初中数学竞赛精品标准教程及练习70份初中数学竞赛精品标准教程及练习54整数解 5页

初中数学竞赛精品标准教程及练习（54）整数解一、内容提要1.求方程或不等式的整数解，就是求适合等式或不等式的未知数的整数值，包括判断无整数解.2.求整数解常用的性质、法则：①.数的运.算性质：整数＋整数＝整数，　整数－整数＝整数，整数×整数＝整数，　整数的自然数次幂＝整数,整数÷（这个整数的约数）＝整数.②.整系数的方程　ax2+bx+c=0(a≠0)只有当b2－4ac是完全平方数时，才有整数根.　有时用韦达定理x1+x2与x1x1都是整数，来确定整数解，但必须检验（因为它们只是整数解必要条件）.③.运用二元一次方程求整数解（见第10讲）.④.用列举法.3.判定方程或不等式没有整数解，常用反证法.即设有整数解之后，把整数按某一模m分类，逐一推出矛盾.二、例题例1.求下列方程的正整数解：　①　xy+x+y=5；　②　x2+y2＝1991.解：①先写成关于x的方程，　（y+1）x=5－y.x=.当y+1取6的约数±1,±2,±3,±6时，x的值是整数.　∵－1＋＞0，　且x>0,y>0,∴11,x+1>1.∴或　　解得；或.\n②要等式成立，x,y必须是一奇一偶，设x=2a,y=2b－1(a,b都是正整数).左边x2+y2＝（2a）2+(2b－1)2=4(a2+a+b2－b)+1.∴a,b不论取什么整数值，左边的数都是除以4余1，而右边1991是除以4余3.∴等式永远不能成立.　∴原方程没有正整数解.例2.一个正整数加上38或129都是完全平方数，求这个正整数.若把正整数改为整数呢？解：设这个正整数为x，根据题意，得(a,b都是正整数).(2)－(1)：b2－a2=91.(b+a)(b－a)=91，∵91=1×91=7×13且b+a>b－a.∴或　解得，；或.由方程(1)知a>,由方程(2)知b>.∴只有适合.∴x=a2－38=1987.答(略).如果改为整数，则两组的解都适合.另一个解是：x=a2－38=9－38=－29.例3.一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，则这个自然数的最小值是多少？　　解法一：用列举法与3的和是5的倍数的自然数有：2，7，12，17，22，27，…与3的差是6的倍数的自然数有：3，9，15，22，27，…∴符合条件的最小自然数是27.解法二：设所求自然数为x,那么(a,b都是自然数).∴x=5a－3=6b+3,∴a=,∵a,b都是自然数，∴b+1是5的倍数，其最小值是b=4.∴x=6b+3=27.\n例4.m取什么整数值时，方程mx2+(m2－2)x－(m+2)=0有整数解？解：设方程两个整数根为x1,x2.那么它们的和、积都是整数.根据韦达定理：∵x1和x2都是整数，∴m是2的约数，即m=±1，±2.∵这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要代入检验.当m=1时，原方程为x2－x－3=0,没有整数解；当m=－1时，原方程为－x2－x－1=0,没有实数根；当m=2或m=－2时，方程有整数解.　　答：当m=2或m=－2时，方程mx2+(m2－2)x－(m+2)=0有整数解.例5.　已知：n是正整数，且9n2+5n+26的值是两个相邻正整数的积.求：n的值.　　　　　　　　　解：设9n2+5n+26＝m(m+1)，m为正整数.　　　　　　　m2+m－(9n2+5n)=26.（把左边化为积的形式，先配方再分解因式）（m+）2－(3n+)2=26+,(m++3n+)(m+－3n－)=25，去分母并整理得：（3m+9n+4）(3m－9n－1)=230.　　　　∵230＝1×230＝2×115＝5×46＝10×23，且3m+9n＞3m－9n..∴；　　或　　；或；　　　或　.解方程组，正整数的值只有　n=2或　n=6.例6.　已知：方程x2－2(m+1)x+m2=0有两个整数根，且12＜m<60.求：m的整数值.解：要使一元二次方程有整数解，必须△为完全平方数.△＝［－2（m+1）］2－4m2=8m+4=4(2m+1).即当2m+1是完全平方数时，方程有整数解.∵12