初中数学竞赛精品标准教程及练习70份初中数学竞赛精品标准教程及练习44数的整除二 3页

初中数学竞赛精品标准教程及练习（44）数的整除（二）一、内容提要第一讲介绍了能被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25整除的自然数的特征，本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题.几个常用的定理，公式，法则：⑴　n个连续正整数的积能被n！整除.（n的阶乘：n！＝1×2×3×…×n）.例如：a为整数时，2a(a+1)，　　6a(a+1)(a+2),　24a(a+1)(a+2)(a+3)，……⑵　若a且ac,　则　a(bc).⑶　若a,　b互质，且ac,bc，　　则abc.反过来也成立：a,　b互质，　abc，　则ac,bc.例如：8和15互质，8｜a,15|a，　　　则120｜a.反过来也成立：　若120｜a.　　　　　则　8｜a,15|a.⑷由乘法公式（n为正整数）推得：由(a－b)(an-1+an-2b+……+abn-2+bn-1)=an－bn.　得(a－b)|(an－bn).(a+b)(a2n－a2n－1b+……ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1.　　　(a+b)|(a2n+1+b2n+1).(a+b)(a2n－1－a2n－2b+……+ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n.(a+b)|(a2n－b2n).　概括起来：齐偶数次幂的差式a2n－b2n含有因式a＋b和a－b.齐奇数次幂的和或差式a2n+1＋b2n+1或a2n+1－b2n+1只分别含有因式a＋b或a－b.例如（a+b）|(a6－b6),　(a－b)|(a8－b8)；(a+b)|(a5+b5)，　(a－b)|(a5－b5).二、例题例1.已知:整数n>2.　　求证：n5－5n3+4n能被120整除..证明：n5－5n3+4n＝n(n4－5n2+4)=n(n－1)(n+1)(n+2)(n－2).　　∵(n－2)(n－1)n(n+1)(n＋2)是五个连续整数，能被n!整除，∴　120｜n5－5n3+4n.例2.已知：n为正整数.　求证：n3+n2+n是3的倍数.证明：n3+n2+n＝n（2n2+3n+1）=n(n+1)(2n+1)　=n(n+1)(n+2+n－1)=n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n－1).∵　3！｜n(n+1)(n+2)，　且3！｜n(n+1)(n－1)..\n∴　3｜n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n－1).即n3+n2+n是3的倍数.　（上两例关鍵在于创造连续整数）例3.　求证：⑴　33｜255＋1；　　⑵　1989｜（19901990－19881988）.证明：⑴　255＋1＝25×11＋111＝3211＋111.　　　　　∵(32＋1)|(3211+111)，即33｜255＋1.　⑵　19901990－19881988＝19901990－19881990＋19881990－19881988.（添两项）∵（1990＋1988）｜（19901990－19881990）.　即1989×2｜（19901990－19881990）.∵　19881990－19881988=19881988(19882－1)＝19881988（1988＋1）（1988－1）.即　19901990－19881988＝1989×2N＋1989×19881988×1987.　（N是整数）　　　∴　1989｜19901990－19881988.例4　设n是正整数，　求证：7｜（32n+1+2n+2）.证明：32n+1+2n+2＝3×32n+4×2n=3×9n+4×2n＋3×2　n－3×2　n　（添两项）＝（4×2n＋3×2　n）＋（3×9n－3×2　n）＝（4＋3）＋3（9n－2　n）＝7×2n＋3（9－2）N.（N是整数）∴7｜（32n+1+2n+2）　（例3，4是设法利用乘法公式）例5.已知能被33整除，求x,　y的值.解：∵33＝3×11，∴1＋9+x+y+8+7其和是3的倍数，　即x+y=3K－25(k为整数).又（1＋x+8）－(9+y+7)其差是11的倍数，即x－y=11h+7(h是整数).∵0≤x≤9，　0≤y≤9，∴0≤x＋y≤18，9≤x－y≤9，x+y>x－y,且x+y和x－y同是奇数或偶数.符合条件的有　.解得.例6.设N＝，且17｜N,求　x..解：N＝2078＋100x=17×122＋4＋17×6x－2x＝17×（122＋6x）+4－2x.∵　17｜N，　　　∴17｜4－2x，当4－2x=0.∴　x=2.\n三、练习441.要使2n+1能被3整除，整数n应取＿＿＿，若6｜（5n－1）,则整数n应取＿＿＿.2.求证：①　4!|（n4+2n3－n2－2n）；　②　24｜n(n2－1)(3n+2)；③　6｜（n3+11n）；　　④　30｜（n5－n）.3.求证：①　100｜9910－1）；　　　　　②　57｜（23333＋72222）；③　995｜（996996－994994）；　④　1992｜（997997＋995995）.4.设n是正整数，求证　3n+3n+2+62n能被33整除.5.求证：六位数能被7，11，13，整除.6.已知：五位数能被77整除，求x,　y的值.7.已知：a,　b,　c都是正整数，且6｜（a+b+c）.求证：6｜（a3+b3+c3）.三、练习44参考答案：1.正奇数；正偶数　　2.①，②分解为4个连续整数③n(n-1)(n+1)+12n④n(n-1)(n+1)(n2-4+5)3.②81111＋491111③添项－1，1④添项995997－9959974.化为3n(1+32)+36n=11×3n＋36n－3n＝……5.7×11×13＝1001六位数105a+104b+103c+102a+10b+c=……6.仿例57.由6｜（a+b+c）可知a,b,c中至少有一个是偶数，且a3+b3+c3－3abc含有因式a+b+c