初中数学《分数应用题综合》讲义及练习 26页

6-2-1分数应用题综合教学目标1.分析题目确定单位“1”2.准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题3.抓住不变量，统一单位“1”知识点拨一、知识点概述：分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键．关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系例如：（1）a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”．（2）甲比乙多，乙比甲少几分之几？方法一：可设乙为单位“”，则甲为，因此乙比甲少.方法二：可设乙为份，则甲为份，因此乙比甲少.二、怎样找准分数应用题中单位“1”（一）、部分数和总数在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。例如：我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。（二）、两种数量比较分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”），解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。（三）、原数量与现数量\n有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也不是部分数和总数的关系。这类分数应用题的单位“1”比较难找。需要将题目文字完善成我们熟悉的类似带“比”的文字，然后在分析。例如：水结成冰后体积增加了，冰融化成水后，体积减少了。完善后：水结成冰后体积增加了→“水结成冰后体积比原来增加了”→原来的水是单位“1”冰融化成水后，体积减少了→“冰融化成水后，体积比原来减少了”→原来的冰是单位“1”解题关键：要结合语文知识将题目简化的文字丰富后在分析例题精讲模块一、单位“”不变（一）抓住量率对应进行计算【例1】五年级男生有50人，女生有40人．⑴女生人数是男生人数的几分之几？⑵男生人数比女生人数多几分之几？⑶女生人数比男生人数少几分之几？⑷女生比男生少的人数是全班人数的几分之几？【解析】此题四个问题都是求一个数是另一个数的几分之几，解答的关键是找准单位“”.⑴男生人数为单位“”，；⑵女生人数为单位“”，；⑶男生人数为单位“”，；⑷全班人数为单位“”，.【例2】一个单位精简机构后有工作人员120人，比原来工作人员少40人，精简了几分之几？【解析】“精简了百分之几”是在说“现在比原来少的人数是原来工作人员的几分之几”,单位“”就是“原来工作人员人数”，.【巩固】小静的书架上有三种不同种类的书，其中漫画书比故事书多本，小说书比故事书少本，已知故事书比小说书多，那么漫画书比故事书多百分之几？【解析】小说书有本，所以故事书有本，漫画书有本，漫画书比故事书多．【巩固】一个水箱中的水是装满时的，用去200立升以后，剩余的水是装满时的，这个水箱的容积是多少立升？【解析】200÷(-)=2400(立升)。【巩固】水果店卖出库存水果的五分之一后，又运进水果66000斤，这时库存水果比原来库存量多六分之一，原来库存水果多少万斤？【解析】根据量率对应为：（斤）＝18（万斤）【巩固】迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的56％，如果再生产5040台，总产量就超过计划产量的16％．那么，原计划生产插秧机台．【解析】5400÷(1+16％一56％)=9000(台).\n【巩固】村里种了新瓜，男女老少品尝它．小伙每人吃一个，姑娘两人分一瓜；老人一瓜三人吃，四个小孩吃一瓜．男女老少四个组，一共吃了五十瓜，各组人数都相等，每组多少人品尝瓜？【解析】把各组人数都视为“1”，那么有：50÷(1+++)=24（人）.【例2】用一批纸装订一种练习本．如果已装订120本，剩下的纸是这批纸的40％；如果装订了185本，则还剩下1350张纸．这批纸一共有多少张?【解析】方法一：120本对应(1-40％=)60％的总量，那么总量为120÷60％=200本．当装订了185本时，还剩下200-185：15本未装订，对应为1350张，所以每本需纸张：1350÷15=90张，那么200本需200×90=18000张．即这批纸共有18000张．方法二：装订120本，剩下40％的纸，即用了60％的纸．那么装订185本，需用185×(60％÷120)=92．5％的纸，即剩下1-92．5％=7．5％的纸，为1350张．所以这批纸共有1350÷7．5％=18000张．【例3】有男女同学人，新学年男生增加人，女生减少，总人数增加人，那么现有男同学多少人？【解析】男生增加人，总人数只增加人，说明女生减少人，而女生减小，故人对应的为，女生原有人数为(人)，现有男生人数为(人)或（人）。【例4】菜地里黄瓜得到丰收，收下全部的时，装满了筐还多千克，收完其余的部分时，又恰好装满筐，求共收黄瓜多少千克？【解析】由于8筐占全部黄瓜的，所以共有黄瓜筐，那么全部的即筐，所以1筐有千克，所以共收了黄瓜千克．【巩固】菜地里的西红柿获得丰收，摘了全部的时，装满了筐还多千克．摘完其余部分后，又装满筐，则共收得西红柿_______千克．【解析】由题知，后来装满的筐占全部西红柿的：，所以共收得西红柿：框，即先摘的共框，4框比3框对1框，所以千克即框的重量，所以共收得西红柿(千克)．【巩固】菜园里西红柿获得丰收，收下全部的时，装满3筐还多24千克，收完其余部分时，又刚好装满6筐，求共收西红柿多少千克？【解析】1-=是6筐，所以总筐数就是：（筐），收下全部的就是（筐），\n筐比3筐多筐，每筐是：24÷=40（千克），共收西红柿40×=384（千克）.【巩固】一本书，已看了页，剩下的准备天看完．如果这8天每天看的页数相等，而且3天看的页数恰好是全书的，这本书共有多少页？【解析】根据题意可知，这本书共有(页)．【例2】李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内．已知东院养鸡40只；现在把西院养鸡总数的卖给商店，卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50％.原来东、西两院一共养鸡多少只?【解析】方法一：设原来东西两院一共养鸡只，那么西院养鸡只．依题意：．,解出.即原来东、西两院一共养鸡280只．方法二：50％即，东、西两院剩下的鸡等于东院的加上西院的，即20+西院原养鸡数．有东院剩下40只鸡，西院剩下原的鸡．所以有西院原养鸡(40—20)÷=240只，即原来东、西两院一共养鸡40+240=280只．【例3】(2009年第七届“希望杯”六年级第1试)春天幼儿园中班小朋友的平均身高是115厘米，其中男孩比女孩多，女孩平均身高比男孩高，这个班男孩的平均身高是厘米．【解析】由于男孩比女孩多，女孩的人数应是的倍数，不妨设这个班女孩有人，男孩就应有人，则全班小朋友的身高总和为（厘米），女孩比男孩平均高，如果把每个男孩的身高看成“”份，则每个女孩的身高为“”份，所有男孩的身高为份，所有女孩的身高为份，那么所有小朋友的身高总和为份，即厘米，因此男孩的平均身高为(厘米)【例4】小强看一本书，每天看15页，4天后加快进度，又看了全书的，还剩下30页，这本故事书有多少页？【解析】由题意，4天看了(页)，最后还剩下页，所以页占全书的：，所以这本故事书有：(页).【巩固】(祖冲之杯数学邀请赛)一个水箱中的水是装满时的，用去立升以后，剩余的水是装满时的，这个水箱的容积是多少立升？【解析】由题意，水箱装满时的水量是单位，用去的立升水是装满水时的，所以水箱的容积是：\n(立升)．【巩固】小强看一本故事书，每天看20页，5天后还剩下全书的没看，这本故事书有多少页？【解析】5天看了(页)，占全书的，所以这本故事书一共有：(页).【巩固】点点暑假练习写字，每天写3页，5天后加快速度又写了全部的，还剩下25页，点点共练习多少页？【解析】(页)．【例2】(小数报数学竞赛)某运输队运一批大米．第一天运走总数的多60袋，第二天运走总数的少60袋．还剩下220袋没有运走．这批大米原来一共有多少袋？【解析】方法一：建议教师画图帮助学生理解，从图上可以看出，把大米总数看作“”，占总数的，所以这批大米原来一共有：(袋)．方法二：设这批大米有份，则第一天运走份多袋，第二天运走份少袋，相当于前两天共运走份，所以还剩份，因此每份是(袋)，这批大米一共有(袋).【巩固】京京看一本故事书，第一天看了全书的还多21页，第二天看了全书的少6页，还剩172页，这本故事书一共有多少页？【解析】方法一：如图:这本故事书一共有：(页)．方法二：设这本书一共有份，这本书共有(页).\n【例1】某工厂第一车间原有工人120名，现在调出给第二车间后，这第一车间的人数比第二车间现有人数的还多3名。求第二车间原来有多少人？【解析】第一车间调出（名），剩下（名），第二车间现有（名），则原有（名）【例2】一根木杆，第一次截去了全长的，第二次截去所剩木杆的，第三次截去所剩木杆的，第四截去所剩木杆的，这时量得所剩木杆长为厘米．问：木杆原来的长是多少厘米?【解析】设木杆原长为，第一次截后所剩为原长的；第二次截后所剩为；第三次截后所剩为；第四次截后所剩为，即原长的等于厘米，由部分求整体得：木杆原长(厘米)．【巩固】小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，第三天看了10页正好看完。这本故事书共有多少页？【解析】利用倒推法解.第一天余下了，原有.【巩固】向阳生产队用拖拉机耕地，第一天耕了全部土地的25％，第二天耕了剩下的三分之二，第二天比第一天多耕30亩，问：这个生产队共有多少亩土地?【解析】第二天耕了全部土地的，则全部土地共有（亩）。【巩固】建筑工地需要一批水泥，从仓库第一次运走全部的，第二次运走余下的，第三次运走(前两次运后)又余下的，这时还剩下吨水泥没运走．这批水泥共是多少吨？【解析】(法1)把这批水泥视为单位“”，第一次运走后所剩为：，第二次运走后所剩为：，第二次运走后所剩为：，即原来的即为吨，原来有水泥(吨)．\n(法2)依据逆向思维可以得出，最后剩下的吨对应的是“又余下”的，因此求出“又余下”为吨，这时吨对应得恰好是“余下”的，这样可以求出“余下”的吨数为吨，即全部的，所以原有水泥(吨)．【巩固】园里的荔枝获得丰收，第一天摘了全部荔枝的又10筐，第二天摘了余下的又3筐，这样还剩下63筐荔枝没有摘，则共有荔枝筐．【解析】本题可采用倒推法．第二天摘之前剩余荔枝有筐，所以原有荔枝筐．【巩固】食堂有一桶油，第一天吃掉一半多1千克，第二天吃掉剩下的油的一半多2千克，第三天又吃掉剩下的油的一半多3千克，最后桶里还剩下2千克油，问桶里原有油多少千克？【解析】第三天吃掉一半多3千克，还剩2千克。所以第二天吃掉后还剩（2＋3）÷，这又是第一天吃掉后剩下的一半少2千克，所以第一天吃掉后剩下[（2＋3）÷＋2]÷，这又是这桶油的一半少1千克，从而这桶油共有：｛[（2＋3）÷＋2]÷＋1｝÷=50（千克）这桶油共有50千克。【例2】甲、乙、丙三人一起买了八个面包平分着吃，甲拿出五个面包的钱，乙付了三个面包的钱，丙没带钱，等吃完后一算，丙应该拿出四元钱，问：甲应收回多少钱?(以角为单位)【解析】每人应付个面包的钱，丙拿出的40角就是个面包的钱，所以一个面包的价格应为：（角），甲多付的钱为：（角），所以甲应收回35角。【例3】古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生命的六分之一是幸福的童年．再活十二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一。再过了五年，他幸福地得到了一个儿子。可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半。儿子死后，老人在悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯”。你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？多少岁结的婚吗？【解析】活的岁数：(岁)，结婚年龄：（岁）。【例4】学校将一批糖果发给甲、乙、丙、丁四个班，先将全部糖果的再减去千克给甲班，再把余下的加上千克给乙班，又把余下的一半给丙班，最后把剩余的一半加上千克给丁班，这时学校还剩下千克，这批糖果有多少千克？【解析】采用倒推法．分给丙班后还剩下千克，分给乙班后还剩下\n千克，分给甲班后还剩下千克，那么原有糖果千克．【巩固】有若干本书，借走一半加一本，剩下的书，借走一半加两本，再剩下的书，借走一半加本，最后还有本书，问原有多少本书．【解析】对于这道题，可以采用倒推法来解．借走后还剩下(本)，借走后剩下(本)，原有书为(本)．【例2】一批木料先用去总数的，又用去剩下的，这时用去的比剩下的多立方米，这批木料共有多少立方米？【解析】方法一：把这批木料看成单位“”第二次用去了，所以这批木料共有（立方米）.方法二：把这批木料看成份，两次共用去了份，还剩份，所以用去的比剩下的多份，恰好是立方米，所以这批木料共有（立方米）.【巩固】一工人加工一批机器零件，第一天完成任务的，第二天完成了剩下部分的，第二天比第一天多完成个.问这批零件共有多少个？【解析】方法一：设这批零件为单位“”，第二天完成总数的，所以这批零件共有（个）.方法二：这批零件共有份，则第一天加工完后还剩份，要将份平均分成份，不好分，所以将剩下的扩大倍，所以设这批零件为份，则第一天加工了份，第二天加工了份，所以第二天比第一天多加工了份，恰好是个，所以这批零件共有（个）.【巩固】味多美西饼屋推出一款新蛋糕，第一天卖出了全部的，第二天卖出了剩下的，第二天比第一天多卖出个，那么味多美西饼屋这次共推出新蛋糕多少个？【解析】将味多美西饼屋推出新蛋糕个数看作“”，由题意，第一天卖出全部的，第二天卖出全部的，而且已知第二天比第一天多卖出个，也就是个占全部蛋糕的，所以味多美西饼屋这次共推出新蛋糕的个数为：(个)．【例3】（2009年十三分小升初入学测试题）服装厂一车间人数占全厂的，二车间人数比一车间少，三车间人数比二车间多，三车间156人，这个服装厂全厂共有多少人？\n【解析】这个问题和分数的应用题并没有区别，只不过把分数变成了25%，我们设全厂人数为单位“1”，那么一车间人数就是25%即，二车间比一车间少，就应该占全厂人数的，自然，三车间人数就是全厂的，不难得到问题的解答，，（人）【巩固】仓库里有一些货物，第一次运出全部的，第二次运出剩下的，第三次比第一次少运，这时还有吨货物，这批货物共有多少吨？【解析】第一次运出后还剩下，第二次运出后剩下，第三次运出后还剩下，所以这批货物共有吨．【例2】甲、乙二人欲买一件商品，按照标价，甲带的钱差元，乙带的钱少．经过讨价最后可以按折购买，于是他们合买了一件，结果剩下元．这件商品标价为多少元？【解析】把标价看作单位“”，那么甲带的钱比单位少元，乙带的钱为．由题可知，他们带的钱数之和比单位的多元，所以单位为(元)，即标价为元．【例3】小胖有一盒巧克力饼干，他第一天吃掉了全部的的七分之一；第二天吃了余下的六分之一；第三天吃了余下的五分之一；第四天吃了余下的四分之一；第五天吃了余下的三分之一；第六天吃了余下的二分之一；这时还剩下12块巧克力饼干，那么共有多少块巧克力饼干？【解析】把巧克力饼干总数当作1．那么：，最后剩下的12块是总数的，那么共有(块)巧克力饼干．【巩固】一只猴子摘了一堆桃子，第一天它吃了这堆桃子的七分之一；第二天它吃了余下桃子的六分之一；第三天它吃了余下桃子的五分之一；第四天它吃了余下桃子的四分之一；第五天它吃了余下桃子的三分之一；第六天它吃了余下桃子的二分之一，这时还剩12只桃子．那么第一天和第二天猴子所吃桃子的总数是多少?【解析】倒退法：共有桃子为：（个），第一天和第二天猴子所吃桃子的总数（个）【巩固】一辆公共汽车载了一些乘客从起点出发，在第一站下车的乘客是车上总数（含一名司机和两名售票员）的1/7，第二站下车的乘客是车上总人数的1/6，。。。。。。。第六站下车的乘客是车上总人数的1/2，再开车是车上就剩下1名乘客了。已知途中没有人上车，问从起点出发时，车上有多少名乘客？【解析】最后一次停车后剩（人）（包括司机和售票员），根据倒推法得到：\n（人），那么乘客一共有（人）【例1】辅导员给参加夏令营的某一组营员发苹果，给第一个人个苹果和余下的，给第个人个苹果和余下的，又给第个人个苹果和余下的……，最后恰好分完，并且每个人分到的苹果数量相同，问共有多少个苹果？这一组共有多少人？【解析】(法)设第个人分到个苹果，则第一个人分过后还剩个苹果，则第一个人分到的苹果有个，由于每个人分到的苹果数量相等，所以，解得．所以，每人分得(个)苹果，苹果总数为：(个)，这一组的人数为：(人)．(法)设有个人，由于最后恰好分完，所以第个人分到个苹果后苹果恰好分完，而第个人则分到个苹果后又分到余下苹果的，由于第个人和第个人分到的苹果数相等，所以第个人又分到余下苹果的为个苹果，所以第个人分到个苹果，即，，故共有个苹果，这一组共有个人．【例2】一次数学竞赛均是填空题,小明答错的恰是题目总数的,小亮答错5题，两人都答错的题目占总题数的.已知小明、小亮都答对的题目数超过了试题总数的一半，问他们都答对多少题?【解析】根据题意小明答错的恰是题目总数的，两人都答错的题目占总题数的知试题总数为4的倍数也是6的倍数，所以试题数为12、24、36、48……；根据小亮错题为5题，两个人都错试题为知道试题数一定比（题）要少，但是根据都答对的题目数超过了试题总数的一半，知道试题总数为24，具体计算参照下图：所以，小明错（题），两人都错（题），根据容斥原理两人共错：\n,所以两个都答对的题目是：(题)【例1】今有桃个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有是坏的，其他是好的；乙班分到的桃有是坏的，其他是好的．甲、乙两班分到的好桃共有几个？【解析】(法)因为桃子数是整数，甲班分到的桃有是坏的，说明甲班分到的桃数是的倍数，同理乙班分到的桃数是的倍数．由于，考虑以内的倍数：，，，，；它们与的差分别是：，，，，，其中只有是的倍数，故甲班分到个桃，乙班分到个桃．两班分到的好桃共有：(个)．(法)甲班分到的桃是的倍数，乙班分到的桃是的倍数，设甲、乙两班分到的桃树分别为个、个．由，解得，，即甲班分到桃(个)，乙班分到桃(个)．所以，两班共分到好桃(个)．【巩固】有两筐桔子，如果从甲筐取出千克给乙筐，则两筐重量相等；如果两筐各取出千克，则甲筐剩下重量的比乙筐剩下重量的多千克，乙筐原有桔子多少千克？【解析】(法1)设甲筐原有桔子千克，则乙筐原有桔子千克，得：，解得，则，即乙筐原有桔子40千克．(法2)根据题意可知甲筐比乙筐多千克，各取千克以后，甲筐依然比乙筐多千克，那么甲筐剩下桔子的比乙筐剩下重量的多(千克)，比乙筐剩下重量的多5千克，所以乙筐剩下的重量为(千克)，乙筐原有桔子(千克)．【例2】甲、乙、丙三堆石子共196块.先从甲堆分给另外两堆，使得后两堆石子数增加一倍；再把乙堆照样分配一次；最后把丙堆也照样分配一次.结果丙堆石子数为甲堆的.那么原来三堆石子中，最少的一堆石子数为多少?【解析】由题中条件知，甲堆最后的石子数为甲堆第一次分给另外两堆后数的2×2=4倍，那么最后甲堆的石子数为4的倍数；又因为丙堆石子数为甲堆，所以甲堆石子数应为22的倍数．[4，22]=44，所以甲堆最后的石子数为44的倍数，丙堆最后的石子数为10的倍数．（1）当甲堆最后的石子数为44时：此时丙堆为奇数块，而丙堆在乙堆分配后应为甲堆分配后块数的2倍，为偶数块，所以不满足．(2)当甲堆最后的石子数为88时：\n显然满足．验证甲堆最后的石子数为132时，不满足．所以在原来的三堆石子中，最少的一堆是丙堆，石子数为27块．【例1】一小、二小、三小、四小四个学校组织了一次数学竞赛,共有700多人参赛,其中一小占1/4，二小占1/3、三小占1/5，其余都是四小的。比赛结果是,一小有1/10学生获奖,二小有1/12学生获奖,三小有1/9学生获奖，四小有多少人参赛?【解析】因为一小、二小、三小获奖人数分别占总参赛人数的，所以总参赛人数是40，36，45的公倍数，由[40，36，45]=720推知有720人参赛，其中四小有【例2】足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，则一张门票降价多少元？【解析】设原来收入是1．现在收入是1+，那么原收入有：，因此每张门票降价：15×(1-)=3(元)．【例3】我国某城市煤气收费规定：每月用量在立方米或立方米以下都一律收元，用量超过立方米的除交元外，超过部分每立方米按一定费用交费，某饭店1月份煤气费是元，月份煤气费是元，又知道月份煤气用量相当于月份的，那么超过立方米后，每立方米煤气应收多少元？【解析】根据题意可知，这两个月份都超出了8立方米，月份交了元加上元，1月份交了元加上元，其中元和元是超出的部分．由于月份煤气用量相当于1月份的，可以把月份煤气用量看作7份，1月份煤气用量看作15份．1月份比8月份多用了8份，多交了元．所以这元就对应8份，那么元对应份，所以元部分(8立方米)对应份，1份为立方米．由于元就对应8份，所以超过立方米后，每立方米煤气应收元．（二）、统一单位“1“进行计算【例4】(小数报数学竞赛初赛)甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是元.在人民市场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的，乙买一件衬衫花去了人民币元．这样两人身上所剩的钱正好一样多．问甲、乙两人原先各带了多少钱?【解析】方法一：把甲所带的钱视为单位“”，由题意，乙花去元后所剩的钱与甲所带钱的一样多，那么元钱正好是甲所带钱的，那么甲原来带了(元)，乙原来带了(元)．\n方法二：设甲所带的钱数为份，则甲和乙都还剩份，所以每份是(元)，则甲原来带了(元)，乙原来带了(元).【巩固】一实验五年级共有学生152人，选出男同学的和5名女同学参加科技小组，剩下的男、女人数正好相等。五年级男、女同学各有多少人？【解析】根据题意画出线段图，找出量率对应：题中所给的已知数量虽然没有直接的对应关系，但从中可以看出，如果女工去掉5人就和男工人数的（1－）相对应，因此总人数也应去掉5人，相应的与男工人数的（1－＋1）相对应。因此男工有：（152－5）÷（1－＋1）=77（名）女工有：152－77=75（名）答：男共有77名，女工有75名。【巩固】五年级有学生人，选出男生的和名女生参加团体操，这时剩下的男生和女生人数一样多，问：五年级女生有多少人？【解析】男生人数为(人)，女生有：(人)．【巩固】五年级选出男生的和名女生参加数学竞赛，剩下的男生人数是女生的倍．已知五年级共有学生人，其中男生有多少人?【解析】方法一：把男生人数视为单位“”，未参加比赛的女生是：，(人)是男生和剩下的女生人数，所以男生有(人).方法二：设五年级男生有份，所以每份是(人)，所以男生有(人).【巩固】某小学六年级有三个班，一班和二班人数相等，三班的人数是全年级总人数的，并且比一班多人，六年级共有多少人？【解析】根据条件“三班的人数占全年级的，并且比二班多3人”可知一班、二班都比全年级的少3人，假设一班、二班都占全年级的，那么将比实际人数多出3×2=6人，比单位“1”多出（＋＋－1），两个数量正好对应。因此全年级的人数为：3×2÷（＋＋－1）=120（人）六年级共有120人。【例2】甲、乙两个书架共有本书，从甲书架借出，从乙书架借出以后，甲书架是乙书架的倍还多本，问乙书架原有多少本书？\n【解析】甲甲甲乙乙乙乙共本甲乙甲乙150本还剩下~甲的比乙的多本甲乙甲乙150本甲乙甲乙150本甲的比乙多本同时扩大两倍这个题目的难点就在于甲乙的数目同时发生了变化，变化之后的关系是两倍还多本，也就是说：甲的比乙的的两倍还多本，如果能够正确地理解和转化这个条件，这道题也就迎刃而解了，从上图中不难看出，“甲的比乙的的两倍还多本”其实也就是“甲的比乙的多本”，如果同时扩大两倍，他们之间的关系就变成了“甲的比乙多本”，结合“甲乙的和为本”这个条件，这个问题就变成了一个简单的和倍问题了。，，（本），，（本）…………甲的书本数目（本）………………………………乙的书本数目方法二：设甲原有x本书，，解得，则乙为500本。【巩固】甲、乙两个书架，已知甲书架有本书，从甲书架借出，从乙书架借出以后，甲书架是乙书架的倍还多本，乙书架原有多少本书？【解析】甲原有本书，借出去之后还有本，这个时候是乙现在的两倍还多，因此现在乙剩下的书为本，而这本正好是乙借出去以后剩下的，因此乙原来的书本数目便很容易求出了。根据题意可知，乙书架原有\n本书．【巩固】有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的，把这三堆棋子集中在一起，问白子占全部棋子的几分之几?【解析】不妨认为第二堆全是黑子，第一堆全是白子，(即将第一堆黑子与第二堆白子互换)，第二堆黑子是全部棋子的，同时，又是黑子的1-．所以黑子占全部棋子的÷(1-)=，白子占全部棋子的1-=.【例2】五年级上学期男、女生共有人，这一学期男生增加，女生增加，共增加了人．这一学年六年级男、女生各有多少人?【解析】方法一：此题我们用假设法来解答．假设这一学期五年级男、女生人数都增加，那么增加的人数应为(人)，这与实际增加的人相差(人)．相差人的原因是把女生增加的看成计算了，即少算了原女生人数的，也就是说这人正好相当于上学期女生人数的，可求出上学期女生的人数：(人)，男生人数为：(人)，这学年女生的人数：(人)，这学年男生的人数：(人)．方法二：本题可以看成男生1份＋女生1份＝13（人），那么男生20份＋女生20份=13×20＝260（人），对比分析可以看出：300—260＝40（人）对应男生的25—20＝5（份），所以男生有40÷5×（25＋1）＝208（人），女生有300＋13—208＝105（人）。【巩固】把金放在水里称，其重量减轻，把银放在水里称，其重量减轻．现有一块金银合金重克，放在水里称共减轻了克，问这块合金含金、银各多少克？【解析】方法一：设合金含金克，则银有克．依题意，列方程得：，解得，所以这块合金中金有克，银有克．方法二：本题可以看成金1份＋银1份＝50（克），那么金10份＋银10份=50×10＝500（克），对比分析可以看出：770—500＝270（克）对应金的19—10＝9（份），所以金有270÷9×19＝570（人），银有770—570=200（人）。【例3】光明小学有学生人，其中女生的与男生的参加了课外活动小组，剩下的人没有参加．这所小学有男、女生各多少人?【解析】（用假设法）假设男生、女生都有的人参加了课外活动小组，那么共有(人)，比现在多出了(人)，这多出的人即为女生的，所以女生人数为\n(人)，男生人数为(人)．【巩固】二年级两个班共有学生人，其中少先队员有人，又知一班少先队员占全班人数的，二班少先队员占全班人数的，求两个班各有多少人？【解析】本题与鸡兔同笼问题相似，根据鸡兔同笼问题的假设法，可求得一班人数为(人)，那么二班人数为(人)．【巩固】甲、乙两班共有学生100人，甲班的比乙班的少1人，乙班有学生人．【解析】根据题意可知，甲班人数比乙班人数的少人，那么甲、乙两班人数之和比乙班人数的少人，故乙班人数为人．【巩固】有红、黄、白三种球共160个。如果取出红球的1/3，黄球的1/4，白球的1/5，则还剩120个；如果取出红球的1/5，黄球的1/4，白球的1/3，则剰116个，问：（1）原有黄球几个？ （2）原有红球、白球各有几个？【解析】（1）两次共取出球160×2-（120＋116）＝84（个），共取出红、白球的，黄球的。推知原有黄球【例2】盒子里有红，黄两种玻璃球，红球为黄球个数的，如果每次取出个红球，个黄球，若干次后，盒子里还剩个红球，个黄球，那么盒子里原有________个玻璃球．【解析】由于红球与黄球个数比为，所以若每次取个红球，个黄球，则最后剩下的红球与黄球的个数比仍为，即最后剩下个红球，个黄球，而实际上是每次取个红球，个黄球，最后剩个红球，个黄球，每次少取了3个黄球，最后多剩下45个黄球，所以一共取了次，所以球的总数为个．【巩固】一堆围棋子，黑子的个数是白子的3倍，每次拿5枚黑子，2枚白子，拿了若干次后，白子拿完，还剩11枚黑子．这堆棋子中，共有白子个．【解析】由于原来黑子的个数是白子的3倍，假如拿的时候每次拿6枚黑子和2枚白子，则当白子拿完的时候黑子也恰好拿完，而现在每次拿5枚黑子，比每次拿6枚少拿1枚，最后还剩下11枚黑子，所以共拿了11次，这堆棋子中共有白子枚．【巩固】有一块菜地和一块稻田，菜地的一半和稻田的三分之一放在一起是13公顷，稻田的一半和菜地的三分之一合在一起是12公顷。那么这块稻田有多少公顷？\n【解析】，整理得到，，而题目中，两者对比分析得到，稻田为(公顷)【巩固】甲乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，已知甲班参加的人数恰好是乙班未参加人数的三分之一，乙班参加人数恰好是甲班未参加人数的四分之一，问甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几？【解析】分别用甲参、甲未、乙参、乙未表示甲、乙班参加和未参加的人数，则：甲参+甲未=乙参+乙未，【例2】（年第七届“希望杯”五年级一试）工厂生产一批产品，原计划15天完成。实际生产时改进了生产工艺，每天生产产品的数量比原计划每天生产产品数量的多10件，结果提前4天完成了生产任务。则这批产品有件。【解析】设原计划每天生产份，则实际每天生产份加件，而根据题意这批产品共有份，所以实际每天生产份，所以份与份加件的和相同，所以每份就是件，所以这批产品共有件.或用方程来解.【例3】有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占28％．小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子，现在，在所有的棋子中，白子将占32％．那么，共有棋子多少堆?【解析】设每堆棋子为100个有x堆棋子，那么每堆中白子为28个，黑子为72个，那走一半棋子且为黑子时，还剩白子为28x个，黑子为（72x—50）个，所以列方程为：,解得，所以有4堆。【例4】我从飞机的舷窗向外看去，看见了部分海岛、部分白云以及不大的一块海域，假定白云占窗口画面的一半，它遮住了岛的，因此岛在窗口画面上只占，问被白云遮住的那部分海洋占画面的多少？【解析】5/12.模块二、单位“”变化【例5】养殖专业户王老伯养了许多鸡鸭，鸡的只数是鸭的只数的倍．鸭比鸡少几分之几？【解析】方法一：把鸭看成单位“”，那么鸡就是，鸭比鸡少：(此时的单位“1”是鸡的只数)．方法二：设鸭有份，则鸡有份，所以鸭比鸡少.\n【巩固】某校男生比女生多，女生比男生少几分之几？【解析】方法一：男生比女生多，则男生有，女生比男生少.方法二：设女生有份，则男生有份，所以女生比男生少.【例2】学校阅览室里有36名学生在看书，其中女生占，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的．问后来又有几名女生来看书?【解析】把总人数视为“1”，紧抓住男生人数不变进行解答．男生人数是人，后来阅览室的总人数是(名)，后来有(名)女生进来．【巩固】（2009年五中小升初入学测试题）工厂原有职工128人，男工人数占总数的，后来又调入男职工若干人，调入后男工人数占总人数的，这时工厂共有职工人．【解析】在调入的前后，女职工人数保持不变．在调入前，女职工人数为人，调入后女职工占总人数的，所以现在工厂共有职工人．【巩固】学校派出60名选手参加2008年“华罗庚金杯小学数学邀请赛”，其中女选手占．正式比赛时有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总数的．正式参赛的女选手有多少名？【解析】因为女选手人数有变化，男选手人数未变，所以抓住男选手人数不变求解．把总人数视为“1”，男选手人数是60×(1-)=45(人)，男选手人数占正式参赛选手总数的1-，所以正式参赛选手总数是：45÷(1-)=55(人)，正式参赛的女选手人数是55×=10(人)。【巩固】某公司有的职员参加新产品的开发工作，后来又有名职工主动参加，这样参加新产品开发的职工人数是其余人数的，原来有多少职工参加开发工作？【解析】后来参加新产品开发的职工人数是总人数的，所以新加入的2个人占总人数的，那么职工总人数为人，原来参加开发的职工数是人．【巩固】有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶的倍，从甲桶中倒出5千克\n油给乙桶后，甲桶油的质量是乙桶的倍，乙桶中原有油千克．【解析】原来甲桶油的质量是两桶油总质量的，甲桶中倒出5千克后剩下的油的质量是两桶油总质量的，由于总质量不变，所以两桶油的总质量为千克，乙桶中原有油千克．【例2】（1）某工厂二月份比元月份增产10％，三月份比二月份减产10％．问三月份比元月份增产了还是减产了？（2）一件商品先涨价15％，然后再降价15％，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？【解析】（1）设二月份产量是1，所以元月份产量为：，三月份产量为：，因为＞0.9，所以三月份比元月份减产了（2）设商品的原价是1，涨价后为，降价15%为：，现价和原价比较为：0.9775＜1，所以价格比较后是价降低了。【例3】某校三年级有学生240人，比四年级多，比五年级少．四年级、五年级各多少人？【分析】比四年级,可以设四年级为4份,（一般情况下可设“比”、“是”、等词后面的实际量的份数为分数的分母），则三年级为5份恰有240人,所以一每份就是,所以四年级就有484192人,同理可设五年级有5份,则三年级有4份恰是240人,所以五年级就有300人.【巩固】把个人分成四队，一队人数是二队人数的倍，一队人数是三队人数的倍，那么四队有多少个人?【解析】方法一：设一队的人数是“”，那么二队人数是：，三队的人数是：，，因此，一、二、三队之和是：一队人数，因为人数是整数，一队人数一定是的整数倍，而三个队的人数之和是(某一整数)，因为这是以内的数，这个整数只能是．所以三个队共有人，其中一、二、三队各有，，人．而四队有：(人)．方法二：设二队有份，则一队有份；设三队有份，则一队有份.为统一一队所以设一队有份，则二队有份，三队有份，所以三个队之和为份，而四个队的份数之和必须是的因数，因此四个队份数之和是100份，恰是一份一人，所以四队有人(人).【例4】新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班人数的，美术班人数相当于另外两个班人数的，体育班有人，音乐班和美术班各有多少人？【解析】条件可以化为：音乐班的人数是所有班人数的，美术班的学生人数是所有班人数的\n，所以体育班的人数是所有班人数的，所以所有班的人数为人，其中音乐班有人，美术班有人.【巩固】甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工20个，丙加工零件数是乙加工零件数的，甲加工零件数是乙、丙加工零件总数的，则甲、丙加工的零件数分别为个、个．【解析】把乙加工的零件数看作1，则丙加工的零件数为，甲加工的零件数为，由于甲比乙多加工20个，所以乙加工了个，甲、丙加工的零件数分别为个、个．【例2】王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生的年龄是另外三人年龄和的，李先生的年龄是另外三人年龄和的，赵先生的年龄是其他三人年龄和的，杨先生26岁，你知道王先生多少岁吗?【解析】方法一：要求王先生的年龄，必须先要求出其他三人的年龄各是多少．而题目中出现了三个“另外三人”所包含的对象并不同，即三个单位“”是不同的，这就是所说的单位“”不统一，因此，解答此题的关键便是抓不变量，统一单位“”．题中四个人的年龄总和是不变的，如果以四个人的年龄总和为单位“”，则单位“”就统一了．那么王先生的年龄就是四人年龄和的，李先生的年龄就是四人年龄和的，赵先生的年龄就是四人年龄和的(这些过程就是所谓的转化单位“”)．则杨先生的年龄就是四人年龄和的．由此便可求出四人的年龄和：(岁)，王先生的年龄为：(岁)．方法二：设王先生年龄是1份,则其他三人年龄和为2份,则四人年龄和为3份,同理设李先生年龄为1份,则四人年龄和为4份,设赵先生年龄为1份,则四人年龄和为5份,不管怎样四人年龄和应是相同的,但是现在四人年龄和分别是3份、4份、5份，它们的最小公倍数是60份，所以最后可以设四人年龄和为60份，则王先生的年龄就变为20份，李先生的年龄就变为15份，赵先生的年龄就变为12份，则杨先生的年龄为13份，恰好是26岁，所以1份是2岁，王先生年龄是20份所以就是40岁.【巩固】甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其他三个队的，乙队筑的路是其他三个队的，丙队筑的路是其他三个队的，丁队筑了多少米？\n【解析】甲队筑的路是其他三个队的，所以甲队筑的路占总公路长的；乙队筑的路是其他三个队的，所以乙队筑的路占总公路长的；丙队筑的路是其他三个队的，所以丙队筑的路占总公路长的，所以丁筑路为：（米）【巩固】四只小猴吃桃，第一只小猴吃的是另外三只的总数的，第二只小猴吃的是另外三只吃的总数的，第三只小猴吃的是另外三只的总数的，第四只小猴将剩下的个桃全吃了.问四只小猴共吃了多少个桃？【解析】根据题意知前三只小猴分别吃了总数的，，，所以四只小猴共吃了（个）【巩固】兄弟四人去买电视,老大带的钱是另外三人的一半,老二带的钱是另外三人的1/3,老三带的钱是另外三人总钱数的1/4，老四带91元，兄弟四人一共带了多少钱？【解析】老大带的钱是另外三人的一半，也就说老大带的钱是一共带钱的1/3，同理老二带的钱是一共带钱的1/4，老三带的钱是一共带钱的1/5，所以老四带的钱是一共带钱的：1-1/3-1/4-1/5=13/60四人一共带的钱：91除以13/60=420（元）【例2】(迎春杯决赛)小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的，第二次运了块，这时已运来的恰好是没运来的．问还有多少块蜂窝煤没有运来？【解析】方法一:运完第一次后，还剩下没运，再运来块后，已运来的恰好是没运来的，也就是说没运来的占全部的，所以，第二次运来的块占全部的：，全部蜂窝煤有：(块)，没运来的有：(块)．方法二：根据题意可以设全部为份，因为已运来的恰好是没运来的，所以可以设全部为份，为了统一全部的蜂窝煤，所以设全部的蜂窝煤共有份，则已运来应是份，没运来的份，第一次运来份，所以第二次运来是份恰好是块，因此没运来的蜂窝煤有（块）.【巩固】五(一)班原计划抽的人参加大扫除，临时又有个同学主动参加，实际参加扫除的人数是其余人数的．原计划抽多少个同学参加大扫除？\n【解析】又有个同学参加扫除后，实际参加扫除的人数与其余人数的比是，实际参加人数比原计划多．即全班共有(人)．原计划抽(人)参加大扫除．【巩固】某校学生参加大扫除的人数是未参加大扫除人数的，后来又有20名同学参加大扫除，实际参加的人数是未参加人数的，这个学校有多少人？【解析】（人）.【例2】小莉和小刚分别有一些玻璃球，如果小莉给小刚24个，则小莉的玻璃球比小刚少；如果小刚给小莉24个，则小刚的玻璃球比小莉少，小莉和小刚原来共有玻璃球多少个？【解析】小莉给小刚24个时，小莉是小刚的(=1一)，即两人球数和的；小刚给小莉24个时，小莉是两人球数和的(=)，因此24+24是两人球数和的-=．从而，和是(24+24)÷=132(个)．【巩固】某班一次集会，请假人数是出席人数的，中途又有一人请假离开，这样一来，请假人数是出席人数的，那么，这个班共有多少人？【解析】因为总人数未变，以总人数作为”1”．原来请假人数占总人数的，现在请假人数占总人数的，这个班共有：l÷(-)=50(人)．【例3】小明是从昨天开始看这本书的，昨天读完以后，小明已经读完的页数是还没读的页数，他今天比昨天多读了页，这时已经读完的页数是还没读的页数的，问题是，这本书共有多少页？”【解析】首先，可以直接运算得出，第一天小明读了全书的，而前二天小明一共读了全书的，所以第二天比第一天多读的页对应全书的。所以整本书一共有（页）。此外，如果对分数的掌握还不是很熟练的话，那么这道题可以采用设份数的方法：把这本书看作份，那么昨天他看了份，而今天他看了份还多\n页，两天一共看了份还多页，或者可以表示成（份）。那么每份是（页），这本书共（页）。两种方法都可以得到相同的结果。【例1】某校有学生人，其中女生的比男生的少人，那么男生比女生少多少人?【解析】方法一：女生的比男生的少人，，，所以女生比男生的少人．男生人数是(人)，女生人数是（人），男生比女生少（人）。方法二：通过画图比较女生的份加人恰好等于男生的两份，因此给每份女生加后，男女生总份数就变为份，因此每份有人，男生有女生人数是(人)，男生比女生少(人)．【例2】某校四年级原有两个班，现在要重新编为三个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的人组成新三班．如果新一班的人数比新二班的人数多，那么原一班有多少人？【解析】新三班人数占原来两班人数之和的，所以，原来两班总人数为：(人)，新一班与新二班人数之和为：(人)，新二班人数是：(人)，新一班人数为：(人)，新一班与新二班人数之差为，而新一班与新二班人数之差为(原一班人数原二班人数)，故：原一班人数原二班人数(人)，原一班人数(人)．【巩固】某工厂对一、二两个车间的职工进行重组，将原来的一车间人数的和二车间人数的分到一车间，将原来的一车间人数的和二车间人数的分到二车间，两个车间剩余的140人组成劳动服务公司，现在二车间人数比一车间人数多，现在一车间有人，二车间有人．【解析】由“将一车间人数的和二车间人数的分到一车间，将一车间人数的和二车间人数的分到二车间”可知，现在一、二两车间的人数之和为总人数的，所以劳动服务公司的140人占总人数的，那么总人数为：人，现在一、二两车间的人数之和为\n人．由于现在二车间人数比一车间人数多，所以现在一车间人数为人，现在二车间人数为人．提示：可以继续求出原来一车间和二车间的人数．由于现在二车间比一车间多20人，所以原来二车间人数的比一车间人数的多20人，那么原来二车间人数比乙车间人数多人，原来一车间有人，原来二车间有人．【例1】年第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(小学组)决赛林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了，然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀，第二次林林又喝了，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，重复上述过程，那么第四次后，林林共喝了一杯纯牛奶总量的(用分数表示)。【解析】大家要先分析清楚的是不论是否加入豆浆，每次喝到的都是杯子里剩下牛奶的，要是能想清楚这一点那么这道题就变了一道找规律的问题了。喝掉的牛奶剩下的牛奶第一次第二次（喝掉剩下的）（剩下是第一次剩下的）第三次（喝掉剩下的）（剩下是第一次剩下的）第四次（喝掉剩下的）所以最后喝掉的牛奶为【例2】参加迎春杯数学竞赛的人数共有2000多人.其中光明区占，中心区占，朝阳区占，剩余的全是远郊区的学生.比赛结果，光明区有去的学生得奖，中心区有的学生得奖，朝阳区有的学生得奖，全部获奖者的号远郊区的学生．那么参赛学生有多少名?获奖学生有多少名?【解析】如下表所示，我们将题中所给的条件列在表格内：\n有远郊区参赛的占参赛总数的1-而光明区、中心区、朝阳区获奖学生数占参赛总数的，，.所以有参赛学生数是3、7、5、72、56、90的倍数，即为2520的倍数，而参赛学生总数只有2000多人,所以只能是2520．光明区、中心区、朝阳区获奖学生共35+45+28=108人，占获奖总数的，所以获奖学生总数为108÷=126.即参赛学生有2520名，获奖学生有126名．【例1】一炉铁水凝成铁块，其体积缩小了，那么这个铁块又熔化成铁水（不计损耗），其中体积增加了几分之几?【解析】方法一：设铁水的体积为，则铁块为．现在变回来，那么铁块的体积就要变为单位1，则铁水的体积就为，故体积增加了：.方法二：体积缩小是铁块比铁水缩小,所以可以设铁水为34份,则铁块为33份,铁块又熔化成铁水,体积增加是比铁块增加,所以用差的1份除以铁块的33份就是答案.【巩固】水结成冰后体积增大它的.问：冰化成水后体积减少它的几分之几？【解析】设水的体积是份，则结成冰后体积为份，冰化成水后比冰减少.【例2】(2008年清华附中考题)在下降的电梯中称重，显示的重量比实际体重减少；在上升的电梯中称重，显示的重量比实际体重增加．小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同，小明和小刚实际体重的比是．【解析】小明在下降的电梯中称得的体重为其实际体重的，\n小刚在上升的电梯中称得的体重为其实际体重的，而小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同，所以小明和小刚实际体重的比是：．【例1】某工厂二月份比元月份增产，三月份比二月份减产．问三月份比元月份增产了还是减产了？【解析】工厂二月份比元月份增产，将元月份产量看作1，则二月份产量为：，三月比二月减产，则三月份产量为：，所以三月份比元月份减产了．【巩固】一件商品先涨价，然后再降价，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？【解析】，所以现在的价格比原价降低了.【例2】如图⑴，线段将长方形纸分成面积相等的两部分．沿将这张长方形纸对折后得到图⑵，将图⑵沿对称轴对折，得到图⑶，已知图⑶所覆盖的面积占长方形纸面积的，阴影部分面积为平方厘米．长方形的面积是多少？【解析】如图⑶所示，阴影部分是层，空白部分是层，如果将阴影部分缩小一半，即变为平方厘米，那么阴影部分也变成层，此时覆盖面的面积占长方形纸片面积的，即缩小的平方厘米相当于长方形纸片面积的，所以长方形纸片面积为(平方厘米).课后练习