初中函数达标测试卷附答案 42页

初中函数达标测试卷~　一．选择题（共2小题）1．（1999•杭州）二次函数y=2x（x﹣3）的二次项系数与一次项系数的和为（　　）　A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4　2．如图是一次函数y=kx+b的图象，当y＜2时，x的取值范围是（　　）　A．x＞4B．x＜4C．x＜2D．x＞0　二．填空题（共3小题）3．如图，在同一坐标系内，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点A（﹣1，0），点B（2，0）和点C（0，4），一次函数的图象与抛物线交于B，C两点．（1）二次函数的解析式为　_________　；（2）当自变量x　_________　时，两函数的函数值都随x增大而减小；（3）当自变量x　_________　时，一次函数值大于二次函数值．　4．一次函数y=﹣x+1的图象与x轴的交点坐标是　_________　，与y轴的交点坐标是　_________　．　5．一次函数y=（3﹣k）x+k﹣5的图象不过第一象限，则整数k=　_________　．　三．解答题（共20小题）6．如图，直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．（1）求直线l2的解析表达式；（2）求△ADC的面积．\n　7．（2012•珠海）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？　8．问题背景：“在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．”小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网络中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），（1）如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积是　_________　．（2）如图我们把上述求面积的方法叫做构图法．若△DCE三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．　9．已知一次函数图象如图，写出它的解析式．　10．如图（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）根据图象写出反比例函数值大于一次函数值x的取值范围．\n　11．已知一次函数的图象经过点（﹣2，1）和（4，4）（1）求一次函数的解析式，并画出图象；（2）P为该一次函数图象上一点，A为该函数图象与x轴的交点，若S△PAO=6，求点P的坐标．　12．如图，直线AB：y=﹣x+7与反比例函数（x＞0）的图象交点为A和B．（1）求反比例函数的解析式；（2）根据图象回答下列问题：①当x为何值时，一次函数的值等于反比例函数的值；②当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．　13．已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积．　\n14．（2007•中山）如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（1，4）、B（3，m）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．　15．唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题﹣﹣将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．（1）观察发现再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为　_________　．（2）实践运用如图3，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．（3）拓展迁移如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．①求这条抛物线所对应的函数关系式；②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）　16．（2008•鄂州）（1）如图，A1，A2，A3是抛物线y=x2图象上的三点，若A1，A2，A3三点的横坐标从左至右依次为1，2，3．求△A1A2A3的面积．\n（2）若将（1）问中的抛物线改为y=x2﹣x+2和y=ax2+bx+c（a＞0），其他条件不变，请分别直接写出两种情况下△A1A2A3的面积．（3）现有一抛物线组：y1=x2﹣x；y2=x2﹣x；y3=x2﹣x；y4=x2﹣x；y5=x2﹣x；…依据变化规律，请你写出抛物线组第n个式子yn的函数解析式；现在x轴上有三点A（1，0），B（2，0），C（3，0）．经过A，B，C向x轴作垂线，分别交抛物线组y1，y2，y3，…，yn于A1，B1，C1；A2，B2，C2；A3，B3，C3；…；An，Bn，Cn．记为S1，为S2，…，为Sn，试求S1+S2+S3+…+S10的值．（4）在（3）问条件下，当n＞10时有Sn﹣10+Sn﹣9+Sn﹣8+…Sn的值不小于，请探求此条件下正整数n是否存在最大值？若存在，请求出此值；若不存在，请说明理由．　17．阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题﹣﹣如图1，从A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小．解答问题：（1）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（2）如图3，已知菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B时，整个运动停止．①为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的位置应如何确定？②在①的条件下，设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为S，在整个运动过程中，试求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．　18．（2011•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c过点A、点C，且与x轴的另一交点为B（x0，0），其中x0＞0，又点P是抛物线的对称轴l上一动点．\n（1）求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P0，使P0到点A与点C的距离之和最小；（2）若△PAC周长的最小值为，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；（3）如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动（M不与端点C、O重合），过点M作MH∥CB交x轴于点H，设M移动的时间为t秒，试把△P0HM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；（4）在（3）的条件下，当时，过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：过E、F、C三点的圆与直线CN能否相切于点C？请证明你的结论．（备用图图3）　19．（1）阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a、b，可作如下变形a+b==﹣+=+，又∵≥0，∴+≥0+，即a+b≥．根据上述内容，回答下列问题：在a+b≥（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥，当且仅当a、b满足　_________　时，a+b有最小值．（2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD=2a，DB=2b，试根据图形验证a+b≥成立，并指出等号成立时的条件．（3）探索应用：如图2，已知A为反比例函数的图象上一点，A点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，﹣3）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值．　20．如图所示，平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+4交y轴于A，分别交X轴的负半轴、正半轴于B、C两点，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E．点M是四边形OADE的对角线的交点，点F在y轴负半轴上，且F（0，﹣2）．\n（1）当点P、Q分别从C、F两点同时出发，均以每秒1个长度单位的速度沿CB、FA方向运动，点P运动到O时P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒．在运动过程中，以P、Q、O、M四点为顶点的四边形的面积为S，求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）在抛物线上是否存在点N，使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点N的坐标；不存在，说明理由．（3）在运动过程中，当点P、Q分别从C、F两点同时出发，点P以每秒1个长度单位的速度沿CB方向运动，点Q以某一速度沿FA方向运动，当点P运动时间t=1.5时，∠PDQ=45°，求点Q的运动速度．　21．已知：RT△ABC与RT△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，EF=8cm，AC=16cm，BC=12cm．现将RT△ABC和RT△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．运动一：如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动；运动二：在运动一的基础上，如图3，RT△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB与DE交于点P，此时点Q在DF上匀速运动，速度为，当QC⊥DF时暂停旋转；运动三：在运动二的基础上，如图4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题（1）在RT△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时　_________　s；（2）在整个运动过程中，设RT△ABC与RT△DEF的重叠部分的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．　22．（2008•镇江）阅读以下材料：\n对于三个数a、b、c，用M（a，b，c）表示这三个数的平均数，用min（a，b，c）表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}=；min{﹣1，2，3}=﹣1；min{﹣1，2，a}=a（a≤﹣1）；﹣1（a＞﹣1）解决下列问题：（1）填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}=　_________　，如果min{2，2x+2，4﹣2x}=2，则x的取值范围为　_________　≤x≤　_________　；（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x．②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么　_________　（填a，b，c的大小关系）”，证明你发现的结论．③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}=min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，则x+y=　_________　；（3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1，y=（x+1）2，y=2﹣x的图象（不需列表描点），通过观察图象，填空：min{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最大值为　_________　．　23．（2007•哈尔滨）如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，上底AD平行于x轴，下底BC交y轴于点E，点C（4，﹣2），点D（1，2），BC=9，sin∠ABC=．（1）求直线AB的解析式；（2）若点H的坐标为（﹣1，﹣1），动点G从B出发，以1个单位/秒的速度沿着BC边向C点运动（点G可以与点B或点C重合），求△HGE的面积S（S≠0）随动点G的运动时间t′秒变化的函数关系式（写出自变量t′的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当秒时，点G停止运动，此时直线GH与y轴交于点N．另一动点P开始从B出发，以1个单位/秒的速度沿着梯形的各边运动一周，即由B到A，然后由A到D，再由D到C，最后由C回到B（点P可以与梯形的各顶点重合）．设动点P的运动时间为t秒，点M为直线HE上任意一点（点M不与点H重合），在点P的整个运动过程中，求出所有能使∠PHM与∠HNE相等的t的值．　24．某县种植了一种无公害蔬菜，为了扩大生产规模，该县决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元，随着补贴数额的不断增大，生产规模也不断增加，但每亩蔬菜的收益会相应降低．经调查，种植亩数y（亩）、每亩蔬菜的收益z（元）与补贴数额x（元）之间的关系如下表：x（元）0100200300…\ny（亩）800160024003200…z（元）3000270024002100…（1）分别求出政府补贴政策实施后种植亩数y、每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；（2）要使全县这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少并求出总收益w的最大值和此时种植亩数；（3）在取得最大收益的情况下，为了满足市场需求，用不超过70亩的土地对这种蔬菜进行反季节的种植．为此需修建一些蔬菜大棚，修建大棚要用的支架、塑料膜等材料平均每亩的费用为650元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积（亩）的平方成正比例，比例系数为25．这样，修建大棚后的这部分土地每亩的平均收益比没修前增加了2000元，在扣除修建费后总共增加了85000元．求修建了多少亩蔬菜大棚．（结果精确到个位，参考数据：1.414）　25．（2002•昆明）已知矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，设点A的坐标为（x，y），其中x＞0，y＞0．（1）求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；（2）用x、y表示矩形ABCD的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题：方法：∵（k为常数且k＞0，a≠0），∵∴∴当=0，即时，取得最小值2k．问题：当点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆面积S最小并求出S的最小值；（3）如果直线y=mx+2（m＜0）与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样的实数m，使得点P、Q与（2）中求出的点A构成APQ的面积是矩形ABCD面积的？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．　\n初中函数达标测试卷~参考答案与试题解析　一．选择题（共2小题）1．（1999•杭州）二次函数y=2x（x﹣3）的二次项系数与一次项系数的和为（　　）　A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4考点：二次函数的定义．252690分析：首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数与一次项系数的和．解答：解：y=2x（x﹣3）=2x2﹣6x．所以二次项系数与一次项系数的和=2+（﹣6）=﹣4．故选D．点评：此题考查了二次函数的一般形式，计算时注意系数的符号．　2．如图是一次函数y=kx+b的图象，当y＜2时，x的取值范围是（　　）　A．x＞4B．x＜4C．x＜2D．x＞0考点：一次函数的图象．252690专题：数形结合．分析：根据一次函数的图象与y轴的交点坐标可直接解答．解答：解：由函数的图象可知，当y＜2时，函数的图象在x轴的正半轴上，此时x＞0．故选D．点评：此题比较简单，考查的是用数形结合的方法求不等式的解集，正确观察函数图象是解答此题的关键．　二．填空题（共3小题）3．如图，在同一坐标系内，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点A（﹣1，0），点B（2，0）和点C（0，4），一次函数的图象与抛物线交于B，C两点．（1）二次函数的解析式为　y=﹣2x2+2x+4　；（2）当自变量x　＞　时，两函数的函数值都随x增大而减小；（3）当自变量x　＜0或x＞2　时，一次函数值大于二次函数值．\n考点：待定系数法求二次函数解析式．252690分析：（1）可设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，分别把点A（﹣1，0），点B（2，0）和点C（0，4）代入解析式求解系数即可．（2）和（3）都可以根据函数图象直接观察．解答：解：（1）根据题意，可设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，∵二次函数的图象与两坐标轴分别交于点A（﹣1，0），点B（2，0）和点C（0，4），∴分别把点A（﹣1，0），点B（2，0）和点C（0，4）代入解析式得，0=a﹣b+c，①0=4a+2b+c，②4=c，③由①②③得，a=﹣2，b=2，c=4，∴二次函数解析式为y=﹣2x2+2x+4．（2）根据图象可知，当x＞时，两函数的函数值都随x增大而减小．（3）一次函数值大于二次函数值即一次函数图象在二次函数下方，根据图象知x范围为：x＜0或x＞2．点评：本题考查了待定系数法求解二次函数解析式，及函数性质，是基础题型．　4．一次函数y=﹣x+1的图象与x轴的交点坐标是　（3，0）　，与y轴的交点坐标是　（0，1）　．考点：一次函数图象上点的坐标特征．252690专题：计算题．分析：一次函数y=﹣x+1的图象与x轴的交点坐标是y=0，与y轴的交点坐标是x=0．解答：解：当y=0时，x=3；当x=0时，y=1．∴一次函数y=﹣x+1的图象与x轴的交点坐标是（3，0），与y轴的交点坐标是（0，1）．点评：本题考查的知识点为：函数与y轴的交点的横坐标为0；函数与x轴的交点的纵坐标为0．　5．一次函数y=（3﹣k）x+k﹣5的图象不过第一象限，则整数k=　4或5　．考点：一次函数图象与系数的关系．252690专题：常规题型．分析：根据一次函数图象的性质当比例系数小于0时，与y轴的交点在原点或y轴负半轴时函数图象经过第二四象限，然后列式进行计算即可求解．解答：解：根据题意得，3﹣k＜0，且k﹣5≤0，解得k＞3，且k≤5，∴k的范围是3＜k≤5，∵k是整数，\n∴k=4或5．故答案为：4或5．点评：本题考查了一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象不经过第一象限的条件并列出算式是解题的关键，需要注意经过原点的直线的情况，这是容易忽视而导致出错的地方．　三．解答题（共20小题）6．如图，直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．（1）求直线l2的解析表达式；（2）求△ADC的面积．考点：两条直线相交或平行问题．252690分析：（1）根据图形，直线l2经过点A、B，利用待定系数法求解即可；（2）根据直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3求出点D的坐标，再两直线解析式联立方程组求出点C的坐标，利用三角形的面积公式求解即可．解答：解：（1）设l2的表达式为y=kx+b，由图可知经过点A（4，0）、B（3，﹣），∴，解得，∴直线l2的解析表达式为：y=x﹣6；（2）当y=0时，﹣3x+3=0，解得x=1，∴点D的坐标是（1，0），直线l1的解析表达式与直线l2的解析表达式联立得，，解得，∴点C的坐标是（2，﹣3），∴△ADC的面积=×（4﹣1）×|﹣3|=×3×3=．故答案为：（1）y=x﹣6，（2）．\n点评：本题考查了直线相交的问题与待定系数法求函数解析式，难度不大，关键是求出点的坐标．　7．（2012•珠海）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？考点：分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．252690专题：计算题．分析：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，则第二次每支铅笔进价为x元，根据题意可列出分式方程解答；（2）设售价为y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．解答：解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程得，﹣=30，解得，x=4，检验：当x=4时，分母不为0，故x=4是原分式方程的解．答：第一次每只铅笔的进价为4元．（2）设售价为y元，根据题意列不等式为：×（y﹣4）+×（y﹣5）≥420，解得，y≥6．答：每支售价至少是6元．点评：本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系是解题的关键．　8．问题背景：“在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．”小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网络中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），（1）如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积是　3.5　．（2）如图我们把上述求面积的方法叫做构图法．若△DCE三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．考点：勾股定理；三角形的面积．252690专题：网格型．分析：（1）如图1所示，可得出四边形MNCP为正方形，△ABM、△ANC及△PBC都为直角三角形，由正方形MNCP的面积﹣直角三角形AMB的面积﹣直角三角形ANC的面积﹣直角三角形PBC的面积，求出即可；\n（2）如图所示构造网格，网格由边长分别为m与n的36个小长方形构成，由矩形DEGK的面积﹣直角三角形DEF的面积﹣直角三角形HGF的面积﹣直角三角形DHK的面积，求出即可．解答：解：（1）如图1所示，可得出四边形MNCP为正方形，△ABM、△ANC及△PBC都为直角三角形，∴S△ABC=S正方形MNPC﹣S△ABM﹣S△ANC﹣S△PBC=3×3﹣×2×1﹣×2×3﹣×1×3=9﹣1﹣3﹣1.5=3.5；（2）如图所示，网格由边长分别为m与n的小长方形构成，在Rt△DEF中，EF=m，DE=4n，根据勾股定理得：DF==，在Rt△DKH中，DK=3m，KH=2n，根据勾股定理得：DH==，在Rt△FGH中，FG=2m，HG=2n，根据勾股定理得：HF==，∴S△DFH=S矩形DEGK﹣S△DEF﹣S△DKH﹣S△FGH=12mn﹣×m×4n﹣×3m×2n﹣×2m×2n=5mn．故答案为：（1）3.5点评：此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，利用了数形结合的思想，弄清题意，画出相应的图形是解本题的关键．　9．已知一次函数图象如图，写出它的解析式．考点：待定系数法求一次函数解析式．252690专题：数形结合．分析：设出一次函数的解析式，把（1，0），（0，﹣2）代入解析式即可．解答：解：由一次函数的图象可知，图象过（1，0），（0，﹣2）两点，设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），把（1，0），（0，﹣2）两点代入，得，解得．\n故所求一次函数的解析式为：y=2x﹣2．点评：本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，解答此题的关键是根据函数的图象确定出函数与坐标轴的交点坐标，再把交点坐标代入一次函数的关系式即可．　10．如图（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）根据图象写出反比例函数值大于一次函数值x的取值范围．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．252690专题：数形结合．分析：（1）将N的坐标代入反比例解析式中，求出k的值，确定出反比例函数解析式，将M的坐标代入确定出的反比例解析式中求出m的值，确定出M的坐标，将M和N的坐标代入一次函数y=ax+b中，求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）由M和N的横坐标为﹣1和2，以及0，将x轴分为四个范围，找出反比例函数图象在一次函数图象上方时x的范围即可．解答：解：（1）将N（﹣1，﹣4）代入反比例函数y=中得：﹣4=，解得：k=4，故反比例函数解析式为y=，将M的坐标（2，m）代入反比例解析式得：m==2，则M（2，2），将M（2，2）和N（﹣1，﹣4）代入一次函数解析式y=ax+b得：，解得：，故一次函数解析式为y=y=2x﹣2；（2）由图形可得：当x＜﹣1或0＜x＜2时，反比例函数值大于一次函数值．点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法及数形结合的思想，待定系数法是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．　11．已知一次函数的图象经过点（﹣2，1）和（4，4）（1）求一次函数的解析式，并画出图象；（2）P为该一次函数图象上一点，A为该函数图象与x轴的交点，若S△PAO=6，求点P的坐标．考点：待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征．252690专题：综合题；函数思想．分析：\n（1）设一次函数的解析式是y=ax+b（a、b是常数且a≠0）．然后将点（﹣2，1）和（4，4）代入该解析式，利用待定系数法求得该解析式；（2）根据（1）的解析式求得点A的坐标，然后由三角形的面积公式求得P（x，y）．解答：解：（1）设一次函数的解析式是y=ax+b（a、b是常数且a≠0）．则，解得，，所以一次函数的解析式是y=x+2．其图象如图所示：（2）设P（x，y），连接OP．当y=0时，x=﹣4，∴A（﹣4，0）；∴S△PAO=×4×|x+2|=6，解得，x=2或x=﹣10；当x=2时，y=3；当x=﹣10时，y=﹣3；∴P（2，3）或P（﹣10，﹣3）．点评：本题综合考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图象及一次函数图象上点的坐标的特征．本题要注意利用一次函数的性质，列出方程组，求出a、b的值，从而求得其解析式．　12．如图，直线AB：y=﹣x+7与反比例函数（x＞0）的图象交点为A和B．（1）求反比例函数的解析式；（2）根据图象回答下列问题：①当x为何值时，一次函数的值等于反比例函数的值；②当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．\n考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式．252690分析：（1）根据题意，可得出A、B两点的坐标，再将A、B两点的坐标代入，即可得出解析式；（2）①即求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围即可；②即求出一次函数图象在反比例函数图象的下方时，x的取值范围即可．解答：解：（1）∵反比例函数（x＞0）的图象过点A（1，6），∴k=6．∴反比例函数的解析式为：y=．（3分）（2）由图象可知：①x=1或x=6；（5分）②1＜x＜6．（7分）点评：本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数和反比例函数的交点问题，是基础知识要熟练掌握．　13．已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积．\n考点：反比例函数与一次函数的交点问题．252690专题：计算题．分析：（1）先把A的横坐标和B点的纵坐标分别代入y2=﹣，可确定点A的坐标为（﹣2，4），B点坐标为（4，﹣2），然后利用待定系数法可求出一次函数的解析式；（2）先确定次函数与y轴的交点坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算即可．解答：解：（1）把x=﹣2代入y2=﹣得y=4，把y=﹣2代入y2=﹣得x=4，∴点A的坐标为（﹣2，4），B点坐标为（4，﹣2），把A（﹣2，4），B（4，﹣2）分别代入y1=kx+b得，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）如图，直线AB交y轴于点C，对于y=﹣x+2，令x=0，则y=2，则C点坐标为（0，2），∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了三角形面积公式．　14．（2007•中山）如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（1，4）、B（3，m）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．考点：反比例函数综合题．252690专题：待定系数法．分析：（1）把A代入反比例函数解析式即可求得反比例函数解析式，把点B代入反比例函数解析式就能求得完整的点B的坐标，把A，B坐标代入一次函数即可求得解析式；\n（2）把三角形整理为矩形减去若干直角三角形的面积的形式，比较简便．解答：解：（1）点A（1，4）在反比例函数y=的图象上，所以k2=xy=1×4=4，故有y=因为B（3，m）也在y=的图象上，所以m=，即点B的坐标为B（3，），（1分）一次函数y=k1x+b过A（1，4）、B（3，）两点，所以解得所以所求一次函数的解析式为y=﹣x+（3分）（2）过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A′、A〞，过点B作x轴的垂线，垂足为B′，则S△AOB=S矩形OA′AA″+S梯形A′ABB′﹣S△OAA″﹣S△OBB′（4分）=1×4+×（4+）×（3﹣1）﹣×1×4﹣×3×（6分）=，∴△AOB的面积为（7分）．点评：求一次函数的解析式需知道它上面的两个点的坐标；求坐标系内三角形的面积，通常整理为矩形面积减去若干直角三角形的面积的形式．　15．唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题﹣﹣将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．（1）观察发现再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为　2　．\n（2）实践运用如图3，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．（3）拓展迁移如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．①求这条抛物线所对应的函数关系式；②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）考点：二次函数综合题．252690专题：计算题；代数几何综合题；压轴题；阅读型；数形结合．分析：（1）联系题干给出的信息提示，在等腰梯形ABCD中，B、C关于直线EF对称，所以BP+AP的最小值应为线段AC的长，所以只需求出AC长即可；梯形ABCD中，AD∥BC，所以同旁内角∠BAD、∠ABC互补，已知∠BAD=∠D=120°，所以∠ABC=60°，在等腰△ADC中（AD=CD=2），易求得底角∠DAC=30°，此时可以发现△BAC是含30°角的特殊直角三角形，已知AB的长，则线段AC的长可得，由此得解．（2）延续上面的思路，先作点A关于直径MN的对称点C，连接BC，那么BC与MN的交点即符合点P的要求，BP+AP的最小值应是弦BC的长；已知点B是劣弧AN的中点，所以圆周角∠AMN=∠AON=∠BON=30°；点A、C关于直径MN对称，那么=，因此∠CON=∠AON=60°，由此可以看出△BOC是一个等腰直角三角形，已知⊙O的直径可得半径长，则等腰直角三角形的斜边（即BP+AP的最小值BC长）可求．（3）①已知抛物线对称轴x==1，以及点A、C的坐标，由待定系数法能求出抛物线的解析式；②△ACM中，点A、C的坐标已确定，所以边AC的长是定值，若△ACM的周长最小，那么AM+CM的值最小，所以此题的思路也可以延续上面两题的思路；过点C作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，根据抛物线的对称性点D的坐标易得，首先利用待定系数法求出直线AD的解析式，那么直线AD与抛物线对称轴的交点就是符合条件的点M；在求出点A、C、D三点的坐标后，线段AC、AD的长可得，所以△ACM的周长最小值=AC+AD（其中AD为AM+CM的最小值）．解答：解：（1）在等腰梯形ABCD中，∵AD∥BC，且∠BAD=∠D=120°，∴∠ABC=60°；在△ADC中，AD=CD=2，∠D=120°，所以∠DAC=∠DCA=30°；∴∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=120°﹣30°=90°，即△BAC为直角三角形；在Rt△BAC中，∠ABC=60°，∠BCA=90°﹣60°=30°，AB=2，所以AC=AB•tan60°=2；由于B、C关于直线EF对称，根据阅读资料可知BP+AP的最小值为线段AC的长，即2．（2）如图（2），作点A关于直径MN的对称点C，连接BC，则BC与直径MN的交点为符合条件的点P，BC的长为BP+AP的最小值；连接OA，则∠AON=2∠AMN=60°；\n∵点B是的中点，∴∠BON=∠AON=30°；∵A、C关于直径MN对称，∴=，则∠CON=∠AON=60°；∴∠BOC=∠BON+∠CON=90°，又OC=OB=MN=，在等腰Rt△BOC中，BC=OB=；即：BP+AP的最小值为．（3）①依题意，有：，解得∴抛物线的解析式：y=x2﹣2x﹣3；②取点C关于抛物线对称轴x=1的对称点D，根据抛物线的对称性，得：D（2，﹣3）；连接AD，交抛物线的对称轴于点M，如图（3）﹣②；设直线AD的解析式为y=kx+b，代入A（﹣1，0）、D（2，﹣3），得：，解得∴直线AD：y=﹣x﹣1，M（1，﹣2）；∴△ACM的周长最小值：lmin=AC+AD=+3．点评：此题主要考查了：等腰梯形的性质、圆周角定理、解直角三角形、利用待定系数法确定二次函数解析式等综合知识；题目的三个小题都是题干阅读信息的实际应用，解题的关键是阅读信息中得到的结论，这就要充分理解轴对称图形的性质以及两点间线段最短的具体含义．　\n16．（2008•鄂州）（1）如图，A1，A2，A3是抛物线y=x2图象上的三点，若A1，A2，A3三点的横坐标从左至右依次为1，2，3．求△A1A2A3的面积．（2）若将（1）问中的抛物线改为y=x2﹣x+2和y=ax2+bx+c（a＞0），其他条件不变，请分别直接写出两种情况下△A1A2A3的面积．（3）现有一抛物线组：y1=x2﹣x；y2=x2﹣x；y3=x2﹣x；y4=x2﹣x；y5=x2﹣x；…依据变化规律，请你写出抛物线组第n个式子yn的函数解析式；现在x轴上有三点A（1，0），B（2，0），C（3，0）．经过A，B，C向x轴作垂线，分别交抛物线组y1，y2，y3，…，yn于A1，B1，C1；A2，B2，C2；A3，B3，C3；…；An，Bn，Cn．记为S1，为S2，…，为Sn，试求S1+S2+S3+…+S10的值．（4）在（3）问条件下，当n＞10时有Sn﹣10+Sn﹣9+Sn﹣8+…Sn的值不小于，请探求此条件下正整数n是否存在最大值？若存在，请求出此值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．252690专题：压轴题；动点型．分析：（1）已知抛物线解析式，求出A1，A2，A3三点的坐标，根据图中几何关系把所求三角形的面积，转化为一个大梯形面积减去两个小梯形的面积，从而求出三角形的面积．第二问与第一问解法一样；（3）由y1，y2…y5的表达式，归纳出yn的表达式，同时推出面积公式Sn，然后求和．（4）由（3）的结论，先求和再求n是否存在最大值．解答：解：（1）∵A1（1，），A2（2，1），A3（3，），（1分）∴S△A1A2A3=S梯形A1ACA3﹣S梯形A1ABA2﹣S梯形A2BCA3=．（3分）（2）①，（4分）②．（5分）\n（3）由规律知：或写成（），（6分）由（1）（2）知：S1+S2+S3+…+S10===．（8分）（4）存在，由上知：Sn﹣10+Sn﹣9+Sn﹣8+…Sn===，（9分）∵∴，∵n＞10，∴n2﹣9n﹣10＞0，∴n2﹣9n﹣10≤242，（10分）解得﹣12≤n≤21，又∵n＞10，∴10＜n≤21，（11分）∴存在n的最大值，其值为n=21．（12分）点评：此题是一道规律题，考查抛物线基本性质，巧妙用几何关系，求三角形面积，归纳出规律然后求和，最后一问探究正整数n是否存在最大值，转化为求函数最值问题．　17．阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题﹣﹣如图1，从A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小．解答问题：（1）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（2）如图3，已知菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B时，整个运动停止．①为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的位置应如何确定？②在①的条件下，设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为S，在整个运动过程中，试求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．\n考点：轴对称-最短路线问题；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．252690专题：计算题．分析：（1）延长AO交圆于M，连接CM交OB于P，连接AC，求出∠ACM、∠M，求出AC、根据勾股定理求出PM即可；（2）①根据运动速度不同以及运动距离，得出当PB⊥AB时，点P能在最短的时间内到达点B处；②根据三角形的面积公式求出从A到C时，s与t的关系式和从C到（，0）以及到B的解析式．解答：解：（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，则此时AP+PC=PC+PM=CM最小，∵AM是直径，∠AOC=60°，∴∠ACM=90°，∠AMC=30°，∴AC=AM=2，AM=4，由勾股定理得：CM==2．答：PA+PC的最小值是2．（2）①根据动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动，即为使点P能在最短的时间内到达点B处，∴当PB⊥AB时，符合题意，∵菱形ABCD，AB=6，∠DAB=60°，∴∠BAO=30°，AB=AD，AC⊥BD，∴△ABD是等边三角形，∴BD=6，BO=3，由勾股定理得：AO=3，在R它△APB中，AB=6，∠BAP=30°，BP=AP，由勾股定理得：AP=4，BP=2，∴点M的位置是（，0）时，用时最少．②当0＜t≤3时，AP=2t，∵菱形ABCD，∴∠OAB=30°，∴OB=AB=3，由勾股定理得：AO=CO=3，∴S=AP×BO=×2t×3=3t；当3＜t≤4时，AP=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，∴S=AP×BO=×（12﹣2t）×3=36﹣6t．当4＜t≤6时，S=AB×BP=×6×[2﹣（t﹣4）]=﹣3t+18，\n答：S与t之间的函数关系式是当3＜t≤4时，S=36﹣6t；当0＜t≤3时，S=3t．当4＜t≤5时，S=﹣3t+18．点评：本题主要考查对含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的面积，轴对称﹣最短问题，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．　18．（2011•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c过点A、点C，且与x轴的另一交点为B（x0，0），其中x0＞0，又点P是抛物线的对称轴l上一动点．（1）求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P0，使P0到点A与点C的距离之和最小；（2）若△PAC周长的最小值为，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；（3）如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动（M不与端点C、O重合），过点M作MH∥CB交x轴于点H，设M移动的时间为t秒，试把△P0HM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；（4）在（3）的条件下，当时，过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：过E、F、C三点的圆与直线CN能否相切于点C？请证明你的结论．（备用图图3）考点：二次函数综合题．252690分析：（1）由题意A、B点关于抛物线对称，则BC所在直线与对称轴的交点即为P0；（2）由（1）所求可知该题周长最小即为AC+BC的长，从而求出x0，而解得；（3）由△OBC∽△CMN，得到高关于t的式子，因为MH∥BC，得到三角形MHP0三角形底边关于t的表达式，根据t的取值范围，从而求得S的最大值．（4）把S的取值代入（3）中表达式中求得t，从而得到点M的坐标，从而证明各点．解答：解：（1）由题意直线AC与x轴的交点为A，所以当y=0，则x=﹣6，所以点A（﹣6，0）．同理点C（0，8），由题意，A、B是抛物线y=ax2+bx+8与x轴的交点，∴﹣6，x0是一元二次方程ax2+bx+8=0的两个根，\n∴﹣6+x0=﹣，﹣6x0=，∴a=﹣，b=﹣+．∵A、B点关于抛物线对称，∴BC所在直线与对称轴的交点即为P0．设直线BC的解析式为y=mx+n，则n=8，mx0+n=0，∴m=﹣，n=8．∴BC的解析式为y=﹣x+8．∴当x=﹣=时，y=+4，∴P0的坐标为（，+4）；（2）由（1）可知三角形PAC最小即为AC+BC=10，+=10，解得x0=10或x0=﹣10（不符舍去），则点B（10，0），由点A，B，C三点的二次函数式为y==﹣（x﹣2）2+．顶点N（2，）；（3）如图，作MN⊥BC于点N，则△OBC∽△NCM，所以=，即h=．因为MH∥BC，所以，解得MH==，S=MH•h，=×（8﹣2t）×，=10t﹣，因为每秒移动2个单位，则当t=2时符合范围0＜t＜4，所以当t为2时S最大为10；（4）把S的取值代入（3）中表达式中求得t，\n从而得到点M的坐标，，即=﹣t2+10t，则解得t1=，t2=．则由题意知C、E、F三点所在圆半径为4，所以直线CN与C、F、E所在圆相切．点评：本题考查了二次函数的综合应用，知道三点求二次函数式，考查一次函数与二次函数的结合求三角形面积，知道面积求点，很好结合，是道好题．　19．（1）阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a、b，可作如下变形a+b==﹣+=+，又∵≥0，∴+≥0+，即a+b≥．根据上述内容，回答下列问题：在a+b≥（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥，当且仅当a、b满足　a=b　时，a+b有最小值．（2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD=2a，DB=2b，试根据图形验证a+b≥成立，并指出等号成立时的条件．（3）探索应用：如图2，已知A为反比例函数的图象上一点，A点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，﹣3）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值．\n考点：反比例函数综合题．252690专题：综合题．分析：（1）有给出的材料可知a=b时；（2）因为AD=2a，DB=2b，所以AB=2a+2b，CO为中线，所以CO=a+b，再利用射影定理得CD==2，在直角三角形COD中斜边大于直角边即CO＞CD，问题得证；（3）把A点的横坐标为1，代入函数得，y=4，由（2）知：当DH=EH时，DE最小，此时S四边形ADFE=（4+3）=28．解答：解：（1）a=b（2）由已知得CO=a+b，CD=2，CO≥CD，即a+b≥2．当D与O重合时或a=b时，等式成立．（3）S四边形ADFE=S△ADE+S△FDE=，当DE最小时S四边形ADFE最小．过A作AH⊥x轴，由（2）知：当DH=EH时，DE最小，在RT△ADE中，AH=DE，∴DE=2AH=2×4=8，∴DE最小值为8，此时S四边形ADFE=（4+3）=28．点评：本题考查了反比例函数的综合运用：利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．\n　20．如图所示，平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+4交y轴于A，分别交X轴的负半轴、正半轴于B、C两点，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E．点M是四边形OADE的对角线的交点，点F在y轴负半轴上，且F（0，﹣2）．（1）当点P、Q分别从C、F两点同时出发，均以每秒1个长度单位的速度沿CB、FA方向运动，点P运动到O时P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒．在运动过程中，以P、Q、O、M四点为顶点的四边形的面积为S，求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）在抛物线上是否存在点N，使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点N的坐标；不存在，说明理由．（3）在运动过程中，当点P、Q分别从C、F两点同时出发，点P以每秒1个长度单位的速度沿CB方向运动，点Q以某一速度沿FA方向运动，当点P运动时间t=1.5时，∠PDQ=45°，求点Q的运动速度．考点：二次函数综合题．252690分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c交y轴于A，分别交X轴的负半轴、正半轴于B、C两点，可以求出A（0，4）、B（﹣2，0）、C（6，0）三点，进而判断出四边形OADE为正方形，过M作MN⊥OE于N，则MN=2，由题意可知CP=FQ=t，当0≤t＜2时，OP=6﹣t，OQ=2﹣t，列出S与t的关系式，当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，当2＜t＜6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，可证三角形全等，进而计算出三角形面积；（2）若B、C、F、N为顶点的四边形是梯形，则四边形有两边平行，设出N点的坐标，分类讨论两边平行时N点坐标满足的条件，进而求出N点坐标；（3）首先连接PO并延长，做QW⊥DO与一点W，连接PD，证明△QWD∽△PED，从而得出WQ=，利用勾股定理解得：OF=，进而求出点Q的运动速度．解答：解：（1）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4，∴抛物线与y轴于A，可求出A点的做标为：（0，4）、∵交X轴的负半轴、正半轴于B、C两点，即0=﹣x2+x+4，解得：x=﹣2或6，∴B（﹣2，0）、C（6，0），把y=4代入y=﹣x2+x+4，4=﹣x2+x+4，∴﹣x2+x=0，解得：x=0或4，∴OE=OA=4，∴四边形OADE为正方形．连接MQ．\n根据题意，可知OE=OA=4，OC=6OB=OF=2，∴CE=2，∴CO=FA=6，∵运动的时间为t，∴CP=FQ=t，过M作MN⊥OE于N，则MN=2，当0≤t＜2时，OP=6﹣t，OQ=2﹣t，∴S=S△OQM+S△OPM=（6﹣t）×2+（6﹣t）（2﹣t）=（6﹣t）（4﹣t），∴S=t=t2﹣5t+12．当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，当2＜t＜6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，∵FQ=CP=t，FO=CE=2，∴OQ=EP，∴△QOM≌△PEM，∴四边形OPMQ的面积S=S△MOE=×4×2=4，综上所述，当0≤t＜2时，S=t2﹣5t+12；当2＜t＜6时，S=4．（2）分三种情况：①以BF为底边时，经过点C作BF的平行线，与抛物线交于点N的坐标为（1，5）；②以CF为底边时，经过点B作CF的平行线，与抛物线交于点N的坐标为（5，）；③以BC为底边时，经过点F作BC的平行线，与抛物线交于点N的坐标为（2+，﹣2）或（2﹣，﹣2）．故在抛物线上存在点N1（1，5），N2（5，），N3（2+，﹣2），N4（2﹣，﹣2），使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形；（3）连接PO并延长，做QW⊥DO与一点W，连接PD，∵点P运动时间t=1.5时，∠PDQ=45°，∠ODE=45°，∴∠ODF=∠EDP，∠DEP=∠QWD=90°，∴△QWD∽△PED，∴===，∵OD=4，WQ=WO，∴=，解得：WQ=，∵WQ=WO，∠QWD=90°，∴利用勾股定理解得：OF=，∴FQ=2﹣=，此时Q运动了1.5秒，÷1.5=，∴点Q的运动速度是每秒个单位长度．\n点评：此题主要考查了二次函数与坐标轴交点的求法，以及梯形的判定方法和相似三角形的判定等知识，学会运用分别类讨论思想，此题有一定的难度，做题时不能粗心大意．　21．已知：RT△ABC与RT△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，EF=8cm，AC=16cm，BC=12cm．现将RT△ABC和RT△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．运动一：如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动；运动二：在运动一的基础上，如图3，RT△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB与DE交于点P，此时点Q在DF上匀速运动，速度为，当QC⊥DF时暂停旋转；运动三：在运动二的基础上，如图4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题（1）在RT△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时　10　s；（2）在整个运动过程中，设RT△ABC与RT△DEF的重叠部分的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．\n考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平移的性质；旋转的性质．252690专题：代数几何综合题．分析：（1）运动一，停止时，EC=4cm，用时为：4÷1=4秒；运动二，停止时，DQ=2cm，用时为：2÷=2秒；运动三，点C与点F重合时，CF=4cm，用时为：4÷1=4秒；综上，总用时为：4+2+4=10（秒）；（2）运动一，RT△ABC与RT△DEF的重叠部分为直角△QCE的面积，表示出即可；运动二，连接CD，可得∠E=∠CDQ，∠ECP=∠ECQ，EC=DC，所以△ECP≌△DCQ，RT△ABC与RT△DEF的重叠部分不变：y=8（4＜t＜6）；运动三，四边形QDPC为矩形，CF=4﹣（t﹣6）=t﹣2，EC=4+t﹣6=t﹣2，所以，S矩形QDPC=（t﹣2）×（10﹣t）=t2+6t﹣10；（3）点Q在线段AB的中垂线上，连接BQ，可得AQ=QB，所以，AC﹣CQ=，又AC=16cm，BC=12cm，得，CQ=3.5cm，又由∠DEF=45°，所以，EC=3.5cm，解答出即可．解答：解：（1）根据题意得，运动一：∵△DEF是等腰三角形，∠ACB=90°，EF=8cm，∴EC=4cm，∴运动一所用时间为：4÷1=4（秒），运动二：∵当QC⊥DF时暂停旋转，∵CD=CF，∴DQ=QF=2cm∴运动二所用时间为：2=2（秒），运动三：∵CF=4cm，∴运动三所用的时间为：4÷1=4（秒），∴整个过程共耗时4+2+4=10（秒）；故答案为：10；（2）运动一：如图2，设EC为tcm，则CQ为tcm，∴S△ECQ=×t×t，∴S与t之间的函数关系式为：y=t2（0≤t≤4），运动二：如图3，连接CD，∴∠E=∠CDQ，∠ECP=∠ECQ，EC=DC，∴△ECP≌△DCQ，∴S与t之间的函数关系式为：y=8（4＜t＜6），运动三：如图4，四边形QDPC为矩形，∴CF=4﹣（t﹣6）=10﹣t，EC=8﹣CF=t﹣2，∴S矩形QDPC=（t﹣2）×（10﹣t），=t2+6t﹣10；\nS与t之间的函数关系式为：y=t2+6t﹣10（6≤t≤10）；（3）存在点Q，理由如下：如图5，运动一：∵点Q在线段AB的中垂线上，连接BQ，∴AQ=QB，∴AC﹣CQ=，又∵AC=16cm，BC=12cm，解得，CQ=3.5cm，∵∠DEF=45°，∴EC=3.5cm，此时，t为：3.5÷1=3.5秒．如图6，运动二：同理：CQ=3.5，过点C作CM⊥DF交DF于点M，CM=2，在Rt△QCM中，QM==，∴DQ=2﹣，∴t=（2﹣）÷+4=6﹣；运动三时，CQ最大为2＜3.5，所以无解．综上，t=3.5或6﹣时，点Q正好在线段AB的中垂线上．\n点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线、旋转、平移的性质等，要注意的是（2）中，要根据P点的不同位置进行分类求解；（3）中要确定点Q的位置，是解答的关键．　22．（2008•镇江）阅读以下材料：对于三个数a、b、c，用M（a，b，c）表示这三个数的平均数，用min（a，b，c）表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}=；min{﹣1，2，3}=﹣1；min{﹣1，2，a}=a（a≤﹣1）；﹣1（a＞﹣1）解决下列问题：（1）填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}=　　，如果min{2，2x+2，4﹣2x}=2，则x的取值范围为　　≤x≤　　；（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x．②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么　　（填a，b，c的大小关系）”，证明你发现的结论．③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}=min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，则x+y=　　；（3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1，y=（x+1）2，y=2﹣x的图象（不需列表描点），通过观察图象，填空：min{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最大值为　　．考点：二次函数的图象；解一元一次方程；一元一次不等式组的应用；一次函数的图象；特殊角的三角函数值．252690专题：阅读型．分析：（1）因为用min（a，b，c）表示这三个数中最小的数．分别计算sin30°，cos45°，tan30°的值，因为sin30°最小，所以min{sin30°，cos45°，tan30°}=sin30度；（2）结合题意，分情况讨论，将实际问题与数学思想联系起来，读懂题列出算式或一元一次不等式组即可求解；（3）作出正确的图象，是解题的关键．解答：解：（1）min{sin30°，cos45°，tan30°}=，如果min{2，2x+2，4﹣2x}=2，则x的取值范围为0≤x≤1；（2）①∵M{2，x+1，2x}==x+1．法一：∵2x﹣（x+1）=x﹣1．当x≥1时，则min{2，x+1，2x}=2，则x+1=2，∴x=1．当x＜1时，则min{2，x+1，2x}=2x，则x+1=2x，∴x=1（舍去）．\n综上所述：x=1．法二：∵M{2，x+1，2x}==x+1=min{2，x+1，2x}，∴∴∴x=1．②a=b=c．证明：∵M{{a，b，c}}=，如果min{a，b，c}=c，则a≥c，b≥c．则有=c，即a+b﹣2c=0．∴（a﹣c）+（b﹣c）=0．又a﹣c≥0，b﹣c≥0．∴a﹣c=0且b﹣c=0．∴a=b=c．其他情况同理可证，故a=b=c．③﹣4；（3）作出图象．最大值是1．点评：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．　23．（2007•哈尔滨）如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，上底AD平行于x轴，下底BC交y轴于点E，点C（4，﹣2），点D（1，2），BC=9，sin∠ABC=．（1）求直线AB的解析式；（2）若点H的坐标为（﹣1，﹣1），动点G从B出发，以1个单位/秒的速度沿着BC边向C点运动（点G可以与点B或点C重合），求△HGE的面积S（S≠0）随动点G的运动时间t′秒变化的函数关系式（写出自变量t′的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当秒时，点G停止运动，此时直线GH与y轴交于点N．另一动点P开始从B出发，以1个单位/秒的速度沿着梯形的各边运动一周，即由B到A，然后由A到D，再由D到C，最后由C回到B（点P可以与梯形的各顶点重合）．设动点P的运动时间为t秒，点M为直线HE上任意一点（点M不与点H重合），在点P的整个运动过程中，求出所有能使∠PHM与∠HNE相等的t的值．\n考点：一次函数综合题．252690专题：压轴题．分析：（1）作AF⊥BC．已知点C的坐标可求出BC=9，CE=4，BE=5，又知道点B，C的坐标然后利用三角函数可求出点A的坐标．设直线AB的解析式为y=kx+b，把已知坐标代入可求出解析式．（2）本题要分两种情况讨论：首先当G在线段BE上且不与点E重合，可得GE=5﹣t′，S=（5﹣t′）×1×；当G在线段CE上且不与点E重合，这时候GE=t′﹣5，S=（t′﹣5）×，分别求出自变量的取值范围即可．（3）如图可求出GE的长与点G的坐标后可得点N的坐标．当点M在射线HF上时，分四种情况讨论：当点P运动至P1时，∠P1HM=∠HNE．过点P1作平行于y轴的直线，证明△P1Q1H∽△HEN得，然后求出t1的值；当点P运动至点P2时，∠P2HN=∠HNE．设直线P2H与x轴交于点T，直线HE与x交于点Q2．可得△Q2TH∽△EHN，利用解得Q2T的长以及点T的坐标．求出直线HT的解析式后求出t2的值；当点P运动至点P3时，∠P3HM1=∠HNE．过点P3作平行于y轴的直线P3Q3，交直线HE于点Q3，同1求出t的坐标；当点P运动至P4时，∠P4HM1=∠HNE．求证△P4HE≌△THQ2，求出t的值．解答：解：（1）如图1，过A作AF⊥BC．∵C（4，﹣2），∴CE=4．而BC=9，∴BE=5．∴B（﹣5，﹣2）．∵D（1，2），∴AF=4．∵sin∠ABC=，∴BF=3．∴A（﹣2，2）．设直线AB的解析式为y=kx+b，∵，∴，∴直线AB的解析式为y=．\n（2）如图1，由题意：情况一：G在线段BE上且不与点E重合．∴GE=5﹣t′，S=（5﹣t′）×；情况二：G在线段CE上且不与点E重合．∴GE=t′﹣5S=（t′﹣5）×；情况一中的自变量的取值范围：0≤t′＜5，情况二中的自变量的取值范围：5＜t′≤9．（3）如图2，当t′=秒时，GE=5﹣∴G（﹣，﹣2），直线GH解析式为y=2x+1．∴N（0，1）．当点M在射线HF上时，有两种情况：情况一：当点P运动至P1时，∠P1HM=∠HNE．过点P1作平行于y轴的直线，交直线HE于点Q1，交BC于点R．由BP1=t，sin∠ABC=，可得BR=，P1R=，∴RE=Q1R=5﹣，∴P1Q1=5﹣．∴Q1H=．由△P1Q1H∽△HEN得，∴t1=．∴当t1=时，∠P1HM=∠HNE；情况二：当点P运动至点P2时，设直线P2H与x轴交于点T，直线HE与x交于点Q2．此时，△Q2TH∽△EHN∴解得．∴直线HT的解析式为y=﹣3x﹣4，此时直线HT恰好经过点A（﹣2，2）．∴点P2与点A重合，即BP2=5，∴t2=5．∴当t2=5秒时，∠P2HM=∠HNE；若点M在射线HE上时（点M记为点M1），有两种情况：情况三：当点P运动至点P3时，∠P3HM1=∠HNE．过点P3作平行于y轴的直线P3Q3，交直线HE于点Q3，可用求点P1同样的方法．\n∴t3=15．∴当t3=15秒时，∠P3HM1=∠HNE；情况四：当点P运动至P4时，∠P4HM1=∠HNE．可得△P4HE≌△THQ2，∴P4E=TQ2=．∴t4=∴当t4=秒时，∠P4HM2=∠HNE．综上所述：当t=秒或t=5秒或t=15秒或t=秒时，∠PHM=∠HNE．点评：本题考查的是一次函数的综合运用以及分段函数的运用，本题难度较大，考生应注意全面分析题目求解．　24．某县种植了一种无公害蔬菜，为了扩大生产规模，该县决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元，随着补贴数额的不断增大，生产规模也不断增加，但每亩蔬菜的收益会相应降低．经调查，种植亩数y（亩）、每亩蔬菜的收益z（元）与补贴数额x（元）之间的关系如下表：x（元）0100200300…y（亩）800160024003200…z（元）3000270024002100…（1）分别求出政府补贴政策实施后种植亩数y、每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；（2）要使全县这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少并求出总收益w的最大值和此时种植亩数；（3）在取得最大收益的情况下，为了满足市场需求，用不超过70亩的土地对这种蔬菜进行反季节的种植．为此需修建一些蔬菜大棚，修建大棚要用的支架、塑料膜等材料平均每亩的费用为650元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积（亩）的平方成正比例，比例系数为25．这样，修建大棚后的这部分土地每亩的平均收益比没修前增加了2000元，在扣除修建费后总共增加了85000元．求修建了多少亩蔬菜大棚．（结果精确到个位，参考数据：1.414）考点：二次函数的应用．252690\n专题：应用题；图表型．分析：（1）结合表格设函数解析式，把已知坐标代入解析式求解即可；（2）由1可知函数解析式，用配方法解出最大值即可；（3）设修建了m亩蔬菜大棚，列方程解出m值．解答：解：（1）由表格知，y与x，z与x均成一次函数关系．（1分）设y=kx+a，将（0，800）、（100，1600）代入：，解得，∴y=8x+800，（2分）设z=k1x+b，将（0，3000）、（100，2700）代入：，解得．∴z=﹣3x+3000；（3分）（2）w=yz=（8x+800）（﹣3x+3000）=﹣24（x﹣450）2+7260000（6分）∴当x=450时w取得最大值7260000，y=8×450+800=4400，（7分）答：政府每亩补贴450元可获得最大总收益7260000元，此时种植4400亩；（3）设修建了m亩蔬菜大棚，原来每亩的平均收益为=1650元，由题意得方程：（1650+2000）m﹣650m﹣25m2=85000（9分），解得m1=60+10≈74，m2=60﹣10≈46，（10分）∵0＜m≤70，∴m≈46．（11分）答：修建了46亩蔬菜大棚．点评：本题考查的是二次函数的应用，解决此类题的关键要运用好题目所给出的坐标求出解析式．　25．（2002•昆明）已知矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，设点A的坐标为（x，y），其中x＞0，y＞0．（1）求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；（2）用x、y表示矩形ABCD的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题：方法：∵（k为常数且k＞0，a≠0），∵∴∴当=0，即时，取得最小值2k．问题：当点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆面积S最小并求出S的最小值；\n（3）如果直线y=mx+2（m＜0）与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样的实数m，使得点P、Q与（2）中求出的点A构成APQ的面积是矩形ABCD面积的？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：反比例函数综合题．252690专题：压轴题；新定义．分析：（1）根据矩形的对称性和点A的坐标表示出矩形的长和宽，再根据矩形的面积建立函数解析式；（2）要求矩形的外接圆的面积，主要是求得矩形的外接圆的半径．根据对称性得矩形的外接圆的圆心是平面直角坐标系的原点，则根据勾股定理求得其外接圆的半径，再进一步表示出其外接圆的面积S．结合（1）中的函数解析式得到S关于x的函数解析式，再根据提供的方法进行分析其最小值；（3）根据直线的解析式表示出点P，Q的坐标，再运用割补法把三角形的面积转化为规则图形的面积表示出三角形的面积，根据题意列方程求解．解答：解：（1）建立如图的平面直角坐标系，根据点A（x，y），得矩形的长是2x，宽是2y，则有2x•2y=36，即y=（x＞0）；（2）连接OA，则矩形的外接圆的半径即为OA的长，根据勾股定理，得OA=，∴矩形的外接圆面积S=π（x2+y2）∵x2+y2=x2+=（x﹣）2+18∴当x﹣=0，x=3时，即A（3，3）时S最小，其最小值是18π；（3）存在．设AB与y轴相交于点E，由已知，得A（3，3），Q（0，2），P（﹣，0），∴S△PAQ=S梯形APOE﹣S△AQE﹣S△POQ=3﹣=6，∴m=﹣．\n点评：解答本题时要特别注意根据提供的方法求得函数的最值，能够把不规则图形的面积进行转换．　\n