初中数学《有理数基本运算》讲义及练习 13页

有理数基本运算中考要求内容基本要求略高要求较高要求有理数运算理解乘方的意义掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）能运用有理数的运算解决简单问题有理数的运算律理解有理数的运算律能用有理数的运算律简化运算例题精讲板块一、有理数基本加、减混合运算有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.(加法交换律)②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.(加法结合律)有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.\n⑥符号相同的数可以先结合在一起.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.例如：，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和.【例1】(2级)计算：⑴⑵【例2】(2级)计算：⑴；⑵⑶；⑷【巩固】(2级)⑴⑵⑶⑷⑸⑹\n⑺⑻⑼【巩固】(2级)⑴，则0；⑵，则0；⑶，，则0；⑷，，且，则0.【例1】（6级）设三个互不相等的有理数，既可分别表示为的形式，又可分别表示为的形式，则【例2】(2级)给出一连串连续整数：，这串连续整数共有个；它们的和是【例3】（6级）(第8届希望杯)个不全相等的有理数之和为，则这个有理数中()A．至少有一个是零B．至少有998个正数C．至少有一个是负数D．至多有995个是负数【巩固】（6级）(第17届希望杯2试)若，则以下四个结论中，正确的是()A．一定是正数．B．可能是负数．C．一定是正数．D．一定是正数．【例4】(2级)（北京）北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：ºC）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为（）A.28ºCB.29ºCC.30ºCD.31ºC【例5】（4级）(07年济南中考题)出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程表示如下:，，，，，，，，，，，⑴将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远?⑵如果汽车耗油量为升/千米，这天下午小李共耗油多少升?【巩固】（4级）（07～08学年北京四中阶段测试）市的出租车无起步价，每公里收费2元，不足1公里的按1公里计价，9月4号上午市\n某出租司机在南北大道上载人，其承载乘客的里程记录为：、、、、、（单位：公里，向北行驶记为正，向南行驶记为负），车每公里耗油0.1升，每升油4元，那么他这一上午的净收入是多少元？他最后距离出发点多远？【例1】（8级）（无锡市中考题、人大附中练习题改编）数轴的原点上有一个蜗牛，第次向正方向爬个单位长度，紧接着第次反向爬个单位长度，第次向正方向爬个单位长度，第次反向爬个单位长度……，依次规律爬下去，当它爬完第次处在点．①求、两点之间的距离（用单位长度表示）．②若点与原点相距个单位长度，蜗牛的速度为每分钟个单位长度，需要多少时间才能到达？③若蜗牛的速度为每分钟个单位长度，经过小时蜗牛离点多远？【巩固】（6级）（第届希望杯试）电子跳蚤在数轴上的某一点，第一步向左跳个单位到点，第二步由点向右跳个单位到点，第三步有点向左跳个单位到点，第四步由点向右跳个单位到点，．．．．．．，按以上规律跳了步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰好是．求电子跳蚤的初始位置点所表示的数．【巩固】（10级）在整数1，3，5，7，…，，…，2005之间填入符号“＋”和“－”号，依此运算，所有可能的代数和中最小的非负数是多少？【巩固】（10级）\n(07年希望杯培训试题)在1，3，5，…，101这51个奇数中的每个数的前面任意添加一个正号或一个负号，则其代数式的绝对值最小为多少？【巩固】（8级）(2000年辽宁)在数1，2，3，……，1998前添符号“+”或“-”，并依次运算，所得结果中最小的非负数是多少？【例1】（6级）试利用正方形的面积，计算以下无穷个数的和：【例2】（6级）（2005年大连市中考）在数学活动中，小明为了求的值（结果用表示），设计了如图所示的几何图形⑴请你用这个几何图形求的值⑵请你用图2，再设计一个能求的值的几何图形【例3】（4级）（芜湖市课改实验区中考试题）\n小王上周五在股市以收盘价每股元买进某公司股票股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价相比前一天的涨跌情况（单位：元）星期一二三四五每股涨跌（元）根据上表回答如下问题：⑴星期二收盘时，该股票每股多少元？⑵本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？⑶已知买入股票与卖出股票均需要支付成交金额的千分之五的交易费，若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的受益情况如何？板块二、有理数基本乘法、除法有理数乘、除法Ⅰ：有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.有理数乘法运算律：①两个数相乘，交换因数的位置，积相等.(乘法交换律)②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.(乘法结合律)③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.(乘法分配律)有理数乘法法则的推广：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.【例1】(2级)看谁算的又对又快:⑴⑵⑶⑷⑸\n【巩固】(2级)计算下列各题：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻.【例1】(2级)计算：⑴⑵【例2】（8级）(第10届希望杯)【巩固】（8级）计算：【例3】（8级）积的值的整数部分是\n【例1】（8级）设个正整数，任意改变他们的顺序后，记作，若，则（）A．一定是奇数B．一定是偶数C．当是奇数时，是偶数D．当是偶数时，是奇数【例2】（8级）若，，，是互不相等的整数，且则的值为()A．0B．4C．D．无法确定．【巩固】（8级）如果4个不同的正整数，，，满足，那么的值是多少？【例3】（8级）如果均为正数，且，那么的值等于【例4】（6级）(第9届希望杯)若，则是（）A.正数B.非正数C.负数D.非负数【巩固】(2级)奇数个负数相乘，积的符号为，个负数相乘，积的符号为正.【补充】（6级）(第届希望杯试)如果，则一定成立的是()A．是的相反数B．是的相反数C．是的倒数D．是的倒数【补充】(2级)若三个数互不相等，则在中，正数一定有()A．个B．个C．个D．个\nⅡ：有理数除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.，()两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.【例1】(2级)计算：⑴⑵【巩固】(2级)⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹.【例2】(2级)如果，，且，试确定、、的符号.【巩固】(2级)如果，，试确定的符号.【例3】（6级）（第15届希望杯邀请赛试题）观察下面的式子：⑴小明归纳了上面各式得出一个猜想：两个有理数的积等于这两个有理数的和，小明的猜想正确吗？为什么？\n⑵请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想板块三、有理数常考经典计算题型一、应用定律【例1】（4级）（第五届“五羊杯”竞赛试题）计算：【例2】(2级)计算：二、应用公式【例3】(2级)计算：【例4】（6级）计算：三、整体代换【例5】（6级）计算：\n四、裂项【例1】（6级）计算：．【例2】（4级）（2008年第十三届“华杯赛”决赛集训题）已知，试求的值．五、分离法【例3】（6级）计算：课后练习练习1．(2级)计算下列各题⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻\n⑼⑽练习1．（8级）(第14届希望杯)有一串数：，，，，…，按一定的规律排列，那么这串数中前个数的和最小．练习2．(2级)超市新进了10箱橙子，每箱标准重量为50kg，到货后超市复秤结果如下（超市标准重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7，+0.8，+0.3，+0.1.那么超市购进的橙子共多少千克？练习3．（6级）计算：练习4．(2级)、、为非零有理数，它们的积必为正数的是（）A．，、同号B．，、异号C．，、异号D．、、同号练习5．(2级)用“＞”或“＜”填空⑴如果，那么0；⑵如果，那么0.练习6．(4级)『第18届希望杯』有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：①；②；③；④．其中正确的命题有（　　）A．4个B．3个C．2个D．1个练习7．（4级）『第14届希望杯』为有理数，下列说法中正确的是（）A.为正数B.为负数C.为正数D.为正数\n(2)在，，，这四个数中，负数共有()A.1个B.2个C.3个D.4个练习1．（4级）已知、互为相反数，、互为负倒数，的绝对值等于它相反数的倍.求的值.