初中数学《分式化简的技巧》讲义及练习 16页

第七讲分式化简的技巧中考要求内容基本要求略高要求较高要求分式的概念了解分式的概念，能确定分式有意义的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题知识点睛比例的性质：⑴比例的基本性质：，比例的两外项之积等于两内项之积.⑵更比性（交换比例的内项或外项）：⑶反比性（把比例的前项、后项交换）：⑷合比性：，推广：（为任意实数）⑸等比性：如果，那么（）基本运算分式的乘法：分式的除法：\n乘方：(为正整数)整数指数幂运算性质：⑴(、为整数)⑵(、为整数)⑶(为整数)⑷(，、为整数)负整指数幂：一般地，当是正整数时，()，即()是的倒数分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.重、难点重难点：灵活对分式进行适当变形例题精讲一、基本运算【例1】计算：⑴⑵⑶⑷【解析】⑴；⑵⑶⑷．①分子分母有些可以因式分解，先进行因式分解，再计算；②如果运算结果不是最简分式，一\n定要进行约分，使运算结果化成最简分式；③有幂的运算时，先算乘方，后算乘除．【巩固】（2008杭州）化简的结果是（）A．B．C．D．【解析】原式．故选A．【巩固】（2008黄冈）计算的结果为（）A．B．C．D．【解析】．故选A【例1】计算：⑴　　⑵【解析】⑴；⑵．【巩固】(第9届希望杯试题)化简：【解析】原式【巩固】化简：【解析】原式.\n【例1】化简：【解析】原式.【例2】已知：，其中【解析】【巩固】当时，求代数式的值【巩固】原式【巩固】求代数式的值，其中，，【解析】．∴当，，时，原式．【例3】计算：(为自然数)【解析】原式【巩固】已知，求.【解析】故.\n二、整体代入运算【例1】已知：，且．试用表示．【解析】∵，∴由，得：．由，得：．∵，∴，∴．【巩固】已知：，求的值【解析】【巩固】已知，求的值.【解析】，∴，∴或，由题意可知:，或.【例2】已知分式的值是，如果用，的相反数代入这个分式，那么所得的值为，则、是什么关系？【解析】由题可知：由②得：．∴，∴．所以的关系为互为相反数．【巩固】(第11届“希望杯”邀请赛试题)已知代数式，当时，值为1，求该代数式当时的值．【解析】当时，；当时，【例3】已知，求代数式的值.\n【解析】.【巩固】已知：，，求的值.【解析】【巩固】已知，求代数式的值.【解析】.【例1】已知，求的值.【解析】(法1)：由可得，，即，(法2)：根据题意可得，，所以(分式的分子分母同除以)【巩固】已知：，求的值.【解析】由可得，【巩固】(新加坡中学生数学竞赛)设，求【解析】由，知，则.【巩固】如果，求的值.【解析】.三、消元计算【例2】已知，，求代数式的值.\n【解析】（法1）注意将未知数划归统一，，（法2），，【巩固】(第届华罗庚金杯总决赛试)已知，求的值．【解析】由已知可得：，，故原式.【巩固】(清华附中暑假作业)已知：，求的值.【解析】变形可得：，所以或，所以或.【例2】已知：，，且，求的值.【解析】由题意可知：，解得，【巩固】已知方程组:()，求：【解析】把看作已知数，解关于、的方程组，解得，，所以.【巩固】(全国数学竞赛)若，()，求的值.【解析】由，得，代入得原式.四、设比例参数【例3】(五羊杯试题)已知，则=____________.【解析】设，则有，求得，，.故.【巩固】(重庆市数学竞赛试题)已知，则=__________.\n【解析】由，可得，可得，则.【补充】（“五羊杯”试题）设，，则___________．【解析】令，则有可得，　　可得，由、可得，，代入、可得，，又，故故．【例1】(天津市竞赛题)若，求的值.【解析】设则，，，三式相加可得，若，则，；若，则.【巩固】若，求的值.【解析】设，则，，，故，故.若，则；若，则.【巩固】已知．求的值．【解析】可得⑴如果分子，则由分母推得．此时，\n．⑵如果分子，则，．此时，．【例1】已知，求的值.【解析】设，则有故.【巩固】（第届“希望杯”试题）已知，且，则的值等于（）A.9B.10C.8D.7【解析】设，又，故又，故，选A．【巩固】已知，求证：.【解析】⑴设，则，，，所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.　　　　　因为，，所以.　　　　　同理可得，从而.五、分式与裂项【例2】设为正整数，求证：.\n【解析】，故【巩固】化简：.【解析】【例1】化简：【解析】原式【巩固】化简：【解析】原式【例2】(河北省数学竞赛题)已知：，，，求的值.【解析】由，，，可知，，，故.【巩固】(华罗庚金杯培训试题)解方程组：【解析】原方程可变为：，即，易解得，即\n【例1】化简：【解析】原式【巩固】化简：.【解析】本题涉及因式分解的一些技巧：我们发现，，　　　　故.　　　　同理，，　　　　.　　　　故.　　　　点评：本题以及下面两道题目的基本模型都是，三个题由浅入深，层层深入，对技　　　　巧的考查和要求越来越高.【巩固】化简：.【解析】同理，，故.六、倒数法【例2】已知：，求的值.【解析】∵，∴，∴【巩固】设，求的值.【解析】∵，∴，∴，所以【巩固】若，求的值.\n【解析】，分析可得，，则，则，【例1】(05山东潍坊中考)若，求的值.【解析】⑴由可知，，，故.【巩固】本类题有一种典型错题，如：已知，求的值.事实上：若，易得，，故显然不成立.【巩固】(湖北黄冈市初级数学竞赛)设，其中，则【解析】∵，∴，于是，即，，【补充】设，求的值.【解析】由条件知，因而，即，【例2】已知：，求⑴；⑵；⑶的值.【解析】⑴∵，∴，∴，即⑵∵，∴，∴⑶∵，∴，∴【巩固】已知：，求的值.【解析】由，可知，得，即\n【巩固】已知：，求的值.【解析】∵，∴，∴，∴，∴【例1】(上海市高中理科实验班招生试题)已知：，且，求的值.【解析】由条件知：，又，即，解得【巩固】(第17届江苏省竞赛题)已知，且，求.【解析】由已知可得，，解得【巩固】已知是的根，求的值.【解析】因为是的根，所以所以利用条件的各个变形，对分式进行整体降幂是解题的关键.【巩固】(广西竞赛题)已知：，求【解析】利用条件的各个变形，对分式进行整体降幂是解题的关键.家庭作业【习题1】计算：⑴⑵⑶【解析】⑴原式．⑵原式\n⑶【习题1】先化简，再求值:，其中【解析】原式当时，原式本题含分式乘方、加、减、乘、除混合运算；与分式四则混合运算类似，分式的四则混合运算的顺序是:先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．【习题2】已知，，，求证：【解析】由已知可得，则，所以或∵,，∴，则【习题3】设，求的值.【解析】由，知，则.【习题4】（“希望杯”试题）已知，则___________．【解析】令，，，故原式；【习题5】(第11届希望杯试题)已知，，为实数，且，，，求.【解析】由已知可知，三式相加得，，故.\n【习题1】已知：，求的值.【解析】∵，∴，即，月测备选【备选1】计算：．【解析】．【备选2】(第15届希望杯试题)化简：代数式.【解析】原式.【备选3】已知，求代数式的值.【解析】【备选4】(第届华罗庚金杯复赛)已知，求的值．【解析】，所以．集中火力，将关系转化到一个未知数身上.【备选5】若，且，求的值．【解析】由题意可知，，，故．\n【备选1】化简：.【解析】同理，，故【备选2】已知为实数，且，则=__________．【解析】．