初中数学《数学思想之二》讲义及练习 10页

第十四讲：数学思想之二教学目标本讲主要学习从对应法、特殊情况考虑、从简单情况考虑、从反面情况考虑、从整体情况考虑，矩形图法这五大数学方法.通过学习让学生掌握应用这六种方法解决实际问题的能力.培养学生的数学意识，总结年级的各类专题，将专题学习上升到思想学习知识点拨数学是一座智慧的城堡，探索则是打开城堡大门的钥匙。在这神秘的世界里有许多的难题，应用题便是其中有趣的一族。这节课向你介绍一些巧妙解应用题的好方法-----数学思想解题。它们不但能让你的思维变得灵活，而且还能提高你的正确率本讲安排的内容，不仅蕴涵了丰富的思想与方法，而且充分展示了数学的神奇智慧和艺术魅力，以期激发学生的数学兴趣和探索知识的欲望.这些内容，既巩固课堂知识，又给学生的数学能力提供了-个发展空间，在不知不觉中将学生引进奥妙无穷的数学世界之中.例题精讲模块一、对应法解题时找准数量之间的对应关系,就能实现由未知向已知的转化.这种运用对应关系解题的方法就是对应法.如总数与总份数的对应;路程与时间的对应等.【例1】30辆小车和3辆卡车一次运货75吨，45辆小车和6辆卡车一次运货120吨.每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨？【解析】摘录条件：30辆小车     +3辆卡车   =   75吨45辆小车    + 6辆卡车   =   120吨比较条件，转化为：60辆小车 +   6辆卡车  =   150吨45辆小车 +   6辆卡车  =  120吨从对应量的变化，可以看出（150-120）吨正好与（60-45）辆小车的载重量相对应，因此每辆小车每次可以运货（150-120）÷（60-45）=2吨，那么每辆卡车每次可以运货（75-30×2）÷3=5吨.【例2】从1985到4891的整数中，十位数字与个位数字相同的数共有多少个?【解析】根据条件“十位数字与个位数字相同”，所以我们可以设想把相同的两个数“合并”成一个数，这样一来，四位数就变成了三位数.把在1985～4891的自然数中十位数字与个位数字相同的数1988、1999、…、4888与“合并”后的三位数建立一一对应关系：因为上述三位数共有488-198＋1＝291个，所以，在1985～4891的整数中，十位数字与个位数字相同的数也有291个.【例3】100个连续自然数的和是8450取其中第1个，第3个，第5个，…，第99个(所有第奇数个)，再把这50个数相加，和是多少?\n【解析】因为100个连续自然数中的所有第奇数个自然数构成了公差为2的等差数列，所以常规的思路是把这50个自然数求出来之后再求和，这是一种从局部到整体的分析策略.(动笔算算看！)运用对应的思想去分析却别有一番天地.如上图所示，我们虽然不知道这lOO个连续自然数具体是几，但我们可以把这100个连续自然数进行配对：(第1个，第2个)、(第3个，第4个)、…、(第99个，第100个)配对后，显然每一对自然数相差1.那么所有“第奇数个自然数的和”比所有“第偶数个自然数的和”少50.由此问题转化为一个和差问题，而所有第奇数个自然数的和(8450-50)÷2＝4200.【巩固】计算：(2＋4＋6＋8＋…＋1000)-(1＋3＋5＋7＋…＋999)【解析】由于算式“2＋4＋6＋8＋…＋1000”与“1＋3＋5＋7＋…＋999”都是等差数列求和，所以常规的思路是通过分别求和，然后再来计算差.如果用对应的思想来分析会更简捷、利落!首先注意到两个算式都有1000÷2＝500项，这样一来，我们可以把这500项一一对应：通过对应后看出，每一对都相差l.由此得出：(2＋4＋6＋8＋…＋1000)-(1＋3＋5＋7＋…＋999)＝1×500＝500.【例2】将自然数1，2，3，…，100依次无间隔地写成一个多位数：1234567891011…9899100求这个多位数的所有数码之和.【解析】为了求出多位数1234567891011…9899100的所有数码之和，常规的思路是把这个多位数按一位数、两位数及三位数进行分类，计算数码1、2、3、4、5、6、7、8、9分别出现了多少次，然后再来算出所有数码之和.这样的算法显然是可行的，但是运算量较大.运用对应的思想可以巧妙地解决这个问题.我们可以把自然数1，2，3，…，98，99，100做如下对应：通过上表我们可以看出：除了自然数100没有对应的数外(把99设想成与0对应并不影响问题的最终结果)，其余的数与它相对应的数组成的每一对数的数字和均为9＋9＝18.所以多位数1234567891011…9899100的所有数码之和为：(9＋9)×50＋1=901.【例3】鸡、兔共有脚44只，若将鸡、兔互换，则共有脚52只，问鸡、兔各有多少只?【解析】我们可以这样来想象，当把“原来的鸡与兔”看作第一群鸡兔；鸡与兔互换后，又产生了第二群鸡兔.在第二群鸡兔中，现在鸡的只数与原来兔的只数相等，兔的只数与原来鸡的只数相等.这时，第一群鸡兔与第二群鸡兔合在一起的总脚数为：44＋52=96(只).\n接下来，我们可以把第一群鸡兔中的鸡(兔)与第二群鸡兔中的兔(鸡)对应起来组成一个对，每一对有2＋4＝6只脚，所以当把第一群鸡兔与第二群鸡兔合在一起时共分了96÷6＝16对，由此可知原来的鸡兔共有16只.这样一来就把原来的问题转化成了一个典型的鸡兔同笼问题：鸡兔共有16只，总脚数是44只，求鸡、兔各有几只?不难求出：兔的只数＝(44-2×16)÷(4-2)＝6(只)：鸡的只数＝(4×16-44)÷(4-2)＝10(只).【例1】（07年“走进美妙数学花园”试题）在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个?【解析】首先明确，题中所讲的1×3长方形中间的那个小方格为黑色.显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中.下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的1×3长方形(一横一竖)；第二种情况，位于边上的黑色方格只能对应一个1×3长方形.综上所述，在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的有18个，位于边上的有12个，故本题的答案为18×2＋12＝48个.【例2】(06年华杯赛试题)如图所示，一只用黑白两色皮子缝制成的足球，其中黑色皮子有12块，问白色皮子有多少块?【解析】观察足球的表面可以发现“黑色皮子”与“白色皮子”之间的对应关系：由图可见，每块白皮皮子对应着3块黑色皮子；每块黑色皮子对应着5块白色皮子.现在有12块黑色皮子，那么显然它的周围共有12×5＝60块白色皮子.但这不是问题的最终答案!注意到每块白色皮子周围有3块黑色皮子，所以每块白色皮子在上面的计算过程中都重复计算了3次.因此，把重复计算的要剔除.因此白色皮子实际上有12×5÷3＝20(块).模块二、从特殊情况入手对于一个一般性的问题，如果觉得难以入手，那么我们可以先考虑它的某些特殊情况，从而获得解决的途径，使问题得以“突破”，这种方法称为特殊化.其实从问题的极端情况考虑，也是从特殊情况考虑.对问题的特殊情况进行研究，一方面是因为研究特殊情况比研究一般情况较为容易；另一方面是因为特殊的情况含有一般性，所以对特殊情况的研究常能揭示问题的结论或启发解决问题的思路，它是探索问题的一种重要方法.运用特殊化方法进行探索的过程有两个步骤，即先由一般到特殊，再由特殊到一般.通过第一步骤得到的信息,还要回到一般情况予以分析.我们能熟练使用这种方法后,就只需在特殊状态下得到答案即可.【例3】口袋里有三种颜色的筷子各l0根，那么，(1)至少取多少根才能保证三种颜色都取到?(2)至少取多少根才能保证有两双颜色不同的筷子?(3)至少取多少根才能保证有两双颜色相同的筷子?【解析】显然把所有筷子按颜色分为三种情况，分别考虑三个问题的最坏的情况.(1)要“保证三种颜色都取到”的最坏情况为——即使两种颜色每种l0根.你取了20根筷子，仍然不能保证3种颜色都取到.但是如果你再多取l根筷子，即取了10×2+1=\n21根筷子时，就能保证三种颜色都取到.(2)要“保证有两双颜色不同的筷子”，最坏情况为——有一种颜色取了l0根，其余两种颜色各1根.即使你取了l2根筷子，仍然不能保证两双颜色不同的筷子出现.但是如果你在多取一根,即取了12+1=13根筷子时,就能保证出现两双颜色不同的筷子。（3）要“保证有两双颜色相同的筷子”，最坏的情况为——每种颜色的筷子各取了3根，即使你取了9根筷子，仍然不能保证有两双颜色相同的筷子出现，还需在多取一根。【例1】长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G分别为AB、BC、CD各边的中点，H为AD边上任意-点，问：三角形DEF的面积是多少?【解析】法1：找H点的特殊点，不妨研究H点在D时的状态.那么图形可变为右下图：那么阴影部分的面积就是三角形DEF的面积.设长方形的宽为x，那么长为，则有法2：我们可以找到长方形ABCD的特殊状态正方形ABCD，再找H点在D时的状态，则原图可看成右图：正方形边长为6，那么极易得：阴影面积=36-9-4.5-9=13.5cm2.我们先考虑正方形EFGH的特殊位置，即它的各边与正方形ABCD的各边对应平行的情况.此时，显然有S=2×2×=1.模块三、从简单情况入手有时候我们碰到的题目很复杂，乍一看似乎无从入手，这时候我们往往可以先从简单的情况出发，看看有什么规律.很多情况下我们可以通过这种方法解决一些看起来很难的问题.【例2】3×3的末位数字是9，3×3×3的末位数是7，3×3×3×3的末位数字是1．求35个3相乘的结果的末位数字是几?【解析】从简单情况做起，列表找规律：仔细观察可发现，乘积的末位数字出现有周期性的规律，4个-组，35个3相乘是其第34项，所以末位数字是7.【例3】444444444888888888÷666666666的商是_____________【解析】这个题目我们当然可以列-个竖式来做，但这样是不是太麻烦了，观察算式的特点，4，8，6都有9个，那我们就先来看-下如果4，8，6分别各有1个，2个，3个商分别是多少，这个计算起来是非常简单的：48÷6=8，4488÷66=68，444888÷666=668…同学们找到规律了吗？对了，444444444888888888÷666666666=666666668（8个6,1个8）.【例4】\n在三角形ABC内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形?【解析】将三角形内只有1个点,2个点,…的情况--列出,如下表:三角形内的点数123…小三角形的个数357…1个点时:3+(1-1)×2=3(个)子,2个点时:3+(2-1)×2=5(个),3个点时:3+(3-1)×2=7(个)……则当三角形内有n个点时,小三角形的个数为:3+(n-1)×2(个).故答案是201个.【巩固】用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后，推断第20行的各数之和是多少？【解析】要求第20行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数.　　至此，我们可以推断，第20行各数之和为2.[本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用]【例2】（第三届“华杯赛”决赛）将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线?请说明．【解析】我们来一条一条地画直线．画第一条直线将圆形纸片划分成2块．画第二条直线，如果与第一条直线在圆内相交，则将圆形纸片划分成4块(增加了2块)，否则只能划分成3块．类似地，画第三条直线，如果与前两条直线都在圆内相交，且交点互不相同(即没有3条直线交于一点)，则将圆形纸片划分成7块(增加了3块)，否则划分的块数少于7块．下图是画3条直线的各种情形由此可见，若希望将纸片划分成尽可能多的块数，应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交，且交点互不相同．这时增加的块数等于直线的条数．这样划分出的块数，列表如下：直线条数纸片最多划分成的块数11+121+1+231+1+2+34l+1+2+3+451+1+2+3+4+5……不难看出，表中每行右边的数等于1加上从l到行数的所有整数的和．因为1+1+2+3+…+10=56，1+1+2+3+…+9=46，可见第9行右边还不到50，而第lO行右边已经超过50了．所以至少要画10条直线．\n【巩固】平面上有101条直线，它们最多有多少个不同的交点？【解析】题目条件里的直线太多，因此我们从简单情况出发，先考虑2条，3条……直线的情况，直线条数交点最多的个数2133=1+246=1+2+3510=1+2+3+4从上面的简单情况可以看出，平面上n条直线最多有：[1+2+3+4+……+（n-1）]个不同的交点，本题中是101条直线，因此最多有1+2+3+……+100=5050个交点.模块四、从反面情况考虑解数学题，需要正确的思路.对于很多数学问题，通常采用正面求解的思路，即从条件出发，求得结论.但是，如果直接从正面不易找到解题思路时，则可改变思维的方向，即从结论入手或从条件及结论的反面进行思考，从而使问题得到解决.【例2】某次数学测验一共出了10道题，评分方法如下：每答对一题得4分，不答题得0分，答错一题倒扣1分，每个考生预先给10分作为基础分.问：此次测验至多有多少种不同的分数？【解析】最高的得分为50分，最低的得分为0分.但并不是从0分到50分都能得到.从正面考虑计算量较大，故我们从反面考虑，先计算有多少种分数达不到，然后排除达不到的分数就可以了.最高的得分为50分，最低的得分为0分.列表分析：答对不答答错得分100050910469014582042811418024073038721377123670335…不答相对与答对少的4分，答错相对与答对少得5分，这样的话不答和答错之间少1分，所以比38分少的分数的情况都存在.所以，在从0分到50分这51个分数中，有49，48，47，44，43，39这6种分数是不能达到的，故此次测验不同的分数至多有51-6=45（种）.【例3】一次考试有4道题，100人参加了考试，考试结果，第一题有91人答对，第二题有83人答对，第三题有89人答对，第四题有95人答对，请问四道题全答对的至少有多少人？【解析】从反面考虑问题，题目要我们求全答对的人数至少是多少，我们考虑每个题目分别有几人答错，第一题有9人答错，第二题17人答错，第三题11人答错，第四题5人答错.所以所有人错的题目之和为9+17+11+5=42题，要使得全答对的人最少，那么应该尽量让每人错1题，42个错题最多可以使42个人无法全对，因此四道题全答对的至少有100-42=58人.模块四、从整体情况考虑\n有时候具体的去分析局部的细节会感到却少条件，无从下手，这时候如果我们站的高一点，看的远一点，从整体出发去考虑问题，往往会起到意想不到的效果.【例1】现有一个3×4的长方形，现在任意横着切2刀，竖着切4刀，把长方形分成了15个小长方形，求这15个小长方形的周长之和是多少？【解析】很明显，这15个小长方形中任何一个的周长我们都求不出，如果从局部出发，是不可能求出来的.因此我们要从整体出发去考虑，观察发现，每横着切一刀，那么长方形就增加了两条长为4的边，即周长和增加8，而每竖着切一刀，那么长方形就增加了两条长度为3的边，即周长和增加6.因为长方形的周长为2×（3+4）=14，所以横着切2刀，竖着切4刀后周长和为：14+2×8+4×6=54.方法二：这个题目也可以用从特殊情况考虑，考虑每个长方形都一样的特殊情况那么长和宽分别为1和0.8周长和为(1+0.8)×2×15=54这与我们的第一种方法的答案是一致的.【例2】（第三届华杯赛初赛试题）甲乙两人同时从相距30千米的两地出发，相向而行．甲每小时走3.5千米，乙每小时走2.5千米．与甲同时、同地、同向出发的还有一只狗，每小时跑5千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去，……这只狗就这样往返于甲、乙之间直到二人相遇而止，则相遇时这只狗共跑了多少千米？【解析】从整体思考：当甲、乙相遇时，甲、乙和狗走路的时间都是一样的．30÷（3.5+2.5）=5（小时），5×5=25（千米）.六、矩形图法——建模法积＝一个因数×另一个因数，算式中的“因数”并没有赋予特殊的意义，一旦赋予了它实际的含义，积也就有了实际含义.比如一个“因数”表示“速度”，另一个“因数”表示“时间”，那么“积”就表示“距离”了.特别地，矩形的面积公式也具有“积＝一个因数×另一个因数”的形式.正因为如此，我们可以借助于矩形图来形象、直观地把算术中的各种公式用图形统一表示，所以，当遇到不同类型的问题时，只要搞清楚矩形图中长与宽的对应量，那么就可以画出相应的表示这组量之间乘积关系的矩形图.【例3】足球赛共出售750张票得22200元.甲等票每张60元，乙等票每张30元，丙等票每张18元.其中丙等票张数是乙等票张数的2倍.问其中甲等票有多少张?【解析】构造矩形图用长表示票的张数，宽表示每种票的单价，矩形面积就是总金额.将矩形图补齐，结合条件有:750×60-22200＝22800(元)即A＋B＝22800(元)假设乙的长为，有丙长为，那么，由此解得.所以乙等票有200张，丙等票有400张，甲等票有（张）.【例4】甲、乙、丙三组做花，甲组比乙组多2人，乙组比丙组多2人.甲组平均每人做花的朵数比乙组平均每人做花的朵数少1朵，乙组平均每人做花的朵数比丙组平均每人做花的朵数少3朵.最后甲组总共比乙组多做9朵花，乙组比丙组多做3朵花.问甲、乙、丙共做花多少朵?【解析】构造矩形图，长表示甲、乙、丙各组人数，宽表示每人做花的朵数，假设丙组人数为人，乙组人数有人，甲组有人.\n由条件有，,所以，在图2中，，．因为，,于是有.解得：..所以，甲组每人做8朵，乙组每人做(8＋1)朵，丙组每人做(8＋4)朵.所以：甲共做：8×(2＋2＋5)＝72(朵).乙共做：(8＋1)×(2＋5)＝63(朵).丙共做：(8＋4)×5＝60(朵).【例1】一辆汽车从甲地开往乙地.如果把车速提高到原速的1.2倍，可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高到原速的1.25倍，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米?【解析】构造矩形图，长表示计划速度，宽表示计划时间，有：总路程是不变的，那么图中两阴影部分面积相等，于是有.所以，小时.所以小时.所以，计划时间为6小时.又因为：.所以，分钟,所以(分钟).所以，?＝6×60-(160＋40)＝160(分钟)＝(小时).所以，计划速度：千米／时,路程：45×6＝270(千米).甲、乙两地相距270千米.课后练习练习1.11111112222222÷3333333=？【解析】12÷3=4，1122÷33=34，111222÷333=334……11111112222222÷3333333=3333334.练习2.是和平的象征.叮叮养了29只鸽子，建造了7个笼子，如果鸽子全部归笼，试说明总有-个鸽笼至少飞进了5只鸽子.【解析】29只鸽子进7个笼子的极端状态——平均每个笼子至少进4个鸽子，那么还多1只鸽子，当这只鸽子进入7个笼子中的某个时，那个笼子就至少有5只鸽子.练习3.蜘蛛有8只脚，蜻蜓有6只脚和2对翅膀，蝉有6只脚和1对翅膀.现有这三种昆虫18只，共有118只脚和20对翅膀.问每种昆虫各有多少只?\n【解析】构造矩形图，用长表示昆虫的只数，用宽表示每只昆虫脚数或翅膀数，这样有两幅矩形图.由条件知：阴长＝26÷2＝13，也就是蜻蜓＋蝉＝13(只)所以蜘蛛有18-13＝5(只)又因为.所以蝉＝6÷(2-1)＝6(只)，蜻蜓是18-5-6＝7(只).综上所述，蜘蛛有5只，蝉有6只，蜻蜓有7只.练习1.有2分、5分的硬币20枚，共58分钱，那么，2分硬币、5分硬币各多少枚？【解析】假设全是2分的硬币，这时有的钱数是40分钱，与实际相差58—40=18分，少的18分钱是因为把5分的硬币看成了2分的，当把一个5分的硬币看成一个2分的硬币时，就会少5—2=3分，所以5分的硬币有：18÷（5-2）=6（枚），进而得2分的硬币有：20-6=14（枚）.练习2.两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积.【解析】阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积.因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积.直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（平方厘米）.所以，阴影部分的面积是17平方厘米.月测备选1.某玻璃厂为商店送1000个玻璃杯,双方商定每个玻璃杯运费1元,如果打碎1个,这一个玻璃杯不但不给运费,而且要赔偿4元,结果要目的地结算时,玻璃杯长共的运费895元,求打碎了几个玻璃杯?【解析】假设1000个玻璃杯完好无损,应得运费1000×1=1000元,实际上少得1000-895=105元,打碎一个玻璃杯就要少得4+1=5元,所以打碎了105÷5=21个2.红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元.问红,蓝铅笔各买几支?【解析】以"分"作为钱的单位.我们设想,一种"鸡"有11只脚,一种"兔子"有19只脚,它们共有16个头,280只脚.现在已经把买铅笔问题,转化成"鸡兔同笼"问题了.利用上面算兔数公式,就有蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)=24÷8=3(支).红笔数=16-3=13(支).3.三只木船共运木板9300块，甲船比乙船多运300块，丙船比乙船少运600块.三只木船各运多少块？【解析】这类题就要用假设法进行思考，假设甲、乙、丙三只船所运的木板同样多，以乙船为标准，那么（9300-300+600）就是三只乙船所运的木板总数.所以乙船（9300-300+600）÷3＝3200（块）.甲船：3200+300＝3500（块），丙船3200-600＝2600（块）.4.-个人开车从A地经过B地到C地，5小时共行了230km.在AB这段路上的速度是每小时50km，在BC这段路程上的速度是每小时40km.求AB与BC各多少千米？【解析】如上右图，构造矩形图，长表示行驶时间，宽表示速度.假若A到C的速度全是50千米／小时，那么50×5＝250.(250-230)÷(50-40)＝2(小时).这说明BC行了2小时，AB行了5-2＝3(小时).AB＝50×3＝150千米，BC＝40×2＝80千米.\n1.鸡、兔共有脚44只，若将鸡、兔数互换，则共有脚52只，问鸡、兔各有多少只?【解析】构造矩形图.用长表示鸡、兔的只数，宽表示每只鸡、兔的脚数，面积是总脚数.由条件知：A＋B＝44，C＋D＝52.将C、D平移到A、B上方，有图2的面积为：A＋B＋C＋D＝44＋52＝96.矩形图2的宽为6，那么鸡＋兔的只数为96÷6＝16(只).于是，图3中，E＋F＝2×16＝32，而E＋F＋H＝44，H＝44-32＝12.所以兔有：12÷2＝6(只)，鸡有：16-6＝10(只).