初中数学竞赛精品标准教程及练习70份初中数学竞赛精品标准教程及练习31勾股定理 5页

初中数学竞赛精品标准教程及练习（31）勾股定理一、内容提要1.勾股定理及逆定理：△ABC中　∠C＝Rt∠a2＋b2=c22.勾股定理及逆定理的应用①作已知线段a的，，……倍②计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题③证明线段的平方关系等。3.勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.4.勾股数的推算公式①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn,　m2+n2是一组勾股数。②如果k是大于1的奇数，那么k,,是一组勾股数。③如果k是大于2的偶数，那么k,,是一组勾股数。④如果a,b,c是勾股数，那么na,　nb,　nc　(n是正整数)也是勾股数。5.熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；　5，12，13；　7，24，25；　8，15，17；　9，40，41。二、例题例1.已知线段a　　a　　　　a　　　2a　　3aa　　　　　　　　　　　　　　　　　　求作线段a　　　　　　　　　　　　a　　　　　　　　分析一：a＝＝2a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二：a＝∴a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图（略）例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2\n求对角线AC的长　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴CE＝2CD＝4，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在Rt△ABE中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　设AB为x,则AE＝2x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　根据勾股定理x2+52=(2x)2,x2=　　　　　　　　　　　　　在Rt△ABC中，AC＝＝＝例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A求证：AB2－BC2＝AB×BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：作∠B的平分线交AC于D，　　　　　　　　　　　　　则∠A＝∠ABD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∠BDC＝2∠A＝∠C∴AD＝BD＝BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　作BM⊥AC于M，则CM＝DM　　　　　　　　　　　　　　　　　AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2）　　　　　　　　　　　　　　　　＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM）　　　　　　　　　　　　　＝AC×AD＝AB×BC例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD　求证：AB＝AC　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　则c+n=b+m,c-b=m-n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AD⊥BC，根据勾股定理，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　AD2＝c2-m2=b2-n2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴c2-b2=m2-n2,(c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b)=(m+n)((c-b)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(c+b)(c-b)－(m+n)(c-b)＝0(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0∵c+b>m+n,∴c-b=0即c=b∴AB＝AC例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC求证：AC＞BD证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、FACDE和BCDF都是平行四边形∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　作DH⊥AB于H，根据勾股定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\nAH＝，FH＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AD＞BC，AD＞DF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴AH＞FH，EH＞BH　　　　　　　　　　　　　DE＝，BD＝∴DE＞BD即AC＞BD例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求：的值　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：根据勾股定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a2+b2=EF2＝SEFGH＝;①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH　　∴　2ab=　　　②①－②得　（a-b）2=　　　　∴＝三、练习311.以下列数字为一边，写出一组勾股数：①7，＿＿，＿＿　　②8，＿＿，＿＿　　③9，＿＿，＿＿④10，＿＿，＿＿　　⑤11，＿＿，＿＿　　⑥12，＿＿，＿＿2.根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：①252－242＝＿＿，　　　②52＋122＝＿＿，③＝＿＿＿，④＝＿＿＿3.△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。那么S△ABC＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿4.　梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形＝＿＿＿5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD求证：AE＝AF6.已知：M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，且BD＝BF，CD＝CE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求证：AE＝AF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\n7.在△ABC中，∠C是钝角，a2-b2=bc　求证∠A＝2∠B8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用反证法）9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：AP2＋BP2＝2CP211.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，ACME⊥MF求证：EF2＝BE2＋CF212.Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝60，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3，…p100,记mi=APi2+BPi×PiC(I=1,2……，100)，则m1+m2+…＋m100=____练习31参考答案：3.　150，12，35　　　4.　24（作CE∥BD交AB延长线E）5.利用勾股定理证明AE，AF的平方都等于m2+n2+AD26.利用勾股定理:　AE2＝……，AF2＝……7.作CD⊥AB于D，∵bc=a2-b2=BD2-AD2=(BD+AD)(BD-AD)∴b=BD-AD……8.（用反证法）设a,b,c都是奇数，那么a2,b2,c2也都是奇数，　∴a2＋b2是偶数,而c2是奇数，这与a2＋b2＝c2相矛盾，　故这种假设不能成立，　∴a,b,c中至少有一个数是偶数9.　正整数解有答：各边长是5，12，13或6，8，1011.延长EM到N，使MN＝EM，连结CN，显然△MNC≌△MEB，NC＝BE，NF＝EF……12.　可证DF＝DE＝2，　　13.　400(mi=4)\n