初中数学竞赛精品标准教程及练习（67） 5页

智浪教育--普惠英才文库初中数学竞赛精品标准教程及练习(67)参数法证平几一、内容提要1.联系数量间关系的变数叫做参变数，简称参数.2.有一类平面几何的证明，可以根据图形性质引入参数，布列方程，通过计算来完成，我们称它为参数法.其关键是正确选定参数和准确的进行计算.二、例题例1如图已知：AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，CD⊥AB于D，⊙N与⊙O内切且与AB、CD分别切于E，F.求证：AC=AE.分析：选取两圆半径为参数，通过半径联系AC，AE的关系.证明：设⊙O，⊙N半径分别为R和r，连接ON，NE.根据勾股定理：OE==，AE=OA＋OE＝R+；OD=OE－r=－r，　　AD=OA＋OD＝R+－r根据射影定理AC2=AD×AB=(R+－r)×2R　　　=2R2+2R－2Rr=R2+2R+(R2－2Rr)=(R+)2∴AC=R+.　∴AC=AE例2.已知：△ABC的内切圆I和边AB，BC，CA分别切于D，E，F，AC×BC＝2AD×DB.求证：∠C＝Rt∠.证明：设AD＝x,　则DB＝c－x.代入AC×BC＝2AD×DB.得　　ab=2x(c－x).2x2－2cx+ab=0.∴x==,　　　又根据切线长定理得x＝，∴＝.　　4\n智浪教育--普惠英才文库c2－2ab=a2－2ab+b2.∴　c2=a2+b2.∴　∠C＝Rt∠.例3.已知：等边三角形ABC中，P是中位线DE上一点，BP，CP的延长线分别交AC于F，交AB于G.求证：.证明：设△ABC边长为a,　PD＝m,　PE=n,　BG=x,　CF=y.∵DE是△ABC的中位线，　∴DE∥BC，DE＝BC.∴　　（1）＋（2）：.∴，　　　，　　　∴.∴.例4.已知：如图四边形ABCD中，过点B的直线交AC于M，交CD于N，且S△ABC∶S△ABD∶S△BCD＝1∶3∶4.求证：M，N平分AC和CD.证明：设S△ABC＝1，　则S△ABD＝3，　S△BCD＝4，　S△ACD＝3＋4－1＝6.设＝k(0