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- 2022-09-07 发布
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初中数学竞赛精品标准教程及练习（62）绝对值一、内容提要1.绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.用式子表示如下：02X<0022.初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法. 例如：（1）化简解：当x=0, x=2时, =0；当x<0或x>2时, =x(x－2)=x2－2x；当02时，x=4.∴原方程的解是：x=－2，x=4..（3）作函数y=的图象.解：化去绝对值符号，得y=－2x+2(x<0)；y=2(0≤x≤2)；y=2x－2(x>2). 分别作出上述三个函数的图象（如图），就是函数y=的图象.3.绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.例如： ①解方程； ②解不等式； ③解不等式.解：①∵\n的几何意义是：x是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，即3和－3， ∴方程的解是x=3,x=－3.②∵的几何意义是：x是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数，∴不等式的解集是 －3＜x＜3.③∵的零点是x=－2,∴的几何意义是：x是数轴上到点（－2）的距离大于3个单位的点所表示的数，∴的解集是x<－5或x>1.（如下图）1-20--51.绝对值的简单性质： ①绝对值是非负数； ②两个互为相反数，它们的绝对值相等.根据这些性质，可简化函数的作图步骤. 例如：（1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的部份，绕x轴向上翻折作函数图象：①y= ②y=（2）当f（－x）=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x<0时函数图象，再画出关于纵轴对称的图象.例如：y=x2－2－3的图象，可先作y=x2+2x－3自变量x<0时的图象（左半图）再画右半图（与左半图关于纵轴对称）.\n（2）把y=的图象向上平移个单位，所得图象解析式是y=； 把y=的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=.（3）利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便.二、例题例1.已知方程＝ax+1有一个负根并且没有正根，求a的值.解：当x<0时，原方程为－x=ax+1, x=, ∴a+1>0. ∴a>－1； 当x>0时，原方程为x=ax+1, x=, ∴1－a>0. ∴a<1.∵方程有一个负根并且没有正根，∴a>－1且a≮1，∴a的取值范围是a≥1.例2.求函数y=2的最小、最大值.解：当x<0时， y=－x+6；当0≤x<3时，y=－3x+6；当x≥3时， y=x－6.根据图象有最低点而没有最高点∴函数没有最大值只有最小值－3(当x=3时).例3. 解方程：①； ②.解：①∵点（x）到点A（－2）和点B（4）的距离相等（如下图）， ∴x=1.②∵点（x）到点A（－1）与到点B（2）的距离的和等于4，＝3\n∴x=2.5, x=-1.5. 例4.解不等式:①1≤≤3； ②.解：①点（x）到点A（－2）的距离大于或等于1而小于或等于3 在数轴上表示如图，∴不等式的解集是： －5≤x≤－3 或－1≤x≤1②点(x)到点(-1)的距离，比到点(2)的距离大1个单位以上.在数轴上表示，如图：∴不等式的解集是x>1.例5. a取什么值时，方程有三个整数解？解：化去绝对值符号，得=±a,=1±a,x－2=±(1±a)，∴x=2±(1±a).当a=1时，x恰好是三个解4，2，0. 用图象解答更直观；（1）先作函数y=图象，（2）再作y=a(平行于横轴的直线)与y=图象相交，恰好是三个交点时，y=1,即a=1.本题若改为：有四个解，则01；一个解，则a不存在；无解，则a<0.\n三、练习621. 方程=4的解是＿＿＿＿＿＿＿.2. 方程=0的解是________.3. 方程=3的解是________.4. 方程=5的解是＿＿＿＿＿＿＿.5. 不等式2≤≤5的解集是___________________. 6. 不等式<5的解集是_______________________. 7. 不等式<3的解集是_______________________. 8. 不等式的解集是_______________________. 9. 已知3-x, 那么_______________. 10. 关于x的方程=ax+2有根且只有负根，求a取值范围. 11. a取什么值时，方程无解？有解？有最多解？12. 作函数y=的图象；并求在－3≤x≤3中函数的最大、最小值. 13. 解方程. 14.作函数y=的图象.15.选择题： ①.对于实数x，不等式1≤｜x－2｜≤7等价于（ ）（A） x≤1或x≥3 （B）1≤x≤3 （C）－5≤x≤0 （D）－5≤x≤1或3≤x≤9 （E）－6≤x≤1或3≤x≤10 ②不等式｜x－1｜+｜x+2｜<5的所有的实数解的集合是（ ） （A） (B) (C) (D) (E)φ（空集）\n练习62参考答案：1.－7，1..2.–2. 3.–1≤x≤2. 4.–1，4. 5.－2≤x≤0， 5≤x≤8 6.–2
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