初中数学《因式分解拓展篇》讲义及练习 8页

第四讲因式分解拓展篇中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求因式分解了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）能运用因式分解的方法进行代数式的变型，解决有关问题重、难点考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。例题精讲板块一：换元【例1】分解因式：【解析】将看成一个字母，可利用十字相乘得原式【例2】(“希望杯”培训试题)分解因式：【解析】方法1：将看作一个整体，设，则原式=方法2：将看作一个整体，设，则原式=方法3：将\n看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至连换元都不用，直接把看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，则原式.【巩固】分解因式：【解析】【巩固】分解因式：【解析】【例1】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【解析】设这四个连续整数为：、、、原式【巩固】若，是整数，求证：是一个完全平方数.【解析】令∴上式即【例2】(湖北黄冈数学竞赛题)分解因式【解析】原式设，原式【巩固】分解因式【解析】原式原式【例3】分解因式：【解析】咋一看，很不好下手，仔细观察发现：，故可设，则.故原式=.【巩固】分解因式：【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故采取换元法后会大大简化计算过程，\n不妨设，则原式=【例1】(重庆市竞赛题)分解因式：【解析】设，则原式=【巩固】分解因式：【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令板块二：因式定理因式定理：如果时，多项式的值为，那么是该多项式的一个因式.有理根：有理根的分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数.【例2】分解因式：【解析】的因数是，，的因数是，．因此，原式的有理根只可能是，(分母为1)，．因为，，于是是的一个根，从而是的因式，这里我们可以利用竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降幂排列，没有的补0：可得原式【点评】观察，如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反数，则说明；如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，则说明.【巩固】分解因式：【解析】本题有理根只可能为.当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的)，经检验是根，所以原式有因式，原式容易验证也是的根，，所以【巩固】分解因式：【解析】【例3】分解因式：【解析】常数项的因数为，，，，，，\n把代入原式，得所以是原式的根，是原式的因式，并且【巩固】分解因式：【解析】如果多项式的系数的和等于，那么1一定是它的根；如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么一定是它的根．现在正是这样：所以是原式的因式，并且板块三：待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果那么，，…，，.【例1】用待定系数法分解因式：【解析】原式的有理根只可能为，但是这2个数都不能使原式的值为，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．故或故，解得，所以事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.【巩固】是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积?【解析】我们知道.不能分解成两个整系数的二次因式的乘积．如果能够分解，那么一定分解为或比较与的系数可得:由(1)得，代入(2)得，即或，没有整数能满足这两个方程．所以，不能分解成两个整系数的二次因式的积(从而也不能分解成两个有理系数的二次因式的积)．【巩固】能否分解为两个整系数的三次因式的积?【解析】设，\n比较，及的系数，得由第一个方程与第三个方程可得，,再把它们代入第二个方程中，得矛盾!所以，不可能分解为两个整系数的三次因式的积．【例1】分解因式：【解析】原式的有理根只可能为，，但是这四个数都不能使原式的值为，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．我们设想可以分为两个整系数的二次因式的乘积．由于原式是首1的(首项系数为1)，两个二次因式也应当是首1的．于是，设⑴其中整系数有待我们去确定．比较⑴式两边，，的系数及常数项，得这样的方程组，一般说来是不容易解的．不过，别忘了是整数!根据这一点，从(5)可以得出或，当然也可能是或在这个例子中由于因式的次序无关紧要，我们可以认为只有或这两种情况．将，，代入(4)，得⑹将⑹与⑵相减得，于是，再由⑵得这一组数(，，，)不仅适合⑵、⑷、⑸，而且适合⑶．因此⑺将，，代人⑷，得⑻将⑻与⑵相加得.于是，再由⑵得.这一组数(，，，)，虽然适合⑵、⑷、⑸，却不适合⑶，因而.事实上，分解式是惟一的，找出一组满足方程组的数，就可以写出分解式⑺，考虑有没有其他的解纯属多余，毫无必要．板块四：轮换式与对称式对称式：的多项式，，，，，…在字母与互换时，保持不变．这样的多项式称为的对称式．类似地，关于的多项式，，，，，，…在字母中任意两字互换时，保持不变．这样的多项式称为的对称式．轮换式：关于的多项式，，，，，，…在将字母轮换(即将换成，换成，换成)时，保持不变．这样的多项式称为的轮换式．显然，关于的对称式一定是的轮换式．但是，关于，的轮换式不一定是对称式．例如，就不是对称式．次数低于3的轮换式同时也是对称式．\n两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式)．【例1】分解因式：【解析】是关于的轮换式．如果把看作关于的多项式，那么在时，它的值为.因此，是的因式．由于是的轮换式，可知与也是它的因式．从而它们的积⑴是⑵的因式．由于⑴、⑵都是的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数，即有⑶现在我们来确定常数的值．为此，比较⑶的两边的系数：左边系数为1，右边系数为．因此，．于是【例2】分解因式：【解析】此式是关于，，的四次齐次轮换式，注意到时，原式，故是原式的一个因式.同理，，均是原式的因式，而是三次轮换式，故还应有一个一次轮换式，设其为，故原式，展开并比较系数可知，，故原式.家庭作业练习1．分解因式：【解析】原式练习2．要使为完全平方式，则常数的值为________【解析】则练习3．分解因式：【解析】原式原式练习4．分解因式：\n【解析】设，，则原式.练习1．分解因式：【解析】练习2．分解因式：【解析】练习3．用待定系数法分解：【解析】原式的有理根只可能为，但是这2个数都不能使原式的值为，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．故或故，解得，所以事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.练习4．分解因式：【解析】是关于的轮换式．它有三次因式．由于原式是的四次式，所以还应当有一个一次因式．原式是的四次齐次式，所以这个一次因式也是的一次齐次式，即它的常数项是0(否则，它的常数项与三次式相乘得到一个三次式)．这个一次齐次式是的轮换式，形状应当是是常数．即有⑴比较两边的系数，得于是上面求的方法是比较系数，也可以改用另一种方法，即适当选一组使的数代替从而定出，例如，令,,,把它代入⑴，得,即,以上两种确定系数的方法可以结合起来使用．月测备选【备选1】分解因式：【解析】【备选2】分解因式：【解析】设，,原式【备选3】分解因式：【解析】原式的有理数根只可能为：，，，，，\n经检验是一个根，所以是原式的因式，进而可得：