CE⊥x轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点．①y轴上存在点K，使以K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是（0，5）或（0，-3）；②二次函数的图象上是否存在点p，使得S三角形POE=2S三角形ABD？求出P点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）由二次函数图象的顶点坐标为（2，0），故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式．（2）把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，求根的判别式．（3）由直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，解得A、B两点坐标，求出D点坐标，①设K点坐标（0，a），使K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则BA=DK，且BA∥DK，进而求出K点的坐标．②过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，求得B点坐标，可得到S三角形ABD=2S三角形ACD，设P（x，x2-x+1），由题意可以解出x．\n解答：解：（1）解：y=x2-x+1，（2）证明：设点（-m，2m-1）在二次函数y=x2-x+1的图象上，则有：2m-1=m2+m+1，整理得m2-4m+8=0，∵△=（-4）2-4×8=-16＜0∴原方程无解，∴点（-m，2m-1）不在二次函数y=x2-x+1的图象上．（3）解：①K（0，5）或（0，-3）②二次函数的图象上存在点P，使得S三角形POE=2S三角形ABD，如图，过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，∴OE=EF，由于y=x2-x+1和y=x+1可求得点B（8，9）∴E（4，0），D（4，1），C（4，5），∴AD∥x轴，∴S三角形ABD=2S三角形ACD=同高等底2××4×4=16．设P（x，x2-x+1），由题意有：S三角形POE=×4（-x+1）=x2-2x+2，∵S三角形POE=2S三角形ABD∴x2-2x+2=32解得x=-6或x=10，当x=-6时，y=×36+6+1=16，当x=10时，y=×100-10+1=16，∴存在点P（-6，16）和P（10，16），使得S三角形POE=2S三角形ABD得到△POE的边OE上的高为16，即点P的纵坐标为16，然后由16=x2-x+1可求出P点坐标．点评：本题二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式和两图象的交点，会判断点是否在直线上，本题步骤有点多，做题需要细心．\n67、（2010•镇江）已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点．（1）求C1的顶点坐标；（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（-3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；（3）若P（n，y1），Q（2，y2）是C1上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．分析：（1）由于二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点，那么顶点的纵坐标为0，由此可以确定m．（2）首先设所求抛物线解析式为y=（x+1）2+k，然后把A（-3，0）代入即可求出k，也就求出了抛物线的解析式；（3）由于图象C1的对称轴为x=-1，所以知道当x≥-1时，y随x的增大而增大，然后讨论n≥-1和n≤-1两种情况，利用前面的结论即可得到实数n的取值范围．解答：（1）y=x2+2x+m=（x+1）2+m-1，对称轴为x=-1，∵与x轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0，∴C1的顶点坐标为（-1，0）；（2）设C2的函数关系式为y=（x+1）2+k，把A（-3，0）代入上式得（-3+1）2+k=0，得k=-4，∴C2的函数关系式为y=（x+1）2-4．∵\n抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）；（3）当x≥-1时，y随x的增大而增大，当n≥-1时，∵y1＞y2，∴n＞2．当n＜-1时，P（n，y1）的对称点坐标为（-2-n，y1），且-2-n＞-1，∵y1＞y2，∴-2-n＞2，∴n＜-4．综上所述：n＞2或n＜-4．点评：此题比较复杂，首先考查抛物线与x轴交点个数与其判别式的关系，接着考查抛物线平移的性质，最后考查抛物线的增减性．68、（2010•苏州）如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B、已知A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）设M（m，n）是抛物线上一点（m、n为正整数），且它位于对称轴右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边长度是四个连续的正整数，求M点的坐标；（3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是否总成立？请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：分类讨论．分析：\n（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将B点坐标代入求解即可；（2）由于M在抛物线的图象上，根据（1）所得抛物线的解析式即可得到关于m、n的关系式：n=（m-3）2，由于m、n同为正整数，因此m-3应该是3的倍数，即m应该取3的倍数，可据此求出m、n的值，再根据“以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数”将不合题意的解舍去，即可得到M点的坐标；（3）设出P点的坐标，然后分别表示出PA2、PB2、PM2的长，进而可求出关于PA2+PB2+PM2与P点纵坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PA2+PB2+PM2的最大（小）值，进而可判断出所求的结论是否恒成立．解答：解：（1）设y=a（x-3）2，把B（0，4）代入，得a=，∴y=（x-3）2；（2）解法一：∵四边形OAMB的四边长是四个连续的正整数，∴可能的情况有三种：1、2、3、4；2、3、4、5；3、4、5、6，∵M点位于对称轴右侧，且m，n为正整数，∴m是大于或等于4的正整数，∴MB＞4，∵AO=3，OB=4，∴MB只有两种可能，∴MB=5或MB=6，当m=4时，n=（4-3）2=（不是整数，舍去）；当m=5时，n=\n（不是整数，舍去）；当m=6时，n=4，MB=6；当m≥7时，MB＞6；因此，只有一种可能，即当点M的坐标为（6，4）时，MB=6，MA=5，四边形OAMB的四条边长分别为3、4、5、6．解法二：∵m，n为正整数，n=（m-3）2，∴（m-3）2应该是9的倍数，∴m是3的倍数，又∵m＞3，∴m=6，9，12，当m=6时，n=4，此时，MA=5，MB=6，∴当m≥9时，MB＞6，∴四边形OAMB的四边长不能是四个连续的正整数，∴点M的坐标只有一种可能（6，4）．（3）设关键求出表达式P（3，t），MB与对称轴交点为D，则PA=|t|，PD=|4-t|PM2=PB2=（4-t）2+9，∴PA2+PB2+PM2=t2+2[（4-t）2+9]=3t2-16t+50=3（t-）2+，∴当t=时，PA2+PB2+PM2有最小值；∴PA2+PB2+PM2＞28总是成立．点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定以及二次函数最值的应用，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．69、\n（2010•益阳）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点坐标分别为A（-2，0），B（6，0），C（0，3）．（1）求经过A、B、C三点抛物线解析式；（2）过求E点坐标最简单的方法是求出2线方程（易求的条件下），联立求解，C点作CD平行于x轴交抛物线于点D，写出D点坐标，并求AD、BC交点E坐标；（3）若抛物线顶点为P，连接PC、PD，四边形CPDE是否为菱形，并说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）由A、B、C三点的坐标适合抛物线的解析式，从而用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）联立直线AD、BC的解析式，求出交点E的坐标；（3）四边形CEDP为菱形，可根据P、C、E、D四点的坐标，证四边形CEDP的对角线互相垂直平分．解答：解：（1）由于抛物线经过点C（0，3），可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+3（a≠0），则，解得；∴抛物线的解析式为．（4分）（2）D的坐标为D（4，3），（5分）直线AD的解析式为，直线BC的解析式为，由求得交点E的坐标为（2，2）．（8分）（3）连接PE交CD于F，P的坐标为（2，4），又∵E（2，2），C（0，3），D（4，3），\n∴PF=EF=1，CF=FD=2，且CD⊥PE，∴四边形CEDP是菱形．（12分）点评：此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法以及菱形的判定方法，难度不大，细心求解即可．71、（2010•盐城）已知：函数y=ax2+x+1图象x轴只有一个公共点．（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；（3）在（2）中，若x轴与圆的另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）此题应分两种情况：①a=0，易遗漏此函数是一次函数，与x轴只有一个交点；②a≠0，此函数是二次函数，可由根的判别式求出a的值，以此确定其解析式；（2）设圆与x轴的另一个交点为C，连接PC，由圆周角定理知PC⊥BC；由于PB是圆的直径，且AB切圆于B，得PB⊥AB，由此可证得△PBC∽△\nBAO，根据两个相似三角形的对应直角边成比例，即可得到PC、BC的比例关系，可根据这个比例关系来设P点的坐标，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标；（3）连接CM，设CM与PB的交点为Q，由于C、M关于直线PB对称，那么PB垂直平分CM，即CQ=QM；过M作MD⊥x轴于D，取CD的中点E，连接QE，则QE是Rt△CMD的中位线；在Rt△PCB中，CQ⊥OB，QE⊥BC，易证得∠BQE、∠QCE都和∠CPQ相等，因此它们的正切值都等于（在（2）题已经求得）；由此可得到CE=2QE=4BE，（2）中已经求出了CB的长，根据CE、BE的比例关系，即可求出BE、CE、QE的长，由此可得到Q点坐标，也就得到M点的坐标，然后将点M代入抛物线的解析式中进行判断即可．解答：解：（1）当a=0时，y=x+1，图象与x轴只有一个公共点（1分）当a≠0时，△=1-4a=0，a=，此时，图象与x轴只有一个公共点．∴函数的解析式为：y=x+1或y=x2+x+1；（3分）（2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x轴于点C；∵y=ax2+x+1是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y=x2+x+1，∴顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点坐标为A（0，1）（4分）∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B∴PB⊥AB则∠PBC=∠BAO∴Rt△PCB∽Rt△BOA∴=，故PC=2BC，（5分）设P点的坐标为（x，y），∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x＜-2∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x，P点的坐标为（x，-4-2x）\n∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，∴-4-2x=x2+x+1（6分）解之得：x1=-2，x2=-10∵x＜-2，∴x=-10，∴P点的坐标为：（-10，16）（7分）（3）点M不在抛物线y=ax2+x+1上（8分）由（2）知：C为圆与x轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x轴∴∠QCE=∠EQB=∠CPB∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE=∴Q点的坐标为（-，）可求得M点的坐标为（，）（11分）∵++1=≠∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax2+x+1上．（12分）（其它解法，仿此得分）点评：此题是二次函数的综合题，涉及到一次函数、二次函数解析式的确定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，三角形中位线定理，解直角三角形的应用等重要知识，需要特别注意的是（1）题所求的是函数y=ax2+x+1，而没有明确是一次函数还是二次函数，所以要把两种情况都考虑到，以免漏解．\n72、如图，平面直角系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（-8，0），点N的坐标为（-6，-4）．（1）、画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图像OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；（2）、求出过A、B、C三点的抛物线的表达式；（3）、试求不规则四边形对角线交点的最简单方法是求出2线之方程，联立求解设计一种平移使（2）中抛物线经过四边形OABC对角线交点；（4）、截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，四边形BEFG是否存在邻边相等情况？若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）由于直角梯形OMNH绕点O旋转180°后得到图形OABC，因此梯形OMNH和梯形OABC是中心对称图形，且对称中心为原点O，所以点A、B、C与点M、N、H关于原点对称，即可求出点A、B、C的坐标；（2）已知了抛物线图象上A、B、C三点的坐标，可利用待定系数法求出该抛物线的解析式；（3）可先求出直线OB、AC的解析式，联立两条直线的解析式即可求得它们的交点坐标；若使（2）所得抛物线经过此交点，那么平移方法有很多种，以该抛物线顶点经过此交点为例，首先将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到其顶点坐标，然后分别求出这两点横、纵坐标的差，根据“上加下减，左加右减”的平移规律来确定平移方案即可；（4）过B作BM⊥x轴于M，易求得MC、BM、BC的值，即可得到表示出EM的长，然后分别表示出BE2、EF2、GF2、BG2的值，由于不确定四边形BEFG的哪两条邻边相等，因此分：①BG=GF，②BE=BG，③BE=EF，④GF=EF；四种情况进行讨论，根据各自的等量关系，列出不同的关于m的方程求出m的值．\n解答：解：（1）利用中心对称性质，画出梯形OABC．∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）；（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为y=ax2+bx+c，∵抛物线过点A（0，4），∴c=4．则抛物线关系式为y=ax2+bx+4．将B（6，4），C（8，0）两点坐标代入关系式，得解得所求抛物线关系式为：；（2分）（3）由得，它的顶点是（3，）又直线OB的解析式是y=x，直线AC的解析式是y=，两直线的交点是（）；故-3=，-=-；所以，只要把抛物线向左平移，向下平移个单位就能使顶点过梯形ABCO的对角线交点；（4）OA=4，OC=8，∴AF=4-m，OE=8-m．过B作BM⊥x轴于M，则：BM=OA=4，MC=OC-AB=2；∴EM=m-2或2-m，即ME2=（m-2）2；在Rt△BEM中，BM=4，ME2=（m-2）2；根据勾股定理得：BE2=BM2+ME2=m2-4m\n+20；同理：EF2=2m2-16m+64，GF2=2m2-8m+16，而BG=6-m，即BG2=m2-12m+36；则：①GB=GF，则GB2=GF2，得：m2-12m+36=2m2-8m+16，即m2+4m-20=0，解得m=-2±2（负值舍去）；故当时，GB=GF，②BE=BG，则BE2=BG2，得：m2-4m+20=m2-12m+36，解得m=2；故当m=2时，BE=BG．③BE=EF，则BE2=EF2，得：m2-4m+20=2m2-16m+64，即m2-12m+44=0，此方程无解，故此种情况不成立．④GF=EF，则GF2=EF2，得：2m2-8m+16=2m2-16m+64，解得m=6，此时BG=6-m=0，构不成四边形BEFG，故此种情况不成立．综上所述，当时，GB=GF，当m=2时，BE=BG．点评：此题考查了中心对称图形的性质、二次函数解析式的确定、函数图象的平移、勾股定理的应用等知识．要注意的（4）题，由于四边形的相等邻边没有明确告知，需要分类讨论，以免漏解．\n73、（2010•济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线解析式；（2）过点B作线段AB垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知面积的求法，相似或直线方程点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点坐标和△PAC的最大面积．考点：二次函数综合题．分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，即可得出C到l的距离，那么关键是求C到直线BD的距离，即⊙C的半径长；设BD与⊙C的切点为E，连接CE，由于∠ABD=90°，易证得△AOB∽△BEC，根据相似三角形得出的对应成比例线段即可求出CE的长；然后比较CE与C到l的距离，如果CE大于C到l的距离，则l与⊙C相交；若等于，则相切；若小于，则相离．（3）过P作y轴的垂线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标．解答：解：（1）设抛物线为y=a（x-4）2-1∵抛物线经过点A（0，3），∴3=a（0-4）2-1，；\n∴抛物线为；（3分）（2）l与⊙C相交．（4分）证明：当时，x1=2，x2=6．∴B为（2，0），C为（6，0）；∴；设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则∠BEC=90°=∠AOB．∵∠ABD=90°，∴∠CBE=90°-∠ABO；又∵∠BAO=90°-∠ABO，∴∠BAO=∠CBE；∴△AOB∽△BEC；∴；∴；∴；（6分）∵抛物线的对称轴l为x=4，∴C点到l的距离为2；∴抛物线的对称轴l与⊙C相交．（7分）（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为；（8分）设P点的坐标为（m，），则Q点的坐标为（m，）；∴PQ=-m+3-（-m2-2m+3）=-m2+m．∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×（-m2+\nm）×6=-（m-3）2+；∴当m=3时，△PAC的面积最大为；此时，P点的坐标为（3，）．（10分）点评：此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识．74开面积分类讨论先河、（2010•威海）（1）探究新知：①如图1，已知AD∥BC，AD=BC，点M，N是直线CD上任意两点．求证：△ABM与△ABN的面积相等．②如图2，已知AD∥BE，AD=BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点，试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．（2）结论可用作平行线，然后相似应用：如图3，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D，试探究在抛物线y=ax2+bx+c否存在除点C以外点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：分类讨论．\n分析：（1）①由于CD∥AB，所以△ABM和△ABN中，AB边上的高相等，则两个三角形是同底等高的三角形，所以它们的面积相等；②分别过D、E作AB的垂线，设垂足为H、K；通过证△DAH≌△EBK，来得到DH=KE；则所求的两个三角形是同底等高的三角形，由此得证；（2）根据A、C的坐标，即可求得抛物线的解析式，进而可求出A、D的解析式；用待定系数法可确定直线AD的解析式；假设存在符合条件的E点，过C作CD⊥x轴于D，交直线AD于H；过E作EF⊥x轴于F，交直线AD于P；根据抛物线的对称轴方程及直线AD的解析式，易求得H点的坐标，即可得到CH的长；设出E点横坐标，根据直线AD和抛物线的解析式，可表示出P、E的纵坐标，即可得到PE的长；根据（1）题得到的结论，当PE=CH时，所求的两个三角形面积相等，由此可列出关于E点横坐标的方程，从而求出E点的坐标．（需注意的是E点可能在直线AD的上方或下方，这两种情况下PE的表达式会有所不同，要分类讨论）解答：证明：（1）①分别过点M，N作ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形；∴AB∥CD；∴ME=NF；∵S△ABM=，S△ABN=，∴S△ABM=S△ABN（1分）②解：相等；理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K；则∠DHA=∠EKB=90°；∵AD∥BE，∴∠DAH=∠EBK；∵AD=BE，∴△DAH≌△EBK；\n∴DH=EK；（2分）∵CD∥AB∥EF，∴S△ABM=，S△ABG=，∴S△ABM=S△ABG；（3分）解：（2）存在．（4分）因为抛物线的顶点坐标是C（1，4），所以，可设抛物线的表达式为y=a（x-1）2+4；又因为抛物线经过点A（3，0），所以将其坐标代入上式，得0=a（3-1）2+4，解得a=-1；∴该抛物线的表达式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3；（5分）∴D点坐标为（0，3）；设直线AD的表达式为y=kx+3，代入点A的坐标，得0=3k+3，解得k=-1；∴直线AD的表达式为y=-x+3；过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H；则H点的纵坐标为-1+3=2；∴CH=CG-HG=4-2=2；（6分）设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为-m2+2m+3；过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为3-m，EF∥CG；由﹙1﹚可知：若EP=CH，则△ADE与△ADC的面积相等；①若E点在直线AD的上方，则PF=3-m，EF=-m2+2m+3，∴EP=EF-PF=-m2+2m+3-（3-m）=-m2+3m；∴-m2+3m=2，解得m1=2，m2\n=1；（7分）当m=2时，PF=3-2=1，EF=1+2=3；∴E点坐标为（2，3）；同理当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合；（8分）②若E点在直线AD的下方，则PE=（3-m）-（-m2+2m+3）=m2-3m；（9分）∴m2-3m=2，解得，；（10分）当时，E点的纵坐标为；当时，E点的纵坐标为；∴在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；E2（，-）；E3（，）．（12分）点评：此题主要考查了平行线的性质、三角形面积的求法、全等三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法等知识；同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求高，难度较大．75、（2010•杭州）在平面直角坐标系xOy中，抛物线解析式是y=+1，点C的坐标为（-4，0），平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q（x，y）在抛物线上，点P（t，0）在x轴上．（1）写出点M的\n坐标；（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值．考点：二次函数综合题；平行四边形的性质；梯形；相似三角形的判定与性质．专题：综合题；压轴题；分类讨论．分析：（1）由于四边形ABCO是平行四边形，那么对边AB和OC相等，由此可求出AB的长，由于A、B关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，由此可得到A、B的横坐标，将它们代入抛物线的解析式中即可求出A、B的坐标，也就得到了M点的坐标；（2）①根据C、M的坐标，易求得OM、OC的长；过Q作QH⊥x轴于H，易证得△HQP∽△OMC，根据相似三角形得到的比例线段，即可求出t、x的函数关系式；在求自变量的取值范围时，可参考两个方面：一、P、C重合时，不能构成四边形PCMQ；二、Q与B或A重合时，四边形PCMQ是平行四边形；只要x不取上述两种情况所得的值即可；②由于CM、PQ的长不确定，因此要分类讨论：一、CM＞PQ，则CM：PQ=2：1，由（2）的相似三角形知OM=2QH，即M点纵坐标为Q点纵坐标的2倍，由此可求得t的值；二、CM＜PQ，则CM：PQ=1：2，后同一．解答：解：（1）∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB=OC=4，∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，∴A，B的横坐标分别是2和-2，代入y=+1得，A（2，2），B（-2，2），∴M（0，2），（2分）（2）①过点Q作QH⊥x轴，设垂足为H，则HQ=y，HP=x-t，由△HQP∽△OMC，得：=，即：t=x-2y，∵Q（x，y）在y=+1上，∴t=-\n+x-2．（2分）当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t=-4，解得x=1±，当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x=±2∴x的取值范围是x≠1±，且x≠±2的所有实数；（2分）②分两种情况讨论：1）当CM＞PQ时，则点P在线段OC上，∵CM∥PQ，CM=2PQ，∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2=2（+1），解得x=0，∴t=-+0-2=-2；（2分）2）当CM＜PQ时，则点P在OC的延长线上，∵CM∥PQ，CM=PQ，∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2×2，解得：x=±2；（2分）当x=-2时，得t=--2-2=-8-2，当x=2时，得t=2-8．（2分）点评：此题主要考查了平行四边形的性质、抛物线的对称性、梯形的判定和性质以及相似三角形的性质等知识的综合应用能力．76重叠面积分类讨论、（2010•嘉兴）如图，已知抛物线y=-x2+x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y=x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；\n（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．考点：二次函数综合题．分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0可求出B点的坐标，令y=0可求出A点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）可分别求出当点P、点Q在直线AB上时x的值，即可得到所求的x的取值范围；（3）此题首先要计算出一个关键点：即直线AB过E、F时x的值（由于直线AB与直线OP垂直，所以直线AB同时经过E、F），此时点E的坐标为（x，），代入直线AB的解析式即可得到x=；①当2≤x＜时，直线AB与PE、PF相交，设交点为C、D；那么重合部分的面积为正方形QEPF和等腰Rt△PDC的面积差，由此可得到关于S、x的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出S的最大值及对应的x的值；②当≤x≤4时，直线AB与QE、QF相交，设交点为M、N；此时重合部分的面积为等腰Rt△QMN的面积，可参照①的方法求出此时S的最大值及对应的x的值；综合上述两种情况，即可比较得出S的最大值及对应的x的值．解答：解：（1）令y=0，得-x2+x+4=0，即x2-2x-8=0；解得x=-2，x=4；所以A（4，0）；令x=0，得y=4，所以B（0，4）；设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：，解得\n；所以直线AB的解析式为y=-x+4；（2）当P（x，x）在直线AB上时，x=-x+4，解得x=2；当Q（，）在直线AB上时，=-+4，解得x=4；所以正方形PEQF与直线AB有公共点，且2≤x≤4；（3）当点E（x，）在直线AB上时，（此时点F也在直线AB上）=-x+4，解得x=；①当2≤x＜时，直线AB分别与PE、PF有交点，设交点分别为C、D；此时PC=x-（-x+4）=2x-4，又PD=PC，所以S△PCD=PC2=2（x-2）2；从而S=x2-2（x-2）2=-x2+8x-8=-（x-）2+；因为2≤＜，所以当x=时，Smax=；②当≤x≤4时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N；此时QN=（-+4）-=-x+4，又QM=QN，所以S△QMN=QN2=（x-4）2，即S=（x-4）2；当x=时，Smax=；综合①②得：当x=时，Smax=．点评：此题考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法、一次函数解析式的确定、正方形的性质、图形面积的求法以及二次函数的应用等知识，综合性强，难度较大．\n77、（2010•宁波）如图，已知二次函数y=-+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）二次函数图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点，两点代入y=-+bx+c，算出b和c，即可得解析式．（2）先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算值．解答：解：（1）把A（2，0）、B（0，-6）代入y=-+bx+c，得：解得，∴这个二次函数的解析式为y=-+4x-6．（2）∵该抛物线对称轴为直线x=-=4，∴点C的坐标为（4，0），∴AC=OC-OA=4-2=2，∴S△ABC=×AC×OB=×2×6=6．点评：本题是二次函数的综合题，要会求二次函数的对称轴，会运用面积公式．78、（2010•绍兴）如图，设抛物线C1：y=a（x+1）2-5，C2：y=-a（x-1）2+5，C1与C2的交点为A，B，点A的坐标是（2，4），点B的横坐标是-2．\n（1）求a的值及点B的坐标；（2）点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG．记过C2顶点M的直线为l，且l与x轴交于点N．①若l过△DHG的顶点G，点D的坐标为（1，2），求点N的横坐标；②若l与△DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围．考点：二次函数综合题．分析：（1）由于两个抛物线同时经过A、B两点，将A点坐标代入两个抛物线中，即可求得待定系数的值，进而可求出B点的坐标．（2）①已知了点D的坐标，即可求得正△DGH的边长，过G作GE⊥DH于E，易求得DE、EH、EG的长；根据（1）题所求得的C2的解析式，即可求出点M的坐标，也就能得到ME、MH的长，易证△MEG∽△MHN，根据相似三角形所得比例线段，即可求得N点的横坐标．②求点N横坐标的取值范围，需考虑N点横坐标最大、最小两种情况：①当点D、A重合，且直线l经过点G时，N点的横坐标最大；解法可参照（2）的思路，过点G作GQ⊥x轴于Q，过点M作MF⊥x轴于F，设出点N的横坐标，然后分别表示出NQ、NF的长，通过证△NQG∽△NFM，根据所得比例线段，即可求得此时N点的横坐标；②当点D、B重合，直线l过点D时，N点的横坐标最小，解法同①．解答：解：（1）∵点A（2，4）在抛物线C1上，∴把点A坐标代入y=a（x+1）2-5得a=1，∴抛物线C1的解析式为y=x2+2x-4，设B（-2，b），∴b=-4，∴B（-2，-4）；（2）①如图∵M（1，5），D（1，2），且DH⊥x轴，∴\n点M在DH上，MH=5，过点G作GE⊥DH，垂足为E，由△DHG是正三角形，可得EG=，EH=1，∴ME=4，设N（x，0），则NH=x-1，由△MEG∽△MHN，得，∴，∴x=，∴点N的横坐标为；②当点D移到与点A重合时，如图，直线l与DG交于点G，此时点N的横坐标最大；过点G，M作x轴的垂线，垂足分别为点Q，F，设N（x，0），∵A（2，4），∴G（，2），∴NQ=，NF=x-1，GQ=2，MF=5，∵△NGQ∽△NMF，∴，∴，∴，当点D移到与点B重合时，如图：直线l与DG交于点D，即点B，此时点N的横坐标最小；∵B（-2，-4），∴\nH（-2，0），D（-2，-4），设N（x，0），∵△BHN∽△MFN，∴，∴，∴，∴点N横坐标的范围为≤x≤．点评：此题是二次函数的综合题，主要考查二次函数解析式的确定、等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质；在解答（2）题时，关键是正确的作图，构造出与所求相关的相似三角形，然后利用相似三角形的性质来求解．79、（2010•温州）如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0），B（2，2）．连接OB，AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；（3）将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出△OA′B′的中点P的坐标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出抛物线的解析式；（2）过B作BC⊥x轴于C，根据A、B的坐标易求得OC=BC=AC=2，由此可证得∠BOC、∠BAC、∠OBC、∠ABC都是45°，即可证得△OAB是等腰直角三角形；（3）当△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°时，OB′正好落在y轴上，易求得OB、AB的长，即可得到OB′、A′B′的长，从而可得到A′、B′的坐标，进而可得到A′B′的中点P点的坐标，然后代入抛物线中进行验证即可．\n解答：解：（1）由题意得，解得；∴该抛物线的解析式为：y=-x2+2x；（2）过点B作BC⊥x轴于点C，则OC=BC=AC=2；∴∠BOC=∠OBC=∠BAC=∠ABC=45°；∴∠OBA=90°，OB=AB；∴△OAB是等腰直角三角形；（3）∵△OAB是等腰直角三角形，OA=4，∴OB=AB=2；由题意得：点A′坐标为（-2，-2）∴A′B′的中点P的坐标为（-，-2）；当x=-时，y=-×（-）2+2×（-）≠-2；∴点P不在二次函数的图象上．点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、等腰直角三角形的判定、图形的旋转变化等知识．80、（2010•聊城）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB=90°的点P的坐标．考点：二次函数综合题．\n分析：（1）根据抛物线的对称轴可求出B点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由于A、B关于抛物线的对称轴对称，若连接BC，那么BC与直线x=1的交点即为所求的点M；可先求出直线BC的解析式，联立抛物线对称轴方程即可求得M点的坐标；（3）若∠PCB=90°，可过C作直线l垂直于直线BC，那么直线l与抛物线对称轴的交点即为所求的P点；由于直线l与直线BC垂直，那么它们的斜率的积为-1，由此可求出直线l的解析式，即可得解．解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，且A（-1，0），∴B（3，0）；可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），由于抛物线经过C（0，-3），则有：a（0+1）（0-3）=-3，a=1；∴y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3；（2）由于A、B关于抛物线的对称轴x=1对称，那么P点为直线BC与x=1的交点；由于直线BC经过C（0，-3），可设其解析式为y=kx-3，则有：3k-3=0，k=1；∴直线BC的解析式为y=x-3；当x=1时，y=x-3=-2，即M（1，-2）；（3）设经过C点且与直线BC垂直的直线为直线l；∵直线BC：y=x-3，∴直线l的解析式为：y=-x-3；当x=1时，y=-x-3=-4；∴P（1，-4）．点评：此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及互相垂直的两直线的斜率关系等知识，难度适中．\n81、（2010•芜湖）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2xm．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：由特殊等腰直角三角形，设出直角边长，再表示其它各边边长，把金属框围成的面积用未知量x表示出来，转化为求函数最值问题，从而求出金属框围成的图形的最大面积．解答：解：根据题意可得，等腰直角三角形边长为m，矩形的一边长为2xm，其相邻边长为=，∴该金属框围成的面积S==-（）当x=时，金属围成的面积最大，此时矩形的一边长2x=（m），相邻边长为10-（2+）=（m），S最大=．点评：此题考查二次函数的性质及其应用，将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题，比较简单．82、（2010•南通）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于\nx的函数关系式；（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y=，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？考点：二次函数的最值；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质．分析：（1）利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；（2）把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；（3）∵∠DEF=90°，只有当DE=EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．解答：解：（1）∵EF⊥DE，∴∠BEF=90°-∠CED=∠CDE，又∠B=∠C=90°，∴△BEF∽△CDE，∴=，即=，解得y=；（2）m=8时，y=-x2+x，当x=时，y的值最大为；（3）∵∠DEF=90°，只有当DE=EF时，△DEF为等腰三角形，此时m=8-x，解方程=，得x=6或2，故m=2或6．点评：本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等，建立函数关系式．83、（2010•株洲）如图，直角△ABC中，∠C=90°，，，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连接AP．（1）求AC、BC\n的长；（2）设PC的长为x，△ADP的面积为y．当x为何值时，y最大，并求出最大值．考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：综合题．分析：（1）在Rt△ABC中，根据∠B的正弦值及斜边AB的长，可求出AC的长，进而可由勾股定理求得BC的长；（2）由于PD∥AB，易证得△CPD∽△CBA，根据相似三角形得出的成比例线段，可求出CD的表达式，也就求出AD的表达式，进而可以AD为底、PC为高得出△ADP的面积，即可求出关于y、x的函数关系式，根据所得函数的性质，可求出y的最大值及对应的x的值．解答：解：（1）在Rt△ABC中，，，得，∴AC=2，根据勾股定理得：BC=4；（3分）（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴；设PC=x，则，，∴∴当x=2时，y的最大值是1．（8分）点评：此题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识．84、（2010•临沂）如图：二次函数y=-x2+ax+b的图象与x轴交于A（-，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的\n坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中即可确定抛物线的解析式；进而可得到C点坐标，进而可求出AC、BC、AB的长，然后再判断△ABC的形状；（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，点C关于抛物线对称轴的对称点符合点D的要求，由此可求出点D的坐标；（3）在（1）题已将证得∠ACB=90°，若A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形，则有两种情况需要考虑：①以BC、AP为底，AC为高；可先求出直线BC的解析式，进而可确定直线AP的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标．②以AC、BP为底，BC为高；方法同①．解答：解：（1）由题意得：，解得；∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1；∴C（0，1）；∴AC2=+1=，BC2=1+4=5，AB2=（2+）2=；∴AC2+BC2=AB2，即△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°；（2）由（1）的抛物线知：其对称轴方程为x=；根据抛物线和等腰梯形的对称性知：点D（，1）；（3）存在，点P（，-）或（-，-9）；若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以BC、AP为底；∵B（2，0），C（0，1），\n∴直线BC的解析式为：y=-x+1；设过点A且平行于BC的直线的解析式为y=-x+h，则有：（-）×（-）+h=0，h=-；∴y=-x-；联立抛物线的解析式有：，解得，；∴点P（，-）；若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以AC、BP为底，同理可求得P（-，-9）；故当P（，-）或（-，-9）时，以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形．（根据抛物线的对称性求出另一个P点坐标亦可）点评：此题是二次函数的综合类试题，考查了二次函数解析式的确定，直角三角形、等腰三角形、直角梯形的判定，难度适中．84-2（2010•南通）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，-2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点．（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为-1，P（m，n）是抛物线y=ax2+bx+c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．\n考点：二次函数综合题．分析：（1）用待定系数法即可求出直线AB的解析式；根据“当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等”可知：抛物线的对称轴为y轴，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据A点坐标可求出半径OA的长，然后判断A到直线l的距离与半径OA的大小关系即可；（3）根据直线AB的解析式可求出D点的坐标，即可得到OD的长，由于OD的长为定值，若△POD的周长最小，那么PD+OP的长最小，可过P作y轴的平行线，交直线l于M；首先证PO=PM，此时PD+OP=PD+PM，而PD+PM≥DM，因此PD+PM最小时，应有PD+PM=DM，即D、P、M三点共线，由此可求得P点的坐标；此时四边形CODP是梯形，根据C、O、D、P四点坐标即可求得上下底DP、OC的长，而梯形的高为D点横坐标的绝对值由此可求出四边形CODP的面积．解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：，解得；∴直线AB的解析式为y=-x+1；由题意知：抛物线的对称轴为y轴，则抛物线经过（-4，3），（2，0），（-2，0）三点；设抛物线的解析式为：y=a（x-2）（x+2），则有：3=a（-4-2）（-4+2），a=；∴抛物线的解析式为：y=x2-1；（2）易知：A（-4，3），则OA==5；而A到直线l的距离为：3-（-2）=5；所以⊙A的半径等于圆心A到直线l的距离，即直线l与⊙A相切；\n（3）过P作PM∥y轴，交直线l于M；则P（m，n），M（m，-2）；∴PO2=m2+n2，PM2=（n+2）2；∵n=m2-1，即m2=4n+4；∴PO2=n2+4n+4=（n+2）2，即PO2=PM2，PO=PM；易知D（-1，），则OD的长为定值；若△PDO的周长最小，则PO+PD的值最小；∵PO+PD=PD+PM≥DM，∴PD+PO的最小值为DM，即当D、P、M三点共线时PD+PM=PO+PD=DM；此时点P的横坐标为-1，代入抛物线的解析式可得y=-1=-，即P（-1，-）；∴S四边形CPDO=S梯形CPDO=（CO+PD）×|xD|=×（2++）×1=．点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识，还涉及到解析几何中抛物线的相关知识，能力要求极高，难度很大．85、（2010•郴州）如图，已知△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D是AB上一动点，DE∥BC，交AC于E，将四边形BDEC沿DE向上翻折，得四边形B'DEC'，B'C'与AB、AC分别交于点M、N．（1）证明：△ADE∽△ABC；（2）设相似形的面积比AD为x，梯形MDEN的面积为y，试求y与x的函数关系式．当x为何值时y有最大值？\n考点：二次函数的最值；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．专题：综合题．分析：（1）根据DE∥BC得△ADE ∽△ABC；（2）S梯形MDEN=S△ADE-S△AMN．根据△ADE∽△ABC，△AMN∽△ABC分别用含x的代数式表示S△ADE，S△AMN得y与x的函数关系式，应用函数性质求解．解答：（1）证明：因为DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C．所以△ADE∽△ABC．                                           （2分）（2）因为S△ABC=24，△ADE∽△ABC，相似比为，所以，所以．                  （4分）因为∠1=∠2，∠1=∠B'，∠2=∠B'MD，所以∠B'=∠B'MD．所以B'D=MD．又B'D=BD，所以MD=BD．所以AM=AB-MB=6-2（6-x）=2x-6．                              （6分）同理，△AMN∽△ABC，所以．（8分）配方得y=-2（x-4）2+8所以当x=4时，y有最大值．                                        （10分）点评：此题为二次函数与相似三角形的综合题，有一定难度．86、\n（2010•娄底）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，DC=10，AD=BC=5，点M、N分别在AD、BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分别为E、F．（1）求梯形ABCD的面积；（2）探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由；（3）探究二：四边形MNFE能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．考点：二次函数的最值；正方形的判定；梯形．分析：（1）要求梯形ABCD的面积，需先求梯形的高，可作高根据勾股定理易求得；（2）尝试把四边形MNFE的面积用二次函数的形式表达出来，再由二次函数的最值问题讨论；（3）在（2）的基础上，使MN=ME，求解即可．解答：解：（1）如图，过点A作AG⊥CD于G，∵AB∥DC，AB=2，DC=10，AD=BC=5，∴DG=（10-2）÷2=4，在Rt△ADG中，AG==3，∴S梯形ABCD=（2+10）×3÷2=18；（2）设解法有误MN=x，AG与MN交于点O，∵MN∥CD，∴MN：CD=AO：AG，即x：10=AO：3，∴AO=0.3x，∴OG=3-0.3x，∴S矩形MNFE=x（3-0.3x）=3x-0.3x2，\n∵二次项系数小于0，∴四边形MNFE的面积有最大值：[4×（-0.3）×0-32]÷[4×（-0.3）]=7.5；（3）当MN=ME时，四边形MNFE能为正方形．由（2）可得，ME=OG=3-0．x，则3-0.3x=x，解得x=，此时，正方形MNFE的面积为：．点评：此题考查了梯形的面积、二次函数的最值、正方形的判定等知识点，综合性很强．87、（2010•长春）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，∠A=45°．AB=30，BC=x，其中15＜x＜30．作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G．（1）用含有x的代数式表示BF的长．（2）设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式．（3）当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．[参考公式：二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为（-，）]考点：二次函数的最值；梯形；翻折变换（折叠问题）．分析：（1）根据等式BF=AF-AB=2AE-AB=2DE-AB=2BC-AB，用含x的代数式表示BF的长；（2）根据等量关系“S=S△DEF-S△GBF”列出S与x的函数关系式；（3）根据（2）中的函数关系式和x的取值范围求S的最大值．解答：解（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x，AB=30，∴\nBF=2x-30．（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°，∴∠BGF=∠F=45°．∴BG=BF=2x-30，∴S===．（3）S=．∵，15＜20＜30，∴当x=20时，S有最大值，最大值为150点评：本题考查的是函数关系式的求法以及求最大值的问题，但需注意自变量的变化范围．88、（2010•宿迁）已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，其顶点为D．（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接2问其实与抛物线无关（求出几个点坐标后），发现是等腰直角三角形就简单了BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．求证：四边形ODBE是等腰梯形；（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：\n（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）设抛物线的对称轴DE与x轴的交点为F，根据抛物线的对称轴方程即可求得F点的坐标；根据抛物线的解析式可求出C、D的坐标，即可证得△OBC、△BDF都是等腰直角三角形，那么∠DBF=∠CBA=∠EOB=45°，由此可证得OE∥BD，然后再根据O、D、B、E四点坐标求出OD、BE的长，即可证得所求的结论；（3）首先求出四边形ODBE的面积，进而可得到△OBQ的面积，由于OB的长为定值，根据△OBQ的面积即可确定Q点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中即可求得Q点的坐标．解答：（1）求出：b=-4，c=3，抛物线的对称轴为：x=2（3分）（2）抛物线的解析式为y=x2-4x+3，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE∵△OBC是等腰直角三角形，△DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），∴∠BOE=∠OBD=45°∴OE∥BD∴四边形ODBE是梯形（5分）在Rt△ODF和Rt△EBF中，OD=，BE=∴OD=BE∴四边形ODBE是等腰梯形（7分）（3）存在勿遗漏，Q点可能在上方也可能在下方，（8分）由题意得：S四边形ODBE=（9分）设点Q坐标为（x，y），由题意得：S三角形OBQ==，S四边形ODBE=∴|y|=±1当y=1时，即x2-4x+3=1，∴，，\n∴Q点坐标为（2+，1）或（2-，1）（11分）当y=-1时，即x2-4x+3=-1，∴x=2，∴Q点坐标为（2，-1）综上所述，抛物线上存在三点Q1（2+，1），Q2（2-，1），Q3（2，-1）使得S三角形OBQ=S四边形ODBE．（12分）点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、等腰梯形的判定以及图形面积的求法等知识的综合应用能力．89、（2010•扬州）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；（3）若感觉此问有误，并未指出EF垂直于ABF在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．考点：二次函数的最值；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：综合题；压轴题；动点型；存在型．分析：（1）先根据勾股定理求出AB的长，再根据Rt△ADC∽Rt△ACB，利用其相似比即可求出AD的长；（2）①分别根据x的取值范围及三角形的面积公式分类奥伦x、y的函数关系式；\n②根据①中所求的函数关系式求出其最值即可．（3）先求出△ACD的面积与已知△ABC的面积的相比较即可求解．解答：解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠ACB，∠CAD=∠CAD，∴Rt△ADC∽Rt△ACB，∴=，即=，AD=．（2）①由于E的位置不能确定，故应分两种情况讨论：如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤时，∵EF⊥AB，∴Rt△AEF∽Rt△ACB，即=，∵AC=3，BC=4，AE=x，∴=，EF=x，S△AEF=y=AE•EF=x•x=x2．如图B：当AD＜x≤BD，即＜x≤5时，∵EF⊥AB，∴Rt△BEF∽Rt△BCA，∴=，∵AE=x，△AEF的面积为y，=，∴EF=，y=×AE×EF=x•=-．②当如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤\n时，S△AEF=y=AE•EF=x•x=x2，当x=AD，即x=时，y最大=×（）2=．如图B：当AD＜x≤BD，即＜x≤5时，y=-，y最大=，此时x=2.5＜5，故成立．故y最大=．（3）不存在．∵当EF与CD重合时，S△ACD有最大值，CD===，S△ACD=××=，而S△ABC=AC•BC=×3×4=6，而S△ACD最大=＜S△ABC=3，∴不存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．点评：此题比较复杂，是典型的动点问题，涉及面较广，涉及到勾股定理、二次函数的最值及相似三角形的有关知识，综合性较强．90重叠面积分类讨论、如图，在Rt△ABC中，斜边AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a＞b，且a、b是方程x2\n-（m-1）x+m+4=0的两根，（1）求a和b的值；（2）若△A′B′C′与△ABC开始时完全重合，然后让△ABC固定不动，将△A′B′C′沿BC所在的直线向左移动x厘米．①设△A′B′C′与△ABC有重叠部分，其面积为y平方厘米，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；②若重叠部分的面积等于平方厘米，求x的值．考点：一元二次方程的应用；根与系数的关系；根据实际问题列二次函数关系式；勾股定理．专题：几何图形问题．分析：（1）首先根据一元二次方程根与系数的关系，得出用含m的式子表示a+b与ab的式子，然后由勾股定理得出一个关于m的方程，求出m的值，进而得出a和b的值；（2）①由于S△BCM=×BC′×CM，即y=x×CM．所以首先用含x的代数式表示CM，然后代入，即可求出y与x之间的函数关系式，并根据题意求出x的取值范围；②把y=代入函数解析式，即可求出x的值．解答：解：（1）∵a、b是方程x2-（m-1）x+m+4=0的两根，∴a+b=m-1，ab=m+4，又∵a、b是直角△ABC的两直角边，∴a2+b2=c2=25，∴（m-1）2-2（m+4）=25，解得m1=8，m2=-4（舍去）．∴原方程为x2-7x+12=0，解得a=4，b=3．（2）①y与x之间的函数关系式为：y=（4-x）2，（0≤x≤4）．②带入=（4-x）2\n，得x1=3，x2=5（舍去）．∴x的值为3．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，三角形的面积公式等．在判断所求的解是否符合题意时，应舍去不合题意的解．答题：huangling老师；审题：Linaliu老师．题型：解答题91、11、（2010•宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动．已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）．（1）△EFG的边长是（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在；（2）若重叠面积分类讨论△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求：①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；（3）探求（2）中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值．考点：二次函数的最值；梯形．专题：分类讨论．分析：（1）根据等边三角形的三边相等，则△EFG的边长是点E移动的距离；根据等边三角形的三线合一和F点移动速度是E点移动速度的2倍，即可分析出BF=4，此时等边三角形的边长是2，则点G和点D重合；（2）①当0＜x≤2时，重叠部分的面积即为等边三角形的面积；\n②当2＜x≤6时，分两种情况：当2＜x＜3时和当3≤x≤6时，进行计算；（3）分别求得（2）中每一种情况的最大值，再进一步比较取其中的最大值即可．解答：解：（1）x，D点；（2）①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y=x2；②分两种情况：Ⅰ．当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，∵∠FNC=∠FCN=30°，∴FN=FC=6-2x．∴GN=3x-6．由于在Rt△NMG中，∠G=60°，所以，此时y=x2-（3x-6）2=；Ⅱ．当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，∵EC=6-x，∴y=（6-x）2=；（3）当0＜x≤2时，∵y=x2，在x＞0时，y随x增大而增大，∴x=2时，y最大=；当2＜x＜3时，∵y=，在x=时，y最大=；当3≤x≤6时，∵y=，在x＜6时，y随x增大而减小，∴x=3时，y最大=．综上所述：当x=时，y最大=．点评：此题是一道动态题，难度较大，注意不同的情况，能够熟练求得二次函数的最值．\n92和102题同、（2010•长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动、设运动时间为t秒．（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；（2）求证面积等于矩形-两个三角形，也可梯形-三角形：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当可明白解题思路△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据P、Q的运动速度，可用t表示出CQ、OP的长，进而根据OC的长求出OQ的表达式，即可由三角形的面积公式得到S、t的函数关系式；（2）四边形OPBQ的面积，可由矩形OABC、△QBC、△ABP的面积差求得，进而可得到所求的定值；（3）若△OPQ与△PAB和△QPB相似，那么△QPB必为直角三角形，且∠QPB=90°；由于∠BQP≠∠OPQ，所以这三个相似三角形的对应关系是△OPQ∽△PBQ∽△ABP，根据相似三角形得到的比例线段即可求出t的值，进而可确定点P的坐标，即可求出抛物线和直线BP的解析式；可设M点的横坐标为m，根据直线BP和抛物线的解析式，即可求出M、N的纵坐标，进而可得到关于MN的长与m的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值及对应的M点坐标；设BQ与直线MN的交点为H，根据M点的坐标和直线BQ的解析式即可求出H点的坐标，也就能得到MH的长，以MH为底，B、M横坐标差的绝对值为高，可求出△BHM的面积，进而可根据四边形OPBQ的面积求出五边形OPMHQ的面积，由此可求出它们的比例关系式．解答：解：（1）∵CQ=t，OP=t，CO=8，∴OQ=8-t\n∴S△OPQ=（0＜t＜8）；（3分）（2）∵S四边形OPBQ=S矩形ABCD-S△PAB-S△CBQ==32；（5分）∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32；（6分）（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB=90°，又∵BQ与AO不平行，∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP（7分）∴，解得：t=4，经检验：t=4是方程的解且符合题意；（从边长关系和速度考虑）此时P（，0）；∵B（，8）且抛物线经过B、P两点，∴抛物线是，直线BP是：（8分）设M（m，）、N（m，）∵M在BP上运动，∴∵与交于P、B两点且抛物线的顶点是P；∴当时，y1＞y2（9分）∴|MN|=|y1-y2|=，∴当时，MN有最大值是2；∴设MN与BQ交于H点则，；∴S△BHM==\n∴S△BHM：S五边形QOPMH==3：29∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．（10分）点评：此题是二次函数的综合类试题，涉及到矩形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数的应用等重要知识点，综合性强，难度较大93、（2010•福州）如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．（1）求证：；（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；（3）当重叠面积分类讨论矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．考点：二次函数的最值；矩形的性质；梯形；相似三角形的判定与性质．专题：综合题；数形结合；分类讨论．分析：（1）易证得△AEF∽△ABC，而AH、AD是两个三角形的对应高，EF、BC是对应边，它们的比都等于相似比，由此得证；（2）此题要转化为函数的最值问题来求解；由（1）的结论可求出AH的表达式，进而可得到HD（即FP）的表达式；已求得了矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到关于矩形EFPQ的面积和x的函数关系式，根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的x的值；（3）此题要理清几个关键点，当矩形的面积最大时，由（2）可知此时EF=5，EQ=4；易证得△CPF是等腰Rt△，则PC=PF=4，QC=QP+PC=9；一、P\n、C重合时，矩形移动的距离为PC（即4），运动的时间为4s；二、E在线段AC上时，矩形移动的距离为9-4=5，运动的时间为5s；三、Q、C重合时，矩形运动的距离为QC（即9），运动的时间为9s；所以本题要分三种情况讨论：①当0≤t＜4时，重合部分的面积是矩形EFPQ与等腰Rt△FMN（设AC与FE、FP的交点为M、N）的面积差，FM的长即为梯形移动的距离，由此可得到S、t的函数关系式；②当4≤t＜5时，重合部分是个梯形，可用t表示出梯形的上下底，进而由梯形的面积公式求得S、t的函数关系式；③当5≤t≤9时，重合部分是个等腰直角三角形，其直角边的长易求得，即可得出此时S、t的函数关系式．解答：解：（1）∵四边形EFPQ是矩形，∴EF∥QP∴△AEF∽△ABC又∵AD⊥BC，∴AH⊥EF；∴=；（2）由（1）得=，∴AH=x∴EQ=HD=AD-AH=8-x∴S梯形EFPQ=EF•EQ=x（8-x）=-x2+8x=-（x-5）2+20∵-＜0，∴当x=5时，S梯形EFPQ有最大值，最大值为20；（3）如图，由（2）得EF=5，EQ=4∵∠C=45°，△FPC是等腰直角三角形．∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9分三种情况讨论：①如图，当0≤t＜4时，设EF、PF分别交AC于点M、N，则△MFN是等腰直角三角形；∴FN=MF=t\n∴S=S矩形EFPQ-SRt△MPN=20-t2=-t2+20②如图当4≤t＜5时，则ME=5-t，QC=9-t，∴S=S梯形EMCQ=[（5-t）+（9-t）]×4=-4t+28③如图当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC=9-t∴S=S△KQC=（9-t）2=（t-9）2综上所述：S与t的函数关系式为：S=点评：此题主要考查了矩形、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质及二次函数的应用等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想．94、（2010•湘潭）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）求证：△ACD∽△BAC；（2）求DC的长；（3）设最值问题转化为二次函数为题四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：代数几何综合题．\n分析：（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似．（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC的长．（3）分析图象可知：四边形AFEC的面积可由△ABC、△BEF的面积差求得，分别求出两者的面积，即可得到y、t的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最小值．解答：解：（1）∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCA（1分）又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，（2分）∴△ACD∽△BAC（3分）．（2）Rt△ABC中，AC==8，（4分）∵△ACD∽△BAC，∴=，（5分）即，解得：DC=6.4（6分）．（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，∵∠ACB=∠EGB=90°，∠B公共，∴△ACB∽△EGB，（7分）∴，即，故；（8分）y=S△ABC-S△BEF=（9分）=；故当t=时，y的最小值为19．（10分）点评：此题考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数最值的应用等知识，能够将面积问题转换为二次函数的最值问题是解答（3）题的关键．\n95、（2009•衡阳）如图，直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化并说明理由；（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？（3）当重叠面积应分类讨论四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0＜a＜4），正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．考点：二次函数综合题．分析：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为-x+4（0＜x＜4，x＞0，-x+4＞0）用坐标表示线段的长度则：MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x，根据四边形的周长计算方法计算即可发现，当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8．（2）先用x表示四边形的面积S四边形OCMD=-（x-2）2+4，再利用四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0＜x＜4）的二次函数，并且x=2，可知即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4．（3）结合（2），当0＜a≤2时，S=4-a2=-a2+4；当2≤a＜4时，S=（4-a）2=（a-4）2，作图即可．注意该图是分段函数．解答：解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为-x+4（0＜x＜4，x＞0，-x+4＞0），则：MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x，\n∴C四边形OCMD=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8，∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8．（2）根据题意得：S四边形OCMD=MC•MD=（-x+4）•x=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0＜x＜4）的二次函数，并且当x=2，即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4．（3）如图（2），当0＜a≤2时，S=4-a2=-a2+4，如图（3），当2≤a＜4时，S=（4-a）2=（a-4）2，∴S与a的函数的图象如下图所示．96、（2010•攀枝花）如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，点P事边BC上的动点（点P不与点B，C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点．设CP=x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．（1）求∠CPQ的度数．（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？（3）当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式．并求此时函数值y的取值范围．30度角三角形的边关系图1、图2、考点：翻折变换（折叠问题）．分析：（1）此题首先要抓住运动变换中的不变量和不变关系：①矩形的长度；②△ABD和△BCD的形状特征及三边关系；③PQ∥BD；④△PQC与△\nPQR关于PQ对称，满足轴对称的一切性质等；（2）要找准瞬间状态，准确的画出图形，变动为不动；（3）以（2）题的结论为界点，分段考虑问题．解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC；又AB=9，AD=3，∠C=90°，∴CD=9，BC=3；∴tan∠CDB==；∴∠CDB=30°，∠CBD=60°；∵PQ∥BD，∴∠CPQ=∠CBD=60°；（2）如图，由轴对称的性质知：△RPQ≌△CPQ，∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP；由（1）知：∠CQP=30°，∴∠RPQ=∠CPQ=60°；∴∠RPB=60°，∴RP=2BP；令CP=x，∴RP=x，PB=2-x；在△RPB中，根据题意，得：2（2-x）=x，解得x=；（3）当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，0＜x≤；S△CPQ=CP•CQ=x•x=x2；∵△RPQ≌△CPQ，∴当0＜x≤时，y=x2；当R在矩形ABCD的外部时，＜x＜2；在Rt△PFB中，∵∠RPB=60°，∴PF=2BF=2（2\n-x）；又∵RP=CP=x，∴RF=RP-PF=3x-4；在Rt△ERF中，∵∠EFR=∠PFB=30°，∴ER=x-4；∴S△ERF=ER×FR=x2-12x+8；∴y=S△RPQ-S△ERF；∴当＜x＜2时，y=-x2+12x-8；综上所述，y与x之间的函数解析式是：y=．点评：此题是“动态类”问题，涉及到矩形的性质、图形的折叠变换、解直角三角形、全等三角形的判定和性质以及图形面积的求法、二次函数的应用等重要知识点，综合性强，涉及知识点交点，注意分类讨论．97、（2010•东营）如图，在锐角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；（2）设重叠面积应分类讨论DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值．考点：二次函数的最值；平行线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：综合题；数形结合；分类讨论．分析：（1）根据题意，作出图示；分析可得：AM=8，且△ADE∽△ABC，进而可得，解可得答案．（2）分两种情况：①当正方形DEFG在△ABC的内部时，②当正方形DEFG的一部分在△\nABC的外部时，依据平行线以及正方形形的性质，可得二次函数，再根据二次函数的性质，解可得重合部分的面积，比较可得面积的最大值．解答：解：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M．∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8，∵DE∥BC，△ADE∽△ABC，∴，而AN=AM-MN=AM-DE，∴，解之得DE=4.8．∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8，（2）分两种情况：①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图（2），△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，∵DE=x，∴y=x2，此时x的范围是0＜x≤4.8，②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，如图（2），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，△ABC的高AM交DE于N，∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△\nABC，即，而AN=AM-MN=AM-EP，∴，解得EP=8-x．所以y=x（8-x），即y=-x2+8x，由题意，x＞4.8，且x＜12，所以4.8＜x＜12；因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积需分两种情况讨论，当0＜x≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04当4.8＜x＜12时，因为，所以当时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24；因为24＞23.04，所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24．点评：本题主要考查了二次函数，平行线以及正方形形的性质等知识点，要根据题意，得到二次函数关系，再根据二次函数的性质，即可得答案．98重叠面积应分类讨论、（2010•衡阳）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形并求出该矩形的面积；（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t，求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．考点：一次函数综合题．分析：（1）过点C作CD⊥\nAB，垂足为D．即可得出四边形MNQP是矩形，根据特殊角的三角函数值求出四边形MNQP的面积；（2）根据①当0＜t＜1时；②当1≤t≤2时；③当2＜t＜3时，分别求出四边形MNQP的面积，即四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式．解答：解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AD=2，当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，即AM=时，四边形MNQP是矩形，∴t=秒时，四边形MNQP是矩形，∵PM=AMtan60°=，∴S四边形MNQP=；（4分）（2）①当0＜t＜1时，S四边形MNQP=（PM+QN）MN=[t+（t+1）]=t+；②当1≤t≤2时，S四边形MNQP=（PM+QN）MN=[t+（3-t）]×1=；③当2＜t＜3时，S四边形MNQP=（PM+QN）MN=[（3-t）+（4-t）]=-t+．       （10点评：本题涉及到动点问题，比较复杂，解答此题的关键是根据题意画出图形，由数形结合便可解答，体现了数形结合在解题中的重要作用．99、（2010•鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交于点C\n．（1）求点C的坐标．（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．（3）若等腰三角形应分类讨论P点开始运动时，Q点也同时从C点出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动），求t的值．（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）由于AB⊥BC，则△AOB∽△BOC，由于OB=2OA，则OC=2OB，由此可求出C点的坐标．（2）设抛物线方程为y=ax2+bx+c（a≠0），三点代入联立方程解出a、b、c．（3）根据P、Q的速度，可用t表示出BP、CP、CQ的长，若以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形，那么可分作三种情况考虑：①CP=CQ，可联立CP、CQ的表达式，可得到关于t的等量关系式，即可求出此时t的值；②CQ=QP，过Q作QM⊥BC于M，根据等腰三角形的性质知CM=CP，可通过△CQM∽△CBO所得比例线段，列出关于t的等量关系式，求出此时t的值；③CP=PQ，过P作PN⊥OC于N，方法与②相同．（4）在（2）题中已经求得CP=CQ时的t值，此时发现P是BC的中点，根据B、C的坐标，即可得到P点的坐标，易求得直线OP的解析式，联立抛物线的解析式可求出它与抛物线的交点坐标．解答：解：（1）∵A（-1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，OB=2OA；∵∠ABC=90°，易得△ABO∽△BCO，∴AO：BO=BO：OC，即OC=2OB=4，∴C（4，0）．（2）设抛物线方程为y=ax2+bx+c（a≠0），依题意有：\n，解得；∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2．（3）∵OB=2，OC=4，∴BC=2；则：BP=t，CP=2-t，CQ=t；①CP=CQ，则有：2-t=t，解得：t=；②CQ=QP，过Q作QM⊥BC于M，则有：CM=（2-t）；易证△CQM∽△CBO，则：，即，解得：t==；③CP=PQ，过P作PN⊥OC于N，则：CN=CQ=t；易证△CNP∽△COB，则有：，即，解得t==；综上所述，当t=或或时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形．（4）由（3）知：当CP=CQ时，BP=t==BC，即P是BC的中点，∵B（0，2），C（4，0），\n∴P（2，1）；∴直线OP的解析式为：y=x；联立抛物线的解析式有：，解得，；∴直线OP与抛物线的交点为（1+，），（1-，）．点评：此题是二次函数的综合题，主要考查了相似三角形的性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法以及等腰三角形的构成条件等重要知识，在等腰三角形腰和底不确定的情况下，一定要分类讨论，以免漏解．100面积、等腰都要分类、（2010•台州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？考点：二次函数的最值；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论．分析：（1）根据对称性可得HD=HA，那么可得∠HDQ=∠\nA，加上已有的两个直角相等，那么所求的三角形相似；（2）利用BP在不同位置的不同取值，得到y关于x的函数关系式，利用二次函数的最值即可求得最大值；（3）等腰三角形有两边相等，根据所在的不同位置再分不同的边相等解答．解答：（1）证明：∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，∴∠HQD=∠C=90°，HD=HA，∴∠HDQ=∠A，∴△DHQ∽△ABC．解：（2）①如图1，当0＜x≤2.5时，ED=10-4x，QH=AQtan∠A=x，此时y=（10-4x）×x=-+x，当x=时，最大值y=，②如图2，当2.5＜x≤5时，ED=4x-10，QH=AQtan∠A=x，此时y=（4x-10）×x=-x．当x=5时，最大值y=；∴y与x之间的函数解析式为y=，y的最大值是．（3）①如图1，当0＜x≤2.5时，若DE=DH，∵DH=AH==x，DE=10-4x，∴10-4x=，x=．显然ED=EH，HD=HE不可能；②如图2，当2.5＜x≤5时，若DE=DH，4x-10=，x=；若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=5；若ED=EH，则△EDH∽△HDA，\n∴=，x=，∴当x的值为，，5，时，△HDE是等腰三角形．点评：本题综合考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等问题，注意分不同位置，边长相等的不同情况探讨三角形为等腰三角形的条件．101等腰需分类、（2010•潼南县）如图，已知抛物线y=+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点与抛物线无关E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连接DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将A、C两点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式，可设D点的横坐标，根据直线AC的解析式可表示出E点的纵坐标，即可得到DE的长，以DE为底，D点横坐标为高即可得到△CDE的面积，从而得到关于△CDE的面积与D点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△CDE的面积最大值及对应的D点坐标．（3）根据抛物线的解析式，可求出B点的坐标，进而能得到直线BC的解析式，设出点P的横坐标，根据直线BC的解析式表示出P点的纵坐标，然后利用坐标系两点间的距离公式分别表示出△ACP三边的长，从而根据：①AP=CP、②AC=AP、③CP=AC，三种不同等量关系求出符合条件的P点坐标．\n解答：解：（1）由于抛物线经过A（2，0），C（0，-1），则有：，解得；∴抛物线的解析式为：y=-x-1．（2）∵A（2，0），C（0，-1），∴直线AC：y=x-1；设D（x，0），则E（x，x-1），故DE=0-（x-1）=1-x；∴△DCE的面积：S=DE×|xD|=×（1-x）×x=-x2+x=-（x-1）2+，因此当x=1，即D（1，0）时，△DCE的面积最大，且最大值为．（3）由（1）的抛物线解析式易知：B（-1，0），可求得直线BC的解析式为：y=-x-1；设P（x，-x-1），因为A（2，0），C（0，-1），则有：AP2=（x-2）2+（-x-1）2=2x2-2x+5，AC2=5，CP2=x2+（-x-1+1）2=2x2；①当AP=CP时，AP2=CP2，有：2x2-2x+5=2x2，解得x=2.5，∴P1（2.5，-3.5）；②当AP=AC时，AP2=AC2，有：2x2-2x+5=5，解得x=0（舍去），x=1，∴P2（1，-2）；③当CP=AC时，CP2=AC2\n，有：2x2=5，解得x=±，∴P3（，--1），P4（-，-1）；综上所述，存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（2.5，-3.5）、P2（1，-2）、P3（，--1）、P4（-，-1）．点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数最值的应用、等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论、数形结合的数学思想，难度较大．102、和92题同（2010•长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动、设运动时间为t秒．（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据P、Q的运动速度，可用t表示出CQ、OP的长，进而根据OC的长求出OQ的表达式，即可由三角形的面积公式得到S、t的函数关系式；（2）四边形OPBQ的面积，可由矩形OABC、△QBC、△ABP的面积差求得，进而可得到所求的定值；（3）若△OPQ与△PAB和△QPB相似，那么△QPB必为直角三角形，且∠QPB=90°；由于∠BQP≠∠OPQ，所以这三个相似三角形的对应关系是△OPQ∽△PBQ∽△\nABP，根据相似三角形得到的比例线段即可求出t的值，进而可确定点P的坐标，即可求出抛物线和直线BP的解析式；可设M点的横坐标为m，根据直线BP和抛物线的解析式，即可求出M、N的纵坐标，进而可得到关于MN的长与m的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值及对应的M点坐标；设BQ与直线MN的交点为H，根据M点的坐标和直线BQ的解析式即可求出H点的坐标，也就能得到MH的长，以MH为底，B、M横坐标差的绝对值为高，可求出△BHM的面积，进而可根据四边形OPBQ的面积求出五边形OPMHQ的面积，由此可求出它们的比例关系式．解答：解：（1）∵CQ=t，OP=t，CO=8，∴OQ=8-t∴S△OPQ=（0＜t＜8）；（3分）（2）∵S四边形OPBQ=S矩形ABCD-S△PAB-S△CBQ==32；（5分）∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32；（6分）（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB=90°，又∵BQ与AO不平行，∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP（7分）∴，解得：t=4，经检验：t=4是方程的解且符合题意；（从边长关系和速度考虑）此时P（，0）；∵B（，8）且抛物线经过B、P两点，∴抛物线是，直线BP是：（8分）设M（m，）、N（m，）∵M在BP上运动，∴∵与交于P、B两点且抛物线的顶点是P；\n∴当时，y1＞y2（9分）∴|MN|=|y1-y2|=，∴当时，MN有最大值是2；∴设MN与BQ交于H点则，；∴S△BHM==∴S△BHM：S五边形QOPMH==3：29∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．（10分）点评：此题是二次函数的综合类试题，涉及到矩形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数的应用等重要知识点，综合性强，难度较大．103、已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．（1）试直接写出点D的坐标；（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．①若相似也有分类以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；②试问利用三角形两边之差小于第三边，与求两线段的最小值不同在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TO-TB|的值最大？考点：二次函数综合题．分析：（1）由于M是AB的中点，即可得到AM=，由此可求出M点的坐标，将M点坐标向左平移3个单位即可得到点D的坐标；（2）①\n根据B、D的坐标即可确定抛物线的解析式，设出P点的横坐标，根据抛物线的解析式可得到P点纵坐标的表达式；由于∠PQO=∠DAO=90°，若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，则有两种情况：1）、△PQO∽△DOA，2）、△OQP∽△DAO；根据上述两种情况所得的不同比例线段，即可求出P点的坐标；②由于D、B关于抛物线的对称轴对称，若|TO-TB|的值最大，那么T点必为直线DO与抛物线对称轴的交点，根据抛物线的解析式可求出其对称轴方程，根据D点的坐标可求得直线DO的解析式，联立两个函数的解析式，即可求得T点的坐标．解答：解：（1）依题意得：D（-，2）；（3分）（2）①∵OC=3，BC=2，∴B（3，2）；∵抛物线经过原点，∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx（a≠0）又抛物线经过点B（3，2）与点D（-，2）；∴解得：∴抛物线的解析式为y=；（5分）∵点P在抛物线上，∴设点P（x，）；1）、若△PQO∽△DOA，则，，解得：x1=0（舍去）或x2=，∴点P（）；（7分）2）、若△OQP∽△DAO，则，，解得：x1=0（舍去）或x2=，\n∴点P（，6）；（9分）②存在点T，使得|TO-TB|的值最大．抛物线y=的对称轴为直线x=，设抛物线与x轴的另一个交点为E，则点E（，0）；（10分）∵点O、点E关于直线x=对称，∴TO=TE（11分）要使得|TO-TB|的值最大，即是使得|TE-TB|的值最大，根据三角形两边之差小于第三边可知，当T、E、B三点在同一直线上时，|TE-TB|的值最大；（12分）设过B、E两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），∴解得：∴直线BE的解析式为y=x-2；当x=时，y=∴存在一点T（，-1）使得|TO-TB|最大．（13分）点评：此题考查了矩形的性质，图象的平移变换，二次函数解析式的确定，相似三角形的判定和性质以及轴对称性质的应用，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较强，难度较大．104、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角\n三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示：抛物线y=2ax2+ax-经过点B．（1）写出点B的坐标（-3，1）；（2）求抛物线的解析式；（3）若三角板ABC从点C开始以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向平移，求点A落在抛物线上时所用的时间，并求三角板在平移过程扫过的面积．（4）在分类讨论。在坐标系中，直线平行、垂直，线段中点，两点距离公式？抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）由于△ABC是等腰Rt△，若过B作BD⊥x轴于D，易证得△BCD≌△CAO，则BD=OA=2，BD=OC=1，即可求出B点坐标为：B（-3，1）．（2）将B点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数a的值，也就求得了抛物线的解析式．（3）设平移后的三角形为△A′B′C′，由于是沿x轴正方向平移，所以A、A′的纵坐标不变，且A′在抛物线的图象上，由此可求出A′的坐标，即可求出AA′，CC′的距离，进而可求出平移过程所用的时间；那么扫过部分的面积=△ABC的面积+▱AA′C′C的面积．（4）此题要分两种情况进行讨论：①以C为直角顶点，AC为直角边；可求出直线BC的解析式，联立抛物线的解析式即可求出P点坐标，然后判断CP是否与AC相等即可．②以A为直角顶点，AC为直角边，方法同①．解答：解：（1）过B作BD⊥x轴于D；∵∠BCA=90°，∴∠BCD=∠CAO=90°-∠ACO；又∵BC=AC，∠BDC=∠AOC=90°，∴△BDC≌△COA；∴CD=OA=2，BD=OC=1，\n∴B（-3，1）．（2）由于抛物线过B点，则有：2a×9+（-3）•a-=1，解得a=；∴y=x2+x-．（3）设平移后的三角形为△A′B′C′；当y=2时，x2+x-=2，解得x=3（负值舍去）；∴A′（3，2），C′（2，0）；∴平移过程所用去的时间为3÷1=3秒；S扫=S△ABC+S▱AA′C′C=×（）2+3×2=8.5（平方单位）．（4）①若以AC为直角边，C为直角顶点；设直线BC交抛物线y=x2+x-于P1，易求得直线BC的解析式为y=-x-；不难求得P1（1，-1），此时CP1=AC；∴△ACP1为等腰直角三角形；②若以AC为直角边，点A为直角顶点；过A作AF∥BC，交抛物线y=x2+x-于P2，易求得直线AF的解析式为y=-x+2；不难得出P2（，）或（，）（不合题意舍去）；此时AP2≠AC，∴△ACP2不是等腰直角三角形；∴符合条件的P点有一个：P（1，-1）．\n点评：此题考查了等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点、图形面积求法等知识，需注意的是（4）题应考虑到分别以A、C为直角顶点两种情况，不要漏解．105、（2010•凉山彝族自治州）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，-4），与x轴交于A、B两点，A（-1，0）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，请判断是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作MN⊥EQ，MN分别与边AE、BE相交于M、N，（M与A、E不重合，N与E、B不重合），请判断是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将A点坐标代入，即可求得抛物线的解析式；（2）根据两对相似三角形：△AQF、△ABE和△BGQ、△BDA得出的对应成比例线段，即可求出所求的代数式是否为定值；（3）易证得△EMN∽△FQE，得①，下面证，需通过构建相似三角形求解；过Q作QP⊥BE于P，则四边形FQPE是矩形，FE=QP②；已知E在AB的垂直平分线上，可得：△AEB是等腰Rt△，进一步可知△AFQ、△QEB也是等腰Rt△；易证得△FAQ∽△PQB，得③，联立①②③即可证得所求的结论．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4（1分）将A（-1，0）代入解析式得：0=a（-1-1）2-4\n∴a=1∵抛物线的解析式为y=（x-1）2-4即y=x2-2x-3（3分）（2）是定值，+=1（4分）∵AB是直径，∴∠AEB=90°∵QF⊥AE，∴QF∥BE∴△AQF∽△ABE，∴=同理：=∴+=+===1；（6分）（3）∵直线EC为抛物线的对称轴∴EC垂直平分AB，∴AE=EB∵∠AEB=90°∴△AEB为等腰直角三角形∴∠EAB=∠EBA=45°（7分）过点Q作QP⊥BE于P，如图（8分）由已知及作法可知，四边形FQPE是矩形∴QP=FE且QP∥FE在△AQF和△QBP中∵∠EAB=∠BQP=45°∴QP=BP=FE且△AQF∽△QBP∴=∴==①\n在△QFE和△MEN中∵MN⊥EQ∴∠MNE+∠HEN=90°∵∠FEQ+∠HEN=90°∴∠MNE=∠FEQ∵∠QFE=∠MEN=90°∴△EFQ∽△NEM∴=②由①、②知：=．（11分）点评：此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识；（3）题中，能够正确的根据已知和所求条件构建出相似三角形是解题的关键．106、（2010•眉山）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=+bx+c经过给定的抛物线abc可能有的已知了B点，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．考点：二次函数综合题．\n分析：（1）已知了抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式．（2）首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．（3）根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线BC与抛物线的函数值的差，可将x=t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为l的表达式，由此可求出l、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出l取最大值时，点M的坐标．解答：解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为y=+m（1分）∴4=×+m∴m=-（3分）∴所求函数关系式为：y=-=-x+4（4分）（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB==5∵四边形ABCD是菱形∴BC=CD=DA=AB=5（5分）∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）；（6分）当x=5时，y=×52-×5+4=4当x=2时，y=×22-×2+4=0∴点C和点D在所求抛物线上；（7分）（3）设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则；解得：k=，b=-；∴y=x-（9分）\n∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，∴N点的横坐标也为t；则yM=-t+4，yN=t-，（10分）∴l=yN-yM=t-（-t+4）=-+t-=-+∵-＜0，∴当t=时，l最大=，此时点M的坐标为（，）．（12分）点评：此题考查了一次函数、二次函数解析式的确定，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数的应用等知识．107、（2010•青岛）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动、DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．（3）是否难度较大存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的\n值；若不存在，说明理由．考点：二次函数的最值；线段垂直平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：综合题；压轴题；动点型；数形结合．分析：（1）因为点A在线段PQ垂直平分线上，所以得到线断线等，即可求得角的度数，可得CE=CQ，用含t的式子表示出这两个线段即可得解；（2）作PM⊥BC，将四边形的面积表示为S△ABC-S△BPE即可求解；（3）假设存在符合条件的t值，由相似三角形的性质即可求得．解答：解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，∴AP=AQ；∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，∴∠EQC=45°；∴∠DEF=∠EQC；∴CE=CQ；由题意知：CE=t，BP=2t，∴CQ=t；∴AQ=8-t；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm；则AP=10-2t；∴10-2t=8-t；解得：t=2；答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；（4分）（2）过P作PM⊥BE，交BE于M∴∠\nBMP=90°；在Rt△ABC和Rt△BPM中，，∴；∴PM=；∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6-t；∴y=S△ABC-S△BPE=-=-==；∵，∴抛物线开口向上；∴当t=3时，y最小=；答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2．（8分）（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上；过P作PN⊥AC，交AC于N∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°；∵∠PAN=∠BAC，∴△PAN∽△BAC；∴；∴；∴，；∵NQ=AQ-AN，∴NQ=8-t-（）=∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一条直线上，∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ；∵∠FQC=∠PQN，∴△QCF∽△QNP；\n∴，∴；∵0＜t＜4.5，∴；解得：t=1；答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上．（12分）点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、特殊图形的面积的求法等知识，图形较复杂，考查学生数形结合的能力，综合性强，难度较大．108经常出现3、4、5或6、8、10，51213，8，15，17等，记住有好处、（2010•烟台）如图，△ABC中AB=AC，BC=6，点D位BC中点，连接AD，AD=4，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由．（2）将需分类四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，平移后的四边形A’D’C’E’与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围．考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；矩形的判定．专题：综合题；数形结合；分类讨论．分析：（1）根据三线合一可得∠ADC=90°∠BAD=∠CAD，根据已知可得：∠DAE=∠CEA=90°，即可求得四边形ADCE是矩形；（2）平移过程中有两种不同情况：当0≤t≤3时，重叠部分为五边形；当3≤t≤6时，重叠部分为三角形．根据多边形的面积的求解方法即可求得．解答：解：（1）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又∵AE平分∠CAM，\n∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°，∴∠AEC=∠DAE=∠ADC=90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）平移过程中有两种不同情况：①当0≤t≤3时，重叠部分为五边形，设C′E′与AC交于点P，A′D′与AB交于点Q，∵E′P=AE′=（3-t）A′Q=A′A=t，∴E′P=AE′=（3-t）A′Q=A′A=，∴S=S矩形A′D′CE′-S△AA′Q-S△AE′P=3×4-AA′•A′Q-AE′•E′P=12-t•t-（3-t）•=-+4t+6；②当3≤t≤6时，重叠部分为三角形，设AB与C′E′交于点R，∵C′E′∥AD，∴△BC′R∽△BDA，∴==∵BC′=6-t，∴C′R=（6-t），∴S=S△BC′R=BC′•C′R=（6-t）•（6-t）=（6-t）2，∴S=．点评：此题考查了矩形的判定方法与三角形的三线合一的性质，还考查了多边形的面积的求解方法，解题时要注意数形结合思想的应用．\n109、（2010•襄樊）如图，四边形ABCO是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？（3）当相似也需分类t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？考点：二次函数综合题．专题：分类讨论．分析：（1）根据AB、OB的长，即可得到A、B点的坐标；由于四边形ABCO是平行四边形，则AB=OC，由此可求出OC的长，即可得到C点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据抛物线的解析式可求出D点的坐标及抛物线的对称轴方程，进而可求出E、F的坐标；若四边形POQE是等腰梯形，则OP=EQ，而OB=EF，可得BP=FQ，根据这个等量关系即可求出t的值；（3）由于∠PBO、∠QOB都是直角，对应相等，若以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，则有两种情况：①P、Q在y轴同侧，②P、Q在y轴两侧；每种情况又分为△PBO∽△QOB（此时两者全等），△PBO∽△BOQ两种情况；根据不同的相似三角形所得到的不同的比例线段即可求出t的值．\n解答：解：（1）∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB=4∴A（4，2），B（0，2），C（-4，0）；（1分）∵抛物线y=ax2+bx+c过点B，∴c=2（2分）由题意，有解得（3分）∴所求抛物线的解析式为y=-+x+2；（4分）（2）将抛物线的解析式配方，得y=-∴抛物线的对称轴为x=2；（5分）∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE，即BP=FQ；∴t=6-3t，即t=；（7分）（3）欲使以点P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，∵∠PBO=∠BOQ=90°，∴有=或，即PB=OQ或OB2=PB•QO；①若P、Q在y轴的同侧；当PB=OQ时，t=8-3t，∴t=2．（8分）当OB2=PB•QO时，t（8-3t）=4，即3t2\n-8t+4=0，解得t=2，t=；②当P、Q在y轴的两侧；当PB=OQ时，Q、C重合，P、A重合，此时t=4；当OB2=PB•QO时，t（3t-8）=4，即3t2-8t-4=0，解得t=；∵t=＜0，故舍去；∴t=；（11分）∴当t=2或t=或t=4或t=秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似．（12分）点评：此题是二次函数的综合类试题，涉及到二次函数解析式的确定、等腰梯形的判定、相似三角形的判定和性质等重要知识点，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．110、（2010•綦江县）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，-6），对称轴为x=2．（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．\n考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）由题意抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，-6），对称轴为x=2，根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式；（2）假设存在，设出时间t，则根据线段PQ被直线CD垂直平分，再由垂直平分线的性质及勾股定理来求解t，看t是否存在；（3）假设直线x=1上是存在点M，使△MPQ为等腰三角形，此时要分两种情况讨论：①当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点；②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点；然后再根据等腰三角形的性质及直角三角形的勾股定理求出M点坐标．解答：解：方法一：∵抛物线过C（0，-6）∴c=-6，即y=ax2+bx-6由解得：a=，b=-∴该抛物线的解析式为y=（3分）方法二：∵A、B关于x=2对称∴A（-8，0）设y=a（x+8）（x-12）C在抛物线上∴-6=a×8×（-12）即a=∴该抛物线的解析式为：y=；（3分）（2）存在，设直线CD垂直平分PQ，在Rt△AOC中，AC==10=AD，\n∴点D在对称轴上，连接DQ显然∠PDC=∠QDC（1分）由已知∠PDC=∠ACD，∴∠QDC=∠ACD，∴DQ∥AC（1分）∴DB=AB-AD=20-10=10，∴DQ为△ABC的中位线，∴DQ=AC=5，（1分）∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，∴t=5÷1=5（秒），∴存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分（1分）在Rt△BOC中，BC=，∴CQ=3，∴点Q的运动速度为每秒单位长度；（1分）（3）存在，过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9在Rt△PQH中，PQ=（1分）①当MP=MQ，即M为顶点，设直线CD的直线方程为：y=kx+b（k≠0），则：解得：∴y=3x-6当x=1时，y=-3，∴M1（1，-3）（1分）②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点．设直线x=1上存在点M（1，y），有勾股定理得：42+y2\n=90即∴M2（1，），（1分）③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点，过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F（1，-3）设直线x=1存在点M（1，y），由勾股定理得：（y+3）2+52=90即y=-3∴（1分）综上所述：存在这样的五点：M1（1，-3），M2（1，），．点评：此题是一道综合题，难度较大，主要考查二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，还考查等腰三角形的性质及勾股定理，同时还让学生探究存在性问题，对待问题要思考全面，学会分类讨论的思想．111、（2010•兰州）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0）（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动．设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；\n②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：分类讨论．分析：（1）根据O、E的坐标即可确定抛物线的解析式，进而求出其顶点坐标，即可得出所求的结论；（2）①当t=时，OA=AP=，由此可求出P点的坐标，将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；②此题要分成两种情况讨论：一、PN=0时，即t=0或t=3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是△PCD，以CD为底AD长为高即可求出其面积；二、PN≠0时，即0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是梯形PNCD，根据抛物线的解析式可表示出N点的纵坐标，从而得出PN的长，根据梯形的面积公式即可求出此时S、t的函数关系式，令S=5，可得到关于t的方程，若方程有解，根据求得的t值即可确定N点的坐标，若方程无解，则说明以P、N、C、D为顶点的多边形的面积不可能为5．解答：解：（1）因抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点O（0，0）和点E（4，0），故可得c=0，b=4，所以抛物线的解析式为y=-x2+4x（1分），由y=-x2+4x，y=-（x-2）2+4，得当x=2时，该抛物线的最大值是4；（2分）（2）①点P不在直线ME上；已知M点的坐标为（2，4），E点的坐标为（4，0），设直线ME的关系式为y=kx+b；于是得，解得\n所以直线ME的关系式为y=-2x+8；（3分）由已知条件易得，当t=时，OA=AP=，P（，）（4分）∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8；∴当t=时，点P不在直线ME上；（5分）②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，∴OA=AP=t；∴点P、N的坐标分别为（t，t）、（t，-t2+4t）（6分）∴AN=-t2+4t（0≤t≤3），∴AN-AP=（-t2+4t）-t=-t2+3t=t（3-t）≥0，∴PN=-t2+3t（7分）（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴S=DC•AD=×3×2=3；（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形∵PN∥CD，AD⊥CD，∴S=（CD+PN）•AD=[3+（-t2+3t）]×2=-t2+3t+3（8分）当-t2+3t+3=5时，解得t=1、2（9分）而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，当t=1时，此时N点的坐标（1，3）（10分）当t=2时，此时N点的坐标（2，4）．（11分）说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合，（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以，不扣分）点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线的顶点坐标的求法、图形的面积求法以及二次函数的应用．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．\n110（2）（2010•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+x+m2-3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上．（1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E．延长PE到点D．使得ED=PE．以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）j当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；k若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F．延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点，N点也随之运动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）由抛物线y=-x2+x+m2-3m+2与x轴的交点分别为原点O，令x=0，y=0，解得m的值，点B（2，n）在这条抛物线上，把该点代入抛物线方程，解得n．（2）设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为y=2x，由A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标，设P点的坐标为（a，0），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1．可求得点C的坐标，进而求出OP的值，依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，求出直线AB的解析式，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况，解出各种情况下的时间t．\n解答：解：（1）∵抛物线y=-x2+x+m2-3m+2经过原点，∴m2-3m+2=0，解得m1=1，m2=2，由题意知m≠1，∴m=2，∴抛物线的解析式为y=-x2+x，∵点B（2，n）在抛物线y=-x2+x上，∴n=4，∴B点的坐标为（2，4）．（2）设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为y=2x，∵A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为（10，0），设P点的坐标为（a，0），则E点的坐标为（a，2a），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1，可求得点C的坐标为（3a，2a），由C点在抛物线上，得：2a=-´（3a）2+\n´3a，即a2-a=0，解得a1=，a2=0（舍去），∴OP=．依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，由点A（10，0），点B（2，4），求得直线AB的解析式为y=-x+5，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD与NQ在同一条直线上．如图2所示．可证△DPQ为等腰直角三角形．此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位．∴PQ=DP=4t，∴t+4t+2t=10，∴t=．第二种情况：PC与MN在同一条直线上．如图3所示．可证△PQM为等腰直角三角形．此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位．∴OQ=10-2t，∵F点在直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，∴t+2t+2t=10，∴t=2．第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示．此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位．∴t+2t=10，\n∴t=．综上，符合题意的t值分别为，2，点评：本题是二次函数的综合题，要会求抛物线的解析式，讨论分类情况，此题比较繁琐，做题多加用心．111（2）（2010•重庆）已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；直角三角形的性质．\n专题：综合题．分析：（1）由于点Q从点O运动到点C需要2秒，点P从点A→O→B需要秒，所以分两种情况讨论：①0＜t＜；②≤t＜．针对每一种情况，根据P点所在的位置，由三角形的面积公式得出△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并且得出自变量t的取值范围；（2）如果△OCD为等腰三角形，那么分D在OA边或者OB边上两种情形．每一种情形，都有可能O为顶点，C为顶点，D为顶点，分别讨论，得出结果；（3）如果延长BA至点F，使AF=OM，连接CF，则由SAS可证△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS证出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，那么△BMN的周长=BA+BO=4．解答：解：（1）过点C作CD⊥OA于点D．（如图）∵OC=AC，∠ACO=120°，∴∠AOC=∠OAC=30°．∵OC=AC，CD⊥OA，∴OD=DA=1．在Rt△ODC中，OC===（1分）（i）当0＜t＜时，OQ=t，AP=3t，OP=OA-AP=2-3t．过点Q作QE⊥OA于点E．（如图）在Rt△OEQ中，∵∠AOC=30°，∴QE=OQ=，∴S△OPQ=OP•EQ=（2-3t）•=-+t，即S=-+t；（3分）（ii）当≤t＜时（如图）\nOQ=t，OP=3t-2．∴∠BOA=60°，∠AOC=30°，∴∠POQ=90°．∴S△OPQ=OQ•OP=t•（3t-2）=-t，即S=-t；故当0＜t＜时，S=-+t，当≤t＜时，S=-t（5分）（2）D（，1）或（，0）或（，0）或（，）（9分）（3）△BMN的周长不发生变化．理由如下：延长BA至点F，使AF=OM，连接CF．（如图）又∵∠MOC=∠FAC=90°，OC=AC，∴△MOC≌△FAC，∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．（10分）∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA=∠OCA-∠MCN=60°，∴∠FCN=∠MCN．又∵MC=CF，CN=CN，\n∴△MCN≌△FCN，∴MN=NF．（11分）∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO-OM+BA+AF=BA+BO=4．∴△BMN的周长不变，其周长为4．点评：本题综合考查了等腰三角形、等边三角形的性质，全等三角形的判定．难度很大．注意分类讨论时，做到不重复，不遗漏．112、（2010•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是改抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：\n（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAO，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P点的坐标；（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．解答：解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，-1），∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，将C（0，3）代入上式，得：3=a（0-2）2-1，a=1；∴y=（x-2）2-1，即y=x2-4x+3；（2）分两种情况：①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；令y=0，得x2-4x+3=0，解得x=1，x=3；∵点A在点B的右边，∴B（1，0），A（3，0）；∴P1（1，0）；②当点A为△APD2的直角顶点时；\n∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OAD2=45°；当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°，∴AO平分∠D2AP2；又∵P2D2∥y轴，∴P2D2⊥AO，∴P2、D2关于x轴对称；设直线AC的函数关系式为y=kx+b；将A（3，0），C（0，3）代入上式得：，解得；∴y=-x+3；设D2（x，-x+3），P2（x，x2-4x+3），则有：（-x+3）+（x2-4x+3）=0，即x2-5x+6=0；解得x=2，x=3（舍去）；∴当x=2时，y=x2-4x+3=22-4×2+3=-1；∴P2的坐标为P2（2，-1）（即为抛物线顶点）∴P点坐标为P1（1，0），P2\n（2，-1）；（3）由（2）知，当P点的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；当点P的坐标为P2（2，-1）（即顶点Q）时，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；∵P（2，1），∴可设F（x，1）；∴x2-4x-3=1，解得x=2-，x=2+；∴符合条件的F点有两个，即F1（2-，1），F2（2+，1）．点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定和性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大．113、（2010•义乌市）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2-x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t\n的值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）已知了O、A、B的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可得到其对称轴方程和顶点M的坐标．（2）在两条直线平移的过程中，梯形的上下底发生了改变，但是梯形的高没有变化，仍为3，即y2-y1=3，可根据抛物线的解析式，用x1、x2表示出y1、y2，然后联立y2-y1=3，可得到第一个关于x1、x2的关系式①；在两条直线平移过程中，抛物线的对称轴没有变化，可用x1、x2以及抛物线的对称轴解析式表示出梯形上下底的长，进而可得到梯形面积的表达式，这样可得到另外一个x1、x2的关系式②，联立两个关系式，即可得到关于（x2-x1）与S的关系式③，将S=36代入②③的关系式中，即可列方程组求得x1、x2的值，进而可求出A点的坐标．（3）要解答此题，首先要弄清几个关键点：一、当PQ∥AB时，设直线AB与抛物线对称轴的交点为E，可得△DPQ∽△DBE，可用t表示出DP、DQ的长，而E点坐标易求得，根据相似三角形所得比例线段，即可得到此时t的值即t=；二、当P、Q都停止运动时，显然BC＞DM，所以此时t=DM÷1=3；可分两种情况讨论：①当0＜t＜时，设直线PQ与直线AB的交点为F，与x轴的交点为G；由题意知△FQE∽△FAG，得∠FGA=∠FEQ，由于BC∥x轴，则∠DPQ=∠FGA=∠FEQ，由此可证得△DPQ∽△DEB，DB、DE的长已求得，可用t表示出DP、DQ的长，根据相似三角形所得比例线段，即可求得此时t的值；②当＜t＜3时，方法同①；在求得t的值后，还要根据各自的取值范围将不合题意的解舍去．\n解答：解：（1）对称轴：直线x=1，解析式：y=-x，顶点坐标：M（1，-）．（2）由题意得y2-y1=3，y2-y1=--+=3，得：（x2-x1）[（x2+x1）-]=3①，s==3（x1+x2）-6，得：x1+x2=+2②，把②代入①并整理得：x2-x1=（S＞0），当s=36时，，解得：，把x1=6代入抛物线解析式得y1=3，∴点A1（6，3）．（3）存在易知直线AB的解析式为y=x-，可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为（1，-），∴BD=5，DE=，DP=5-t，DQ=t，当PQ∥AB时，=，=，得t=，下面分两种情况讨论：设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G；①当0＜t＜时，如图1-1；∵△FQE∽△FAG，∴∠FGA=∠FEQ，∴∠DPQ=∠DEB；易得△DPQ∽△DEB，∴=，\n∴=，得t=＞，∴t=（舍去）；②当＜t＜3时，如图1-2；∵△FQE∽△FAG，∴∠FAG=∠FQE，∵∠DQP=∠FQE，∠FAG=∠EBD，∴∠DQP=∠DBE，易得△DPQ∽△DEB，∴=，∴=，∴t=；∴当t=秒时，使直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似．点评：本题是二次函数的综合类试题，涉及到：二次函数解析式的确定、等腰梯形的性质、图形面积的求法、相似三角形的判定和性质等重要知识；在（3）题中能够正确的画出图形，并准确的找到所求的三角形是解答此题的关键．\n114、（2010•广东）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．考点：勾股定理的逆定理；平行线的性质；三角形中位线定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：综合题；动点型．分析：（1）由平行线的性质可得∠QPW=∠MNF，∠PQW=NFM，故有△FMN∽△QWP；（2）当△PMN是直角三角形时，△QWP也为直角三角形，当MF⊥FN时，证得△DFM∽△GFN，有DF：FG=DM：GN，得到4-x=2x，求得x此时的值，当MG⊥FN时，点M与点A重合，点N与点G重合，此时x=AD=4；（3）当点F、M、N在同一直线上时，MN最短，可求由比例式求得x的值．解答：解：（1）∵PQ∥FN，PW∥MN∴∠QPW=∠PWF，∠PWF=∠MNF\n∴∠QPW=∠MNF同理∠PQW=NFM，∴△FMN∽△QWP（2）由于△FMN∽△QWP，故当△PMN是直角三角形时，△QWP也为直角三角形，作FG⊥AB，则四边形FCBG是正方形，有GB=CF=CD-DF=4，GN=GB-BN=4-x，DM=x，①当MF⊥FN时，∵∠DFM+∠MFG=∠MFG+∠GFN=90°∴∠DFM=∠GFN∵∠D=∠FGN=90°∴△DFM∽△GFN∴DF：FG=DM：GN=2：4=1：2∴GN=2DM∴4-x=2x∴x=，②当MG⊥FN时，点M与点A重合，点N与点G重合，∴x=AD=GB=4∴当x=4或时，△QWP为直角三角形，当0＜x＜，＜x＜4时，△\nQWP不为直角三角形．（3）当点M、N、F在同一直线上时，MN最短．∵DF∥AN∴AN：DF=AM：DM∴=解得x=2+2（负值舍去）．点评：本题为动点变化的题，主要利用了相似三角形的判定和性质，平行线的性质求解．