初中数学练习题B卷(“《数学周报》杯”2009年全国初中 11页

初中数学练习题B卷一、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）1．已知非零实数a，b满足，则等于（）．（A）－1（B）0（C）1（D）22．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）．（第2题）（A）（B）（C）1（D）23．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（）．（A）（B）（C）（D）4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，.动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（）．（A）10（B）16（C）18（D）32图1图1图25．关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（）．（A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km．．初中数学练习题B卷第11页共11页\n7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为．8．已知是满足条件的五个不同的整数，若是关于x的方程的整数根，则的值为．9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于．（第7题图）（第9题图）（第10题图）10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．三、解答题（共4题，每题15分，共60分）11．已知正整数满足，且，求满足条件的所有可能的正整数的和．12．把下列多项式分解因式：（1）a3+b3+c3－3abc（2）（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48　初中数学练习题B卷第11页共11页\n（3）（x2－3x－3）（x2+3x+4）－813、已知抛物线与动直线有公共点，，且.（1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.14．如图，给定锐角三角形ABC，，AD，BE是它的两条高，过点作△ABC的外接圆的切线，过点D，E分别作的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．．15．n个正整数满足如下条件：；且中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．初中数学练习题B卷第11页共11页\n初中数学练习题B卷答案1．已知非零实数a，b满足，则等于（）．（A）－1（B）0（C）1（D）2【答】C．解：由题设知要有意义，因，只需得a≥3，2a-4>0，所以，，得，于是，从而＝1．2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）．（A）（B）（C）1（D）2【答】A．（第2题）解法1：在菱形ABCD中AB=BC，且已知OC=OB，所以△BOC和△ABC都是等腰三角形，∠OCB=∠BCA=∠OBC=∠BAC所以△BOC∽△ABC，所以，即，所以，．F由，解得．解法2：连结BD交AC于F，由菱形性质知AC⊥BD，AF=，FO=，在Rt△ADF和Rt△ODF中根据勾股定理得即化简得，由，解得．初中数学练习题B卷第11页共11页\n3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（）．（A）（B）（C）（D）【答】D．解：当时，方程组无解．当时，方程组的解为由已知，得即或由，的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得共有5×2＝10种情况；或共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为．4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，.动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（）．（A）10（B）16（C）18（D）32（第4题）图2图1【答】B．解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故S△ABC＝×8×4＝16.5．关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（）．初中数学练习题B卷第11页共11页\n（A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组【答】C．解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为．由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数．由≥，解得≤．于是01491611610988534显然，只有时，是完全平方数，符合要求．当时，原方程为，此时；当y＝－4时，原方程为，此时．所以，原方程的整数解为二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有两式相加，得，初中数学练习题B卷第11页共11页\n则．7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为．解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF．由题设知，，在△FHA和△EFA中，，所以Rt△FHA∽Rt△EFA，（第7题）.而，所以.8．已知是满足条件的五个不同的整数，若是关于x的方程的整数根，则的值为．【答】10．解：因为，且是五个不同的整数，所有也是五个不同的整数．又因为，所以．由，可得．9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于．【答】．解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25．初中数学练习题B卷第11页共11页\n故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且．作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以（第9题），即，解得．所以．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．（第10题）【答】．解：设报3的人心里想的数是，则报5的人心里想的数应是．于是报7的人心里想的数是，报9的人心里想的数是，报1的人心里想的数是，报3的人心里想的数是．所以，解得．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知正整数满足，且，求满足条件的所有可能的正整数的和．解：表示商是整数，即192能整除，即须被192整除。由可得+192，，且．………………5分因为是奇数，不含有因数2。令，则被3除余1，即不含有因数3；令，则，被3除余1；令则，被3整除，【此时要使初中数学练习题B卷第11页共11页\n被192整除，则须a-1被整除，而又必能被3整除，等价于求a-1须被192整除】。综上，要使被192整除，必须被192整除。所以等价于，又因为，所以等价于．因此有，于是可得．…15分又，所以．因此，满足条件的所有可能的正整数的和为…=11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571．………………20分12．解：（1）a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2　　＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)（2）（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48=（x2+5x+4）(x2+5x+6)-48=（x2+5x）2+10（x2+5x）-24=（x2+5x+12）（x2+5x-2）（3）（x2－3x－3）（x2-3x+4）－8=(x2－3x)2+（x2－3x）-20=(x2－3x+5)(x2－3x-4)=(x2－3x+5)(x-4)(x+1)13.已知抛物线与动直线有公共点，，且.（1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.解：（1）联立与，消去y得二次方程①有实数根，，则．所以=＝．②………………5分把②式代入方程①得．③初中数学练习题B卷第11页共11页\nt的取值应满足≥0，④且使方程③有实数根，即＝≥0，⑤解不等式④得≤-3或≥1，解不等式⑤得≤≤.所以，t的取值范围为≤≤.⑥………………15分(2)由②式知.由于在≤≤时是递增的，所以，当时,.………………20分14．如图，给定锐角三角形ABC，，AD，BE是它的两条高，过点作△ABC的外接圆的切线，过点D，E分别作的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．解法1：结论是．下面给出证明．………………5分因为，所以Rt△FCD∽Rt△EAB．于是可得．同理可得．（第14题）………………10分又因为，所以有，于是可得．………………20分解法2：结论是．下面给出证明．………………5分连接DE，因为，所以A，B，D，E四点共圆，故．………………10分初中数学练习题B卷第11页共11页\n（第14题）又l是⊙O的过点C的切线，所以．………………15分所以，，于是DE∥FG，故DF＝EG．………………20分15．n个正整数满足如下条件：；且中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．解：设中去掉后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数，．即．于是，对于任意的1≤≤n，都有，从而．………………5分由于是正整数，故．………………10分由于≥，所以，≤2008，于是n≤45.结合，所以，n≤9．………………15分另一方面，令，…，，，则这9个数满足题设要求．综上所述，n的最大值为9.………………20分初中数学练习题B卷第11页共11页