初中数学《综合除法、大除法》讲义及练习 8页

综合除法和余数定理例题精讲板块一综合除法、多项式除法记号关于的代数式常用记号或等表示，例如，用表示代数式，则可记为．这时就表示时，代数式的值，即，同样地，有；等等．用可以代表关于的各种不同的代数式，但在同一个问题中，不同的代数式要用不同的字母表示，如，，，等．综合除法在学习多项式除法时，我们有带余除法：（1）其中表示被除式，表示除式，表示商式，表示余式，且余式的次数小于除式的次数．如果是一次式，则的次数小于1，因此，只能为常数（0或非零常数）．这时，余式也叫余数，记为，即有（2）当一个多项式除以一个形如的一次式时，有一种简便的运算方法——综合除法，我们用一个例子来说明，如求除以所得的商式和余式．解析：先用一般的竖式除法计算所以，商式为，余数为．从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简便方式来表示．商式为，余数为．这种简便的除法，称为综合除法，其演算过程如下：⑴被除式按的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“”补足．⑵把除式的常数项的相反数写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开．⑶下移第一个系数作为第三行的第一个数；用它乘以\n，加上第二个系数，得到第三行的第二个数；再把这个数乘以，加上第三个系数，就得到第三行的第三个数，…，依此进行运算，最后一个数即为余数，把它用线隔开，线外就是商式的多项式系数．【例1】求除以所得的商式和余数．【解析】用综合除法计算如下：所以，商式为，余数为．点评：本题介绍的是不含缺项且除式系数为1的综合除法．【巩固】求多项式除以所得的商式和余数．【解析】先将按降幂排列，用综合除法，计算如下：所以，商式为，余数为．点评：本题介绍的是含有缺项且除式的系数为1的综合除法，注意应先将缺项，应该用零补足．【巩固】求多项式除以的商式和余数．【解析】商式，余数．用余数定理可知余数为．【例2】用综合除法计算．【解析】，先用除以．所以，我们有因此，所求的商式为，余数为．点评：如果除式是一次式，但前的系数不为，即除式为，（，），则可先用除以，这时就可用综合除法了，若通过计算得到，则．因此所以的商式是，余数仍为．\n【巩固】用综合除法计算：．【解析】先将原式变形，原式，用综合除法求出的商式和余式，然后再求原式的商式和余式．综合除法计算如下：再把商式除以得，商式，余数．点评：本例介绍的是除式的系数不为的综合除法，其解法的理论依据是余数定理，令与的值为，均有，由余数定理可知，余数均为．由余数定理可知，，，故的商式为的，但它们的余数相同，这就是该解法的来历．【例2】计算：.【解析】看看此题，我们发现除式的次数不是，我们还能用综合除法吗？显然是不能直接使用综合除法了，因为综合除法要求除式的次数为，那么我们可不可以依照上例的解题思路呢？反正，余数是一定的，那么我们可以先求的商式，然后再求的商式，不管可行不可行，先试试再说！综合除法求的同式如下：商式为，余数为1再求的商式如下：从而可知，的商式为，余数为．此方法虽然可行，但我们发现比较复杂，那么有没有更好的更直接的办法呢？有！答案就是多项式除法，我们在做前面的例题时，发现多项式除法不如综合除法那么简单，那是在除式的最高次数为1的情况下，若除式的最高次不为，则多项式除法更快，更准确！如果除式不可分解，则不可行，其实以上就是综合除法与多项式除法之间的异同！下面我们看看多项式除法解本题，如下：的商式为，余数为．点评：本题介绍的是除式为非次的多项式或除法，可作为从综合除法到多项式除法的过渡．\n【巩固】计算：．【解析】显然本题应该使用多项式除法来解，过程如下：故商式为，余数为．点评：本题中，除式和被除式均有缺项．【巩固】计算：．【解析】故商式为，余数为．点评：本题在前面例题变式的基础上更进一步，介绍的是二元的多项式除法，请大家体会其解题步骤．板块二余数定理和因式定理余数定理和因式定理由式，当时，有，因此，我们有以下重要定理：余数定理：多项式除以所得的余数等于，有些时候余数定理作余式定理．如求除以的余数．解析：由于，．所以，所求的余数为．这与我们前面用综合除法求得的余数相同．再由（2）式知，如果能被整除，那么必有；反之，如果，那么能被整除，由此，我们有：因式定理：若多项式能被整除，亦即有一个因式，则；反之，如果，那么必为多项式的一个因式．【例2】求除以所得的余数．【解析】根据余数定理：多项式除以所得的余数等于，也就是说令除式为零求出的，代入原多项式所得的值，就是两式相除的余数．从而可知，原式除以所得的余数为：．\n【巩固】设，求．【解析】先用综合除法，计算．求得的余数4，根据余数定理，．点评：本题也可用直接代入来计算，但计算时比较麻烦，改用综合除法，利用余数定理来计算，则相对较简单．【例1】多项式除以，所得的余数分别为和，求除以所得的余式．【解析】根据题意，由余数定理，知，．设除以后所得商式为，余式为，（因为除式是二次的，所以余式至多是一次的），则，所以，有由⑴，⑵解得，．因此，所求的余式为．说明：余数定理讨论的是除以一次式的余数问题，当除式超过一次时，余式的形式就变得复杂了，本题的方法具有普遍性，可看作是余数定理的一种推广．【巩固】多项式除以，，所得的余数分别为，，，试求除以所得的余式．【解析】设，则有，，解之得，，，，故，从而可知除以所得的余式为．【巩固】已知除以整数系数多项式所得的商式及余式均为，试求和，其中不是常数．【解析】设，则有又，根据余数定理可知，的次数小于，故，．【巩固】求一个关于的二次三项式，它能被除余，被除余，并且它被整除．【解析】设，则由余数定理可知，，，，故，故．\n【巩固】试确定和的值，使被整除．【解析】因为被整除，所以被和整除，根据因式定理，有，，即解之得，．【巩固】设被整除，试求的值．【解析】由题意知，亦即：，即，从而．【巩固】已知关于的三次多项式除以时，余式是；除以时，余式是，求这个三次多项式．【解析】设，则由余数定理可知，，，故有故所求多项式为．【例1】若被整除，求与的值．【解析】（解法一）设，则有对比各项系数可知，，，，解之得，，，，故，．（解法二）也可使用未知数系数含字母的多项式除法来求解本题，如下：\n故，，．【巩固】设（，都是整数）既是多项式的因子，又是多项式的因子，求．【解析】经观察发现，，故不可能根据因式定理找出一个一次式是它的因式，这样，我们就无法根据因式定理直接来求，但是根据因式定理可知，若，，则有我们可以利用这一点消去高次项，然后求出．设，，则有即即又，故．点评：本题是间接利用因式定理的一个典型的例题，解题思想值得反复回来．【拓展】证明：当、是不相等的常数时，若关于的整式被和整除，则也被整除．【解析】设被除时，商式为，余式为，其中，为待定常数，则．因为能被和整除，由因式定理得：，，即由（1）-（2）得，又因为，所以．把代入（1），得．所以，因此，除以的余式为，即被整除．点评：本题的结论也非常有用．【拓展】整系数三次多项式，有三个不同的整数，，，使，又设为不同于，，的任意整数，试证明：．【解析】解法一：由可知，．\n由因式定理可知，，是多项式的三个因式，故（为非零常数）故又为不同于，，的任意整数，故．解法二：由题意可知，其中，为整数且，则（因为不同于，，）．点评：本题是经过变形的因式定理的应用，关键在于对运用因式定理．