初中数学基础知识纯理论练习版 22页

中考数学代数基础知识有理数：和统称为有理数。有理数都可以表示为小数或小数，所有形如(m,n为互质的整数，n≠0)的数都是有理数。(1)整数和分数统称为有理数.、、统称整数；、统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是，也不是；-a不一定是，+a也不一定是正数；p不是有理数；(2)有理数的分类:①②数轴：数轴是规定了、、的一条直线.相反数：(1)只有不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是；(2)相反数的和为Ûa+b=0Ûa、b互为相反数.绝对值：数轴上表示某数的点离开原点的；(1)正数的绝对值是，0的绝对值是，负数的绝对值是它的；(2)绝对值可表示为：；绝对值的问题经常分类讨论；有理数比大小：（1）正数的越大，这个数越大；（2）正数永远比大，负数永远比小；（3）正数大于一切；（4）两个负数比大小，绝对值的反而；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数；（6）大数-小数0，小数-大数0.互为倒数：乘积为1的两个数互为；注意：没有倒数；若a≠0，那么的倒数是；若ab=1Ûa、b互为；若ab=-1Ûa、b互为负倒数.有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=；（2）加法的结合律：（a+b）+c=.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a.有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把相乘；（2）任何数同零相乘都得；（3）几个数相乘，有一个因式为，积为零；各个因式都不为零，积的符号由\n的个数决定.有理数乘法的运算律：1）乘法的交换律：ab=（2）乘法的结合律：（ab）c=；（3）乘法的分配律：a（b+c）=.有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的；注意：零不能做除数，.有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是；（2）负数的幂是负数；负数的幂是正数；注意：当n为正时:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正时:(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.乘方的定义：（1）求积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做，相同因式的个数叫做，乘方的结果叫做幂；科学记数法：把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有的数，这种记数法叫科学记数法.小数的科学记数法：有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示为的形式，其中是整数数位只有一位的正数，n是正整数。这种形式不仅便于记数，而且便于比较数的大小。近似数的精确位：一个近似数，到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到止，所有数字，都叫这个近似数的.混合运算法则：先，后，最后.无理数：叫做无理数，无理数不能表示成分数的形式。如：π，，-，-……。\n实数：和统称为实数。我们一般用下列两种情况将实数进行分类：　　　实数与数轴上的点是的。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之数轴上的每一个点又都表示一个实数。实数的相反数：如果a表示一个正实数，-a就表示一个负实数。又如果a表示一个负实数，则-a表示一个正实数。a与互为相反数。0的相反数仍是0。如π与-π，与-，m与-m…均互为相反数。实数的绝对值：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是0。注意：-a(a<0)是正数，平方根：①如果一个X的平方等于A，那么这个X就叫做A的。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的。③一个正数有个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做。立方根：①如果一个数X的等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做。二次根式的意义形如的代数式叫。二次根式有意义，的取值范围是当时，在实数范围内没有意义。如：等都是二次根式。最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是，因式是；（2）被开方数中不含能。同类二次根式几个二次根式化成以后，如果被，这几个二次根式就叫做同类二次根式。二次根式的主要性质（1）（=。（2）\n(3)（4）二次根式的运算（1）因式的外移和内移如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先，变形为的形式，再移因式到根号外面。反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。（2）有理化因式与分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。把分母中的化去，叫做分母有理化。（3）二次根式的加、减法先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。（4）二次根式的乘、除法二次根式相乘（除），把被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式。（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。根式的化简方法（1）把化为然后分母有理化为（2）运用积的算术平方根的性质[],二次根式的性质[]及因式分解等知识化简二次根式（K的值为大于或等于零的整式）。注意：K是多项式时要，K为整数时要先（4）利用（）给多项式在实数范围内分解因式。如：（为大于零的常数）分母有理化的方法与技巧分母有理化的关健是确定有理化因式，其基本方法为：①根据可知的有理化因式是②根据，可知的有理化因式为，的有理化因式是整式单项式：如100t、6a、2.5x、vt、-n，它们都是\n的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是。单项式的系数：单项式中的叫做这个单项式的系数。例如：单项式100t、vt、-n的系数分别是100、1、-1。单项式的次数：一个单项式中，叫做这个单项式的次数。例如：在单项式100t中，字母t的指数是1，100t是一次单项式；在单项式vt中，字母v与t的指数的和是2，vt是二次单项式。多项式：如2x-3，3x+5y+2z，ab-πr，它们都可以看作的和，像这样几个单项式的和叫做多项式。其中叫做多项式的项，不含字母的叫做常数项。多项式的次数：多项式里的次数，叫做这个多项式的次数。例如：在多项式2x-3中，次数最高的项是一次项2x，这个多项式的次数是1；在多项式x+2x+18中，次数最高的项是二次项x，这个多项式的次数是2。整式：与统称为整式。同类项：在单项式3ab与-4ab，它们都含有字母a，b并且a都是一次，b都是二次，像3ab与-4ab这样，所含相同，并且指数也相同的项想叫做，几个常数项也叫做。把多项式中同类项合并成一项叫做。我们可以运用交换律、结合律、分配率把多项式中的同类项进行合并。整式的加减(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用把每一个整式括起来，再用号连接．整式加减的一般步骤是：(2)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。括号里各项都符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都符号．(3)合并同类项：同类项的相加，所得的结果作为系数．不变．整式的乘除同底数幂的乘法：，（m,n都是整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数。幂的乘方：（m,n都是整数），即幂的乘方，底数不变，指数。积的乘方：，（n为整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。整式的乘法：（1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个．（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式)（3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．\n整式的除法：，（，m，n都是正整数，并且），即同底数幂相除，底数不变，指数相减。（1），任何不等于0的数的0次幂都等于.（2）单项式相除，把作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。（3）多项式除以单项式，先把这个多项式的除以这个单项式，再把所得的商相加。分式分式：一般地，如果A，B表示两个整式，并且，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。分式的意义：当A和B都表示有理数且B不等于0时，则式子表示一个分数。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。由于分式中的分母表示除数，而除数不能为0，所以分式中的分母不能为9，即当时，分式才有意义。分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）一个整式，分式的值不变。用式子表示为，（C≠0），其中A，B，C是整式。分式的约分与最简分式：与分数的约分类似，我们利用分式的基本性质，约去的分子和分母的公因式x，不改变分式的值，使化为，这样的分式变形叫做分式的约分。经过约分后的分式，其分子与分母没有，像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。分式的约分，一般要约去分子和分母所有的，使所得结果化为最简分式或整式。分式的通分与最简公分母：与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，化成分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。为通分要先确定各分式的，一般取各分母的所有因式的作公分母，它叫做最简公分母。分式的运算：乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。在分式的计算中，运算结果应化为最简分式，分子、分母是多项式时，先便于约分。根据乘方的意义和分式乘法的法则，可得：\n分式的乘方：一般地，当n是正整数时，即分式的乘方要把分子、分母分别乘方。分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母分式相加减：先通分，变为同分母分式，再加减。式与数有相同的运算法则：先乘方，再乘除，然后加减。负数整数幂的意义；一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的。乘法公式：（1）平方差公式两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差，即用字母表示为：；结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的.（2）完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：；结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab，且符号由左边的“和”或“差”来确定.注：在完全平方公式中，字母a、b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个、一个.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3x+y)×2+22＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4，或者(3x+y－2)2＝(3x)2+2×3x(y－2)+(y－2)2＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把看成是完全平方公式中的a，看成是b.（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都号。乘法公式的常见的恒等变形：a2+b2＝(a+b)2＝(a－b)2.利用上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的的形式，这就叫做把这个多项式，也可称为将这个多项式分解因式，它与互为逆运算。常用的因式分解方法：（1）提公因式法：把\n，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。i多项式各项都含有的，叫做这个多项式各项的公因式。ii公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂。（2）公式法：（1）常用公式：平方差公式：完全平方公式：（2）常见的两个二项式幂的变号规律：①；②．（为正整数）（3）十字相乘法：ⅰ二次项系数为1的二次三项式中，如果能把常数项分解成两个因式的积，并且等于一次项系数中，那么它就可以分解成ⅱ二次项系数不为1的二次三项式中，如果能把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项分解成两个因数的积，并且等于一次项系数，那么它就可以分解成：。步骤：（1）列出常数项分解成两个因数的的各种可能情况；（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于系数；（3）将原多项式分解成的形式。关键：乘积等于的两个因数，它们的和是一次项的二次项、常数项分解坚直写，符号决定常数式，交叉相乘验中项，横向写出两因式（4）分组分解法ⅰ定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：=，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。ⅱ原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。ⅲ有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。方程的概念：（1）含有的叫方程.（2）在一个方程中，只含有未知数，并且的指数是1，系数不为0，这样的方程叫一元一次方程.等式的基本性质：\n（1）等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式.若a=b，则a+c=或a–c=.（2）等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.若a=b，则ac=或（3）对称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式.若a=b，则.（4）传递性：如果a=b，且b=c，那么a=c，这一性质叫等量代换.解方程移项的有关概念：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫做.这个法则是根据等式的性质1推出来的，是解方程的依据.要明白移项就是根据解方程变形的需要，把某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边，移动的项一定要.解一元一次方程的步骤：(1)等式的性质2注意拿这个最小公倍数乘遍方程的，切记不可漏乘某一项，分母是小数的，要先利用分数的性质，把分母化为整数，若分子是代数式，则必加.(2)去括号法则、乘法分配律严格执行去括号的法则，若是数乘括号，切记不漏乘括号内的项，减号后去括号，括号内各项的符号一定要变号.(3)等式的性质1越过“=”的叫移项，属移项者必；未移项的项不变号，注意不遗漏,移项时把含未知数的项移在左边，已知数移在右边，书写时，先写不移动的项，把移动过来的项改变符号写在后面(4)合并同类项法则注意在合并时，仅将系数加到了一起，而字母及其指数均不改变.(5)等式的性质2两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远是分母（除数），切不可分子、分母颠倒.(6)检验分式方程分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解分式方程的思路：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。注意：一般的解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验将整式方程的解代入，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。二元一次方程组有关概念含有，并且都是1的方程叫做二元一次方程把具有的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。使二元一次方程的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解二元一次方程组的两个方程的，叫做二元一次方程组的解。消元\n由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含有另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做，简称。两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做，简称。一元二次方程：1、只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。2、把（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。3、解一元二次方程的方法：①配方法<即将其变为的形式。②公式法（注意在找a、b、c时须先把方程化为一般形式）③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）4、根与系数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。5、韦达定理：如果一元二次方程的两根分别为x1、x2，则有：。6、一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：①②③（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程的根不等关系1.一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2.要区别方程与不等式:方程表示的是的关系;不等式表示的是的关系.3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数<=>大于等于0(0)<=>0和正数<=>不小于0非正数<=>小于等于0(0)<=>0和负数<=>不大于04.不等式的基本性质：掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向,即:\n如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,.(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向,即:如果a>b,并且c<0,那么acb,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;如果ab<===>a=b<===>a(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了)7.不等式的解集:1.能使不等式成立的未知数的值,叫做;一个不等式的所有解,组成这个不等式的;求不等式的解集的过程,叫做.2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3.不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向,小向8.一元一次不等式:1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一元一次不等式.2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个时,不等号要改变方向.3.解一元一次不等式的步骤:①;②;③;④;⑤(不等号的改变问题)4.一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax0时,解为;②当a=0时,且b<0,则x取一切实数;当a=0时,且b≥0,则无解;③当a<0时,解为;9、一元一次不等式组把两个不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。几个不等式的解集的，叫做由它们所组成的不等式的解集。解不等式就是求它的解集。对于具有多种不等关系的问题，可通过不等式组解决。解一元一次不等式组时。一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。\n函数变量与函数：在一个变化过程中，有两个变量（如x、y），对于（x）的每一个确定值，函数（y）都有的值与它对应，这时，y就是x的函数，常量：在变化过程中，始终的量；变量：在变化过程中，可以取不同数值的量；通常在表达时，等式的是函数，等式右边的是。一次函数:若两个变量x、y之间的关系式可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y是函数）．正比例函数y=kx（k≠0）是一次函数y=kx+b（k≠0，b0）的特例．一次函数的图像：1、一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条，我们只要确定，再过这两个点作直线就可以作出一次函数的图象，它也称为直线．直线y=kx+b（k≠0）可以看着由直线y=kx（k≠0）上下平移个单位长度而得到．当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移．│K│越大，函数图像越.画函数图象的一般步骤：一、（一次函数只用列出两个点即可，其他函数一般需要列出个以上的点，所列点是自变量与其对应的函数值），二、（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点），三、（依次用平滑曲线连接各点）。一次函数的性质：正比例函数一次函数表达式y=kx(k≠0)y=kx+b(k≠0)k>0k<0k>0k<0图象性质1．图象是经过()与()象限的直线；2．函数y的值随x的增大而().1．图象是经过()与()的直线；2．函数y的值随x的增大而().函数y的值随x的增大而增.函数y的值随x的增大而.一次函数的图象与k,b的关系如下页图所示：y=kx+bk>0K<0\nb>0y=kx+bk>0K<0b<0待定系数法求一次函数的解析式的步骤：(1)设出；②根据条件确定解析式中未知的（把带入函数一般式列出，求出待定系数，把待定系数值再带入函数一般式，得到函数解析式）；③写出．反比例函数定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成,.反比例函数解析式的特征：a)等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.⑵比例系数，⑶自变量的取值为。⑷函数的取值是。反比例函数的图像（1）、图像的画法：描点法①（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）②（有小到大的顺序）③（从左到右光滑的曲线）⑵、反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近，但是永远不与坐标轴相交。⑶、反比例函数的图像既是中心对称图形（对称中心是），也是轴对称图形（对称轴是或）。⑷、反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线（\n）上任意引轴轴的垂线，所得面积为。│K│越大，函数图像离开原点越。反比例函数性质如下表：的取值图像所在象限函数的增减性图像示例（）象限（），值随的增大而（）的取值图像所在象限函数的增减性图像示例（）象限（），值随的增大而（）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上个点的坐标即可求出）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。一次函数与一元一次方程的关系。由y=kx+b，当y取一个确定的值时，可以将y值代入y=kx+b得到方程，从而求出。特别的，y=0时，一元一次方程的解就是一次函数与的交点坐标的横坐标的值。一次函数与二元一次方程组的关系。一元一次方程的解就是一次函数与x轴的交点坐标的横坐标的值。二元一次方程组的解可以把方程组中的两个方程看作是两个，画出这两个函数的图象，那么它们的就是方程组的解。一次函数与不等式的关系：可以借助函数图象解决一元一次不等式的有关问题。二次函数的定义:一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是．\n⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．二次函数的三种形式一般式　　y=ax2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标公式为(，)；顶点式y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k为常数)顶点坐标为（，）对称轴为交点式[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]；二次项系数决定抛物线的开口方向：当时抛物线开口向上；当时抛物线开口向下决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口；越小，抛物线开口.注：抛物线y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k为常数)与y=ax２(a≠0,a为常数)形状相同，位置不同，把抛物线y=ax２向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a(x-h)２+k，简单记为。平移的方向、距离要根据h，k的值来决定，抛物线y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k为常数)顶点坐标为（h，k）对称轴为x=h。用待定系数法求函数的表达式二次函数的表达式（为常数，）中有三个量a、b、c，因此需要知道的确定坐标，将点的坐标代入表达式中得到一个三元一次方程组，再利用消元法解出a、b、c。得到二次函数的表达式，这种方法称之为待定系数法。二次函数的特性轴对称　　抛物线是轴对称图形。对称轴为直线。　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的。　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是（即直线x=0）顶点　　抛物线有一个顶点P，坐标为P(，)　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=时，P在x轴上。决定对称轴位置的因素　　一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号　　可简单记忆为，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时　　（即ab＜0），对称轴在y轴右。决定抛物线与y轴交点的因素　　常数项c决定抛物线与y轴交点。　　抛物线与交于（0，c）二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根。抛物线y=ax2+bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程\nΔ时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；Δ=时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；Δ0时，一元二次方程没有实根，二次函数图像与x轴没有交点注意：二次函数y=ax2+bx+c通过移项后可以变成ax2+bx+c-y=0，因此的y（纵坐标）值确定并且该点在二次函数的的图像上时，可以借助ax2+bx+c-y=0来求得x（横坐标）。函数图像的交点利用多个不同的函数解析式可以建立方程组，若方程组有解，则这些函数有，即为方程组的解。函数值的大小比较当两个或两个以上的函数图像同时在坐标系中时，当选定X的值时，若某一个函数图像在其余函数图像上方，则该函数值在此x值时其余函数值，依据此方法可以确定X的取值范围。列方程解应用题1、列方程解应用题的一般步骤：（1）将实际问题抽象成数学问题；分析问题中的和，找出；（2）设未知数，(3）列出方程；（4）解方程；（5）检验并作答.核心：在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。2、一些实际问题中的规律和等量关系：（1）日历上数字排列的规律是：横行每整行排列7个连续的数，竖列中，下面的数比上面的数大.日历上的数字范围是在1到31之间，不能超出这个范围.（2）几种常用的面积公式：长方形面积公式：S=，a为长，b为宽，S为面积；正方形面积公式：S=，a为边长，S为面积；梯形面积公式：S=，a，b为上下底边长，h为梯形的高，S为梯形面积；圆形的面积公式：S=，r为圆的半径，S为圆的面积；三角形面积公式：S=，a为三角形的一边长，h为这一边上的高，S为三角形的面积.（3）几种常用的周长公式：长方形的周长：L=，a，b为长方形的长和宽，L为周长.正方形的周长：L=，a为正方形的边长，L为周长.圆：L=，r为半径，L为周长.（4）柱体的体积等于底面积乘以高，当体积不变时，底面越大，高度就越低.所以等积变化的相等关系一般为:的体积=的体积.（5）行程类应用题基本关系：路程=速度=时间=相遇问题：甲、乙而行，则：＋＝。追及问题：甲、乙，则：＋＝。\n航行（飞行）问题飞行（航行）问题、基本等量关系：①顺风（顺水）速度＝＋②逆风（逆水）速度＝＋（6）利润类应用题基本关系：1.利润=－2.实际售价=×3.利润率=5.销售额=（7）工程问题(这类问题当工作总量具体不清楚时，常当作单位1)基本关系式：工作总量＝工作时间=工作效率=合作效率=（8）关于储蓄中的一些概念：：顾客存入银行的钱；：银行给顾客的酬金；：本金与利息的和；：存入的时间；利率：每个期数内利息与本金的比；利息=；本息=+.（9）在一些复杂问题中，可以借助复杂问题中的数量关系，找出若干个较直接的等量关系，借此列出方程，列表可帮助我们分析各量之间的相互关系.（10）在行程问题中，可将题目中的数字语言用表达出来，分析问题中的数量关系，从而找出等量关系，列出方程.3、处理问题的过程可以进一步概括为：4.不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①:认真审题,找出题中的关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②:设出适当的未知数;③:根据题中的,列出不等式;④:解出所列的不等式的解集;⑤:写出答案,并检验答案是否符合题意.一元二次方程实际应用问题归纳关于销售问题：①进价，成本价，售价，定价，标价的意义；②单件利润=售价-进价，总利润=销量×单件利润；③利润率=×100%。总价=关于储蓄中的一些概念：本金：顾客存入银行的钱；利息：银行给顾客的酬金；本息：本金与利息的和；期数：存入的时间；利率：每个期数内利息与本金的比；利息=××；本息=+.“连续变化”问题→特征:始量a经过两次连续增加（或降低）且百分率是相同（x）.（第一阶段）→开始量a\n（第二阶段）→变化第一次为：a±a.x或（第三阶段）→变化第二次为：a(1±x)+a(1±x).x或.→如果告诉第三阶段的量b,则得方程：面积问题：在一个图形中切除另外一个图形注意在切除过程中的面积变化及每个图形的面积表达式。动点问题：1、明确变化的量2、建立变量与已知条件的联系。2、构造方程求解。数字问题：注意每个数字变化时数位的特点。并找到等量关系一元二次方程实际应用问题解题步骤：1、做题时必须把题读懂，弄清哪些量是已知的、哪些量是未知的。2、找出各量之间的等量关系和各量的关系，能作合理选择；3、设好未知数，建立方程；4、准确求解，最后合理作答。总结：做题时必须把题读懂：（1）弄清哪些量是已知的、哪些量是未知的；（2）找出各量之间的等量关系，能作合理选择；（3）设好未知数，建立方程；（4）准确求解，最后合理作答。（5），一元二次方程的实际应用中，应考虑的取值范围，在运用函数模型解决实际问题中，应考虑的取值范围。数据的收集与整理数据处理的基本过程:数据、数据、数据、数据、结论收集数据的方法：a、调查b、调查：如现场进行观察、收集、统计数据c、媒体调查：报纸、电视、电话、网络等调查都是媒体调查。注意：选择收集数据的方法，要掌握两个要点：①是要，②要。全面调查（普查）（1）考查全体对象的调查叫，也叫。（2）全面调查的方法：问卷调查﹑访问调查﹑电话调查等。（3）当调查范围小﹑调查不具有﹑数据要求时，采用全面调查。抽样调查（1）只抽取进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况叫。（2）抽样调查的方法：随机抽样：它的特点是每一个个体被抽取的都相等。当总体的个数较少时，采用随机抽样。分层抽样：当总体由有明显差异的构成时，可将总体按差异情况分成几个部分，然后按各部分所占的比例进行抽样。（3）当所调查对象涉及面大，范围广，或受条件限制，或具有破坏性等时，一般采取。注意当调查的结果有特别要求时，或调查的结果有特殊意义时，如国家的人口普查，全国经济普查我们就仍须采用全面调查的方式进行。总体、个体、样本和样本容量（1）要考察的对象的全体叫.（2）组成总体的每一个考察对象叫。（3）从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个。（4）样本中个体的数目叫，样本容量没有。数据的描述\n数据的描述方法有：统计表和统计图。统计图包括条形统计图﹑折线统计图﹑扇形统计图。（1）条形统计图：可以清楚地表示各种情况下每个项目的，它的适用范围广泛。（2）折线统计图：易于表示同一对象的情况。用折线统计图表示的数据通常是从同一个对象上不同时间或地点收集得到的。（3）扇形统计图：易于表示一个对象在总体中所占的。（相应扇形圆心角的度数=相应部分量所占总量的百分比×360°）（4）直方图1）.组距﹑组数﹑频数和频率组距：每一组两个端点之间的距离叫。组数：把数分成若干组，分成组的个数叫。频数：落在各小组内的数据的个数叫该组的。频数的总和是频率：频数占总数的百分比叫，频率=频数/总数×100％。各频率之和是1.注意：（1）当数据在100个以内时，根据数据的多少通常分成5—12组。一般地，。（2）为了使数据“不重不漏”，分组时常采用“上限不在内”的原则。2）.频数分布直方图频数分布直方图也是一种条形图，它用小长方形的面积来反映数据落在各个小组的频数大小。如果是等距分组时，为画图与看图的方便，通常直接用小长方形的高表示频数。作直方图的步骤：（1）计算最大值与最小值的差，（2）确定组距与组数（数据个数在100以内的一般分5—12组），（3）确定分点，（4）列出频数分布表，（5）画出直方图，构造一个直角坐标系，横轴表示各数据段，纵轴表示频数。注：（1）频数之和等于（2）频率之和等于（3）频数为矩形的3.频数折线图频数折线图的制作一般是在频数分布直方图的基础上得到的。首先取直方图中每一个小长方形上边的中点，然后在横轴上直方图的左右取两个频数为0的点，它们分别与直方图在左右相距半个组距，然后将这些点用线段依次连结起来，就得到频数折线图。数据的分析1.加权平均数：加权平均数的计算公式。加权平均数=权的理解:反映了某个数据在整个数据中的。2.中位数：将一组数据按照（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于的数就是这组数据的；如果数据的个数是，则中间两个数据的就是这组数据的中位数。3.众数：一组数据中的数据就是这组数据的众数（mode）。\n4.极差：一组数据中的数据与数据的差叫做这组数据的极差(range)。5.方差：方差越大，数据的波动；方差越小，数据的波动，就越稳定。6.平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少受极端值的影响。平均数的定义：统计中算术平均数常用于表示统计对象的一般水平，它是描述数据集中程度的一个统计量。既可以用它来反映一组数据的一般情况和平均水平，也可以用它进行不同组数据的比较，以看出组与组之间的差别。众数：在统计分布上具有明显集中趋势点的数值，代表数据的（众数可以不存在或多于一个）。方差：是和中心偏离的程度！用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。极差：只指明了测定值的最大离散范围。中位数：作用与算术平均数相近，也是作为所研究数据的代表值，出现了极端变量值的情况下，用中位数作为代表值要比用算术平均数更好，因为中位数不受极端变量值的影响；如果研究目的就是为了反映中间水平，当然也应该用中位数。概率必然事件：在一定条件下发生的事件。不可能事件：在一定条件下的事件。必然事件与不可能事件称之为事件。随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。随机事件发生的是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。概率：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的，称为随机事件A发生的概率。记为P（A）。一般地，如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=，其中0≤m≤n，所以0≤≤1，因此0≤P(A)≤1。当A为必然事件时，P(A)=当A为不可能事件时，P(A)=事件发生的可能性越大，它的概率越接近1：反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近.用列举法求概率1、当一次试验中，可能出现的结果是有限个，并且各种结果发生的可能性相等时，可以用被关注的结果在全部试验结果中所占的比分析出事件中该结果发生的概率，此时可采用列举法．2、利用列表法或树形图法求概率的关键是：①注意各种情况出现的可能性务必相同；②其中某一事件发生的概率=；③在考查各种情况出现的次数和某一事件发生的次数时不能重复也不能遗漏；3、用列表法或树形图法求得的概率是理论概率，而实验估计值是频率，它通常受到实验次数的影响而产生波动，因此两者不一定一致，实验次数较多时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率。列举法一种方式为树状图，如下：\nACDEHIHIHIBCDEHIHIHI甲乙丙列举法另一种方式为图表，如下：第2个第1个1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）\n4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）用频率估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)=p。在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个随机事件出现的频率应该稳定于该事件发生的概率。事件发生的频率与概率既有区别又有联系：事件发生的频率不一定相同，是个变数，而事件发生的概率是个常数；但它们之间又有密切的联系，随着试验次数的增加，频率越来越稳定于概率。在具体操作过程中，大家往往发现：虽然多次试验结果的频率逐渐稳定于概率，但可能无论做多少次试验，两者之间存在着一定的偏差。应该注意：这种偏差的存在是经常的，并且是正常的。另外，由于受到某些因素的影响，通过试验得到的估计结果往往不太理想，甚至有可能出现极端情况，此时我们应正确地看待这样的结果并尝试着对结果进行合理的解释。对试验结果的频率与理论概率的偏差的理解也是形成随机观念的一个重要环节。在实际应用中，当试验次数越大时，出现极端情况的可能性就越小。因此，我们常常通过做大量重复试验来获得事件发生的频率，并用它作为概率的估计值。试验次数越多，得到的估计结果就越可靠。