初中数学《直线型面积(一)》讲义及练习 16页

第一讲直线型面积（一）教学目标1.熟练运用直线型面积的最基本性质——等积变形；2.熟练掌握直线型面积的两个模型：（1）等积变形（2）鸟头模型知识精讲直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。最基本的思想是等积变形。一、等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；反之，如果，则可知直线平行于．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在中，分别是上的点如图⑴(或在的延长线上，在上)，则板块一、等积变形【例1】如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为\n边上的任意一点，求阴影部分的面积．【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接、．∵，∴．同理，，，∴(平方厘米)．【巩固】图中的、、分别是正方形三条边的三等分点，如果正方形的边长是，那么阴影部分的面积是．【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的个边就都被分成了相等的三段．把和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了个形状各不相同的三角形．这个三角形的底边分别是在正方形的个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了个三角形，右边三角形的面积和第第个三角形相等：中间三角形的面积和第第个三角形相等；左边三角形的面积和第个第个三角形相等．因此这个阴影三角形的面积分别是、和的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是，阴影部分的面积就是．【例1】如图，有三个正方形的顶点、、恰好在同一条直线上，其中正方形的边长为10厘米，求阴影部分的面积．【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接、、，则，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得，，所以阴影部分的面积就等于正方形的面积，即为平方厘米．【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积．\n【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接(见右上图)，可以看出，三角形与三角形的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形是三角形与三角形的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等．根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形的面积，等于．【巩固】(2008年西城实验考题)如图，与均为正方形，三角形的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为．【解析】如图，连接，比较与，由于，，即与的底与高分别相等，所以与的面积相等，那么阴影部分面积与的面积相等，为6平方厘米．【巩固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【解析】方法一：三角形BEF的面积，梯形EFDC的面积三角形BEF的面积，而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积三角形BCH的面积，进而可得，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)．方法二：连接CF，那么CF平行BD，所以，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)．【例1】长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图：\n可得：、、，而即；而，．所以阴影部分的面积是：解法二：特殊点法．找的特殊点，把点与点重合，那么图形就可变成右图：这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有：．【巩固】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分面积．【解析】（法1）特殊点法．由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为平方厘米．（法2）连接、．由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴影部分的面积为平方厘米．【例1】(2007首届全国资优生思维能力测试)是边长为12的正方形，如图所示，是内部任意一点，、，那么阴影部分的面积是．\n【解析】（法1）特殊点法．由于是内部任意一点，不妨设点与点重合(如上中图)，那么阴影部分就是和．而的面积为，的面积为，所以阴影部分的面积为．（法2）寻找可以利用的条件，连接、、、可得右上图所示：则有:同理可得：;而,即；同理：,,;所以：而；；所以阴影部分的面积是：即为：．【例1】(2008年四中考题)如右图，，，已知阴影部分面积为5平方厘米，的面积是平方厘米．【解析】连接．根据题意可知，的面积为面积的，的面积为面积的，所以的面积为面积的．而的面积为5平方厘米，所以的面积为(平方厘米)．【巩固】图中三角形的面积是180平方厘米，是的中点，的长是长的3倍，的长是长的3倍．那么三角形的面积是多少平方厘米？\n【解析】，等高，所以面积的比为底的比，有,所以=(平方厘米)．同理有(平方厘米)，(平方厘米)．即三角形的面积是22.5平方厘米．【例1】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【解析】如图，将大长方形的长的长度设为1，则，，所以，阴影部分面积为．【例2】(2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形中，已知三角形、三角形、三角形的面积分别是89，28，26．那么三角形的面积是．【解析】根据题意可知，，所以，那么，故．【例3】是长方形内一点，已知的面积是，的面积是，求的面积是多少？\n【解析】由于是长方形，所以，而，所以，则，所以．【例1】如右图，过平行四边形内的一点作边的平行线、，若的面积为8平方分米，求平行四边形的面积比平行四边形的面积大多少平方分米？【解析】根据差不变原理，要求平行四边形的面积与平行四边形的面积差，相当于求平行四边形的面积与平行四边形的面积差．如右上图，连接、．由于，所以．而，，所以(平方分米)．【例2】如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积．【解析】连接交于点，并连接．如下图所示，可得，所以与面积相等(同底等高)，所以有：，因为，所以．【巩固】如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积．【解析】连接交于点，并连接．如右上图所示，可得，所以与面积相等(同底等高)，所以有:，因为，所以．\n【例1】(2008年”华杯赛”决赛)右图中，和是两个正方形，和相交于，已知等于的三分之一，三角形的面积等于6平方厘米，求五边形的面积．【解析】连接、，由于与平行，可知四边形构成一个梯形．由于面积为6平方厘米，且等于的三分之一，所以等于的，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知的面积为12平方厘米，的面积为6平方厘米，的面积为3平方厘米．那么正方形的面积为平方厘米，所以其边长为6厘米．又的面积为平方厘米，所以(厘米)，即正方形的边长为3厘米．那么，五边形的面积为：(平方厘米)．【例2】如图，已知长方形的面积，三角形的面积是，三角形的面积是，那么三角形的面积是多少？【解析】方法一：连接对角线．∵是长方形∴∴，∴，∴∴．方法二：连接，由图知，所以，又由，恰好是面积的一半，所以是的中点，因此，所以【例3】(第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形中，是边的中点，是边上的一点，且，为与的交点．若的面积为平方厘米，的面积为平方厘米．且是平方厘米，那么三角形的面积是平方厘米．\n【解析】，，所以(平方厘米)．所以(平方厘米)．【例1】如图，长方形的面积是2平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？【解析】如下图，连接，、的面积相等，设为平方厘米;、的面积相等，设为平方厘米，那么的面积为平方厘米．　　，．所以有．比较②、①式，②式左边比①式左边多，②式右边比①式右边大0.5，有，即,．而阴影部分面积为平方厘米．【例2】(年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级试)如图，，，被分成个面积相等的小三角形，那么．【解析】由题意可知，，所以，；又，所以，同样分析可得，所以．【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角的两边上分别有、、及、、六个点，并且、、、、的面积都等于1，则的面积等于．\n【解析】根据题意可知，，所以，．【例1】(2009年四中入学测试题)如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是．【解析】连接，．根据题意可知，；；所以，，，，，于是：；；可得．故三角形的面积是40．【例2】(2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的面积为．【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积．由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为；又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为．另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为．【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形的面积为24平方厘米．三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则四边形的面积是平方厘米．\n【解析】因为三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即12平方厘米，又三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则三角形与三角形的面积之和是平方厘米，则四边形的面积三角形面积三角形与三角形的面积之和三角形面积(平方厘米)．【例1】(清华附中分班考试题)如图，如果长方形的面积是平方厘米，那么四边形的面积是多少平方厘米？【解析】如图，过、、、分别作长方形的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为厘米，面积等于平方厘米．设、、、的面积之和为，四边形的面积等于，则，解得(平方厘米)．板块二鸟头模型【例2】如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积．【解析】连接，，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？\n【解析】连接．∵，∴，又∵，∴，∴，．【例1】如图在中，在的延长线上，在上，且，，平方厘米，求的面积．【解析】连接，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例2】如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，，三角形的面积是多少？【解析】由于，所以可以用共角定理，设份，份，则份，份，由共角定理，设份，恰好是平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，三角形的面积是平方厘米【例3】已知的面积为平方厘米，，求的面积．【解析】，设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米【例4】如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积．\n【解析】(法)本题是性质的反复使用．连接、．∵，，∴．同理可得其它，最后三角形的面积．(法)用共角定理∵在和中，与互补，∴．又，所以．同理可得，．所以．【例1】如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是，求平行四边形与四边形的面积比．【解析】连接、．根据共角定理∵在和中，与互补，∴．又，所以．同理可得，，．所以．所以．【例2】如图，将四边形的四条边、、、分别延长两倍至点、、、，若四边形的面积为5，则四边形的面积是．\n【解析】连接、．由于，，于是，同理．于是．再由于，，于是，同理．于是．那么．【例1】如图，，，，，．求．【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的种情况．最后求得的面积为．课后练习练习1.(第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的，黄色三角形面积是．问：长方形的面积是多少平方厘米？【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的，而绿色三角形面积占长方形面积的，所以黄色三角形面积占长方形面积的．已知黄色三角形面积是，所以长方形面积等于（）．练习2.如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？\n【解析】AEC、AFC、ABF．练习1.(97迎春杯决赛)如图，长方形的面积是，是边的中点，在边上，且.那么，阴影部分的面积是多少？【解析】连接，因为是中点所以的面积为又因为，所以的面积为，又因为面积为，所以阴影部分的面积为：.练习2.如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．【解析】三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半，三角形ADE又是三角形ADC面积的一半．三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积．练习3.如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？【解析】连接．∵∴又∵∴，∴．练习4.如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？【解析】∵在和中，与互补，\n∴．又，所以．同理可得，．所以