初中数学《平移、旋转、割补》讲义及练习 8页

平移、旋转、割补例题精讲图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形．【例1】如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？【解析】如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中的了．这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米．【例2】如图所示，梯形中，平行于，又，，．试求梯形的面积．【解析】如右图，将沿平移至,连接,在三角形中，有，，，有，所以三角形为直角三角形．由于，所以梯形的面积与三角形的面积相等，为．【例3】右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？\n【解析】如图所示，将道路平移后的（16-2）×（10-2）=112．【例1】如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个．请算出阴影部分的面积．【解析】如图，将阴影部分分割成一个正六边形和12个小三角形，再把正六边形分割成6个正三角形，由于正十二边形的每个内角为，所以阴影小三角形的顶角等于，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是，所以通过如右上图所示的平移可以组成6个边长为1厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为平方厘米．【例2】按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为和，乙三角形两条直角边分别为和，求图中阴影部分的面积．【解析】如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所以阴影部分面积为：【例3】在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几.【解析】阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答.⑴割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形.将这两个直角三角形拼成一个长方形(见下图).显然，阴影部分正好是长方形的，所以原题阴影部分占整个图形面积的.⑵拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图).显然，图中阴影面积占平行四边形面积的.根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以，商不变.\n所以原题阴影部分占整个图形面积的.⑶等分法将原图等分成个小三角形(见右上图)，阴影部分占个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的.注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立.【例1】如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点为中心转动一个正方形．当厘米，厘米，厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确)．【解析】右图由左图旋转而得，则右图中的8个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于正方形面积减去4个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为厘米，所以重叠部分的面积为：(平方厘米)．【例2】如图，在直角三角形中有一个正方形，已知厘米，厘米，求阴影部分的面积．【解析】绕点逆时针旋转，使与重合，则点落在边上的点处，且．则阴影部分面积转化为直角三角形的面积，所以阴影部分的面积为平方厘米．【例3】如图所示的四边形的面积等于多少？【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形绕顶点逆时针旋转，使长为的两条边重合，此时三角形将旋转到三角形的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为.(也可以用勾股定理)\n【例1】如图，三角形是等腰直角三角形，是三角形外的一点，其中，，求四边形的面积．【解析】因为和都是直角，和为，所以和的和也为，可以旋转三角形，使和重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形，面积为平方厘米．【例2】（2008年武汉明心奥数挑战赛）如图所示，中，，，，以为一边向外作正方形，中心为，求的面积．【解析】如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置．由于，，所以．而，所以，那么、、三点在一条直线上．由于，，所以是等腰直角三角形，且斜边为，所以它的面积为．根据面积比例模型，的面积为．【例3】（2008年武汉明心奥数挑战赛）如图，直角梯形中，，，，，将腰以为中心逆时针旋转至，连接、，则的面积是．【解析】如图所示，将以为中心顺时针旋转，到的位置．延长与交于．由于是直角梯形，与垂直，则四边形是长方形，则．由于与面积相等，而的底边，高，所以\n的面积为，那么的面积也为1．【例1】如图，正方形和有一个公共点，试比较三角形和三角形的面积．【解析】因为和是直角，所以和是互补角，将三角形顺时针旋转到达的位置，则、、在同一条直线上，且，即是的中点，所以三角形和三角形面积相等，则三角形和三角形面积相等．【例2】(2008年全国小学数学资优生水平测试)如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于．已知、的长分别为、，求三角形的面积．【解析】如图，连接，以点为中心，将顺时针旋转到的位置．那么，而也是，所以四边形是直角梯形，且，所以梯形的面积为：()．又因为是直角三角形，根据勾股定理，，所以()．那么()，所以()．【例3】(2008年迎春杯高年级组决赛)如图，已知，，，，则．\n【解析】将三角形绕点和点分别顺时针和逆时针旋转，构成三角形和，再连接，显然，，，所以是正方形．三角形和三角形关于正方形的中心中心对称，在中心对称图形中有如下等量关系：；；．所以．【例2】(第八届华杯赛总决赛)如图所示的四边形中，，，厘米，连接对角线，．求四边形的面积．【解析】由，，可得，．将剪下来，翻转，再贴在边上，即将点粘在点上，点粘在点上，如右上图所示．则点在点的位置．由于，所以、、三点在同一条直线上．由于，所以，即是等腰直角三角形，它的面积就等于四边形的面积，所以四边形的面积为平方厘米．【例3】如图，在中，，求“？”的度数．【解析】如图，由于，可以将移动到，由于，，所以，又，而，所以四边形是等腰梯形，有，．点评：通过构造全等三角形来转化．\n【例1】下图三角形是等腰三角形，，．三角形是正三角形，点在边上，．当三角形的面积是时，三角形的面积是多少？【解析】以点为中心，由三个三角形可拼成右图：连结、、，则是一个正六边形．连结、、，显然是一个等边三角形，并且它的面积是正六边形面积的一半，所以是三角形的面积的3倍．由于，根据“鸟头定理”，，所以，则．【例2】如图，正方形有三个顶点分别在的三条边上，．求正方形的面积．【解析】如下图，我们设的面积为1，有，所以，，所以．如下图左，将三角形和三角形分别以、为中心按箭头方向旋转，形成由两个直角三角形连在一起的一个四边形，如下图右，、、被虚线分成两个直角三角形，它们的面积之和为：，所以．\n