初中数学《二次根式》讲义及练习 14页

第一讲二次根式运算中考要求内容基本要求略高要求较高要求二次根式的化简和运算理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）知识点睛一、二次根式概念及化简二次根式的概念：形如（）的式子叫做二次根式．二次根式的基本性质：⑴（）双重非负性；⑵（）；⑶二、分母有理化分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．与互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．重、难点1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开方数必须是非负数．2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式中被开方数非负,算术平方根非负.3、利用得到成立，可以把任意一个非负数或式写成一个数或式的平方的形式．如．例题精讲一、二次根式的概念及性质【例1】当时，有意义．\n【解析】通过观察可以发现一定是一个正数，这样就将原式有意义的条件且转化为，解不等式得．点评：判定是正数是关键，同理，是负数．【巩固】当取何值时，式子在实数范围内有意义．【解析】利用分式的条件，把此题转化为解两个不等式组的问题．由得或．解得或∴当或时，原式在实数范围内由意义．点评：记住的条件为或，的条件为或．【巩固】(第12届希望杯邀请赛)求代数式的最小值.【解析】根据题意可得：，即，当时，有最小值.【例1】若，求的值.【解析】根据题意可得：，解得，，【巩固】(人大附中初一第2学期期末考试)已知：，求的平方根.【解析】由根式的性质得：，∴，，∴，∴的平方根是：.【巩固】在实数范围成立，那么的值是多少？【解析】此题运用是一个非负数解题，由，，从而.这时等式变为，∴，，【例2】(2007年成都)已知，那么的值为.【解析】\n【巩固】已知实数与非零实数满足等式：.求.【解析】根据已知条件可知：，，故，二、二次根式估算【例1】⑴(2007年旅顺口区中考题)如右图，在数轴上，两点之间表示整数的点有个.⑵(2007年盐城市)估计的值（　　）Ａ.在3到4之间Ｂ.在4到5之间Ｃ.在5到6之间Ｄ.在6到7之间⑶(2007年安徽)的整数部分是_________.【解析】⑴有表示整数、、、的点有个；⑵选择Ｃ；⑶.需要记忆的常用根式的大约值：；；；【巩固】（2008浙江温州）估算的值（）A．在和之间B．在和之间C．在和之间D．在和之间【解析】B【巩固】若整数满足，试确定的值.【解析】易知，∴，即是个两位数又由于的个位是，在个位是的两位数中，经试验可得，∴三、二次根式比较大小【例2】把根号外的因式适当变形后移入根号内：⑴；⑵；⑶【解析】⑴．⑵∵有意义，∴，∴，∴，\n．⑶∵有意义，∴，∴，∴，∴．【巩固】把根号外的因式适当变形后移入根号内：【解析】∵有意义，∴，∴，∴，∴.【例1】比较下列各组中两个数的大小．⑴与⑵与【解析】⑴，，因为，所以⑵，，因为，所以【巩固】⑴(2007年河北省中考题)比较大小：．⑵(2005～2006学年人大附中初一第2学期期末考试)实数，，的大小关系是.（用“＞”表示）【解析】⑴；⑵.【例2】(盐城中考)比较大小：，，则【解析】，，抓住题目特点，两式子中的被开方数相差固定值，则取有理化因式的方式解答利用作差法可直接得到答案。【巩固】（第届“希望杯”培训题）已知，，则与的大小关系是（　）A.B.C.D.【解析】∵，∴，选．【巩固】比较大小：与【解析】，，\n【例1】(山东市数学竞赛)已知，，，，比较，，的大小.【解析】分子有理化易得。【例2】（年全国初中数学联合竞赛试卷）已知，，，那么，，的大小关系是＿＿＿＿.A.　B.C.D.【解析】，，显然，所以．【巩固】（年“希望杯”培训试题）设，比较大小：____【解析】∵∴∵>．【巩固】设，，，，则下列各式一定成立的是______．A．　　B．　　C．　　D．【解析】因为，所以，所以，另一方面：．综上所述．【例3】比较大小：与\n【解析】∵，∴∵，∴抓住题目特点，两式子中的被开方数和相同，则取平方解答【巩固】比较大小：与【解析】，，，【巩固】比较与大小.【解析】∵，∴∵，∴,【例1】（第届“希望杯”培训题）设，，，则的大小关系是（）A.B.C.D.【解析】∵，，，∴，选.【例2】比较下列二次根式的大小：与【解析】，，，【巩固】比较下列二次根式的大小：与【解析】，【例3】（第届“希望杯”培训试题）已知，则的大小关系是（）A.B.C.D.【解析】∵∴∴∴，选．【补充】（江苏省第二十届初中数学竞赛第试试卷）正实数，，，满足，\n设则（　　　　）．A.B.C.D.与的大小关系不确定．【解析】显然，，所以，即，同样的，，，所以．四、二次根式中的配方思想【例1】已知实数，，满足，求的值.【解析】把已知等式化为，故，解得，，，所以.【巩固】已知实数，，满足，求【解析】，所以，，,.【例2】已知正数和，有下列命题：⑴若，则；⑵若，则；⑶若，则.根据以上三个命题所提供的规律，猜想若，则.，则，并式证明上式成立.【解析】若，则；若，则∵,∴，即.【巩固】已知非零实数、满足等式，求的值.【解析】两边同时乘以，则有，所以，\n所以，，【例1】(年北京数学竞赛)若正数，满足，求【解析】根据原式可得：即：，所以，【补充】已知正数，，且满足，求证：【解析】由已知，得。两边平方，得，即。两边平方，得，即。所以，所以【例2】已知，求、、的值．【解析】由已知得，即．因为，，，所以．根据非负数的性质，有，，．由此可求得，，．【巩固】设，求代数式的值．【解析】，，所以，，，所以，，．．\n【巩固】如果实数满足，且，求的值.【解析】,所以，，，.【巩固】设是实数，若，则=________.【解析】由已知得：，∴，，，∴，，，∴．五、双（多）重二次根式双重二次根式：形如，二次根式的被开方数（式）中含有二次根式的式子叫双重二次根式．多重二次根式：二次根式的被开方数（式）中含有多于一个二次根式的式子叫多重二次根式．双（多）重二次根式的解法：平方法、配方法、构造法、待定系数法．【例1】化简：⑴⑵【解析】⑴⑵【例2】(2000年全国初中数学联赛题)计算的值.【解析】解法一：原式解法二：令，则因为，所以.解法三：令，，则，.又因为，所以.因为，所以.所以.\n【巩固】化简：．【解析】另解：，故．点评：对于型的根式化简的方法有以下两种：①；．两式相加可得，．②．故．【巩固】若表示实数的整数部分，则等于（　）．A.　　B.　　C.　　D..【解析】.因为，所以，所以．【例1】（北京市竞赛题）计算【解析】原式.【例2】若正整数、、满足，则、、的值依次是_______．【解析】两边平方可得到：．即所以有由，满足与和为完全平方数，且的解只有\n【巩固】（第五届“希望杯”数学邀请赛初二试题）设均为正整数，且，则的值是.【解析】由得，∵、、均为正整数，∴，，.又由题设知∴，，∴，故.六、无理方程【例1】解方程：【解析】移项得；两边平方，得整理，得；两边平方整理，得解得；经检验，是增根，舍去，是原方程的根．【巩固】解方程：【解析】；；；∴；经检验，是增根，舍去；是原方程的根【例2】解方程【解析】设，则，于是原方程可变形为化为整式方程得，解之得；当时，，解得当时，，无实数解；经检验是原方程的解．【巩固】无理方程的解是___________．【解析】设，原方程可以化为：，，\n∵，∴，，于是，两边平方，得：，解之：，，经检验和都是原方程的根．家庭作业1．若，求的值.【解析】根据已知条件得，所以，，2．如果．那么的值是（　　　）．A.　B.　C.　D.【解析】原等式变形为：，所以，所以且且，解得，，，所以，故选．3．(第9届“希望杯”试题)代数式=_________.【解析】.4．（年山东省初中数学竞赛）已知．则的值为（　　　）．【解析】注意到，所以，．\n1．⑴(2007年江西省)在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是．⑵(2007年河南省)已知为整数，且满足，则．⑶(2007淄博市)估计的大小应()A.在9.1～9.2之间B.在9.2～9.3之间C.在9.3～9.4之间D.在9.4～9.5之间【解析】⑴2；⑵-1、0、1，⑶C2．比较与的大小.【解析】∵，∴，∵，∴，∴3．比较大小：与【解析】，，，，4．试比较与的大小．【解析】，．显然，．点评：本例主要是介绍根式比较大小的方法（平方法、分子有理化）和几种常见的题型．月测备选1．把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变．(先讲变式有助学生理解例题)⑴⑵【解析】⑴；⑵将根号外面的因式移到根号内，主要是先利用，然后转化为被开方数相乘．但要注意，当根号外的因式为负数时，切不可将负号带进根号．同时利用了根式的乘法法则.\n1．比较下列各组数的大小：⑴4与；⑵与．【解析】⑴∵且，∴．⑵∵．，又，∴．2．比较大小：与【解析】，∵，∴，∴，利用作差法可直接得到答案。3．试比较与【解析】，，由可知，．4．化简：⑴⑵【解析】⑴；⑵5．已知，求的值．【解析】此题用到非负数之和等于的条件，把求、、的问题转化成解方程组的问题，求出、、后，再求的值．∵，，．∴，，且．∴，解得．∴点评：识记常见的三个表示非负数的代数式：，，（），注意非负数之和为，则每个非负数都为．