初中数学竞赛精品标准教程及练习70份初中数学竞赛精品标准教程及练习34反证法 4页

初中数学竞赛精品标准教程及练习（34）反证法一、内容提要1.反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。2.一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A→B例如　　原命题：对顶角相等　(真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角　(真命题)又如　　原命题：同位角相等，两直线平行　(真命题)　　逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等　(真命题)3.用反证法证明命题，一般有三个步骤：①反设　假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）②归谬　推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）③结论　从而得出命题结论正确例如：　求证两直线平行。用反证法证明时①假设这两直线不平行；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从而肯定，非平行不可。二、例题例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行　已知：如图∠1＝∠2　　　　　　　A　　　　　　1　　　B　　　　　　求证：AB∥CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：设AB与CD不平行　　　　　C　　　　2　　　　　D　　　　　　　　那么它们必相交，设交点为M　　　　　　　　　　　　　D　　　　　　这时，∠1是△GHM的外角　　　　A　　　　　1　　M　　　B　　　　　　　　　　∴∠1＞∠2　　　　　　　　　　　　　　　G　　　　　　这与已知条件相矛盾　　　　　　　　　　　2　　　　　　　　　　　∴AB与CD不平行的假设不能成立　　H　　　　　　　　　　∴AB∥CD　　　　　　　　　　　　C例2.求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。　（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。例3.已知：m2是3的倍数，求证：m也是3的倍数证明：设m不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m=3k+2(k是整数)当　m=3k+1时，　m2＝（3k+1）2＝9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1　　当　m=3k+2时，　m2＝（3k+2）2＝9k2＋12k+4=3(3k2+4k+1)+1\n即不论哪一种，都推出m2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。∴　m2是3的倍数时，m也是3的倍数例4.求证：不是有理数证明：假设是有理数，那么　＝　（a,b是互质的整数），∵=,∴（）2＝2，a2=2b2,∴a2是偶数，∵a2是偶数，∴a也是偶数，设a=2k（k是整数）,　a2=4k2,∵由a2=2b2,得b2=a2=2k2,b2是偶数，∴b也是偶数那么a、b都是偶数，这和“a,b是互质数”的条件相矛盾，故假设不能成立∴不是有理数例5.若n是正整数，则分数是既约分数（即最简分数，分子与分母没有公约数）证明：设不是既约分数，那么它的分子、分母有公约数，设公约数为k（k≠1）,且k,a,b都是正整数，即∴＝，　3bk-2ak=1,　(3b-2a)k=1∵整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是±1时，积才能等于1　　　∴3b-2a=±1,　　　k=±1∴分子、分母有公约数的假设不能成立因此分数是既约分数三、练习341.写出下列各命题结论的反面：\n命题的结论　　结论的反面①直线a∥b②线段m=n③a2是偶数④∠A是锐角⑤点A在⊙O上⑥∠A，∠B，∠C至少有1个大于或等于60⑦正整数m是5的倍数⑧方程没有有理数根　⑨至少有一个方程两根不相等2.　已知：平面内三个点A，B，C满足AB＋BC＝AC，求证：A，B，C三点在同一直线上3.求证：等腰三角形的底角是锐角1.求证：一个圆的圆心只有一个　2.求证：三角形至少有一个内角大于或等于60度　　3.如果a2奇数，那么a也是奇数　（仿例3）4.求证：没有一个有理数的平方等于3(仿例4)5.已知a,b,c都是正整数，且a2+b2=c2(即a,b,c是勾股数)求证①a,b,c至少有一个偶数②a,b,c中至少有一个能被3整除9.求证二元一次方程8x+15y=50没有正整数解10.求证方程x2+y2=1991没有整数解11.把1600粒花生分给100只猴子，至少有4只猴子分得的花生一样多12.已知：四边形ABCD中，AB+BD≤AC+CD求证：ABn或m0,∴n=1,2,3但这时m都不是整数，∴……7.设有整数解x=a,y=b按奇数、偶数分类讨论∵右边＝1991是奇数，显然，a,b不能同偶数，也不能同奇数，　设a,b一奇一偶，a=2m,b=2n+1(m,n　都是整数)那么左边＝（2m）2+(2n+1)2＝4(m2+n2+n)+1即左边是除以4余1，而右边是除以4余3，………11.反设：最多只有3只猴子分得一样多，……13.设两个交点（x1,0）,(x2,0)都在X轴的正半轴上，即x1>0,x2>0那么x1＋x2>0,且x1x2>0∴　　这个不等式组无解，即这个假设不能成立，……14.设有有理数根（n是整数，m是正整数且m,n是互质的）即a()2+b()+c=0,m,n不能同偶数外，按奇数、偶数分3类讨论，逐一否定。15.设点A和其他6个点B，C，D，E，F，G的距离都小于这6个点彼此这间的距离（如图）在△ABC中，∵BC＞AB且BC＞AC，∠BAC＞60同理∠CAD＞60………这与1周角＝360相矛盾……16.　设……则△1≤0且△2≤0……