初中数学《提公因式、公式法》讲义及练习 8页

提公因式法、公式法例题精讲板块一：基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式.【例1】判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.⑴；⑵⑶；⑷【解析】⑴不是，此变形是整式乘法运算；⑵不是，此等式不成立；⑶不是，等式右边不是整式乘积的形式；⑷是.板块二：提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.【例2】分解因式：⑴；⑵⑶⑷【解析】⑴最后一项，系数1一般可省略，但因式分解时提出“”后，“”不能漏掉.提公因\n分解因式时，提完公因式的那个因式等于原多项式除以公因式的商，故那个因式的项数等于多项式的项数.⑵，按照系数、字母(或多项式因式)确定公因式⑶或若多项式第一项为负，一般有两种处理方法：①首先将“－”提出，初学时不要省略此步，再对提取“－”后的多项式提取公因式；②若多项式中含有系数为正数的项，也可将这一项写在第一项，然后再提取公因式.⑷因式分解后，最好使多项式中的系数为整数，这样比较整洁.【巩固】分解因式：【解析】【巩固】⑴；⑵【解析】⑴⑵【例1】分解因式⑴⑵【解析】⑴原式⑵原式【巩固】分解因式：⑴⑵【解析】⑴⑵【巩固】分解因式：⑴⑵【解析】⑴原式⑵原式【巩固】化简下列多项式：【解析】原式…【例2】分解因式：⑴(为正整数)⑵(、为大于1的自然数)\n【解析】⑴原式注意整体思想的运用！⑵，，【巩固】分解因式：，为正整数.【解析】是正整数时，是偶数，；是奇数，..【例1】(2005年长沙市中考题)先化简再求值，，其中，．【解析】利用因式分解化简．，把，代入，得原式.【巩固】求代数式的值：，其中.【解析】原式,当时，原式.【例2】已知：，求的值.【解析】原式【巩固】分解因式：.【解析】观察原式，我们发现公因式为，故原式.板块三：公式法平方差公式：①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.一些需要了解的公式：\n【例1】分解因式：⑴⑵⑶⑷(2007年十堰中考题)；⑸【解析】⑴⑵原式⑶⑷⑸【巩固】因式分解：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺【解析】⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺【巩固】⑴⑵⑶⑷⑸【巩固】利用分解因式证明：能被120整除．【解析】要证明能被120整除，就是在分解的因式中是否含有120．\n【例1】分解因式：⑴(深圳市中考题)；⑵(泸州市中考题)；⑶；⑷【解析】⑴⑵⑶解首先把原式“理顺”，也就是将它的各项按字母a降幂(或升幂)排列，从而有按某个字母降幂排列是一个简单而有用的措施(简单的往往是有用的)，值得注意．⑷【巩固】⑴(淄博市中考题)分解因式：⑵(太原市中考题)分解因式：⑶分解因式：⑷分解因式：【例2】(哈尔滨中考题)分解因式.【解析】【巩固】分解因式：⑴⑵【解析】⑴⑵【例3】分解因式：⑴；⑵；【解析】把⑴中的，，⑵中的，当作整体来看待，运用完全平方公式进行分解.⑴；⑵【巩固】分解因式：【解析】【巩固】分解因式：⑴；⑵【解析】⑴；⑵【巩固】分解因式：【解析】()相当于公式中的，相当于公式中的．\n=【巩固】已知=，试用含、的代数式表示．【解析】由原题可得，进而可求解．∵，∴，∴或【例1】化简：【解析】解题指导：化简就是要去掉式子中的括号，结果表示成一个多项式．【巩固】分解因式：【解析】【补充】分解因式：【解析】或【巩固】⑴分解因式：⑵分解因式：【解析】⑴⑵【例2】若、、为的三边长，且，则按边分类，应是什么三角形？【解析】这是一道因式分解与等腰三角形联系的综合性问题．应先对等式进行化简，再利用等腰三角形的定义进行判断．在化简过程中，如果几个因式的乘积为0，则每一个因式都有可能为0，即若，则等价于或或，所以由，得到或或，若第三个成立则是等边三角形，但等边三角形是特殊的等腰三角形，所以结论是等腰三角形．∵∴∴，即∴或，即或，∴是等腰三角形【巩固】(江苏省镇江市中考题)若，，是三角形三边的长，则代数式的值()．A.大于零B.小于零C大于或等于零D．小于或等于零【解析】\n又因为，，是三角形三边的长，所以，即，，，课后练习练习1．分解因式：【解析】练习2．分解因式：【解析】练习3．不解方程组，求代数式的值．【解析】练习4．分解因式：【解析】练习5．分解因式：(为大于1的自然数)．【解析】因为大于1，所以，因此公因式是．练习6．分解因式：⑴⑵⑶⑷【解析】⑴⑵⑶原式⑷练习7．分解因式：\n⑴(北京市中考试题大纲卷)⑵(岳阳中考题)【解析】⑴⑵练习1．分解因式：⑴；⑵.【解析】把⑴中的，，⑵中的，，看作整体，运用完全平方公式进行分解.⑴；⑵.练习2．已知，求的值．【解析】原式因式分解可得，进而可得，，即．∵，∴∴，∴练习3．分解因式：【解析】原式练习4．若，，为正数，且满足，那么之间有什么关系？【解析】由，得故即得，即又由，，为正数，即得练习5．(北大附中测试题)，，是三角形的三条边，且则三角形是怎样的三角形?【解析】，所以所以，即，，；，，；三角形是等边三角形