初中数学《图形的平移与旋转》讲义及练习 19页

第三讲图形的平移与旋转中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求图形的平移与旋转了解图形的平移与旋转的基本概念，并会识别图形的平移和旋转，并会应用相应的知识点解决题目，同时加以灵活应用能应用全等三角形的知识点解决平移和旋转类的题目，同时学会综合应用四边形和平移及旋转的综合会证明相关的题目，同时会应用两者的综合知识点睛旋转把图形绕平面上的一个定点旋转一个角度，得到图形，这样的由图形到变换叫做旋转变换，点叫做旋转中心，叫做旋转角，叫做的象；叫做的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．平移平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移不改变物体的形状和大小。平移可以不是水平的一、平移的基本性质：1、经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；　2、平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。二、平移的特征：1、平移前后图形的形状大小不变，位置改变。　2、新图形与原图形个对应点的连线平行且相等。　3、新图形与原图形的对应线段平行且相等，对应角相等。三、平移的两个要点：1、平移的距离2、平移的方向重、难点重点：认识平移和旋转这两个图形变换，并且会应用，同时对全等三角形的综合能灵活处理难点：与四边形、全等三角形的综合应用\n例题精讲板块一、图形的平移【例1】⑴（2006长沙课改）如图，沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论中错误的是（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】选择：D⑵（2010珠海）在平面直角坐标系中，将点沿轴方向向右平移个单位得到点，则点的坐标是（）A．B．C．D．【解析】选择D⑶（2010山东济南）如图所示，是沿水平方向向右平移后的对应图形，若，，则的度数是度．【解析】答案为：⑷下面的每组图形中，左面的平移后可以得到右面的是（）ABCD【解析】选择D⑸三角形从一个位置平移到另一个位置，则下列说法不正确的是（）A．B．C．四边形为平行四边形D．\n【解析】根据平移的性质可知：D不正确⑹如图所示,经过平移可以得到,那么的对应角和的对应边分别是()A．B．C．D．【解析】由平移的基本性质可知：选择⑺如图所示,右边的两个图形中,经过平移能得到左边的图形的是()【解析】由图形可知：答案为D【例1】（智康教研精编）如图所示,大圆内有一小圆，小圆从现在的位置沿的方向平移个单位后,得到小圆，已知小圆半径为.⑴求大圆的面积;⑵求小圆在平移过程中扫过的面积.【解析】⑴根据平移知识可知，又∵小圆半径为,∴大圆直径，大圆面积为=;⑵小圆平移时扫过的面积为长方形的面积+小圆面积.\n【例1】如图，已知中，，，，现将沿方向平移到的位置。若平移距离为⑴求与的重叠部分的面积；⑵若平移距离为，求与的重叠部分的面积，则与有怎样关系式。【解析】⑴因为平移距离为，则，那么，又因为为等腰直角三角形，可知重叠部分也为等腰直角三角形，因此面积为⑵由平移的性质可知：重叠部分的面积表达式为，其中【巩固】（新课标平移训练试题）如图所示的是用火柴杆摆的一只向左飞行的小鸟,你能只平移根火柴杆就使它向右飞吗?【解析】如图所示：\n【巩固】（智康教研精编）公路上同向而行的两辆汽车,从后车车头与前车车尾“相遇”到原后车车尾离开原车车头这段时间为超车时间,如果原前、后两车车长分别为,那么在超车时间内两车行驶的路程与两车车长有何关系?【解析】如图所示,两车行驶的路程即平移的距离,从图中很容易看出:在超车时间内两车的路程差等于.点评：此题实质上是关于平移的问题【例2】平移方格纸中的图形，使点平移到点处，画出平移后的图形，并写上一句贴切、诙谐的解说词．A··A′【解析】此题主要考察平移的性质，在平移过程中掌握对应点之间的关系以及对应线段之间的关系，同时也重点复习下如何做平移的图形【例3】如图，正方形和正方形的边长分别为和，对角线都在直线上，分别为正方形的中心，线段的长叫做两个正方形的中心距，当中心在直线上平移时，正方形也随之平移，在平移时正方形的形状、大小没有变化⑴计算；⑵当中心在直线上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距⑶随着中心在直线上平移，两个正方形的公共点的个数有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或者取值范围【解析】⑴⑵⑶第一种情况：当时，即时，两个正方形有两个公共点；第二种情况：当时，两个正方形有无数个公共点；第三种情况：当时，即时，两个正方形没有公共点；或时，两个正方形没有公共点\n【例1】如图，六边形中，，对边之差，求证：该六边形的各角相等【解析】分别过点作，过点作，过点作，它们分别交于，得平行四边形，那么，，，由条件得为等边三角形，可以推导出六边形各角都为【例2】（河北中考试题）图形的操作过程中（本题中四个矩形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为）在图中，将线段向右平移个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）在图中，将折线向右平移个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）⑴在图中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移个单位，从而得到一个封闭图形，然后用斜线画出阴影⑵请你分别计算上述三个图形除去阴影后剩余部分的面积；；⑶联想与探究：如图，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的任何地方的宽度都是个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想，写出证明过程【解析】⑴如图：⑵⑶猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍是方案：①将小路沿着左右两个边界“剪去”；②将左侧的草地向右平移一个单位；③得到如图所示的图形\n理由：在新得到的矩形中，其纵向宽任然是，其水平方向的长度成为，故草地的面积为板块二、图形的旋转【例1】⑴在下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（　）ABCABCD【解析】答案为：C⑵（2010年天津市）下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为（）（A）（B）（C）（D）【解析】B⑶（2010河南）如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为则点的坐标为（）（A）（B）（C）（D）【解析】根据旋转的性质可知：选择D⑷（2010莱芜）在平面直角坐标系中，以点为顶点的三角形向上平移个单位，得到（点分别为点的对应点），然后以点为中心将顺时针旋转，得到（点分别是点的对应点），则点的坐标是\n【解析】根据旋转和平移的性质可知：⑸如图，是线段上一点，分别以为边在同侧作等边和等边，交于，交于，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有()．A．1对B．2对C．3对D．4对【解析】选择C【巩固】（2010绵阳）对右图的对称性表述，正确的是（）．A．轴对称图形B．中心对称图形C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形【解析】选择B【例2】（2010年常州）如图，在和中，，，，，点在直线l上，按下列要求画图（保留画图痕迹）；⑴画出点关于直线的对称点，连接；⑵以点为旋转中心，将⑴中所得按逆时针方向旋转，使得与重合，到（A）.画出（A），解决下面问题：①线段和线段的位置关系是.理由是：②求的度数.【解析】⑴画对对称点⑵画对①平行理由：因为所以所以②因为四边形是等腰梯形所以因为，所以在三角形中，解得\n【例1】(2010台州市)如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．⑴观察：①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．②如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．⑵猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．图1图2图3图4⑶如果，请直接写出∠CDF的度数和的值．【解析】（1）①=②＞（2）＞证明：作点C关于FD的对称点G，连接GK，GM，GD，则CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK，∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD．∵30°，∴∠CDA=120°，∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，∠ADM+∠CDK=60°．∴∠ADM=∠GDM，∵DM=DM，∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．（3）∠CDF=15°，．【例2】(2009通州区一模)请阅读下列材料：\n已知：如图1在中，，，点、分别为线段上两动点，若．探究线段、、三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴猜想、、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．【解析】⑴证明：根据绕点顺时针旋转得到∴∴，，，在中∵∴∴即∴又∵∴∴即∴∴∴⑵关系式仍然成立证明：将沿直线对折，得，连∴∴，，又∵，∴∵∴又∵∴∴，∴\n∴在中即【巩固】(1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰的斜边上取两点、，使，记，，，则以、、为边长的三角形的形状是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随、、的变化而变化【解析】如图，将绕点顺时针旋转，得，连结，则，，，∴．∴，∴又易得，∴在中，有，故应选(B)【例2】(四川省中考题)如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：为定值．【解析】连结由上可知，，，，而，．∴，∴，∴．【巩固】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．【解析】正方形中，，而，∴，∴∴，∴【例3】(河北中考试题)如图，已知点是正方形的边上一点，点是\n的延长线上一点，且．求证：．【解析】证明：因为四边形是正方形，所以，．因为，所以，所以，故≌，故．【例1】如图，，，三点共线，且与是等边三角形，连结，分别交，于，点．求证：．【解析】∵与都是等边三角形∴，及∵，，三点共线∴，∴在与中∴，∴∵，∴在与中∴，∴．【巩固】如图，点为线段上一点，、是等边三角形．请你证明：⑴；⑵；⑶平分．\n【解析】此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．与三角形各内角相等，及平行线所形成的内错角及同位角相等；全等三角形推导出来的对应角相等…推到而得的：；，，，；，；，，；为等边三角形．⑴∵、是等边三角形，∴，，∴，∴⑵由易推得，所以，又，进而可得为等边三角形．易得．⑶过点作于，于，由，利用进而再证，可得，故平分．【例1】(北京市初二数学竞赛试题)如图所示，在五边形中，，，求此五边形的面积．【解析】我们马上就会想到连接、，因为其中有两个直角三角形，但又发现直接求各三角形的面积并不容易，至此思路中断．我们回到已知条件中去，注意到，这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等时我们常用的“截长补短法”，那么可否把拼接到的一端且使呢(如图所示)据此，连接，则发现≌，且，，，是底、高各为的三角形，其面积为，而与全等，从而可知此五边形的面积为．【例2】已知正方形和正方形有一个公共点，点分别在线段上.⑴如图1,连接,若将正方形绕点按顺时针方向旋转,判断命题:“在旋转的过程中线段与的长始终相等.”是否正确,若正确请说明理由,若不正确请举反例说明;⑵若将正方形绕点按顺时针方向旋转,连接,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段的长始终相等.并以图2为例说明理由.\n【解析】⑴不相等，用图1即可说明；⑵。理由：连接，在和中，∵，，，∴，∴。【例1】(2008年山西太原)将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图1中的两张三角形胶片和．将这两张三角形胶片的顶点与顶点重合，把绕点顺时针方向旋转，这时与相交于点．⑴当旋转至如图2位置，点在同一直线上时，与的数量关系是⑵当继续旋转至如图3位置时，⑴中的结论还成立吗？请说明理由．⑶在图3中，连接，探索与之间有怎样的位置关系，并证明．【解析】⑴（或相等）⑵（或成立），理由如下：由，得．，．在和中，．．，．⑶如图，．由，点与点重合，\n得．点在的垂直平分线上，且．，．，点在的垂直平分线上．所以直线是的垂直平分线，．【例1】(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛)如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．【解析】如图所示，延长到使．在与中，因为，，，所以，故．因为，，所以．又因为，所以．在与中，，，，所以，则，所以的周长为．【巩固】在等边的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且，，，探究：当点M，N分别在直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及的周长与等边的周长L的关系．\n⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；此时=__________⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L表示)【解析】BM+NC=MN;(2)猜想：仍然成立证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE由是等边三角形，，，在与中的周长==而等边的周长(3)\n家庭作业1．（2006临沂非课改）如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图1位置滚动到图2位置时，线段绕点顺时针转过的角度为度．【解析】2．（2006衡阳课改）如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为．【解析】3．（2006娄底）下列A、B、C、D四幅图案中，能通过平移图案（1）得到的是（）A．B．C．D．【解析】B4．(2008湖北黄冈)已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．【解析】∵∴\n在和中∴∴1．在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．【解析】连接．因为且，所以．因为是的中点，所以，且，则．因为，所以，所以，所以．因此是等腰直角三角形，在的运动过程中形状不变．的面积与边的大小有关．当点从出发到中点时，面积由大变小；当是中点时，三角形的面积最小；继续向点运动时，面积又由小变大．2．等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状．【解析】由条件，且，得．因为，，所以，因此，．因为，所以为等边三角形．3．(2008山东)在梯形中，，，，，，是中点，试判断与的位置关系，并写出推理过程．\n【解析】延长交延长线于点．是中点，，，，，在和中，，又，在和中，，