初中数学竞赛精品标准教程及练习70份初中数学竞赛精品标准教程及练习42型如 的证明 4页

初中数学竞赛精品标准教程及练习(42)型如的证明一、内容提要型如的证明,通常是证明它的等价命题第一种转化为线段的比例式（1）可证　和两个同分母的分式分别相等，例如　当m+n=p　时等式成立（2）可证明　c,a,b－c,b四条线段成比例，关鍵是作出b－c的差（3）可证明　a+b,a,b,c四条线段成比例，关鍵是作出a+b的和第二种　　转化为线段的乘积式bc+ac=ab(4)(4)常用两个图形的面积和等于另一个图形的面积二、例题例1.已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，O是AC和BD的交点，OE∥AB交BC于有E求证：分析：证明，分别和，相等即可（下略）例2.已知：在△ABC中，∠ACB＝120，CD是角平分线求证：分析一：延长AC到E，使CE＝CB，可证△BCE为等边，BE∥CD分析二：＝在CB上截取CE＝CD，可证△CDE为等边三角形，DE∥CA分析三：CA×CD＋CB×CD＝CA×CB可由S△CAD＋S△CBD＝S△CAB证得\n证明：∵S△CAD＋S△CBD＝S△CAB∴CA×CDSin∠ACD＋CB×CDSin∠BCD=CA;xCBSin∠ACB∵Sin120=Sin60,　∴CA×CD＋CB×CD＝CA×CB∴例1.已知：△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶4求证：分析：在AC上取CD＝BC，证明　即可，要创造相似三角形，作角平分线CE，连结DE，得△ACE∽△ABC，再证CE＝DE＝AD证明：在AC上取CD＝BC，作角平分线CE，连结DE显然△CDE≌△CBE，∠DCE＝∠BCE＝2α∠CDE＝∠B＝2α，∵∠A＝α，∴∠DEA＝α∴CE＝ED＝DA∵△ACE∽△ABC，∴，,,,　　1－∴例2.已知：点C和点D分别内分、外分线段AB为同一个比　　　　　即AC∶CB＝AD∶DB＝κ（称C，D调和分割AB）　求证：分析：　　\n＝κ（证明步骤是分析的倒逆）例1.如图已知：△ABC中，BC＝a,高AD＝h,内接正方形EFGH边长为m　求证：分析：hm+am=ah,　可用面积公式证证明：∵S△AEF＋S梯形EFGH＝S△ABC∴即　m(h-m)+(m+a)m=ah,mh+ma=ah　两边除以ahm,　得三、练习421.四边形ABCD中，∠A＝∠C＝Rt∠，P是BD上的一点，PM⊥AB，PN⊥CD，M，N是垂足，求证：2.△ABC中，CD是角平分线，DE∥BC交AC于E，则3.经过平行四边形ABCD的顶点D的一直线交BC于M，交AB的延长线于N，求证4.已知：△ABC中，D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC求证：（1∶S△BAE）＋（1∶S△BEC）＝1∶S△BED5.△ABC中，∠C＝60，角平分线CD＝t,　求证6.△ABC内一点P，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，D，E，F是垂足，设a,b,c　边上的高分别为ha,hb,hc求证7.已知2a=7b=14c　求证　8.已知：直线y=bx+c　(b≠0),　与抛物线y=ax2（a≠0）　有两个交点，与横轴有一个交点，它们的横坐标分别为x1,x2,x3　且b2-4ac>0求证：\n1.Rt△ABC斜边上的高CD＝h，那么2.过△ABC内一点P分别作三边的平行线DE∥BC，FG∥AB，HK∥AC求证：①　　　　　②11.　在等边△ABC外接圆的弧上取点PPA交BC于M，求证12.PA，PB切⊙O于A，B，直线PO交⊙O于M，N，交AB于C求证13.已知半径分别为R，r　的⊙O和⊙O1外切于P，点P到外公切线AB的距离为d,　则　练习42参考答案：4.利用等高的两个三角形面积的比等于它们的底的比1.S△ABC＝abSinC2.连结PA，PB，PC由……8.x1,x2是方程bx+c=ax2　的两个根，由韦达定理得且x3是bx+c=0的根……9.　射影定理　11.用S△PBM＋S△PCM＝S△PBC12.　AM，AN是△PAC的内，外角的平分线。