初中数学《几何图形的认知》讲义及练习 9页

几何图形的认知例题精讲本讲知识点属于几何模块的第一讲，属于起步内容，难度并不大．要求学生认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻炼一定的空间想象能力．几何图形的定义：几何图形主要分为点、线、面、体等，他们是构成中最基本的要素．点：用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些．点在纸上占一个位置．线段：沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段．线段有两个端点．射线：从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线．射线有一个端点，另一端延伸的很远很远，没有尽头．直线：沿着直尺用笔可以画出直线．直线没有端点，可以向两边无限延伸．两条直线相交：两条直线相交，只有一个交点．两条直线平行：两条直线平行，没有交点，无论延伸多远都不相交．角：角是由从一点引出的两条射线构成的．这点叫角的顶点，射线叫点的边．角分为锐角、直角和钝角三种．直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角．教室里天花板上的角都是直角．锐角比直角小，钝角比直角大．\n三角形：三角形有三条边，三个角，三个顶点．直角三角形：直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角．它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边．等腰三角形：等腰三角形也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长(相等)，相等的两条边叫”腰”，另外的一条边叫”底”．等腰直角三角形：等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形．等边三角形：等边三角形的三条边一样长(相等)，三个角也一样大(相等)．四边形：四边形有四条边，内部有四个角．长方形：长方形的两组对边分别平行且相等，四个角也都是直角．正方形：\n正方形的四条边都相等，四个角都是直角．平行四边形：平行四边形的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等．等腰梯形：等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等．平行的两边分别叫上底和下底，相等的两边叫腰．菱形：菱形的四条边都相等，对角分别相等．圆：圆是个很美的图形．圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径．直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫半圆．扇形：长方体：长方体有六个面，十二条棱，八个顶点．长方体的面一般是长方形，也可能有两个面是正方形．互相垂直的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高．正方体：正方体有六个面，十二条棱，八个顶点．正方体的每个面都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等．\n圆柱：圆柱的两个底面是完全相同的圆．圆锥：圆锥的底面是圆．棱柱：这个棱柱的上下底面是三角形．它有三条互相平行的棱，叫三棱柱．棱锥：这个棱锥的底面是四边形．它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥．三棱锥：因为三棱锥有四个面，所以通常又叫”四面体”．三棱锥的每一个面都是三角形．球体，简称球：球有球心，球心到球面上一点的连线叫球的半径．【例1】观察这几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形．【解析】几个图形的边数依次增加，因此横线上应为一个七边形．【例2】数一数，图中共有多少个角？【解析】锐角、直角各4个，共8个角．\n【例1】将一个边长为4厘米的正方形对折，再沿折线剪开，得到两个长方形．请问：这两个长方形的周长之和比原来正方形的周长多几厘米？【解析】剪开后的图形与原图形相比，多了两条边，这两条边的长度即为所求．4×2=8厘米【例2】用12个边长为1的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是多少？【解析】拼成的图形长和宽最接近时，新的图形周长最短．即新图形边长为3和4时，周长最短，为(3+4)×2=14【例3】一个等腰三角形的两条边的长度分别是3和4，那么这个三角形的周长可能是多少？另外一个等腰三角形的两条边的长度分别是4和9，这个三角形的周长可能是多少？【解析】第一个三角形：如果腰为3，则周长为4+3+3=10；如果腰为4，则周长为4+4+3=11．第二个三角形：如果腰为4，此时4+4<9，两边之和小于第三边，无法构成三角形，假设不成立，舍；如果腰为9，则周长为9+9+4=22．【巩固】周长是12，各边长都是整数的等腰三角形有几种？长方形有几种？【解析】2种；3种．【巩固】用7根长度都是1寸的火柴棍拼成了一个三角形．请问：这个三角形的三条边长分别是多少？【解析】3寸、3寸、1寸或3寸、2寸、2寸．【例4】下图中哪些是三角形？哪些是长方形？哪些是平行四边形？哪些是菱形？①②③④⑦⑥⑤【解析】三角形有2个：4和7；长方形有2个：1和2(正方形也属于长方形)；平行四边形有4个：1、2、3、6(正方形、长方形、菱形也属于长方形)；菱形有2个：1和6(正方形也属于菱形)．【例5】请看下图，共有多少个正方形？【解析】假设最小的正方形边长为1，则面积为1的正方形有9个；面积为4的正方形有4个；面积为16的正方形有1个．因此共有9+4+1=14个．【例6】请看下图，共有多少个三角形？\n【解析】独立的三角形有7个，由4个三角形组成的三角形有1个，加上最大的三角形，因此共有7+1+1=9个三角形．【例1】请看下图，共有多少个圆圈？【解析】此题中，各圆大小各异，不如按照从左到右的顺序来数．共有个25圆圈．【例2】长方形有四个角，剪掉一个角，还剩几个角？【解析】共有三种情况，如下图，分别剩下5、4、3个角．【例3】有两个相同的直角三角形纸片，三条边分别为3厘米、4厘米、5厘米．不许折叠，用这两个直角三角形可以拼成几种平行四边形？【解析】3种．【巩固】用两个完全相同的、各边长分别为5、12、13的直角三角形纸片，可以拼成多少种不同的平行四边形？【解析】3种．【例4】把一个正方形分割为三种面积不同的小正方形，并且小正方形的个数是8．如何分？【解析】如下图所示．【例5】如下图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸片后，共有多少个小洞孔？\n【解析】对已经过五次操作且剪去左下角的纸片做一次反操作，得到的纸片有1个洞孔；再进行一次反操作，得到的纸片上有1×4=4个洞孔．按照这个方法继续做反操作，我们发现规律：从第二次开始，每经过一次反操作，得到的纸片上的洞孔数是反操作前洞孔数的4倍．因此，在进行了五次反操作以后，纸片上的洞孔数应为1×4×4×44=256(个)．【例1】图中的三个图形都是由A、B、C、D(线段或圆)中的两个组合而成，记为A*B、C*D、A*D．请你画出表示A*C的图形．【解析】观察上图，第一个图形和第三个图形的共同之处是都有一条竖向线段，而它们共有的字母是A，因此A表示竖向线段；第二个图形与第三个图形的共同之处是都有一条横向线段，它们的共同字母是D，因此D表示横向线段．这样，由第一个图形可知B表示大圆，由第二个图形可知C表示小圆，从而A*C表示的图形应为竖向线段和小圆组合而成，即下图．【例2】数一数下图中有多少个正方体木块？【解析】从下到上各层分别有3个、3个、1个，因此共有3+3+1=7个方块．【例3】一个正方体的8个顶角被截去后，得到一个新的几何体．这个新的几何体有几个面？几个顶点？几条棱？【解析】这个正方体的8个顶点被截去后，多了8个面，因此共有6+8=14个面；多了(3-1)×8=16个点，因此共有8+16=24个点；多了3×8条棱，因此共有12+3×8=36条棱．【例4】用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上，每一个面只涂一种颜色．如图所示，现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成了一个长方体．试回答：每个小正方体中，红色面的对面涂的是什么色？黄色面的对面涂的是什么色？黑色面的对面是什么色？\n【解析】在能看见的9个面中红色出现的次数最多．观察图8—4中最上面的一个正方体，由于红色和黑色、黄色相邻，所以它的对面不可能是黑黄两色．同理，由第二个正方体可知，红色的对面不能是白色；由第三个正方体知，红色的对面不能是蓝色．所以红色的面的对面只可能是绿色．同理，黄色面的对面不可能是红色、黑色或白色，又已推知不可能是绿色，所以黄色面的对面只可能是蓝色．这样黑色面的对面就只可能是涂白色的了．【例1】将A、B、C、D、E、F六个字母分别写在正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中判断这个正方体中，哪些字母分别写在相对的面上．【解析】本题所给的是一组立体几何图形．但是，我们注意到：由于图(a)、(b)、(c)都是同一个正方体的不同摆法．所以，图(a)、(b)、(c)可以通过旋转来互相转化，这三个图形中，字母C所在的一面始终不改变位置．因此，这三个图形的转化只能是前后转动．把图(a)向后翻转一次(90°)得图(b)．由此可知，字母A的对面是D，把图(a)向前翻转一次(90°)得图(c)，所以，字母B的对面是字母E，最后得出只有字母C、F相对．因此，正方体中，相对的字母分别是A—D、B—E、C—F．【例2】如图，一个正四面体摆在桌面上，正对称的面ABC是红色，底面BCD是白色，右侧面ACD是蓝色，左侧面ABD是黄色．先让四面体绕底面面对你的棱向你翻转，再让它绕底面右侧棱翻转，第三次绕底面面对你的棱向你翻转，第四次绕底面左侧棱翻转，此后依次重复上述操作过程．问：按规则完成第一百次操作后，面对你的面是什么颜色？【解析】由于翻转的次数太多，我们只能先按题述的规则顺序翻转几次，试着寻找翻转过程中的规律，再考虑多次翻转以后的结果．下图演示了4次翻转的过程：由图可见，按题述规则进行了4次翻转以后，原来的正四面体ABCD的方向恰好发生了一次完全的变化：底面面对你的棱BC转成了CB，而不与BC在同一平面内的侧棱AD则转成了DA．那么不难想像，再经过规则所述的4次翻转，正四面体ABCD的方向将转回最初的位置．这就告诉我们，这样的翻转是每8次一循环的．由上述分析可见，题述的翻转以8次为一循环，又因为100÷8=12……4，所以100次翻转操作以后，正四面体ABCD的摆放位置将如图8—11的第五个图形所示，当时面对你的面应为面BCD，其颜色为白色．【例3】有一个3×4×5的长方体，先把其中相邻的两个面染红，再把它切成60个1×1×1\n的小正方体，请问：这些小正方体中最多有多少个是恰有一个面被染红的？【解析】25．