初中数学《绝对值化简》讲义及练习 16页

绝对值化简中考要求内容基本要求略高要求较高要求绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题例题精讲绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离.数的绝对值记作.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：符号是负号，绝对值是.求字母的绝对值：①②③利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若，则，，绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即，且；（2）若，则或；（3）；；（4）；（5），对于，等号当且仅当、同号或、中至少有一个时，等号成立；对于，等号当且仅当、异号或、中至少有一个时，等号成立．板块一：绝对值代数意义及化简【例1】（2级）⑴下列各组判断中，正确的是()\nA．若，则一定有B．若，则一定有C.若，则一定有D．若，则一定有⑵如果＞，则()A．　B．＞　C．　　D＜⑶下列式子中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　()A．B．C．D．⑷对于，下列结论正确的是　　　　　　()A．B．C．D．⑸(年江苏省竞赛题)若，求的取值范围．【解析】⑴选择D．⑵选择B．⑶我们可以分类讨论，也可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要代正数、负数、，种数帮助找到准确答案．易得答案为D．⑷我们可以用特殊值法代入检验，正数、负数、，种数帮助找到准确答案．⑸，所以，即．【巩固】（2级）绝对值等于的整数有个，绝对值小于的整数有个【解析】；个【巩固】（2级）绝对值小于的整数有哪些？它们的和为多少？【解析】绝对值小于的整数有，，，，和为．【巩固】（2级）有理数与满足，则下面哪个答案正确　　　　　　　　　　　　　　　(　)A．B．C．D．无法确定【解析】选择D．【例1】（2级）已知：⑴，且；⑵，分别求的值【解析】因为因为又因为，所以即或⑵由非负性可知【例2】（2级）已知，求的取值范围【解析】因为的绝对值等于它的相反数，所以，即【巩固】（4级）若且，则下列说法正确的是（）A．一定是正数B．一定是负数C．一定是正数D．一定是负数【解析】由分析可知中的较小数一定是负数，故选D【例3】（6级）（2010人大附中练习题）求出所有满足条件的非负整数对【解析】根据题意和两个代数式的值只能在与\n中取，用逐一列举的方法，求得满足条件的非负整数对有三对【巩固】（6级）（2005年江苏省数学文化节基础闯关试题）非零整数满足，所有这样的整数组共有【解析】【例1】（4级）(人大附单元测试)如果有理数、、在数轴上的位置如图所示，求的值.【解析】先判断每个绝对值符号内部的正负，而后化简原式【巩固】（6级）已知，那么【解析】由可得，又因为，所以，原式【例2】（10级）（第届希望杯试）是一个五位自然数，其中、、、、为阿拉伯数码，且，则的最大值是．【解析】当时，，当，时取得最大值；当，且时，，当，，时取得最大值．所以的最大值是．【例3】（8级）（河南省竞赛试题）已知，其中，那么的最小值为【解析】，当，的最小值为【巩固】（10级）（华罗庚金杯赛前培训题）、、分别是一个三位数的百、十、个位上的数字，且，则可能取得的最大值是多少？【解析】由，得，要想结果尽可能大，取，即可，最大值为．【例4】（8级）（希望杯邀请赛试题）设为整数，且，求的值【解析】因为为整数，且故与一个为，一个为，从而，原式\n【巩固】（6级）（北京市迎春杯竞赛试题）已知且，那么【解析】或【例1】（6级）（1）（第届希望杯试）已知，则．（2）（第届希望杯试）满足（）有理数、，一定不满足的关系是（）A．B．C．D．（3）（第届希望杯试）已知有理数、的和及差在数轴上如图所示，化简．【解析】（1）容易判断出，当时，，，所以这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想．（2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉，若时，，若时，，从平方的非负性我们知道，且，所以，则答案A一定不满足．（3）由图可知，，两式相加可得：，进而可判断出，此时，，所以．【巩固】（8级）（第届希望杯试）若，则．【解析】，，故．【补充】（8级）若，求的值．【解析】法1：∵，则原式\n法2：由，可得，则原式点评：解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用．【例1】（10级）设，其中，试证明必有最小值【解析】因为，所以进而可以得到：，所以的最小值为【例2】（8级）若的值是一个定值，求的取值范围.【解析】要想使的值是一个定值，就必须使得，且，原式，即时，原式的值永远为3.【巩固】（8级）若的值为常数，试求的取值范围．【解析】要使式子的值为常数，得相消完，当时，满足题意．【例3】（2级）数在数轴上对应的点如右图所示，试化简【解析】．【巩固】（2级）实数在数轴上的对应点如图，化简【解析】由题意可知：，所以原式【巩固】（2级）若且，化简.【解析】若且，，【例4】（8级）(北大附中2005-2006学年度第一学期期中考试)设为非零实数，且，，．化简．【解析】，，；，；，，所以可以得到，，；．\n【例1】（6级）如果并且，化简.【解析】.【巩固】（2级）化简：⑴；⑵【解析】⑴原式；⑵原式【巩固】（6级）若，求的值.【解析】.【巩固】（8级）（第届希望杯试）若，，那么等于．【解析】，，可得：，所以，，．【巩固】（2级）已知，化简【解析】因为，所以，原式【例2】（8级）已知，化简.【解析】当时，.【巩固】（8级）（第届希望杯培训试题）已知，化简．【解析】由的几何意义，我们容易判断出．所以．【例3】（8级）若，化简．【解析】．\n【巩固】（8级）（四中）已知，，化简．【解析】∵，∴，又∵，∴，∴，∴又∵，∴又∵，∴∴原式点评：详细的过程要先判断被绝对值的式子，再去绝对值的符号．、【例2】（8级）（第14届希望杯邀请赛试题）已知是有理数，且，求的值【解析】因，故，又因为，所以，故原式板块二：关于的探讨应用【例3】（6级）已知是非零有理数，求的值.【解析】若，那么；若，那么.【例4】（10级）（2006年第二届“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）已知，且都不等于，求的所有可能值【解析】或或【巩固】（10级）（北京市迎春杯竞赛试题）已知是非零整数，且，求的值【解析】因为是非零有理数，且，所以中必有一正二负，不妨设，则原式【巩固】（2级）若，则；若，则.【解析】；.重要结论一定要记得.\n【巩固】（6级）当时，化简【解析】，，当，即时，，所以；当，即时，，所以.【例1】（8级）（2009年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题）若，，则的值是（）A．B．C．D．【解析】⑴C．特殊值法：取,代入计算即可．【巩固】（2级）下列可能正确的是（）A．B．C．D．【解析】选D．排除法比较好或特殊值法，，，．【巩固】（6级）如果，则等于（）A．B．C．D．【解析】B【例2】（8级）如果，则的值等于（）A．B．C．D．【解析】易知，所以原式，故选择A【例3】（8级）已知，求的值．【解析】∵，∴、、三个数都不为零．若、、三个数都是正数，则、、也都是正数，故原式值为．若、、中两正、一负，则、、中一正、两负，故原式值为．若、、中一正、两负，则、、中一正、两负，故原式值为．若、、中三负，则、、中三正，故原式值为．【巩固】（6级）若，，均不为零，求.\n【解析】若，，，全为正数，则原式；若，，，两正一负，则原式；若，，，一正两负，则原式；若，，，全为负数，则原式.【例1】（6级）（第届希望杯试）如果，求的值．【解析】由得，进而有，若，则，若，则．【巩固】（6级）若，，均不为零，且，求.【解析】根据条件可得，，有1个负数或2个负数，所以所求式子的值为或【例2】（8级），，为非零有理数，且，则的值等于多少？【解析】由可知，，里存在两正一负或者一正两负；若两正一负，那么；若一正两负，那么．综上所得．【巩固】（10级）（海口市竞赛题）三个数，，的积为负数，和为正数，且，求的值.【解析】，，中必为一负两正，不妨设，则；，所以原式＝1.【巩固】(8级)（第届希望杯培训试题）如果，，，求的值．\n【解析】由，，，两两相加可得：，，，所以原式结果为1．若将此题变形为：非零有理数、、，求等于多少？从总体出发：，所以原式．【例1】（8级）（“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）设实数，，满足，及，若，，那么代数式的值为______．【解析】由及，知实数，，中必有两个负数，一个正数，从而有．又=，则．【例2】（8级）有理数均不为零，且，设，则代数式的值为多少？【解析】由易知中必有一正两负或两正一负，不妨设或所以或者，所以，所以原式【巩固】（8级）有理数均不为零，且，设，则代数式的值为多少？【解析】由易知中必有一正两负或两正一负，不妨设或所以或者，所以当时，原式当时，原式【巩固】（8级）已知、、互不相等，求的值．【解析】由题意可得且，把，，当成整体分类讨论：①两正一负，原式值为；②两负一正，原式值为．【例3】（8级）（第届希望杯试）若有理数、、满足，求的值．【解析】由可得：有理数、、中两正一负，所以，所以，．\n【巩固】（6级）已知有理数满足，则（）A．B．C．D．不能确定【解析】提示：其中两个字母为正数，一个为负数，即【巩固】（8级）有理数，，，满足，求的值．【解析】由知，所以，，，里含有1个负数或3个负数：若含有1个负数，则；若含有3个负数，则．【例1】（6级）已知，求的值【解析】⑴若异号，则⑵若都是正数，则⑶若都是负数，则【巩固】（6级）已知，求的值．【解析】分类讨论：当，时，．当，时，．当，时，．当，时，．综上所述，的值为，，．【例2】（6级）若均为非零的有理数，求的值【解析】⑴当都是正数时，原式⑵当都是负数时，原式⑶当有两个正数一个负数时，原式⑷当有两个负数一个正数时，原式【巩固】（6级）（第届希望杯培训试题）若，求的值．【解析】由可得，、、中有个负数或个负数，当、、中有个负数时，原式；\n当、中有个是负数时，原式；当是负数时，原式．板块三：零点分段讨论法（中考高端，可选讲）【例1】（4级）（2005年云南省中考试题）阅读下列材料并解决相关问题：我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下中情况：·⑴当时，原式⑵当时，原式⑶当时，原式综上讨论，原式通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：⑴分别求出和的零点值⑵化简代数式【解析】⑴分别令和，分别求得和，所以和的零点值分别为和⑵当时，原式；当时，原式；当时，原式所以综上讨论，原式【例2】（6级）求的值．【解析】先找零点，，，，解得，，．依这三个零点将数轴分为四段：，，，．当时，原式；当时，原式；当时，原式；当时，原式．【例3】（4级）化简：【解析】由题意可知：零点为当时，原式\n当时，原式当时，原式【巩固】（4级）(2005年淮安市中考题)化简．【解析】先找零点.，；，零点可以将数轴分成三段．当，，，；当，，，；当，，，．【巩固】（6级）(北京市中考模拟题)化简：.【解析】先找零点.，．，．，，或，可得或者；综上所得零点有1，-1，3，依次零点可以将数轴分成四段．⑴，，，，；⑵，，，，；⑶，，，，；⑷，，，，．【例1】（6级）（选讲）（北京市中考题）已知，求的最大值与最小值．【解析】法1：根据几何意义可以得到，当时，取最大值为；当时，取最小值为．法2：找到零点、，结合可以分为以下两段进行分析：当时，，有最值和；当时，；综上可得最小值为，最大值为．【巩固】（8级）（第届希望杯试）已知，那么的最大值等于．【解析】（法1）：我们可以利用零点，将的范围分为段，分类讨论（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性）（1）当时，，当时达到最大值；（2）当时，（3）当时，，当时，达到最大值综合可知，在上，的最大值为（法2）：我们可以利用零点，将的范围分为段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很容易发现答案：当时达到最大值．【巩固】（6级）如果，且，求的最大值和最小值【解析】当时，有，所以；\n当时，有，所以综上所述，的最大值为，最小值为【巩固】（6级）（2001年大同市中考题）已知，求取何值时的最大值与最小值．【解析】法1：表示到点和的距离差，画出数轴我们会发现当，时两者的距离差最小为，即；当时，两者的距离差最大为4，即．法2：分类讨论：先找零点，根据范围分段，当时，；当时，，当有最小值；当有最大值．综上所得，当时，最大值为4；当时，最小值为．课后练习练习1．（2级）若，则下列结论正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　)A.B.C.D.【解析】答案不完善，选择．练习2．（2级）(人大附期中考试)如果有理数、、在数轴上的位置如图所示，求的值.【解析】原式练习3．（6级）已知，求的值.【解析】由可得：，又，可得：；原式.练习4．（8级）（第届希望杯培训试题）若，则．\n【解析】因为，所以，原式．练习1．（6级）（2006年七台河市中考题）设，其中，求的最小值.【解析】，则时，有最小值为.练习2．（4级）若，化简.【解析】.练习3．（6级）若，试化简．【解析】．练习4．（6级）若的值恒为常数，则应满足怎样的条件？此常数的值为多少？【解析】要使的值恒为常数，那么须使，，即，原式.练习5．（8级）（第届希望杯试）、、的大小关系如图所示，求的值．【解析】从图中可知且，，，所以，，，，，所以，原式．练习6．（8级）若，，则．∵，，∴、、中一正二负，∴．练习7．（6级）求的最大值和最小值．【解析】法1：根据几何意义可以得答案；\n法2：找到零点，1，可以分为以下三段进行讨论：当时，；当时，；当时，；综上所得最小值为，最大值为．练习1．（6级）（第届希望杯试）如果，求代数式的值．【解析】当时，，，，原式．