初中数学竞赛精品标准教程及练习70份初中数学竞赛精品标准教程及练习30概念的分类 5页

初中数学竞赛精品标准教程及练习(30)概念的分类一、内容提要1.概念的分类是揭示概念的外延的重要方法。当一个概念的外延有许多事物时，按照某一个标准把它分成几个小类，能更明确这一概念所反映的一切对象的范围，且能明确各类概念之间的区别与联系。2.概念分类必须用同一个本质属性为标准，把一种概念分为最邻近的类概念。例如三角形可按边的大小分类，也可用角的大小分类；又如整数可按符号性质分为正、负、零，也可以按除以模m的余数分类。分别表示如下：整数整数　整数　整数3.一种概念所分成的各类概念应既不违漏，又不重复。即每一个被分的对象必须落到一个类，并且只能落到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相等。例如　正整数按下列分类是正确的正整数　　正整数如果只分为质数和合数，则外延总和比正整数的外延小；如果分为奇数和偶数则外延总和比正整数外延大，因此都不对。又如等腰三角形的定义是：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。所以三角形按边的大小分类　应是分成两类：不等边三角形和等腰三角形，　而不能是三类：（不等边，等腰，等边）如果这样，三边相等的三角形将落入两类（等腰，等边），所以概念的分类与概念的定义有直接联系。4.二分法是常用的分类法。即把一种概念分为具有和不具有某种属性。例如三角形平面内两条直线位置实数可分为：非负实数和负实数；四边形可分为：平行四边形和非平行四边形等等。5.从属关系的概念（上下位概念）是指一个概念的外延包含着另一个概念的外延。种概念与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系。例如：等边三角形从属于等腰三角形，而等腰三角形又从属于三角形又如：代数式包含有理式和无理式，有理式包含整式和分式，整式包含单项式和多项式。其关系可图示如下：\n代数式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　等腰三角形有理式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　等边三角形整式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　单项式6.并列关系的概念是两个概念的外延互相排斥，互不相容。由同一种概念分成的各类概念之间的关系是并列关系的概念（同位概念）。例如：偶数和奇数；有理式和无理式；直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，它们之间的关系都是并列关系的概念。可图示如下:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7.交叉关系的概念是指两个概念的外延有一部分重叠。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一种概念用不同的标准分类，所得的各类概念之间的关系　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　可能就有交叉关系的概念。例如：正数和整数是交叉关系的概念，既是正数又是整数的数叫做正整数；　等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念，外延重叠的部分，叫做等腰直角三角形。图示如下:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二、例题30例1.把一元一次不等式ax>b　(a,b是实数，x是未知数)的解的集合分类。解：把实数a,b按正，负，零分类，得不等式解的集合如下：\n　ax>b的解集　例2.一个等腰三角形的周长是15cm,底边与腰长的差为3cm，求这个三角形的各边长。解：设底边长为xcm,则腰长是cm当腰比底大时是　－x=3∴x=3　　　＝6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　当腰比底小时是　x－=3∴x=7　=4答（略）例3.化简①　（－2　　　②解：①∵要使有意义，必须且只需x+1≥0，即x≥－1（－2　＝＋x+1－2＝＋x－1当－1≤x<1时，原式＝－（x－1）+x－1＝0当x≥1时，　原式＝x－1＋x－1＝2x－2②化去分母根式时，要乘以，当x=y时，不能进行。故当x=y时　＝＝当x≠y时　　＝　　例4.设a,b,c是三个互不相等的正整数　求证：a3b－ab3,b3c－bc3,ca3－ca3三个数中，至少有一个能被10整除　　　　　　　　　　　　　　分析：∵10＝2×5，只要证明三个数中，至少有一个含2和5质因数即可，含2，可把a,b,c分为奇数和偶数两类；含5，则要按除以5的余数分类。解：∵　a3b－ab3=ab(a+b)(a-b),b3c－bc3=bc(b+c)(b-c),ca3－ca3=ca(c+a)(c-a)　①不论a,b,c三个数中有1个是偶数，或3个都是奇数（奇±奇＝偶），三个代数式所表示的数都是偶数，即含有质因数2；\n①∵a,b,c除以5的余数只有0，1，2，3，4五种。若有1个余数是0，则三个代数式所表示的数中必有1个含质数5；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　若有2个余数相同，则它们的差的个位数字是0，也含有质因数5；若既没有同余数又没有余数0，那么在4个余数1，2，3，4中任取3个，必有2个的和是5，即a+b,b+c,c+a中有1个含质因数5。　综上所述　a3b－ab3,b3c－bc3,ca3－ca3三个数中，至少有一个能被10整除。三、练习301.把下列概念分类（一种或几种）①实数　②有理式　③小于平角的角　④平面内点与直线位置2.把一元一次方程ax=b　(a,b是实数)的解分类。3.用二分法把下列概念分类（任举一例）①整数　②方程　③角　④直角三角形　⑤四边形　4.指出下列概念分类的错误平面内两直线的位置关系有理数　一元方程　5.解方程和不等式①＝4　　　　　　②＞1－2x6.　化简：①　　②　7.　已知等腰三角形的一个外角等于150，求各内角的度数。8.已知方程　无解，求a的值。9.　第一组5人，第二组m人，从第一组调几人到第二组，使第二组人数等于第一组人数的2倍？10.　x取什么值时，x2–3x的值是正数？11.有n个整数其积为n,其和是0。即　求证：n是4的倍数12.对任意两个整数a和b.，试证明：a+b,a-b,ab三个数中至少有1个能被3整除　13.关于x的方程＝ax+2有根且只有负根，则a的取值范围是＿＿__　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\n14　试证每个大于6的自然数n都可以表示为两个大于1且互质的自然数的　和　提示：按奇数和偶数分类练习30参考答案：2.　ax=b解的分类3.②方程　⑤四边形4.①有理数　②垂直是相交的一种5.①－1，3　②当x≥2时，x-2>1-2x……当x<2时－（x-2）>1-2x…6.①　②7.30，30，120；75，75，30。　　8.　－1，09.当m=1时，调3人；m=2,调2人；m=3,调1人10.　x<0或x>3,11.把n按奇数、偶数分类讨论，证明a1a2a3…　an中至少有2个偶数12.　a,b中若有一个是3的倍数，则ab能被3整除；若除3有同余数则a-b能被3整除；若除3余数分别为1和2，则a+b能被3整除.13.a≥1　（见练习29第7题）14.按奇数、偶数分类讨论①当n为奇数时，设n=2k+1,k>2的整数，n=k+(k+1),k和k+1互质；②当n为偶数时，设n=4k或4k+2,k>1的整数　　若n=4k=(2k+1)+(2k-1),而2k+1和2k-1是互质的　若n=4k+2=(2k-1)+(2k+3),易知2k-1和2k+3也是互质的，如果它们有公因子d(d≥2)，可设2k-1＝md2k+3=pd,(m,p是正整数)，则（m-p）d=4，则,这是不可能的。综合①和②所述………